helm/software/matita/library/formal_topology/o-basic_pairs.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/o-algebra.ma".
  16 include "formal_topology/notation.ma".
  17
  18 record Obasic_pair: Type2 ≝ {
  19    Oconcr: OA; Oform: OA; Orel: arrows2 ? Oconcr Oform
  20 }.
  21
  22 (* FIX *)
  23 interpretation "o-basic pair relation indexed" 'Vdash2 x y c = (Orel c x y).
  24 interpretation "o-basic pair relation (non applied)" 'Vdash c = (Orel c).
  25
  26 record Orelation_pair (BP1,BP2: Obasic_pair): Type2 ≝ {
  27    Oconcr_rel: (Oconcr BP1) ⇒_\o2 (Oconcr BP2); Oform_rel: (Oform BP1) ⇒_\o2 (Oform BP2);
  28    Ocommute: ⊩ ∘ Oconcr_rel =_2 Oform_rel ∘ ⊩
  29 }.
  30
  31 (* FIX *)
  32 interpretation "o-concrete relation" 'concr_rel r = (Oconcr_rel ?? r).
  33 interpretation "o-formal relation" 'form_rel r = (Oform_rel ?? r).
  34
  35 definition Orelation_pair_equality:
  36  ∀o1,o2. equivalence_relation2 (Orelation_pair o1 o2).
  37  intros;
  38  constructor 1;
  39   [ apply (λr,r'. ⊩ ∘ r \sub\c = ⊩ ∘ r' \sub\c);
  40   | simplify;
  41     intros;
  42     apply refl2;
  43   | simplify;
  44     intros 2;
  45     apply sym2;
  46   | simplify;
  47     intros 3;
  48     apply trans2;
  49   ]
  50 qed.
  51
  52 (* qui setoid1 e' giusto: ma non lo e'!!! *)
  53 definition Orelation_pair_setoid: Obasic_pair → Obasic_pair → setoid2.
  54  intros;
  55  constructor 1;
  56   [ apply (Orelation_pair o o1)
  57   | apply Orelation_pair_equality
  58   ]
  59 qed.
  60
  61 definition Orelation_pair_of_Orelation_pair_setoid:
  62   ∀P,Q. Orelation_pair_setoid P Q → Orelation_pair P Q ≝ λP,Q,x.x.
  63 coercion Orelation_pair_of_Orelation_pair_setoid.
  64
  65 lemma eq_to_eq': ∀o1,o2.∀r,r': Orelation_pair_setoid o1 o2. r =_2 r' → r \sub\f ∘ ⊩ =_2 r'\sub\f ∘ ⊩.
  66  intros 5 (o1 o2 r r' H); change in H with (⊩ ∘ r\sub\c = ⊩ ∘ r'\sub\c);
  67  apply (.= ((Ocommute ?? r) ^ -1));
  68  apply (.= H);
  69  apply (.= (Ocommute ?? r'));
  70  apply refl2;
  71 qed.
  72
  73
  74 definition Oid_relation_pair: ∀o:Obasic_pair. Orelation_pair o o.
  75  intro;
  76  constructor 1;
  77   [1,2: apply id2;
  78   | lapply (id_neutral_right2 ? (Oconcr o) ? (⊩)) as H;
  79     lapply (id_neutral_left2 ?? (Oform o) (⊩)) as H1;
  80     apply (.= H);
  81     apply (H1^-1);]
  82 qed.
  83
  84 lemma Orelation_pair_composition:
  85  ∀o1,o2,o3:Obasic_pair.
  86  Orelation_pair_setoid o1 o2 → Orelation_pair_setoid o2 o3→Orelation_pair_setoid o1 o3.
  87 intros 3 (o1 o2 o3);
  88    intros (r r1);
  89     constructor 1;
  90      [ apply (r1 \sub\c ∘ r \sub\c)
  91      | apply (r1 \sub\f ∘ r \sub\f)
  92      | lapply (Ocommute ?? r) as H;
  93        lapply (Ocommute ?? r1) as H1;
  94        apply rule (.= ASSOC);
  95        apply (.= #‡H1);
  96        apply rule (.= ASSOC ^ -1);
  97        apply (.= H‡#);
  98        apply rule ASSOC]
  99 qed.
