helm/software/matita/library/nat/div_and_mod.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "datatypes/constructors.ma".
  16 include "nat/minus.ma".
  17
  18 let rec mod_aux p m n: nat \def
  19 match (leb m n) with
  20 [ true \Rightarrow m
  21 | false \Rightarrow
  22   match p with
  23   [O \Rightarrow m
  24   |(S q) \Rightarrow mod_aux q (m-(S n)) n]].
  25
  26 definition mod : nat \to nat \to nat \def
  27 \lambda n,m.
  28 match m with
  29 [O \Rightarrow n
  30 | (S p) \Rightarrow mod_aux n n p].
  31
  32 interpretation "natural remainder" 'module x y = (mod x y).
  33
  34 let rec div_aux p m n : nat \def
  35 match (leb m n) with
  36 [ true \Rightarrow O
  37 | false \Rightarrow
  38   match p with
  39   [O \Rightarrow O
  40   |(S q) \Rightarrow S (div_aux q (m-(S n)) n)]].
  41
  42 definition div : nat \to nat \to nat \def
  43 \lambda n,m.
  44 match m with
  45 [O \Rightarrow S n
  46 | (S p) \Rightarrow div_aux n n p].
  47
  48 interpretation "natural divide" 'divide x y = (div x y).
  49
  50 theorem le_mod_aux_m_m:
  51 \forall p,n,m. n \leq p \to (mod_aux p n m) \leq m.
  52 intro.elim p.
  53 apply (le_n_O_elim n H (\lambda n.(mod_aux O n m) \leq m)).
  54 simplify.apply le_O_n.
  55 simplify.
  56 apply (leb_elim n1 m).
  57 simplify.intro.assumption.
  58 simplify.intro.apply H.
  59 cut (n1 \leq (S n) \to n1-(S m) \leq n).
  60 apply Hcut.assumption.
  61 elim n1.
  62 simplify.apply le_O_n.
  63 simplify.apply (trans_le ? n2 n).
  64 apply le_minus_m.apply le_S_S_to_le.assumption.
  65 qed.
  66
  67 theorem lt_mod_m_m: \forall n,m. O < m \to (n \mod m) < m.
  68 intros 2.elim m.apply False_ind.
  69 apply (not_le_Sn_O O H).
  70 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_mod_aux_m_m.
  71 apply le_n.
  72 qed.
  73
  74 theorem div_aux_mod_aux: \forall p,n,m:nat.
  75 (n=(div_aux p n m)*(S m) + (mod_aux p n m)).
  76 intro.elim p.
  77 simplify.elim (leb n m).
  78 simplify.apply refl_eq.
  79 simplify.apply refl_eq.
  80 simplify.
  81 apply (leb_elim n1 m).
  82 simplify.intro.apply refl_eq.
  83 simplify.intro.
  84 rewrite > assoc_plus.
  85 elim (H (n1-(S m)) m).
  86 change with (n1=(S m)+(n1-(S m))).
  87 rewrite < sym_plus.
  88 apply plus_minus_m_m.
  89 change with (m < n1).
  90 apply not_le_to_lt.exact H1.
  91 qed.
  92
  93 theorem div_mod: \forall n,m:nat. O < m \to n=(n / m)*m+(n \mod m).
  94 intros 2.elim m.elim (not_le_Sn_O O H).
  95 simplify.
  96 apply div_aux_mod_aux.
  97 qed.
  98
  99 theorem eq_times_div_minus_mod:
 100 \forall a,b:nat. O \lt b \to
 101 (a /b)*b = a - (a \mod b).
 102 intros.
 103 rewrite > (div_mod a b) in \vdash (? ? ? (? % ?))
 104 [ apply (minus_plus_m_m (times (div a b) b) (mod a b))
 105 | assumption
 106 ]
 107 qed.
 108
 109 inductive div_mod_spec (n,m,q,r:nat) : Prop \def
 110 div_mod_spec_intro: r < m \to n=q*m+r \to (div_mod_spec n m q r).
