helm/software/matita/library/formal_topology/relations_to_o-algebra.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "formal_topology/relations.ma".
  16 include "formal_topology/o-algebra.ma".
  17
  18 definition POW': objs1 SET → OAlgebra.
  19  intro A; constructor 1;
  20   [ apply (Ω^A);
  21   | apply subseteq;
  22   | apply overlaps;
  23   | apply big_intersects;
  24   | apply big_union;
  25   | apply ({x | True});
  26     simplify; intros; apply (refl1 ? (eq1 CPROP));
  27   | apply ({x | False});
  28     simplify; intros; apply (refl1 ? (eq1 CPROP));
  29   | intros; whd; intros; assumption
  30   | intros; whd; split; assumption
  31   | intros; apply transitive_subseteq_operator; [2: apply f; | skip | assumption]
  32   | intros; cases f; exists [apply w] assumption
  33   | intros; split; [ intros 4; apply (f ? f1 i); | intros 3; intro; apply (f i ? f1); ]
  34   | intros; split;
  35      [ intros 4; apply f; exists; [apply i] assumption;
  36      | intros 3; intros; cases f1; apply (f w a x); ]
  37   | intros 3; cases f;
  38   | intros 3; constructor 1;
  39   | intros; cases f; exists; [apply w]
  40      [ assumption
  41      | whd; intros; cases i; simplify; assumption]
  42   | intros; split; intro;
  43      [ (** screenshot "screen-pow". *) cases f; cases x1; exists [apply w1] exists [apply w] assumption;
  44      | cases e; cases x; exists; [apply w1] [ assumption | exists; [apply w] assumption]]
  45   | intros; intros 2; cases (f {(a)} ?);
  46      [ exists; [apply a] [assumption | change with (a = a); apply refl1;]
  47      | change in x1 with (a = w); change with (mem A a q); apply (. (x1‡#));
  48        assumption]]
  49 qed.
  50
  51 definition powerset_of_POW': ∀A.oa_P (POW' A) → Ω^A ≝ λA,x.x.
  52 coercion powerset_of_POW'.
  53
  54 definition orelation_of_relation: ∀o1,o2:REL. o1 ⇒_\r1 o2 → (POW' o1) ⇒_\o2 (POW' o2).
  55  intros;
  56  constructor 1;
  57   [ apply rule c;
  58   | apply rule (c⎻* );
  59   | apply rule (c* );
  60   | apply rule (c⎻);
  61   | intros; split; intro;
  62      [ intros 2; intros 2; apply (f y); exists[apply a] split; assumption;
  63      | intros 2; change with (a ∈ q); cases f1; cases x; clear f1 x;
  64        apply (f w f3); assumption; ]
  65   | unfold foo; intros; split; intro;
  66      [ intros 2; intros 2; apply (f x); exists [apply a] split; assumption;
  67      | intros 2; change with (a ∈ q); cases f1; cases x; apply (f w f3); assumption;]
  68   | intros; split; unfold foo; unfold image_coercion; simplify; intro; cases f; clear f;
  69      [ cases x; cases x2; clear x x2; exists; [apply w1]
  70         [ assumption | exists; [apply w] split; assumption]
  71      | cases x1; cases x2; clear x1 x2; exists; [apply w1]
  72         [ exists; [apply w] split; assumption;
  73         | assumption; ]]]
  74 qed.
  75
  76 lemma orelation_of_relation_preserves_equality:
  77  ∀o1,o2:REL.∀t,t': o1 ⇒_\r1 o2.
  78    t = t' → orelation_of_relation ?? t =_2 orelation_of_relation ?? t'.
  79  intros; split; unfold orelation_of_relation; unfold foo; simplify;
  80  change in e with (t =_2 t'); unfold image_coercion; apply (†e);
  81 qed.
  82
  83 lemma minus_image_id : ∀o:REL.((id1 REL o))⎻ =_1 (id2 SET1 Ω^o).
  84 unfold foo; intro o; intro; unfold minus_image; simplify; split; simplify; intros;
  85 [ cases e; cases x; change with (a1 ∈ a); change in f with (a1 =_1 w);
  86   apply (. f‡#); assumption;
  87 | change in f with (a1 ∈ a); exists [ apply a1] split; try assumption;
  88   change with (a1 =_1 a1); apply refl1;]
  89 qed.
  90
  91 lemma star_image_id : ∀o:REL.  ((id1 REL o))* =_1 (id2 SET1 Ω^o).
  92 unfold foo; intro o; intro; unfold star_image; simplify; split; simplify; intros;
  93 [ change with (a1 ∈ a); apply f; change with (a1 =_1 a1); apply rule refl1;
  94 | change in f1 with (a1 =_1 y); apply (. f1^-1‡#); apply f;]
  95 qed.
  96
  97 lemma orelation_of_relation_preserves_identity:
  98  ∀o1:REL. orelation_of_relation ?? (id1 ? o1) =_2 id2 OA (POW' o1).
