helm/software/matita/library/datatypes/categories.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/cprop_connectives.ma".
  16
  17 definition Type0 := Type.
  18 definition Type1 := Type.
  19 definition Type2 := Type.
  20 definition Type0_lt_Type1 := (Type0 : Type1).
  21 definition Type1_lt_Type2 := (Type1 : Type2).
  22
  23 record equivalence_relation (A:Type) : Type ≝
  24  { eq_rel:2> A → A → CProp;
  25    refl: reflexive ? eq_rel;
  26    sym: symmetric ? eq_rel;
  27    trans: transitive ? eq_rel
  28  }.
  29
  30 record setoid : Type1 ≝
  31  { carr:> Type;
  32    eq: equivalence_relation carr
  33  }.
  34
  35 definition reflexive1 ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x:A.R x x.
  36 definition symmetric1 ≝ λC:Type.λlt:C→C→CProp. ∀x,y:C.lt x y → lt y x.
  37 definition transitive1 ≝ λA:Type.λR:A→A→CProp.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
  38
  39 record equivalence_relation1 (A:Type) : Type2 ≝
  40  { eq_rel1:2> A → A → CProp;
  41    refl1: reflexive1 ? eq_rel1;
  42    sym1: symmetric1 ? eq_rel1;
  43    trans1: transitive1 ? eq_rel1
  44  }.
  45
  46 record setoid1: Type ≝
  47  { carr1:> Type;
  48    eq1: equivalence_relation1 carr1
  49  }.
  50
  51 definition setoid1_of_setoid: setoid → setoid1.
  52  intro;
  53  constructor 1;
  54   [ apply (carr s)
  55   | constructor 1;
  56     [ apply (eq_rel s);
  57       apply (eq s)
  58     | apply (refl s)
  59     | apply (sym s)
  60     | apply (trans s)]]
  61 qed.
  62
  63 coercion setoid1_of_setoid.
  64
  65 (*
  66 definition Leibniz: Type → setoid.
  67  intro;
  68  constructor 1;
  69   [ apply T
  70   | constructor 1;
  71      [ apply (λx,y:T.cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? x y)
  72      | alias id "refl_eq" = "cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1/1)".
  73        apply refl_eq
  74      | alias id "sym_eq" = "cic:/matita/logic/equality/sym_eq.con".
  75        apply sym_eq
  76      | alias id "trans_eq" = "cic:/matita/logic/equality/trans_eq.con".
  77        apply trans_eq ]]
  78 qed.
  79
  80 coercion Leibniz.
  81 *)
  82
  83 interpretation "setoid1 eq" 'eq t x y = (eq_rel1 ? (eq1 t) x y).
  84 interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq t) x y).
  85 interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ???? r).
  86 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
  87 notation ".= r" with precedence 50 for @{'trans $r}.
  88 interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 ????? r).
  89 interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
  90
  91 record unary_morphism (A,B: setoid1) : Type0 ≝
  92  { fun_1:1> A → B;
  93    prop_1: ∀a,a'. eq1 ? a a' → eq1 ? (fun_1 a) (fun_1 a')
  94  }.
  95
  96 record binary_morphism (A,B,C:setoid) : Type0 ≝
  97  { fun:2> A → B → C;
  98    prop: ∀a,a',b,b'. eq ? a a' → eq ? b b' → eq ? (fun a b) (fun a' b')
  99  }.
 100
 101 record binary_morphism1 (A,B,C:setoid1) : Type0 ≝
 102  { fun1:2> A → B → C;
 103    prop1: ∀a,a',b,b'. eq1 ? a a' → eq1 ? b b' → eq1 ? (fun1 a b) (fun1 a' b')
 104  }.
 105
 106 notation "† c" with precedence 90 for @{'prop1 $c }.
 107 notation "l ‡ r" with precedence 90 for @{'prop $l $r }.
 108 notation "#" with precedence 90 for @{'refl}.
 109 interpretation "prop_1" 'prop1 c = (prop_1 ????? c).
 110 interpretation "prop1" 'prop l r = (prop1 ???????? l r).
 111 interpretation "prop" 'prop l r = (prop ???????? l r).
 112 interpretation "refl1" 'refl = (refl1 ???).
 113 interpretation "refl" 'refl = (refl ???).
 114
 115 definition CPROP: setoid1.
 116  constructor 1;
 117   [ apply CProp
 118   | constructor 1;
 119      [ apply Iff
 120      | intros 1; split; intro; assumption
 121      | intros 3; cases H; split; assumption
 122      | intros 5; cases H; cases H1; split; intro;
 123         [ apply (H4 (H2 H6)) | apply (H3 (H5 H6))]]]
 124 qed.
 125
 126 definition if': ∀A,B:CPROP. A = B → A → B.
 127  intros; apply (if ?? H); assumption.
 128 qed.
 129
 130 notation ". r" with precedence 50 for @{'if $r}.
 131 interpretation "if" 'if r = (if' ?? r).
 132
 133 definition and_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 134  constructor 1;
 135   [ apply And
 136   | intros; split; intro; cases H2; split;
 137      [ apply (if ?? H a1)
 138      | apply (if ?? H1 b1)
 139      | apply (fi ?? H a1)
 140      | apply (fi ?? H1 b1)]]
 141 qed.
 142
 143 interpretation "and_morphism" 'and a b = (fun1 ??? and_morphism a b).
