helm/software/matita/library/didactic/exercises/shannon.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* Esercizio 0
  16    ===========
  17
  18    Compilare i seguenti campi:
  19
  20    Nome1: ...
  21    Cognome1: ...
  22    Matricola1: ...
  23    Account1: ...
  24
  25    Nome2: ...
  26    Cognome2: ...
  27    Matricola2: ...
  28    Account2: ...
  29
  30 *)
  31
  32 (* ATTENZIONE
  33    ==========
  34
  35    Non modificare quanto segue
  36 *)
  37 include "nat/minus.ma".
  38 definition if_then_else ≝ λT:Type.λe,t,f.match e return λ_.T with [ true ⇒ t | false ⇒ f].
  39 notation > "'if' term 19 e 'then' term 19 t 'else' term 90 f" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
  40 notation < "'if' \nbsp term 19 e \nbsp 'then' \nbsp term 19 t \nbsp 'else' \nbsp term 90 f \nbsp" non associative with precedence 19 for @{ 'if_then_else $e $t $f }.
  41 interpretation "Formula if_then_else" 'if_then_else e t f = (if_then_else ? e t f).
  42 definition max ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then m else n.
  43 definition min ≝ λn,m. if eqb (n - m) 0 then n else m.
  44
  45 (* Ripasso 1
  46    =========
  47
  48    Il linguaggio delle formule, dove gli atomi sono
  49    rapperesentati da un numero naturale
  50 *)
  51 inductive Formula : Type ≝
  52 | FBot: Formula
  53 | FTop: Formula
  54 | FAtom: nat → Formula
  55 | FAnd: Formula → Formula → Formula
  56 | FOr: Formula → Formula → Formula
  57 | FImpl: Formula → Formula → Formula
  58 | FNot: Formula → Formula
  59 .
  60
  61 (* Ripasso 2
  62    =========
  63
  64    La semantica di una formula `F` in un mondo `v`: `[[ F ]]v`
  65 *)
  66 let rec sem (v: nat → nat) (F: Formula) on F : nat ≝
  67  match F with
  68   [ FBot ⇒ 0
  69   | FTop ⇒ 1
  70   | FAtom n ⇒ min (v n) 1
  71   | FAnd F1 F2 ⇒ min (sem v F1) (sem v F2)
  72   | FOr F1 F2 ⇒ max (sem v F1) (sem v F2)
  73   | FImpl F1 F2 ⇒ max (1 - sem v F1) (sem v F2)
  74   | FNot F1 ⇒ 1 - (sem v F1)
  75   ]
  76 .
  77
  78 (* ATTENZIONE
  79    ==========
  80
  81    Non modificare quanto segue.
  82 *)
  83 notation < "[[ \nbsp term 19 a \nbsp ]] \nbsp \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
  84 notation > "[[ term 19 a ]] \sub term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ 'semantics $v $a }.
  85 notation > "[[ term 19 a ]] term 90 v" non associative with precedence 90 for @{ sem $v $a }.
  86 interpretation "Semantic of Formula" 'semantics v a = (sem v a).
  87 lemma sem_bool : ∀F,v. [[ F ]]v = 0 ∨ [[ F ]]v = 1.  intros; elim F; simplify; [left;reflexivity; |right;reflexivity; |cases (v n);[left;|cases n1;right;]reflexivity; |4,5,6: cases H; cases H1; rewrite > H2; rewrite > H3; simplify; first [ left;reflexivity | right; reflexivity ].  |cases H; rewrite > H1; simplify;[right|left]reflexivity;] qed.