  99  intros; split;
 100  (unfold orelation_of_relation; unfold OA; unfold foo; simplify);
 101  [ apply (minus_star_image_id o1);
 102  | apply (minus_image_id o1);
 103  | apply (image_id o1);
 104  | apply (star_image_id o1) ]
 105 qed.
 106
 107 (*
 108   split; whd; intro;
 109   [ change with ((∀x. x ♮(id1 REL o1) a1→x∈a) → a1 ∈ a); intros;
 110     apply (f a1); change with (a1 = a1); apply refl1;
 111   | change with (a1 ∈ a → ∀x. x ♮(id1 REL o1) a1→x∈a); intros;
 112     change in f1 with (x = a1); apply (. f1‡#); apply f;
 113   | alias symbol "and" = "and_morphism".
 114     change with ((∃y:o1.a1 ♮(id1 REL o1) y ∧ y∈a) → a1 ∈ a);
 115     intro; cases e; clear e; cases x; clear x; change in f with (a1=w);
 116     apply (. f‡#); apply f1;
 117   | change with (a1 ∈ a → ∃y:o1.a1 ♮(id1 REL o1) y ∧ y∈a);
 118     intro; exists; [apply a1]; split; [ change with (a1=a1); apply refl1; | apply f]
 119   | change with ((∃x:o1.x ♮(id1 REL o1) a1∧x∈a) → a1 ∈ a);
 120     intro; cases e; clear e; cases x; clear x; change in f with (w=a1);
 121     apply (. f^-1‡#); apply f1;
 122   | change with (a1 ∈ a → ∃x:o1.x ♮(id1 REL o1) a1∧x∈a);
 123     intro; exists; [apply a1]; split; [ change with (a1=a1); apply refl1; | apply f]
 124   | change with ((∀y.a1 ♮(id1 REL o1) y→y∈a) → a1 ∈ a); intros;
 125     apply (f a1); change with (a1 = a1); apply refl1;
 126   | change with (a1 ∈ a → ∀y.a1 ♮(id1 REL o1) y→y∈a); intros;
 127     change in f1 with (a1 = y); apply (. f1^-1‡#); apply f;]
 128 qed.
 129 *)
 130
 131 (* CSC: ???? forse un uncertain mancato *)
 132 alias symbol "eq" = "setoid2 eq".
 133 alias symbol "compose" = "category1 composition".
 134 lemma orelation_of_relation_preserves_composition:
 135  ∀o1,o2,o3:REL.∀F: o1 ⇒_\r1 o2.∀G: o2 ⇒_\r1 o3.
 136   orelation_of_relation ?? (G ∘ F) =
 137   comp2 OA ??? (orelation_of_relation ?? F) (orelation_of_relation ?? G).
 138  intros; split; intro; split; whd; intro; whd in ⊢ (% → %); intros;
 139   [ whd; intros; apply f; exists; [ apply x] split; assumption;
 140   | cases f1; clear f1; cases x1; clear x1; apply (f w); assumption;
 141   | cases e; cases x; cases f; cases x1; clear e x f x1; exists; [ apply w1 ]
 142     split; [ assumption | exists; [apply w] split; assumption ]
 143   | cases e; cases x; cases f1; cases x1; clear e x f1 x1; exists; [apply w1 ]
 144     split; [ exists; [apply w] split; assumption | assumption ]
 145   | unfold arrows1_of_ORelation_setoid;
 146     cases e; cases x; cases f; cases x1; clear e x f x1; exists; [ apply w1 ]
 147     split; [ assumption | exists; [apply w] split; assumption ]
 148   | unfold arrows1_of_ORelation_setoid in e;
 149     cases e; cases x; cases f1; cases x1; clear e x f1 x1; exists; [apply w1 ]
 150     split; [ exists; [apply w] split; assumption | assumption ]
 151   | whd; intros; apply f; exists; [ apply y] split; assumption;
 152   | cases f1; clear f1; cases x; clear x; apply (f w); assumption;]
 153 qed.
 154
 155 definition POW: carr3 (arrows3 CAT2 (category2_of_category1 REL) OA).
 156  constructor 1;
 157   [ apply POW';
 158   | intros; constructor 1;
 159      [ apply (orelation_of_relation S T);
 160      | intros; apply (orelation_of_relation_preserves_equality S T a a' e); ]
 161   | apply orelation_of_relation_preserves_identity;
 162   | apply orelation_of_relation_preserves_composition; ]
 163 qed.
 164
 165 theorem POW_faithful: faithful2 ?? POW.
 166  intros 5; unfold POW in e; simplify in e; cases e;
 167  unfold orelation_of_relation in e3; simplify in e3; clear e e1 e2 e4;
 168  intros 2; simplify; unfold image_coercion in e3; cases (e3 {(x)});
 169  split; intro; [ lapply (s y); | lapply (s1 y); ]
 170   [2,4: exists; [1,3:apply x] split; [1,3: assumption |*: change with (x=x); apply rule #]
 171   |*: cases Hletin; cases x1; change in f3 with (x =_1 w); apply (. f3‡#); assumption;]
 172 qed.
 173
 174
 175 (*
 176 lemma currify: ∀A,B,C. (A × B ⇒_1 C) → A → (B ⇒_1 C).