 100
 101
 102 lemma Orelation_pair_composition_is_morphism:
 103   ∀o1,o2,o3:Obasic_pair.
 104   Πa,a':Orelation_pair_setoid o1 o2.Πb,b':Orelation_pair_setoid o2 o3.
 105    a=a' →b=b' →
 106       Orelation_pair_composition o1 o2 o3 a b
 107       = Orelation_pair_composition o1 o2 o3 a' b'.
 108 intros;
 109     change with (⊩ ∘ (b\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ (b'\sub\c ∘ a'\sub\c));
 110     change in e with (⊩ ∘ a \sub\c = ⊩ ∘ a' \sub\c);
 111     change in e1 with (⊩ ∘ b \sub\c = ⊩ ∘ b' \sub\c);
 112     apply rule (.= ASSOC);
 113     apply (.= #‡e1);
 114     apply (.= #‡(Ocommute ?? b'));
 115     apply rule (.= ASSOC^-1);
 116     apply (.= e‡#);
 117     apply rule (.= ASSOC);
 118     apply (.= #‡(Ocommute ?? b')^-1);
 119     apply rule (ASSOC^-1);
 120 qed.
 121
 122 definition Orelation_pair_composition_morphism:
 123  ∀o1,o2,o3. binary_morphism2 (Orelation_pair_setoid o1 o2) (Orelation_pair_setoid o2 o3) (Orelation_pair_setoid o1 o3).
 124 intros; constructor 1;
 125 [ apply Orelation_pair_composition;
 126 | apply Orelation_pair_composition_is_morphism;]
 127 qed.
 128
 129 lemma Orelation_pair_composition_morphism_assoc:
 130 ∀o1,o2,o3,o4:Obasic_pair
 131    .Πa12:Orelation_pair_setoid o1 o2
 132     .Πa23:Orelation_pair_setoid o2 o3
 133      .Πa34:Orelation_pair_setoid o3 o4
 134       .Orelation_pair_composition_morphism o1 o3 o4
 135        (Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o3 a12 a23) a34
 136        =Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o4 a12
 137         (Orelation_pair_composition_morphism o2 o3 o4 a23 a34).
 138    intros;
 139     change with (⊩ ∘ (a34\sub\c ∘ (a23\sub\c ∘ a12\sub\c)) =
 140                  ⊩ ∘ ((a34\sub\c ∘ a23\sub\c) ∘ a12\sub\c));
 141     apply rule (ASSOC‡#);
 142 qed.
 143
 144 lemma Orelation_pair_composition_morphism_respects_id:
 145 Πo1:Obasic_pair
 146 .Πo2:Obasic_pair
 147  .Πa:Orelation_pair_setoid o1 o2
 148   .Orelation_pair_composition_morphism o1 o1 o2 (Oid_relation_pair o1) a=a.
 149    intros;
 150     change with (⊩ ∘ (a\sub\c ∘ (Oid_relation_pair o1)\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 151     apply ((id_neutral_right2 ????)‡#);
 152 qed.
 153
 154 lemma Orelation_pair_composition_morphism_respects_id_r:
 155 Πo1:Obasic_pair
 156 .Πo2:Obasic_pair
 157  .Πa:Orelation_pair_setoid o1 o2
 158   .Orelation_pair_composition_morphism o1 o2 o2 a (Oid_relation_pair o2)=a.
 159 intros;
 160     change with (⊩ ∘ ((Oid_relation_pair o2)\sub\c ∘ a\sub\c) = ⊩ ∘ a\sub\c);
 161     apply ((id_neutral_left2 ????)‡#);
 162 qed.
 163
 164 definition OBP: category2.
 165  constructor 1;
 166   [ apply Obasic_pair
 167   | apply Orelation_pair_setoid
 168   | apply Oid_relation_pair
 169   | apply Orelation_pair_composition_morphism
 170   | apply Orelation_pair_composition_morphism_assoc;
 171   | apply Orelation_pair_composition_morphism_respects_id;
 172   | apply Orelation_pair_composition_morphism_respects_id_r;]
 173 qed.
 174
 175 definition Obasic_pair_of_objs2_OBP: objs2 OBP → Obasic_pair ≝ λx.x.
