helm/software/matita/library/formal_topology/o-basic_topologies.ma

   1  (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/o-algebra.ma".
  16 include "formal_topology/o-saturations.ma".
  17
  18 record Obasic_topology: Type2 ≝ {
  19    Ocarrbt:> OA;
  20    oA: Ocarrbt ⇒_2 Ocarrbt; oJ: Ocarrbt ⇒_2 Ocarrbt;
  21    oA_is_saturation: is_o_saturation ? oA; oJ_is_reduction: is_o_reduction ? oJ;
  22    Ocompatibility: ∀U,V. (oA U >< oJ V) =_1 (U >< oJ V)
  23  }.
  24
  25 record Ocontinuous_relation (S,T: Obasic_topology) : Type2 ≝ {
  26    Ocont_rel:> arrows2 OA S T;
  27    Oreduced: ∀U:S. U = oJ ? U → Ocont_rel U =_1 oJ ? (Ocont_rel U);
  28    Osaturated: ∀U:S. U = oA ? U → Ocont_rel⎻* U =_1 oA ? (Ocont_rel⎻* U)
  29  }.
  30
  31 definition Ocontinuous_relation_setoid: Obasic_topology → Obasic_topology → setoid2.
  32  intros (S T); constructor 1;
  33   [ apply (Ocontinuous_relation S T)
  34   | constructor 1;
  35      [ alias symbol "eq" = "setoid2 eq".
  36        alias symbol "compose" = "category2 composition".
  37        apply (λr,s:Ocontinuous_relation S T. (r⎻* ) ∘ (oA S) = (s⎻* ∘ (oA ?)));
  38      | simplify; intros; apply refl2;
  39      | simplify; intros; apply sym2; apply e
  40      | simplify; intros; apply trans2; [2: apply e |3: apply e1; |1: skip]]]
  41 qed.
  42
  43 definition Ocontinuous_relation_of_Ocontinuous_relation_setoid:
  44   ∀P,Q. Ocontinuous_relation_setoid P Q → Ocontinuous_relation P Q ≝ λP,Q,c.c.
  45 coercion Ocontinuous_relation_of_Ocontinuous_relation_setoid.
  46
  47 (*
  48 theorem continuous_relation_eq':
  49  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  50   a = a' → ∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X).
  51  intros; apply oa_leq_antisym; intro; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  52   [ cut (ext ?? a a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  53     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  54     cut (A ? (ext ?? a' a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)‡#); assumption]
  55     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  56     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a' a1); split; simplify;
  57      [ apply I | assumption ]
  58   | cut (ext ?? a' a1 ⊆ A ? X); [2: intros 2; apply (H1 a2); cases f1; assumption;]
  59     lapply (if ?? (A_is_saturation ???) Hcut); clear Hcut;
  60     cut (A ? (ext ?? a a1) ⊆ A ? X); [2: apply (. (H ?)\sup -1‡#); assumption]
  61     lapply (fi ?? (A_is_saturation ???) Hcut);
  62     apply (Hletin1 x); change with (x ∈ ext ?? a a1); split; simplify;
  63      [ apply I | assumption ]]
  64 qed.
  65
  66 theorem continuous_relation_eq_inv':
  67  ∀o1,o2.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  68   (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) → a=a'.
  69  intros 6;
  70  cut (∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
  71   (∀X.a⎻* (A o1 X) = a'⎻* (A o1 X)) →
  72    ∀V:(oa_P (carrbt o2)). A o1 (a'⎻ V) ≤ A o1 (a⎻ V));
  73   [2: clear b H a' a; intros;
  74       lapply depth=0 (λV.saturation_expansive ??? (extS ?? a V)); [2: apply A_is_saturation;|skip]
  75        (* fundamental adjunction here! to be taken out *)
  76        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a (A ? (extS ?? a V)));
  77         [2: intro; intros 2; unfold minus_star_image; simplify; intros;
  78             apply (Hletin V1 x); whd; split; [ exact I | exists; [apply a1] split; assumption]]
  79        clear Hletin;
  80        cut (∀V:Ω \sup o2.V ⊆ minus_star_image ?? a' (A ? (extS ?? a V)));
  81         [2: intro; apply (. #‡(H ?)); apply Hcut] clear H Hcut;
  82        (* second half of the fundamental adjunction here! to be taken out too *)
  83       intro; lapply (Hcut1 (singleton ? V)); clear Hcut1;
  84       unfold minus_star_image in Hletin; unfold singleton in Hletin; simplify in Hletin;
  85       whd in Hletin; whd in Hletin:(?→?→%); simplify in Hletin;
  86       apply (if ?? (A_is_saturation ???));
  87       intros 2 (x H); lapply (Hletin V ? x ?);
  88        [ apply refl | cases H; assumption; ]
  89       change with (x ∈ A ? (ext ?? a V));
  90       apply (. #‡(†(extS_singleton ????)));
  91       assumption;]
  92  split; apply Hcut; [2: assumption | intro; apply sym1; apply H]
  93 qed.
  94 *)
  95
  96 definition Ocontinuous_relation_comp:
  97  ∀o1,o2,o3.
  98   Ocontinuous_relation_setoid o1 o2 →
  99    Ocontinuous_relation_setoid o2 o3 →
 100     Ocontinuous_relation_setoid o1 o3.
 101  intros (o1 o2 o3 r s); constructor 1;
 102   [ apply (s ∘ r);
 103   | intros;
 104     apply sym1;
 105     change in match ((s ∘ r) U) with (s (r U));
 106     apply (.= (Oreduced : ?)^-1);
 107      [ apply (.= (Oreduced :?)); [ assumption | apply refl1 ]
 108      | apply refl1]
 109   | intros;
 110     apply sym1;
 111     change in match ((s ∘ r)⎻* U) with (s⎻* (r⎻* U));
 112     apply (.= (Osaturated : ?)^-1);
 113      [ apply (.= (Osaturated : ?)); [ assumption | apply refl1 ]
 114      | apply refl1]]
 115 qed.