  88
  89 (* Ripasso 3
  90    =========
  91
  92    L'operazione di sostituzione di una formula `G` al posto dell'atomo
  93    `x` in una formula `F`: `F[G/x]`
  94 *)
  95
  96 let rec subst (x:nat) (G: Formula) (F: Formula) on F ≝
  97  match F with
  98   [ FBot ⇒ FBot
  99   | FTop ⇒ FTop
 100   | FAtom n ⇒ if eqb n x then G else (FAtom n)
 101   | FAnd F1 F2 ⇒ FAnd (subst x G F1) (subst x G F2)
 102   | FOr F1 F2 ⇒ FOr (subst x G F1) (subst x G F2)
 103   | FImpl F1 F2 ⇒ FImpl (subst x G F1) (subst x G F2)
 104   | FNot F ⇒ FNot (subst x G F)
 105   ].
 106
 107 (* ATTENZIONE
 108    ==========
 109
 110    Non modificare quanto segue.
 111 *)
 112 notation < "t [ \nbsp term 19 a / term 19 b \nbsp ]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }.
 113 notation > "t [ term 90 a / term 90 b]" non associative with precedence 19 for @{ 'substitution $b $a $t }.
 114 interpretation "Substitution for Formula" 'substitution b a t = (subst b a t).
 115 definition equiv ≝ λF1,F2. ∀v.[[ F1 ]]v = [[ F2 ]]v.
 116 notation "hvbox(a \nbsp break mstyle color #0000ff (≡) \nbsp b)"  non associative with precedence 45 for @{ 'equivF $a $b }.
 117 notation > "a ≡ b" non associative with precedence 50 for @{ equiv $a $b }.
 118 interpretation "equivalence for Formulas" 'equivF a b = (equiv a b).
 119 lemma min_1_sem: ∀F,v.min 1 [[ F ]]v = [[ F ]]v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
 120 lemma max_0_sem: ∀F,v.max [[ F ]]v 0 = [[ F ]]v. intros; cases (sem_bool F v); rewrite > H; reflexivity; qed.
 121 definition IFTE := λA,B,C:Formula. FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C).
 122
 123 (*DOCBEGIN
 124
 125 La libreria di Matita
 126 =====================
 127
 128 Per portare a termine l'esercitazione sono necessari i seguenti lemmi:
 129
 130 * lemma `decidable_eq_nat` : `∀x,y.x = y ∨ x ≠ y`
 131 * lemma `sem_bool` : `∀F,v. [[ F ]]v = 0 ∨ [[ F ]]v = 1`
 132 * lemma `not_eq_to_eqb_false` : `∀x,y.x ≠ y → eqb x y = false`
 133 * lemma `eq_to_eqb_true` : `∀x,y.x = y → eqb x y = true`
 134 * lemma `min_1_sem` : `∀F,v.min 1 [[ F ]]v = [[ F ]]v`
 135 * lemma `max_0_sem` : `∀F,v.max [[ F ]]v 0 = [[ F ]]v`
 136
 137 Nota su `x = y` e `eqb x y`
 138 ---------------------------
 139
 140 Se vi siete mai chiesti la differenza tra `x = y` ed `eqb x y`
 141 quanto segue prova a chiarirla.
 142
 143 Presi due numeri `x` e `y` in ℕ, dire che `x = y` significa i due numeri
 144 sono lo stesso numero, ovvero che se `x` è il numero `3`,
 145 anche `y` è il numero `3`.
 146
 147 `eqb` è un funzione, un programma, che confronta due numeri naturali
 148 e restituisce `true` se sono uguali, `false` se sono diversi. L'utilizzo
 149 di tale programma è necessario per usare il costrutto (che è a sua volta
 150 un programma) `if E then A else B`, che lancia il programma `E`,
 151 e se il suo
 152 risultato è `true` si comporta come `A` altrimenti come `B`. Come
 153 ben sapete i programmi possono contenere errori. In particolare anche
 154 `eqb` potrebbe essere sbagliato, e per esempio restituire sempre `true`.
 155 I teoremi `eq_to_eqb_true` e
 156 `not_eq_to_eqb_false` sono la dimostrazione che il programma `eqb` è
 157 corretto, ovvero che che se `x = y` allora `eqb x y` restituisce `true`,
 158 se `x ≠ y` allora `eqb x y` restituisce `false`.