 176 coercion Obasic_pair_of_objs2_OBP.
 177
 178 definition Orelation_pair_setoid_of_arrows2_OBP:
 179   ∀P,Q.arrows2 OBP P Q → Orelation_pair_setoid P Q ≝ λP,Q,c.c.
 180 coercion Orelation_pair_setoid_of_arrows2_OBP.
 181
 182 notation > "B ⇒_\obp2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OBP $B $C}.
 183 notation "B ⇒\sub (\obp 2) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OBP $B $C}.
 184 interpretation "'arrows2_OBP" 'arrows2_OBP A B = (arrows2 OBP A B).
 185
 186 (*
 187 definition BPext: ∀o: BP. form o ⇒ Ω \sup (concr o).
 188  intros; constructor 1;
 189   [ apply (ext ? ? (rel o));
 190   | intros;
 191     apply (.= #‡H);
 192     apply refl1]
 193 qed.
 194
 195 definition BPextS: ∀o: BP. Ω \sup (form o) ⇒ Ω \sup (concr o) ≝
 196  λo.extS ?? (rel o).
 197 *)
 198
 199 (*
 200 definition fintersects: ∀o: BP. binary_morphism1 (form o) (form o) (Ω \sup (form o)).
 201  intros (o); constructor 1;
 202   [ apply (λa,b: form o.{c | BPext o c ⊆ BPext o a ∩ BPext o b });
 203     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 204   | intros; split; simplify; intros;
 205      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 206      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 207 qed.
 208
 209 interpretation "fintersects" 'fintersects U V = (fun1 ??? (fintersects ?) U V).
 210
 211 definition fintersectsS:
 212  ∀o:BP. binary_morphism1 (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)) (Ω \sup (form o)).
 213  intros (o); constructor 1;
 214   [ apply (λo: basic_pair.λa,b: Ω \sup (form o).{c | BPext o c ⊆ BPextS o a ∩ BPextS o b });
 215     intros; simplify; apply (.= (†H)‡#); apply refl1
 216   | intros; split; simplify; intros;
 217      [ apply (. #‡((†H)‡(†H1))); assumption
 218      | apply (. #‡((†H\sup -1)‡(†H1\sup -1))); assumption]]
 219 qed.
 220
 221 interpretation "fintersectsS" 'fintersects U V = (fun1 ??? (fintersectsS ?) U V).
 222 *)
 223
 224 (*
 225 definition relS: ∀o: BP. binary_morphism1 (concr o) (Ω \sup (form o)) CPROP.
 226  intros (o); constructor 1;
 227   [ apply (λx:concr o.λS: Ω \sup (form o).∃y: form o.y ∈ S ∧ x ⊩ y);
 228   | intros; split; intros; cases H2; exists [1,3: apply w]
 229      [ apply (. (#‡H1)‡(H‡#)); assumption
 230      | apply (. (#‡H1 \sup -1)‡(H \sup -1‡#)); assumption]]
 231 qed.
 232
 233 interpretation "basic pair relation for subsets" 'Vdash2 x y = (fun1 (concr ?) ?? (relS ?) x y).
 234 interpretation "basic pair relation for subsets (non applied)" 'Vdash = (fun1 ??? (relS ?)).
 235 *)
 236
 237 notation "□ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
 238 notation > "□⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'box $b}.
 239 interpretation "Universal image ⊩⎻*" 'box x = (fun12 ? ? (or_f_minus_star ? ?) (Orel x)).
 240
 241 notation "◊ \sub b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
 242 notation > "◊⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'diamond $b}.
 243 interpretation "Existential image ⊩" 'diamond x = (fun12 ? ? (or_f ? ?) (Orel x)).
 244
 245 notation "'Rest' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
 246 notation > "'Rest'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'rest $b}.
 247 interpretation "Universal pre-image ⊩*" 'rest x = (fun12 ? ? (or_f_star ? ?) (Orel x)).
 248
 249 notation "'Ext' \sub b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
 250 notation > "'Ext'⎽term 90 b" non associative with precedence 90 for @{'ext $b}.
 251 interpretation "Existential pre-image ⊩⎻" 'ext x = (fun12 ? ? (or_f_minus ? ?) (Orel x)).