 144
 145 definition or_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 146  constructor 1;
 147   [ apply Or
 148   | intros; split; intro; cases H2; [1,3:left |2,4: right]
 149      [ apply (if ?? H a1)
 150      | apply (fi ?? H a1)
 151      | apply (if ?? H1 b1)
 152      | apply (fi ?? H1 b1)]]
 153 qed.
 154
 155 interpretation "or_morphism" 'or a b = (fun1 ??? or_morphism a b).
 156
 157 definition if_morphism: binary_morphism1 CPROP CPROP CPROP.
 158  constructor 1;
 159   [ apply (λA,B. A → B)
 160   | intros; split; intros;
 161      [ apply (if ?? H1); apply H2; apply (fi ?? H); assumption
 162      | apply (fi ?? H1); apply H2; apply (if ?? H); assumption]]
 163 qed.
 164
 165 (*
 166 definition eq_morphism: ∀S:setoid. binary_morphism S S CPROP.
 167  intro;
 168  constructor 1;
 169   [ apply (eq_rel ? (eq S))
 170   | intros; split; intro;
 171      [ apply (.= H \sup -1);
 172        apply (.= H2);
 173        assumption
 174      | apply (.= H);
 175        apply (.= H2);
 176        apply (H1 \sup -1)]]
 177 qed.
 178 *)
 179
 180 record category : Type1 ≝
 181  { objs:> Type;
 182    arrows: objs → objs → setoid;
 183    id: ∀o:objs. arrows o o;
 184    comp: ∀o1,o2,o3. binary_morphism (arrows o1 o2) (arrows o2 o3) (arrows o1 o3);
 185    comp_assoc: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 186     comp o1 o3 o4 (comp o1 o2 o3 a12 a23) a34 = comp o1 o2 o4 a12 (comp o2 o3 o4 a23 a34);
 187    id_neutral_left: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? (id o1) a = a;
 188    id_neutral_right: ∀o1,o2. ∀a: arrows o1 o2. comp ??? a (id o2) = a
 189  }.
 190
 191 record category1 : Type2 ≝
 192  { objs1:> Type;
 193    arrows1: objs1 → objs1 → setoid1;
 194    id1: ∀o:objs1. arrows1 o o;
 195    comp1: ∀o1,o2,o3. binary_morphism1 (arrows1 o1 o2) (arrows1 o2 o3) (arrows1 o1 o3);
 196    comp_assoc1: ∀o1,o2,o3,o4. ∀a12,a23,a34.
 197     comp1 o1 o3 o4 (comp1 o1 o2 o3 a12 a23) a34 = comp1 o1 o2 o4 a12 (comp1 o2 o3 o4 a23 a34);
 198    id_neutral_right1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? (id1 o1) a = a;
 199    id_neutral_left1: ∀o1,o2. ∀a: arrows1 o1 o2. comp1 ??? a (id1 o2) = a
 200  }.
 201
 202 notation "'ASSOC'" with precedence 90 for @{'assoc}.
 203 notation "'ASSOC1'" with precedence 90 for @{'assoc1}.
 204
 205 interpretation "category1 composition" 'compose x y = (fun1 ??? (comp1 ????) y x).
 206 interpretation "category1 assoc" 'assoc1 = (comp_assoc1 ????????).
 207 interpretation "category composition" 'compose x y = (fun ??? (comp ????) y x).
 208 interpretation "category assoc" 'assoc = (comp_assoc ????????).
 209
 210 definition unary_morphism_setoid: setoid → setoid → setoid.
 211  intros;
 212  constructor 1;
 213   [ apply (unary_morphism s s1);
 214   | constructor 1;
 215      [ intros (f g); apply (∀a. f a = g a);
 216      | intros 1; simplify; intros; apply refl;
 217      | simplify; intros; apply sym; apply H;
 218      | simplify; intros; apply trans; [2: apply H; | skip | apply H1]]]
 219 qed.
 220
 221 notation "hbox(a break ⇒ b)" right associative with precedence 20 for @{ 'Imply $a $b }.
 222 interpretation "unary morphism" 'Imply a b = (unary_morphism_setoid a b).
 223 interpretation "unary morphism" 'Imply a b = (unary_morphism a b).
 224
 225 definition SET: category1.
 226  constructor 1;
 227   [ apply setoid;
 228   | apply rule (λS,T.unary_morphism_setoid S T);
 229   | intros; constructor 1; [ apply (λx.x); | intros; assumption ]
 230   | intros; constructor 1; [ intros; constructor 1; [ apply (λx. c1 (c x)); | intros;
 231      apply († (†H));]
 232   | intros; whd; intros; simplify; whd in H1; whd in H;
 233     apply trans; [ apply (b (a' a1)); | lapply (prop_1 ?? b (a a1) (a' a1));
 234      [ apply Hletin | apply (H a1); ]  | apply H1; ]]
 235   | intros; whd; intros; simplify; apply refl;
 236   | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl;
 237   | intros; simplify; whd; intros; simplify; apply refl;
 238   ]
 239 qed.
 240
 241 definition setoid_OF_SET: objs1 SET → setoid.
 242  intros; apply o; qed.
 243
 244 coercion setoid_OF_SET.
 245
 246
 247 definition prop_1_SET :
 248  ∀A,B:SET.∀w:arrows1 SET A B.∀a,b:A.eq1 ? a b→eq1 ? (w a) (w b).
 249 intros; apply (prop_1 A B w a b H);
 250 qed.
 251
 252 interpretation "SET dagger" 'prop1 h = (prop_1_SET ? ? ? ? ? h).