 159
 160 Il teorema di espansione di Shannon
 161 ===================================
 162
 163 Si definisce un connettivo logico `IFTE A B C` come
 164
 165         FOr (FAnd A B) (FAnd (FNot A) C)
 166
 167 Il teorema dice che data una formula `F`, e preso un atomo `x`, la seguente
 168 formula è equivalente a `F`:
 169
 170         IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])
 171
 172 Ovvero, fissato un mondo `v`, sostituisco l'atomo `x` con `FBot` se tale
 173 atomo è falso, lo sostituisco con `FTop` se è vero.
 174
 175 La dimostrazione è composta da due lemmi, `shannon_false` e `shannon_true`.
 176
 177 Vediamo solo la dimostrazione del primo, essendo il secondo del tutto analogo.
 178 Il lemma asserisce quanto segue:
 179
 180         ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]v = [[ F ]]v
 181
 182 Una volta assunte la formula `F`, l'atomo `x`, il mondo `v` e aver
 183 supposto che `[[ FAtom x ]]v = 0` si procede per induzione su `F`.
 184 I casi `FTop` e `FBot` sono banali. Nei casi `FAnd/FOr/FImpl/FNot`,
 185 una volta assunte le sottoformule e le relative ipotesi induttive,
 186 si conclude con una catena di uguaglianze.
 187
 188 Il caso `FAtom` richiede maggiore cura. Assunto l'indice dell'atomo `n`,
 189 occorre utilizzare il lemma `decidable_eq_nat` per ottenere l'ipotesi
 190 aggiuntiva `n = x ∨ n ≠ x` (dove `x` è l'atomo su cui predica il teorema).
 191 Si procede per casi sull'ipotesi appena ottenuta.
 192 In entrambi i casi, usando i lemmi `eq_to_eqb_true` oppure `not_eq_to_eqb_false`
 193 si ottengolo le ipotesi aggiuntive `(eqb n x = true)` oppure `(eqb n x = false)`.
 194 Entrambi i casi si concludono con una catena di uguaglianze.
 195
 196 Il teorema principale si dimostra utilizzando il lemma `sem_bool` per
 197 ottenre l'ipotesi `[[ FAtom x ]]v = 0 ∨ [[ FAtom x ]]v = 1` su cui
 198 si procede poi per casi. Entrambi i casi si concludono con
 199 una catena di uguaglianze che utilizza i lemmi dimostrati in precedenza
 200 e i lemmi `min_1_sem` oppure `max_0_sem`.
 201
 202 DOCEND*)
 203
 204 lemma shannon_false:
 205   ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]v = 0 → [[ F[FBot/x] ]]v = [[ F ]]v.
 206 (*BEGIN*)
 207 assume F : Formula.
 208 assume x : ℕ.
 209 assume v : (ℕ → ℕ).
 210 suppose ([[ FAtom x ]]v = 0) (H).
 211 we proceed by induction on F to prove ([[ F[FBot/x] ]]v = [[ F ]]v).
 212 case FBot.
 213   the thesis becomes ([[ FBot[FBot/x] ]]v = [[ FBot ]]v).
 214   the thesis becomes ([[ FBot ]]v = [[ FBot ]]v).
 215   done.
 216 case FTop.
 217   the thesis becomes ([[ FTop[FBot/x] ]]v = [[ FTop ]]v).
 218   the thesis becomes ([[ FTop ]]v = [[ FTop ]]v).
 219   done.
 220 case FAtom.
 221   assume n : ℕ.
 222   the thesis becomes ([[ (FAtom n)[FBot/x] ]]v = [[ FAtom n ]]v).
 223   the thesis becomes ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]v = [[ FAtom n ]]v).
 224   by decidable_eq_nat we proved (n = x ∨ n ≠ x) (H1).
 225   we proceed by cases on H1 to prove ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]v = [[ FAtom n ]]v).
 226     case Left.
 227       by H2, eq_to_eqb_true we proved (eqb n x = true) (H3).