 111
 112 (*
 113 definition div_mod_spec : nat \to nat \to nat \to nat \to Prop \def
 114 \lambda n,m,q,r:nat.r < m \land n=q*m+r).
 115 *)
 116
 117 theorem div_mod_spec_to_not_eq_O: \forall n,m,q,r.(div_mod_spec n m q r) \to m \neq O.
 118 intros 4.unfold Not.intros.elim H.absurd (le (S r) O).
 119 rewrite < H1.assumption.
 120 exact (not_le_Sn_O r).
 121 qed.
 122
 123 theorem div_mod_spec_div_mod:
 124 \forall n,m. O < m \to (div_mod_spec n m (n / m) (n \mod m)).
 125 intros.
 126 apply div_mod_spec_intro.
 127 apply lt_mod_m_m.assumption.
 128 apply div_mod.assumption.
 129 qed.
 130
 131 theorem div_mod_spec_to_eq :\forall a,b,q,r,q1,r1.
 132 (div_mod_spec a b q r) \to (div_mod_spec a b q1 r1) \to
 133 (eq nat q q1).
 134 intros.elim H.elim H1.
 135 apply (nat_compare_elim q q1).intro.
 136 apply False_ind.
 137 cut (eq nat ((q1-q)*b+r1) r).
 138 cut (b \leq (q1-q)*b+r1).
 139 cut (b \leq r).
 140 apply (lt_to_not_le r b H2 Hcut2).
 141 elim Hcut.assumption.
 142 apply (trans_le ? ((q1-q)*b)).
 143 apply le_times_n.
 144 apply le_SO_minus.exact H6.
 145 rewrite < sym_plus.
 146 apply le_plus_n.
 147 rewrite < sym_times.
 148 rewrite > distr_times_minus.
 149 rewrite > plus_minus.
 150 lapply(plus_to_minus ??? H3); demodulate all.
 151 (*
 152 rewrite > sym_times.
 153 rewrite < H5.
 154 rewrite < sym_times.
 155 apply plus_to_minus.
 156 apply H3.
 157 *)
 158 apply le_times_r.
 159 apply lt_to_le.
 160 apply H6.
 161 (* eq case *)
 162 intros.assumption.
 163 (* the following case is symmetric *)
 164 intro.
 165 apply False_ind.
 166 cut (eq nat ((q-q1)*b+r) r1).
 167 cut (b \leq (q-q1)*b+r).
 168 cut (b \leq r1).
 169 apply (lt_to_not_le r1 b H4 Hcut2).
 170 elim Hcut.assumption.
 171 apply (trans_le ? ((q-q1)*b)).
 172 apply le_times_n.
 173 apply le_SO_minus.exact H6.
 174 rewrite < sym_plus.
 175 apply le_plus_n.
 176 rewrite < sym_times.
 177 rewrite > distr_times_minus.
 178 rewrite > plus_minus.
 179 rewrite > sym_times.
 180 rewrite < H3.
 181 rewrite < sym_times.
 182 apply plus_to_minus.
 183 apply H5.
 184 apply le_times_r.
 185 apply lt_to_le.
 186 apply H6.
 187 qed.
 188
 189 theorem div_mod_spec_to_eq2 :\forall a,b,q,r,q1,r1.
 190 (div_mod_spec a b q r) \to (div_mod_spec a b q1 r1) \to
 191 (eq nat r r1).
 192 intros.elim H.elim H1.
 193 apply (inj_plus_r (q*b)).
 194 rewrite < H3.
 195 rewrite > (div_mod_spec_to_eq a b q r q1 r1 H H1).
 196 assumption.
 197 qed.
 198
 199 theorem div_mod_spec_times : \forall n,m:nat.div_mod_spec ((S n)*m) (S n) m O.
 200 intros.constructor 1.
 201 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n. demodulate. reflexivity.
 202 (*rewrite < plus_n_O.rewrite < sym_times.reflexivity.*)
 203 qed.
 204
 205 lemma div_plus_times: \forall m,q,r:nat. r < m \to  (q*m+r)/ m = q.
 206 intros.
