helm/software/matita/library/higher_order_defs/relations.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/connectives.ma".
  16
  17 definition relation : Type \to Type
  18 \def \lambda A:Type.A \to A \to Prop.
  19
  20 definition reflexive: \forall A:Type.\forall R :relation A.Prop
  21 \def
  22 \lambda A.\lambda R.\forall x:A.R x x.
  23
  24 definition symmetric: \forall A:Type.\forall R: relation A.Prop
  25 \def
  26 \lambda A.\lambda R.\forall x,y:A.R x y \to R y x.
  27
  28 definition transitive: \forall A:Type.\forall R:relation A.Prop
  29 \def
  30 \lambda A.\lambda R.\forall x,y,z:A.R x y \to R y z \to R x z.
  31
  32 definition irreflexive: \forall A:Type.\forall R:relation A.Prop
  33 \def
  34 \lambda A.\lambda R.\forall x:A.\lnot (R x x).
  35
  36 definition cotransitive: \forall A:Type.\forall R:relation A.Prop
  37 \def
  38 \lambda A.\lambda R.\forall x,y:A.R x y \to \forall z:A. R x z \lor R z y.
  39
  40 definition tight_apart: \forall A:Type.\forall eq,ap:relation A.Prop
  41 \def
  42 \lambda A.\lambda eq,ap.\forall x,y:A. (\not (ap x y) \to eq x y) \land
  43 (eq x y \to \not (ap x y)).
  44
  45 definition antisymmetric: \forall A:Type.\forall R:relation A.Prop
  46 \def
  47 \lambda A.\lambda R.\forall x,y:A. R x y \to \not (R y x).
  48
  49