 228       conclude
 229           ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]v)
 230         = ([[ if true then FBot else (FAtom n) ]]v) by H3.
 231         = ([[ FBot ]]v).
 232         = 0.
 233         = ([[ FAtom x ]]v) by H.
 234         = ([[ FAtom n ]]v) by H2.
 235     done.
 236     case Right.
 237       by H2, not_eq_to_eqb_false we proved (eqb n x = false) (H3).
 238       conclude
 239           ([[ if eqb n x then FBot else (FAtom n) ]]v)
 240         = ([[ if false then FBot else (FAtom n) ]]v) by H3.
 241         = ([[ FAtom n ]]v).
 242     done.
 243 case FAnd.
 244   assume f1 : Formula.
 245   by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]v = [[ f1 ]]v) (H1).
 246   assume f2 : Formula.
 247   by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]v = [[ f2 ]]v) (H2).
 248   the thesis becomes ([[ (FAnd f1 f2)[FBot/x] ]]v = [[ FAnd f1 f2 ]]v).
 249   conclude
 250       ([[ (FAnd f1 f2)[FBot/x] ]]v)
 251     = ([[ FAnd (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]v).
 252     = (min [[ f1[FBot/x] ]]v [[ f2[FBot/x] ]]v).
 253     = (min [[ f1 ]]v [[ f2[FBot/x] ]]v) by H1.
 254     = (min [[ f1 ]]v [[ f2 ]]v) by H2.
 255     = ([[ FAnd f1 f2 ]]v).
 256   done.
 257 case FOr.
 258   assume f1 : Formula.
 259   by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]v = [[ f1 ]]v) (H1).
 260   assume f2 : Formula.
 261   by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]v = [[ f2 ]]v) (H2).
 262   the thesis becomes ([[ (FOr f1 f2)[FBot/x] ]]v = [[ FOr f1 f2 ]]v).
 263   conclude
 264       ([[ (FOr f1 f2)[FBot/x] ]]v)
 265     = ([[ FOr (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]v).
 266     = (max [[ f1[FBot/x] ]]v  [[ f2[FBot/x] ]]v).
 267     = (max [[ f1 ]]v  [[ f2[FBot/x] ]]v) by H1.
 268     = (max [[ f1 ]]v  [[ f2 ]]v) by H2.
 269     = ([[ FOr f1 f2 ]]v).
 270   done.
 271 case FImpl.
 272   assume f1 : Formula.
 273   by induction hypothesis we know ([[ f1[FBot/x] ]]v = [[ f1 ]]v) (H1).
 274   assume f2 : Formula.
 275   by induction hypothesis we know ([[ f2[FBot/x] ]]v = [[ f2 ]]v) (H2).
 276   the thesis becomes ([[ (FImpl f1 f2)[FBot/x] ]]v = [[ FImpl f1 f2 ]]v).
 277   conclude
 278       ([[ (FImpl f1 f2)[FBot/x] ]]v)
 279     = ([[ FImpl (f1[FBot/x]) (f2[FBot/x]) ]]v).
 280     = (max (1 - [[ f1[FBot/x] ]]v) [[ f2[FBot/x] ]]v).
 281     = (max (1 - [[ f1 ]]v) [[ f2[FBot/x] ]]v) by H1.
 282     = (max (1 - [[ f1 ]]v) [[ f2 ]]v) by H2.
 283     = ([[ FImpl f1 f2 ]]v).
 284   done.
 285 case FNot.
 286   assume f : Formula.
 287   by induction hypothesis we know ([[ f[FBot/x] ]]v = [[ f ]]v) (H1).
 288   the thesis becomes ([[ (FNot f)[FBot/x] ]]v = [[ FNot f ]]v).
 289   conclude
 290       ([[ (FNot f)[FBot/x] ]]v)
 291     = ([[ FNot (f[FBot/x]) ]]v).
 292     = (1 - [[ f[FBot/x] ]]v).
 293     = (1 - [[ f ]]v) by H1.
 294     = ([[ FNot f ]]v).
