helm/software/matita/contribs/ng_assembly/num/quatern_lemmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* ********************************************************************** *)
  16 (*                          Progetto FreeScale                            *)
  17 (*                                                                        *)
  18 (*   Sviluppato da: Ing. Cosimo Oliboni, oliboni@cs.unibo.it              *)
  19 (*   Ultima modifica: 05/08/2009                                          *)
  20 (*                                                                        *)
  21 (* ********************************************************************** *)
  22
  23 include "num/quatern.ma".
  24 include "num/bool_lemmas.ma".
  25
  26 (* ********** *)
  27 (* QUATERNARI *)
  28 (* ********** *)
  29
  30 ndefinition quatern_destruct_aux ≝
  31 Πn1,n2:quatern.ΠP:Prop.n1 = n2 →
  32  match eq_qu n1 n2 with [ true ⇒ P → P | false ⇒ P ].
  33
  34 ndefinition quatern_destruct : quatern_destruct_aux.
  35  #n1; #n2; #P; #H;
  36  nrewrite < H;
  37  nelim n1;
  38  nnormalize;
  39  napply (λx.x).
  40 nqed.
  41
  42 nlemma eq_to_eqqu : ∀n1,n2.n1 = n2 → eq_qu n1 n2 = true.
  43  #n1; #n2; #H;
  44  nrewrite > H;
  45  nelim n2;
  46  nnormalize;
  47  napply refl_eq.
  48 nqed.
  49
  50 nlemma neqqu_to_neq : ∀n1,n2.eq_qu n1 n2 = false → n1 ≠ n2.
  51  #n1; #n2; #H;
  52  napply (not_to_not (n1 = n2) (eq_qu n1 n2 = true) …);
  53  ##[ ##1: napply (eq_to_eqqu n1 n2)
  54  ##| ##2: napply (eqfalse_to_neqtrue … H)
  55  ##]
  56 nqed.
  57
  58 nlemma eqqu_to_eq : ∀n1,n2.eq_qu n1 n2 = true → n1 = n2.
  59  #n1; #n2;
  60  ncases n1;
  61  ncases n2;
  62  nnormalize;
  63  ##[ ##1,6,11,16: #H; napply refl_eq
  64  ##| ##*: #H; napply (bool_destruct … H)
  65  ##]
  66 nqed.
  67
  68 nlemma neq_to_neqqu : ∀n1,n2.n1 ≠ n2 → eq_qu n1 n2 = false.
  69  #n1; #n2; #H;
  70  napply (neqtrue_to_eqfalse (eq_qu n1 n2));
  71  napply (not_to_not (eq_qu n1 n2 = true) (n1 = n2) ? H);
  72  napply (eqqu_to_eq n1 n2).
  73 nqed.
  74
  75 nlemma decidable_qu : ∀x,y:quatern.decidable (x = y).
  76  #x; #y; nnormalize;
  77  napply (or2_elim (eq_qu x y = true) (eq_qu x y = false) ? (decidable_bexpr ?));
  78  ##[ ##1: #H; napply (or2_intro1 (x = y) (x ≠ y) (eqqu_to_eq … H))
  79  ##| ##2: #H; napply (or2_intro2 (x = y) (x ≠ y) (neqqu_to_neq … H))
  80  ##]
  81 nqed.
  82
  83 nlemma symmetric_eqqu : symmetricT quatern bool eq_qu.
  84  #n1; #n2;
  85  napply (or2_elim (n1 = n2) (n1 ≠ n2) ? (decidable_qu n1 n2));
  86  ##[ ##1: #H; nrewrite > H; napply refl_eq
  87  ##| ##2: #H; nrewrite > (neq_to_neqqu n1 n2 H);
  88           napply (symmetric_eq ? (eq_qu n2 n1) false);
  89           napply (neq_to_neqqu n2 n1 (symmetric_neq ? n1 n2 H))
  90  ##]
  91 nqed.