 207 apply (div_mod_spec_to_eq (q*m+r) m ? ((q*m+r) \mod m) ? r)
 208   [apply div_mod_spec_div_mod.
 209    apply (le_to_lt_to_lt ? r)
 210     [apply le_O_n|assumption]
 211   |apply div_mod_spec_intro[assumption|reflexivity]
 212   ]
 213 qed.
 214
 215 lemma mod_plus_times: \forall m,q,r:nat. r < m \to  (q*m+r) \mod m = r.
 216 intros.
 217 apply (div_mod_spec_to_eq2 (q*m+r) m ((q*m+r)/ m) ((q*m+r) \mod m) q r)
 218   [apply div_mod_spec_div_mod.
 219    apply (le_to_lt_to_lt ? r)
 220     [apply le_O_n|assumption]
 221   |apply div_mod_spec_intro[assumption|reflexivity]
 222   ]
 223 qed.
 224
 225 (* some properties of div and mod *)
 226 theorem div_times: \forall n,m:nat. ((S n)*m) / (S n) = m.
 227 intros.
 228 apply (div_mod_spec_to_eq ((S n)*m) (S n) ? ? ? O);
 229 [2: apply div_mod_spec_div_mod.
 230     unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 231 |   skip
 232 |   apply div_mod_spec_times
 233 ]
 234 qed.
 235
 236 (*a simple variant of div_times theorem *)
 237 theorem lt_O_to_div_times: \forall a,b:nat. O \lt b \to
 238 a*b/b = a.
 239 intros.
 240 rewrite > sym_times.
 241 rewrite > (S_pred b H).
 242 apply div_times.
 243 qed.
 244
 245 theorem div_n_n: \forall n:nat. O < n \to n / n = S O.
 246 intros.
 247 apply (div_mod_spec_to_eq n n (n / n) (n \mod n) (S O) O).
 248 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
 249 constructor 1.assumption. demodulate. reflexivity. (*
 250 rewrite < plus_n_O.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.*)
 251 qed.
 252
 253 theorem eq_div_O: \forall n,m. n < m \to n / m = O.
 254 intros.
 255 apply (div_mod_spec_to_eq n m (n/m) (n \mod m) O n).
 256 apply div_mod_spec_div_mod.
 257 apply (le_to_lt_to_lt O n m).
 258 apply le_O_n.assumption.
 259 constructor 1.assumption.reflexivity.
 260 qed.
 261
 262 theorem mod_n_n: \forall n:nat. O < n \to n \mod n = O.
 263 intros.
 264 apply (div_mod_spec_to_eq2 n n (n / n) (n \mod n) (S O) O).
 265 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
 266 constructor 1.assumption. demodulate. reflexivity.(*
 267 rewrite < plus_n_O.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.*)
 268 qed.
 269
 270 theorem mod_S: \forall n,m:nat. O < m \to S (n \mod m) < m \to
 271 ((S n) \mod m) = S (n \mod m).
 272 intros.
 273 apply (div_mod_spec_to_eq2 (S n) m ((S n) / m) ((S n) \mod m) (n / m) (S (n \mod m))).
 274 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
 275 constructor 1.assumption.rewrite < plus_n_Sm.
 276 apply eq_f.
 277 apply div_mod.
 278 assumption.
 279 qed.
 280
 281 theorem mod_O_n: \forall n:nat.O \mod n = O.
 282 intro.elim n.simplify.reflexivity.
 283 simplify.reflexivity.
 284 qed.
 285
 286 theorem lt_to_eq_mod:\forall n,m:nat. n < m \to n \mod m = n.
 287 intros.
 288 apply (div_mod_spec_to_eq2 n m (n/m) (n \mod m) O n).
 289 apply div_mod_spec_div_mod.
 290 apply (le_to_lt_to_lt O n m).apply le_O_n.assumption.
 291 constructor 1.
 292 assumption.reflexivity.
 293 qed.
 294
 295 theorem mod_SO: \forall n:nat. mod n (S O) = O.
 296 intro.
 297 apply sym_eq.
 298 apply le_n_O_to_eq.