 177 intros; constructor 1; [ apply (b c); | intros; apply (#‡e);]
 178 qed.
 179 *)
 180
 181 include "formal_topology/notation.ma".
 182
 183 theorem POW_full: full2 ?? POW.
 184  intros 3 (S T); exists;
 185   [ constructor 1; constructor 1;
 186      [ apply (λx:carr S.λy:carr T. y ∈ f {(x)});
 187      | apply hide; intros; unfold FunClass_1_OF_carr2; lapply (.= e1‡#);
 188         [4: apply mem; |6: apply Hletin;|1,2,3,5: skip]
 189        lapply (#‡prop11 ?? f ?? (†e)); [6: apply Hletin; |*:skip ]]
 190      | (split; intro; split; simplify);
 191            [ change with (∀a1.(∀x. a1 ∈ (f {(x):S}) → x ∈ a) → a1 ∈ f⎻* a);
 192            | change with (∀a1.a1 ∈ f⎻* a → (∀x.a1 ∈ f {(x):S} → x ∈ a));
 193            | alias symbol "and" (instance 4) = "and_morphism".
 194 change with (∀a1.(∃y:carr T. y ∈ f {(a1):S} ∧ y ∈ a) → a1 ∈ f⎻ a);
 195            | alias symbol "and" (instance 2) = "and_morphism".
 196 change with (∀a1.a1 ∈ f⎻ a → (∃y:carr T.y ∈ f {(a1):S} ∧ y ∈ a));
 197            | alias symbol "and" (instance 3) = "and_morphism".
 198 change with (∀a1.(∃x:carr S. a1 ∈ f {(x):S} ∧ x ∈ a) → a1 ∈ f a);
 199            | change with (∀a1.a1 ∈. f a → (∃x:carr S. a1 ∈ f {(x):S} ∧ x ∈ a));
 200            | change with (∀a1.(∀y. y ∈ f {(a1):S} → y ∈ a) → a1 ∈ f* a);
 201            | change with (∀a1.a1 ∈ f* a → (∀y. y ∈ f {(a1):S} → y ∈ a)); ]
 202         [ intros; apply ((. (or_prop2 ?? f (singleton ? a1) a)^-1) ? a1);
 203            [ intros 2; apply (f1 a2); change in f2 with (a2 ∈ f⎻ (singleton ? a1));
 204              lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? a2) (singleton ? a1)));
 205               [ cases Hletin; change in x1 with (eq1 ? a1 w);
 206                 apply (. x1‡#); assumption;
 207               | exists; [apply a2] [change with (a2=a2); apply rule #; | assumption]]
 208            | change with (a1 = a1); apply rule #; ]
 209         | intros; apply ((. (or_prop2 ?? f (singleton ? a1) a)) ? x);
 210            [ intros 2; change in f3 with (eq1 ? a1 a2); change with (a2 ∈ f⎻* a); apply (. f3^-1‡#);
 211              assumption;
 212            | lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? x) (singleton ? a1))^-1);
 213               [ cases Hletin; change in x1 with (eq1 ? x w);
 214                 change with (x ∈ f⎻ (singleton ? a1)); apply (. x1‡#); assumption;
 215               | exists; [apply a1] [assumption | change with (a1=a1); apply rule #; ]]]
 216         | intros; cases e; cases x; clear e x;
 217           lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? a1) a)^-1);
 218            [ cases Hletin; change in x with (eq1 ? a1 w1); apply (. x‡#); assumption;
 219            | exists; [apply w] assumption ]
 220         | intros; lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? a1) a));
 221            [ cases Hletin; exists; [apply w] split; assumption;
 222            | exists; [apply a1] [change with (a1=a1); apply rule #; | assumption ]]
 223         | intros; cases e; cases x; clear e x;
 224           apply (f_image_monotone ?? f (singleton ? w) a ? a1);
 225            [ intros 2; change in f3 with (eq1 ? w a2); change with (a2 ∈ a);
 226              apply (. f3^-1‡#); assumption;
 227            | assumption; ]
 228         | intros; lapply (. (or_prop3 ?? f a (singleton ? a1))^-1);
 229            [ cases Hletin; exists; [apply w] split;
 230               [ lapply (. (or_prop3 ?? f (singleton ? w) (singleton ? a1)));
 231                  [ cases Hletin1; change in x3 with (eq1 ? a1 w1); apply (. x3‡#); assumption;
 232                  | exists; [apply w] [change with (w=w); apply rule #; | assumption ]]
 233               | assumption ]
 234            | exists; [apply a1] [ assumption; | change with (a1=a1); apply rule #;]]
 235         | intros; apply ((. (or_prop1 ?? f (singleton ? a1) a)^-1) ? a1);
 236            [ apply f1; | change with (a1=a1); apply rule #; ]
 237         | intros; apply ((. (or_prop1 ?? f (singleton ? a1) a)) ? y);
 238            [ intros 2; change in f3 with (eq1 ? a1 a2); change with (a2 ∈ f* a);
 239              apply (. f3^-1‡#); assumption;
 240            | assumption ]]]
 241 qed.