helm/software/matita/nlibrary/algebra/magmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16
  17 nrecord magma_type : Type[1] ≝
  18  { mtcarr:> setoid;
  19    op: binary_morphism mtcarr mtcarr mtcarr
  20  }.
  21
  22 nrecord magma (A: magma_type) : Type[1] ≝
  23  { mcarr:> ext_powerclass A;
  24    op_closed: ∀x,y. x ∈ mcarr → y ∈ mcarr → op A x y ∈ mcarr
  25  }.
  26
  27 alias symbol "hint_decl" = "hint_decl_Type2".
  28 unification hint 0 ≔
  29   A : ? ⊢ carr1 (ext_powerclass_setoid A) ≡ ext_powerclass A.
  30
  31 (*
  32 ncoercion mcarr' : ∀A. ∀M: magma A. carr1 (qpowerclass_setoid (mtcarr A))
  33  ≝ λA.λM: magma A.mcarr ? M
  34  on _M: magma ? to carr1 (qpowerclass_setoid (mtcarr ?)).
  35 *)
  36
  37 nrecord magma_morphism_type (A,B: magma_type) : Type[0] ≝
  38  { mmcarr:> unary_morphism A B;
  39    mmprop: ∀x,y:A. mmcarr (op ? x y) = op … (mmcarr x) (mmcarr y)
  40  }.
  41
  42 nrecord magma_morphism (A) (B) (Ma: magma A) (Mb: magma B) : Type[0] ≝
  43  { mmmcarr:> magma_morphism_type A B;
  44    mmclosed: ∀x:A. x ∈ mcarr ? Ma → mmmcarr x ∈ mcarr ? Mb
  45  }.
  46
  47 (*
  48 ndefinition mm_image:
  49  ∀A,B. ∀Ma: magma A. ∀Mb: magma B. magma_morphism … Ma Mb → magma B.
  50  #A; #B; #Ma; #Mb; #f;
  51  napply mk_magma
  52   [ napply (image … f Ma)
  53   | #x; #y; nwhd in ⊢ (% → % → ?); *; #x0; *; #Hx0; #Hx1; *; #y0; *; #Hy0; #Hy1; nwhd;
  54     napply ex_intro
  55      [ napply (op … x0 y0)
  56      | napply conj
  57         [ napply op_closed; nassumption
  58         | nrewrite < Hx1;
  59           nrewrite < Hy1;
  60           napply (mmprop … f)]##]
  61 nqed.
  62
  63 ndefinition mm_counter_image:
  64  ∀A,B. ∀Ma: magma A. ∀Mb: magma B. magma_morphism … Ma Mb → magma A.
  65   #A; #B; #Ma; #Mb; #f;
  66   napply mk_magma
  67    [ napply (counter_image … f Mb)
  68    | #x; #y; nwhd in ⊢ (% → % → ?); *; #x0; *; #Hx0; #Hx1; *; #y0; *; #Hy0; #Hy1; nwhd;
  69      napply ex_intro
  70       [ napply (op … x0 y0)
  71       | napply conj
  72          [ napply op_closed; nassumption
  73          | nrewrite < Hx1;
  74            nrewrite < Hy1;
  75            napply (mmprop … f)]##]
  76 nqed.
  77 *)
  78
  79 ndefinition m_intersect: ∀A. magma A → magma A → magma A.
  80  #A; #M1; #M2;
  81  napply (mk_magma …)
  82   [ napply (intersect_is_ext_morph ? M1 M2)
  83   | #x; #y; nwhd in ⊢ (% → % → %); *; #Hx1; #Hx2; *; #Hy1; #Hy2;
  84     napply conj; napply op_closed; nassumption ]
  85 nqed.