 299 apply le_S_S_to_le.
 300 apply lt_mod_m_m.
 301 apply le_n.
 302 qed.
 303
 304 theorem div_SO: \forall n:nat. div n (S O) = n.
 305 intro.
 306 rewrite > (div_mod ? (S O)) in \vdash (? ? ? %)
 307   [rewrite > mod_SO.
 308    rewrite < plus_n_O.
 309    apply times_n_SO
 310   |apply le_n
 311   ]
 312 qed.
 313
 314 theorem or_div_mod: \forall n,q. O < q \to
 315 ((S (n \mod q)=q) \land S n = (S (div n q)) * q \lor
 316 ((S (n \mod q)<q) \land S n= (div n q) * q + S (n\mod q))).
 317 intros.
 318 elim (le_to_or_lt_eq ? ? (lt_mod_m_m n q H))
 319   [right.split
 320     [assumption
 321     |rewrite < plus_n_Sm.
 322      apply eq_f.
 323      apply div_mod.
 324      assumption
 325     ]
 326   |left.split
 327     [assumption
 328     |simplify.
 329      rewrite > sym_plus.
 330      rewrite < H1 in ⊢ (? ? ? (? ? %)).
 331      rewrite < plus_n_Sm.
 332      apply eq_f.
 333      apply div_mod.
 334      assumption
 335     ]
 336   ]
 337 qed.
 338
 339 (* injectivity *)
 340 theorem injective_times_r: \forall n:nat.injective nat nat (\lambda m:nat.(S n)*m).
 341 change with (\forall n,p,q:nat.(S n)*p = (S n)*q \to p=q).
 342 intros.
 343 rewrite < (div_times n).
 344 rewrite < (div_times n q).
 345 apply eq_f2.assumption.
 346 reflexivity.
 347 qed.
 348
 349 variant inj_times_r : \forall n,p,q:nat.(S n)*p = (S n)*q \to p=q \def
 350 injective_times_r.
 351
 352 theorem lt_O_to_injective_times_r: \forall n:nat. O < n \to injective nat nat (\lambda m:nat.n*m).
 353 simplify.
 354 intros 4.
 355 apply (lt_O_n_elim n H).intros.
 356 apply (inj_times_r m).assumption.
 357 qed.
 358
 359 variant inj_times_r1:\forall n. O < n \to \forall p,q:nat.n*p = n*q \to p=q
 360 \def lt_O_to_injective_times_r.
 361
 362 theorem injective_times_l: \forall n:nat.injective nat nat (\lambda m:nat.m*(S n)).
 363 simplify.
 364 intros.
 365 apply (inj_times_r n x y).
 366 rewrite < sym_times.
 367 rewrite < (sym_times y).
 368 assumption.
 369 qed.
 370
 371 variant inj_times_l : \forall n,p,q:nat. p*(S n) = q*(S n) \to p=q \def
 372 injective_times_l.
 373
 374 theorem lt_O_to_injective_times_l: \forall n:nat. O < n \to injective nat nat (\lambda m:nat.m*n).
 375 simplify.
 376 intros 4.
 377 apply (lt_O_n_elim n H).intros.
 378 apply (inj_times_l m).assumption.
 379 qed.
 380
 381 variant inj_times_l1:\forall n. O < n \to \forall p,q:nat.p*n = q*n \to p=q
 382 \def lt_O_to_injective_times_l.
 383
 384
 385 (* n_divides computes the pair (div,mod) *)
 386
 387 (* p is just an upper bound, acc is an accumulator *)
 388 let rec n_divides_aux p n m acc \def
 389   match n \mod m with
 390   [ O \Rightarrow
 391     match p with
 392       [ O \Rightarrow pair nat nat acc n
 393       | (S p) \Rightarrow n_divides_aux p (n / m) m (S acc)]
 394   | (S a) \Rightarrow pair nat nat acc n].
 395
 396 (* n_divides n m = <q,r> if m divides n q times, with remainder r *)
 397 definition n_divides \def \lambda n,m:nat.n_divides_aux n n m O.
 398