 295   done.
 296 (*END*)
 297 qed.
 298
 299 lemma shannon_true:
 300   ∀F,x,v. [[ FAtom x ]]v = 1 → [[ F[FTop/x] ]]v = [[ F ]]v.
 301 (*BEGIN*)
 302 assume F : Formula.
 303 assume x : ℕ.
 304 assume v : (ℕ → ℕ).
 305 suppose ([[ FAtom x ]]v = 1) (H).
 306 we proceed by induction on F to prove ([[ F[FTop/x] ]]v = [[ F ]]v).
 307 case FBot.
 308   the thesis becomes ([[ FBot[FTop/x] ]]v = [[ FBot ]]v).
 309   the thesis becomes ([[ FBot ]]v = [[ FBot ]]v).
 310   done.
 311 case FTop.
 312   the thesis becomes ([[ FTop[FTop/x] ]]v = [[ FTop ]]v).
 313   the thesis becomes ([[ FTop ]]v = [[ FTop ]]v).
 314   done.
 315 case FAtom.
 316   assume n : ℕ.
 317   the thesis becomes ([[ (FAtom n)[FTop/x] ]]v = [[ FAtom n ]]v).
 318   the thesis becomes ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]v = [[ FAtom n ]]v).
 319   by decidable_eq_nat we proved (n = x ∨ n ≠ x) (H1).
 320   we proceed by cases on H1 to prove ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]v = [[ FAtom n ]]v).
 321     case Left.
 322       by H2, eq_to_eqb_true we proved (eqb n x = true) (H3).
 323       conclude
 324           ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]v)
 325         = ([[ if true then FTop else (FAtom n) ]]v) by H3.
 326         = ([[ FTop ]]v).
 327         = 1.
 328         = ([[ FAtom x ]]v) by H.
 329         = ([[ FAtom n ]]v) by H2.
 330     done.
 331     case Right.
 332       by H2, not_eq_to_eqb_false we proved (eqb n x = false) (H3).
 333       conclude
 334           ([[ if eqb n x then FTop else (FAtom n) ]]v)
 335         = ([[ if false then FTop else (FAtom n) ]]v) by H3.
 336         = ([[ FAtom n ]]v).
 337     done.
 338 case FAnd.
 339   assume f1 : Formula.
 340   by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]v = [[ f1 ]]v) (H1).
 341   assume f2 : Formula.
 342   by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]v = [[ f2 ]]v) (H2).
 343   the thesis becomes ([[ (FAnd f1 f2)[FTop/x] ]]v = [[ FAnd f1 f2 ]]v).
 344   conclude
 345       ([[ (FAnd f1 f2)[FTop/x] ]]v)
 346     = ([[ FAnd (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]v).
 347     = (min [[ f1[FTop/x] ]]v [[ f2[FTop/x] ]]v).
 348     = (min [[ f1 ]]v [[ f2[FTop/x] ]]v) by H1.
 349     = (min [[ f1 ]]v [[ f2 ]]v) by H2.
 350     = ([[ FAnd f1 f2 ]]v).
 351   done.
 352 case FOr.
 353   assume f1 : Formula.
 354   by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]v = [[ f1 ]]v) (H1).
 355   assume f2 : Formula.
 356   by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]v = [[ f2 ]]v) (H2).
 357   the thesis becomes ([[ (FOr f1 f2)[FTop/x] ]]v = [[ FOr f1 f2 ]]v).
 358   conclude
 359       ([[ (FOr f1 f2)[FTop/x] ]]v)
 360     = ([[ FOr (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]v).
 361     = (max [[ f1[FTop/x] ]]v  [[ f2[FTop/x] ]]v).
 362     = (max [[ f1 ]]v  [[ f2[FTop/x] ]]v) by H1.
 363     = (max [[ f1 ]]v  [[ f2 ]]v) by H2.
 364     = ([[ FOr f1 f2 ]]v).
 365   done.
 366 case FImpl.
 367   assume f1 : Formula.
