helm/software/matita/nlibrary/algebra/magmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16
  17 nrecord pre_magma : Type[1] ≝
  18  { carr: Type;
  19    op: carr → carr → carr
  20  }.
  21 (* this is a projection *)
  22 ndefinition carr: pre_magma → Type
  23  ≝ λM: pre_magma. match M with [ mk_pre_magma carr _ ⇒ carr ].
  24 ncoercion carr: ∀M:pre_magma. Type ≝ carr on _M: pre_magma to Type.
  25 ndefinition op ≝
  26  λM: pre_magma. match M return λM:pre_magma. M → M → M with [ mk_pre_magma _ op ⇒ op ].
  27
  28 nrecord magma (A: pre_magma) : Type[1] ≝
  29  { mcarr: Ω \sup A;
  30    op_closed: ∀x,y. x ∈ mcarr → y ∈ mcarr → op A x y ∈ mcarr
  31  }.
  32 (* this is a projection *)
  33 ndefinition mcarr ≝ λA.λM: magma A. match M with [ mk_magma mcarr _ ⇒ mcarr ].
  34 ncoercion mcarr: ∀A.∀M: magma A. Ω \sup A ≝ mcarr
  35  on _M: magma ? to Ω \sup ?.
  36 ndefinition op_closed ≝
  37  λA.λM: magma A.
  38   match M return λM: magma A.∀x,y. x ∈ M → y ∈ M → op ? x y ∈ M with
  39    [ mk_magma _ opc ⇒ opc ].
  40
  41 nrecord pre_magma_morphism (A,B: pre_magma) : Type ≝
  42  { mmcarr: A → B;
  43    mmprop: ∀x,y. mmcarr (op ? x y) = op ? (mmcarr x) (mmcarr y)
  44  }.
  45 (* this is a projection *)
  46 ndefinition mmcarr ≝
  47  λA,B.λf: pre_magma_morphism A B. match f with [ mk_pre_magma_morphism f _ ⇒ f ].
  48 ncoercion mmcarr: ∀A,B.∀M: pre_magma_morphism A B. A → B ≝ mmcarr
  49  on _M: pre_magma_morphism ? ? to ∀_.?.
  50
  51 nrecord magma_morphism (A) (B) (Ma: magma A) (Mb: magma B) : Type ≝
  52  { mmmcarr: pre_magma_morphism A B;
  53    mmclosed: ∀x. x ∈ Ma → mmmcarr x ∈ Mb
  54  }.
  55 (* this is a projection *)
  56 ndefinition mmmcarr ≝
  57  λA,B,Ma,Mb.λf: magma_morphism A B Ma Mb. match f with [ mk_magma_morphism f _ ⇒ f ].
  58 ncoercion mmmcarr : ∀A,B,Ma,Mb.∀f: magma_morphism A B Ma Mb. pre_magma_morphism A B
  59  ≝ mmmcarr
  60  on _f: magma_morphism ???? to pre_magma_morphism ??.
  61 ndefinition mmcarr_mmmcarr ≝
  62  λA,B,Ma,Mb.λf: magma_morphism A B Ma Mb. mmcarr ?? (mmmcarr ???? f).
  63 ncoercion mmcarr_mmmcarr : ∀A,B,Ma,Mb.∀f: magma_morphism A B Ma Mb. A → B ≝ mmcarr_mmmcarr
  64  on _f: magma_morphism ???? to ∀_.?.
  65 ndefinition mmclosed ≝
  66  λA,B,Ma,Mb.λf: magma_morphism A B Ma Mb.
  67   match f return λf: magma_morphism A B Ma Mb.∀x. x ∈ Ma → f x ∈ Mb with
  68    [ mk_magma_morphism _ p ⇒ p ].
  69
  70 ndefinition sub_magma ≝
  71  λA.λM1,M2: magma A. M1 ⊆ M2.
  72
  73 ndefinition image: ∀A,B. (A → B) → Ω \sup A → Ω \sup B ≝
  74  λA,B,f,Sa. {y | ∃x. x ∈ Sa ∧ f x = y}.
  75
  76 naxiom daemon: False.
  77
  78 ndefinition mm_image:
  79  ∀A,B. ∀Ma: magma A. ∀Mb: magma B. magma_morphism ?? Ma Mb → magma B.
  80  #A; #B; #Ma; #Mb; #f;
  81  napply (mk_magma ???)
  82   [ napply (image ?? (mmcarr ?? (mmmcarr ???? f)) (mcarr ? Ma))
  83   | #x; #y; nwhd in ⊢ (% → % → ?); *; #x0; *; #Hx0; #Hx1; *; #y0; *; #Hy0; #Hy1; nwhd;
  84     napply (ex_intro ????)
  85      [ napply (op ? x0 y0)
  86      | napply (conj ????)
  87         [ napply (op_closed ??????); nassumption
  88         | nelim daemon ]##]
  89 nqed.