 116
 117 definition OBTop: category2.
 118  constructor 1;
 119   [ apply Obasic_topology
 120   | apply Ocontinuous_relation_setoid
 121   | intro; constructor 1;
 122      [ apply id2
 123      | intros; apply e;
 124      | intros; apply e;]
 125   | intros; constructor 1;
 126      [ apply Ocontinuous_relation_comp;
 127      | intros; simplify;
 128        change with ((b⎻* ∘ a⎻* ) ∘ oA o1 = ((b'⎻* ∘ a'⎻* ) ∘ oA o1));
 129        change with (b⎻* ∘ (a⎻* ∘ oA o1) = b'⎻* ∘ (a'⎻* ∘ oA o1));
 130        change in e with (a⎻* ∘ oA o1 = a'⎻* ∘ oA o1);
 131        change in e1 with (b⎻* ∘ oA o2 = b'⎻* ∘ oA o2);
 132        apply (.= e‡#);
 133        intro x;
 134        change with (b⎻* (a'⎻* (oA o1 x)) =_1 b'⎻*(a'⎻* (oA o1 x)));
 135        apply (.= †(Osaturated o1 o2 a' (oA o1 x) ?)); [
 136          apply ((o_saturation_idempotent ?? (oA_is_saturation o1) x)^-1);]
 137        apply (.= (e1 (a'⎻* (oA o1 x))));
 138        change with (b'⎻* (oA o2 (a'⎻* (oA o1 x))) =_1 b'⎻*(a'⎻* (oA o1 x)));
 139        apply (.= †(Osaturated o1 o2 a' (oA o1 x):?)^-1); [
 140          apply ((o_saturation_idempotent ?? (oA_is_saturation o1) x)^-1);]
 141        apply rule #;]
 142   | intros; simplify;
 143     change with (((a34⎻* ∘ a23⎻* ) ∘ a12⎻* ) ∘ oA o1 = ((a34⎻* ∘ (a23⎻* ∘ a12⎻* )) ∘ oA o1));
 144     apply rule (#‡ASSOC ^ -1);
 145   | intros; simplify;
 146     change with ((a⎻* ∘ (id2 ? o1)⎻* ) ∘ oA o1 = a⎻* ∘ oA o1);
 147     apply (#‡(id_neutral_right2 : ?));
 148   | intros; simplify;
 149     change with (((id2 ? o2)⎻* ∘ a⎻* ) ∘ oA o1 = a⎻* ∘ oA o1);
 150     apply (#‡(id_neutral_left2 : ?));]
 151 qed.
 152
 153 definition Obasic_topology_of_OBTop: objs2 OBTop → Obasic_topology ≝ λx.x.
 154 coercion Obasic_topology_of_OBTop.
 155
 156 definition Ocontinuous_relation_setoid_of_arrows2_OBTop :
 157   ∀P,Q. arrows2 OBTop P Q → Ocontinuous_relation_setoid P Q ≝ λP,Q,x.x.
 158 coercion Ocontinuous_relation_setoid_of_arrows2_OBTop.
 159
 160 notation > "B ⇒_\obt2 C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OBT $B $C}.
 161 notation "B ⇒\sub (\obt 2) C" right associative with precedence 72 for @{'arrows2_OBT $B $C}.
 162 interpretation "'arrows2_OBT" 'arrows2_OBT A B = (arrows2 OBTop A B).
 163
 164
 165 (*
 166 (*CSC: unused! *)
 167 (* this proof is more logic-oriented than set/lattice oriented *)
 168 theorem continuous_relation_eqS:
 169  ∀o1,o2:basic_topology.∀a,a': continuous_relation_setoid o1 o2.
 170   a = a' → ∀X. A ? (extS ?? a X) = A ? (extS ?? a' X).
 171  intros;
 172  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?.∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2.y ∈ X ∧ x ∈ ext ?? a y);
 173   [2: intros; cases f; clear f; cases H1; exists [apply w] cases x1; split;
 174       try assumption; split; assumption]
 175  cut (∀a,a':continuous_relation_setoid o1 o2.eq1 ? a a' → ∀x. x ∈ extS ?? a X → ∃y:o2. y ∈ X ∧ x ∈ A ? (ext ?? a' y));
 176   [2: intros; cases (Hcut ?? f); exists; [apply w] cases x1; split; try assumption;
 177       apply (. #‡(H1 ?));
 178       apply (saturation_expansive ?? (A_is_saturation o1) (ext ?? a1 w) x);
 179       assumption;] clear Hcut;
 180  split; apply (if ?? (A_is_saturation ???)); intros 2;
 181   [lapply (Hcut1 a a' H a1 f) | lapply (Hcut1 a' a (H \sup -1) a1 f)]
 182   cases Hletin; clear Hletin; cases x; clear x;
 183  cut (∀a: arrows1 ? o1 ?. ext ?? a w ⊆ extS ?? a X);
 184   [2,4: intros 3; cases f3; clear f3; simplify in f5; split; try assumption;
 185       exists [1,3: apply w] split; assumption;]
 186  cut (∀a. A ? (ext o1 o2 a w) ⊆ A ? (extS o1 o2 a X));
 187   [2,4: intros; apply saturation_monotone; try (apply A_is_saturation); apply Hcut;]
 188  apply Hcut2; assumption.
 189 qed.
 190 *)