 368   by induction hypothesis we know ([[ f1[FTop/x] ]]v = [[ f1 ]]v) (H1).
 369   assume f2 : Formula.
 370   by induction hypothesis we know ([[ f2[FTop/x] ]]v = [[ f2 ]]v) (H2).
 371   the thesis becomes ([[ (FImpl f1 f2)[FTop/x] ]]v = [[ FImpl f1 f2 ]]v).
 372   conclude
 373       ([[ (FImpl f1 f2)[FTop/x] ]]v)
 374     = ([[ FImpl (f1[FTop/x]) (f2[FTop/x]) ]]v).
 375     = (max (1 - [[ f1[FTop/x] ]]v) [[ f2[FTop/x] ]]v).
 376     = (max (1 - [[ f1 ]]v) [[ f2[FTop/x] ]]v) by H1.
 377     = (max (1 - [[ f1 ]]v) [[ f2 ]]v) by H2.
 378     = ([[ FImpl f1 f2 ]]v).
 379   done.
 380 case FNot.
 381   assume f : Formula.
 382   by induction hypothesis we know ([[ f[FTop/x] ]]v = [[ f ]]v) (H1).
 383   the thesis becomes ([[ (FNot f)[FTop/x] ]]v = [[ FNot f ]]v).
 384   conclude
 385       ([[ (FNot f)[FTop/x] ]]v)
 386     = ([[ FNot (f[FTop/x]) ]]v).
 387     = (1 - [[ f[FTop/x] ]]v).
 388     = (1 - [[ f ]]v) by H1.
 389     = ([[ FNot f ]]v).
 390   done.
 391 (*END*)
 392 qed.
 393
 394 theorem shannon :
 395   ∀F,x. IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x]) ≡ F.
 396 (*BEGIN*)
 397 assume F : Formula.
 398 assume x : ℕ.
 399 assume v : (ℕ → ℕ).
 400 the thesis becomes ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]v = [[ F ]]v).
 401 by sem_bool we proved ([[ FAtom x]]v = 0 ∨ [[ FAtom x]]v = 1) (H).
 402 we proceed by cases on H to prove ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]v = [[ F ]]v).
 403 case Left.
 404   conclude
 405       ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]v)
 406     = ([[ FOr (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]v).
 407     = (max [[ (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) ]]v [[ (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]v).
 408     = (max (min  [[ FAtom x ]]v [[ F[FTop/x] ]]v) (min (1 - [[ FAtom x ]]v) [[ F[FBot/x] ]]v)).
 409     = (max (min  0 [[ F[FTop/x] ]]v) (min (1 - 0) [[ F[FBot/x] ]]v)) by H1.
 410     = (max 0 (min 1 [[ F[FBot/x] ]]v)).
 411     = (max 0 [[ F[FBot/x] ]]v) by min_1_sem.
 412     = ([[ F[FBot/x] ]]v).
 413     = ([[ F ]]v) by H1, shannon_false.
 414   done.
 415 case Right.
 416   conclude
 417       ([[ IFTE (FAtom x) (F[FTop/x]) (F[FBot/x])]]v)
 418     = ([[ FOr (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]v).
 419     = (max [[ (FAnd (FAtom x) (F[FTop/x])) ]]v [[ (FAnd (FNot (FAtom x)) (F[FBot/x]))]]v).
 420     = (max (min  [[ FAtom x ]]v [[ F[FTop/x] ]]v) (min (1 - [[ FAtom x ]]v) [[ F[FBot/x] ]]v)).
 421     = (max (min  1 [[ F[FTop/x] ]]v) (min (1 - 1) [[ F[FBot/x] ]]v)) by H1.
 422     = (max (min  1 [[ F[FTop/x] ]]v) (min 0 [[ F[FBot/x] ]]v)).
 423     = (max [[ F[FTop/x] ]]v (min 0 [[ F[FBot/x] ]]v)) by min_1_sem.
 424     = (max [[ F[FTop/x] ]]v 0).
