helm/software/matita/nlibrary/algebra/magmas.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "sets/sets.ma".
  16
  17 nrecord magma (A: Type) : Type[1] ≝
  18  { mcarr: Ω \sup A;
  19    op: A → A → A;
  20    op_closed: ∀x,y. x ∈ mcarr → y ∈ mcarr → op x y ∈ mcarr
  21  }.
  22 (* this is a projection *)
  23 ndefinition mcarr ≝ λA.λM: magma A. match M with [ mk_magma mcarr _ _ ⇒ mcarr ].
  24 ndefinition op ≝ λA.λM: magma A. match M with [ mk_magma _ op _ ⇒ op ].
  25
  26 (* to be splitted *)
  27 nrecord magma_morphism (A,B: Type) (Ma: magma A) (Mb: magma B) : Type ≝
  28  { mmcarr: A → B;
  29    mmclosed: ∀x. x ∈ mcarr ? Ma → mmcarr x ∈ mcarr ? Mb;
  30    (* need a canonical structure in next line? *)
  31    mmprop: ∀x,y:A. x ∈ mcarr ? Ma → y ∈ mcarr ? Ma → mmcarr (op ? Ma x y) = op B Mb (mmcarr x) (mmcarr y)
  32  }.
  33 (* this is a projection *)
  34 ndefinition mmcarr ≝
  35  λA,B,Ma,Mb.λf: magma_morphism A B Ma Mb. match f with [ mk_magma_morphism f _ _ ⇒ f ].
  36
  37 ndefinition sub_magma ≝
  38  λA.λM1,M2: magma A. ∀x. x ∈ mcarr ? M1 → x ∈ mcarr ? M2.
  39
  40 ndefinition image: ∀A,B. (A → B) → Ω \sup A → Ω \sup B ≝
  41  λA,B,f,Sa. {y | ∃x. x ∈ Sa ∧ f x = y}.
  42
  43 naxiom daemon: False.
  44
  45 ndefinition mm_image:
  46  ∀A,B. ∀Ma: magma A. ∀Mb: magma B. magma_morphism ?? Ma Mb → magma B.
  47  #A; #B; #Ma; #Mb; #f;
  48  napply (mk_magma ????)
  49   [ napply (image ?? (mmcarr ???? f) (mcarr ? Ma))
  50   | napply (op ? Mb)
  51   | #x; #y; *; #x0; #Hx0; *; #y0; #Hy0; nwhd;
  52     napply (ex_intro ????)
  53      [ napply (op ? Ma x0 y0) (* BAD HERE! need a canonical structure? *)
  54      | nelim daemon ]]
  55 nqed.