helm/software/matita/nlibrary/algebra/magmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16
  17 nrecord pre_magma : Type[1] ≝
  18  { carr: Type;
  19    op: carr → carr → carr
  20  }.
  21 (* this is a projection *)
  22 ndefinition carr ≝ λM: pre_magma. match M with [ mk_pre_magma carr _ ⇒ carr ].
  23 ndefinition op ≝
  24  λM: pre_magma. match M return λM. carr M → carr M → carr M with [ mk_pre_magma _ op ⇒ op ].
  25 (* ncoercion carr. *)
  26
  27 nrecord magma (A: pre_magma) : Type[1] ≝
  28  { mcarr: Ω \sup (carr A);
  29    op_closed: ∀x,y. x ∈ mcarr → y ∈ mcarr → op A x y ∈ mcarr
  30  }.
  31 (* this is a projection *)
  32 ndefinition mcarr ≝ λA.λM: magma A. match M with [ mk_magma mcarr _ ⇒ mcarr ].
  33 ndefinition op_closed ≝
  34  λA.λM: magma A.
  35   match M return λM.∀x,y. x ∈ mcarr ? M → y ∈ mcarr ? M → op A x y ∈ mcarr ? M with
  36    [ mk_magma _ opc ⇒ opc ].
  37
  38 nrecord pre_magma_morphism (A,B: pre_magma) : Type ≝
  39  { mmcarr: carr A → carr B;
  40    mmprop: ∀x,y. mmcarr (op ? x y) = op ? (mmcarr x) (mmcarr y)
  41  }.
  42 (* this is a projection *)
  43 ndefinition mmcarr ≝
  44  λA,B.λf: pre_magma_morphism A B. match f with [ mk_pre_magma_morphism f _ ⇒ f ].
  45
  46 nrecord magma_morphism (A) (B) (Ma: magma A) (Mb: magma B) : Type ≝
  47  { mmmcarr: pre_magma_morphism A B;
  48    mmclosed: ∀x. x ∈ mcarr ? Ma → mmcarr ?? mmmcarr x ∈ mcarr ? Mb
  49  }.
  50 (* this is a projection *)
  51 ndefinition mmmcarr ≝
  52  λA,B,Ma,Mb.λf: magma_morphism A B Ma Mb. match f with [ mk_magma_morphism f _ ⇒ f ].
  53 ndefinition mmclosed ≝
  54  λA,B,Ma,Mb.λf: magma_morphism A B Ma Mb.
  55   match f return λf.∀x. x ∈ mcarr ? Ma → mmcarr ?? (mmmcarr ???? f) x ∈ mcarr ? Mb with
  56    [ mk_magma_morphism _ p ⇒ p ].
  57
  58 ndefinition sub_magma ≝
  59  λA.λM1,M2: magma A. ∀x. x ∈ mcarr ? M1 → x ∈ mcarr ? M2.
  60
  61 ndefinition image: ∀A,B. (A → B) → Ω \sup A → Ω \sup B ≝
  62  λA,B,f,Sa. {y | ∃x. x ∈ Sa ∧ f x = y}.
  63
  64 naxiom daemon: False.
  65
  66 ndefinition mm_image:
  67  ∀A,B. ∀Ma: magma A. ∀Mb: magma B. magma_morphism ?? Ma Mb → magma B.
  68  #A; #B; #Ma; #Mb; #f;
  69  napply (mk_magma ???)
  70   [ napply (image ?? (mmcarr ?? (mmmcarr ???? f)) (mcarr ? Ma))
  71   | #x; #y; *; #x0; #Hx0; *; #y0; #Hy0; nwhd;
  72     napply (ex_intro ????)
  73      [ napply (op ? x0 y0)
  74      | nelim daemon ]]
  75 nqed.