 425     = ([[ F[FTop/x] ]]v) by max_0_sem.
 426     = ([[ F ]]v) by H1, shannon_true.
 427   done.
 428 (*END*)
 429 qed.
 430
 431 (*DOCBEGIN
 432
 433 Note generali
 434 =============
 435
 436 Si ricorda che:
 437
 438 1. Ogni volta che nella finestra di destra compare un simbolo `∀` oppure un
 439    simbolo `→` è opportuno usare il comando `assume` oppure `suppose`
 440    oppure (se si è in un caso di una dimostrazione per induzione) il comando
 441    `by induction hypothesis we know` (che vengono nuovamente spiegati in seguito).
 442
 443 2. Ogni caso (o sotto caso) della dimostrazione:
 444
 445    1. Inizia con una sequenza di comandi `assume` o `suppose` oppure
 446       `by induction hypothesis we know`. Tale sequenza di comandi può anche
 447       essere vuota.
 448
 449    2. Continua poi con almeno un comando `the thesis becomes`.
 450
 451    3. Eventualmente seguono vari comandi `by ... we proved` per
 452       utilizzare i teoremi già disponibili per generare nuove
 453       ipotesi.
 454
 455    4. Eventualmente uno o più comandi `we proceed by cases on (...) to prove (...)`.
 456
 457    5. Se necessario un comando `conclude` seguito da un numero anche
 458       molto lungo di passi `= (...) by ... .` per rendere la parte
 459       sinistra della vostra tesi uguale alla parte destra.
 460
 461    6. Ogni caso termina con `done`.
 462
 463 3. Ogni caso corrispondente a un nodo con sottoformule (FAnd/For/FNot)
 464    avrà tante ipotesi induttive quante sono le sue sottoformule e tali
 465    ipotesi sono necessarie per portare a termine la dimostrazione.
 466
 467 I comandi da utilizzare
 468 =======================
 469
 470 * `the thesis becomes (...).`
 471
 472   Afferma quale sia la tesi da dimostrare. Se ripetuto
 473   permette di espandere le definizioni.
 474
 475 * `we proceed by cases on (...) to prove (...).`
 476
 477   Permette di andare per casi su una ipotesi (quando essa è della forma
 478   `A ∨ B`).
 479
 480   Esempio: `we proceed by cases on H to prove Q.`
 481
 482 * `case ... .`
 483
 484   Nelle dimostrazioni per casi o per induzioni si utulizza tale comando
 485   per inizia la sotto prova relativa a un caso. Esempio: `case Fbot.`
 486
 487 * `done.`
 488
 489   Ogni caso di una dimostrazione deve essere terminato con il comando
 490   `done.`
 491
 492 * `assume ... : (...) .`
 493
 494   Assume una formula o un numero, ad esempio `assume n : (ℕ).` assume
 495   un numero naturale `n`.
 496
 497 * `by ..., ..., ..., we proved (...) (...).`
 498
 499   Permette di comporre lemmi e ipotesi per ottenere nuove ipotesi.
 500   Ad esempio `by H, H1 we prove (F ≡ G) (H2).` ottiene una nuova ipotesi
 501   `H2` che dice che `F ≡ G` componendo insieme `H` e `H1`.
 502
 503 * `conclude (...) = (...) by ... .`
 504
 505   Il comando conclude lavora SOLO sulla parte sinistra della tesi. È il comando
 506   con cui si inizia una catena di uguaglianze. La prima formula che si
 507   scrive deve essere esattamente uguale alla parte sinistra della conclusione
 508   originale. Esempio `conclude ([[ FAtom x ]]v) = ([[ FAtom n ]]v) by H.`
 509   Se la giustificazione non è un lemma o una ipotesi ma la semplice espansione
 510   di una definizione, la parte `by ...` deve essere omessa.
 511
 512 * `= (...) by ... .`
 513
 514   Continua un comando `conclude`, lavorando sempre sulla parte sinistra della
 515   tesi.
 516
 517 DOCEND*)