helm/software/matita/nlibrary/arithmetics/nat.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "hints_declaration.ma".
  16 include "basics/functions.ma".
  17 include "basics/eq.ma".
  18
  19 ninductive nat : Type ≝
  20   | O : nat
  21   | S : nat → nat.
  22
  23 interpretation "Natural numbers" 'N = nat.
  24
  25 alias num (instance 0) = "nnatural number".
  26
  27 (*
  28 nrecord pos : Type ≝
  29  {n:>nat; is_pos: n ≠ 0}.
  30
  31 ncoercion nat_to_pos: ∀n:nat. n ≠0 →pos ≝ mk_pos on
  32 *)
  33
  34 (* default "natural numbers" cic:/matita/ng/arithmetics/nat/nat.ind.
  35 *)
  36
  37 ndefinition pred ≝
  38  λn. match n with [ O ⇒ O | S p ⇒ p].
  39
  40 ntheorem pred_Sn : ∀n. n = pred (S n).
  41 //; nqed.
  42
  43 ntheorem injective_S : injective nat nat S.
  44 //; nqed.
  45
  46 (*
  47 ntheorem inj_S : \forall n,m:nat.(S n)=(S m) \to n=m.
  48 //. nqed. *)
  49
  50 ntheorem not_eq_S: ∀n,m:nat. n ≠ m → S n ≠ S m.
  51 /3/; nqed.
  52
  53 ndefinition not_zero: nat → Prop ≝
  54  λn: nat. match n with
  55   [ O ⇒ False | (S p) ⇒ True ].
  56
  57 ntheorem not_eq_O_S : ∀n:nat. O ≠ S n.
  58 #n; napply nmk; #eqOS; nchange with (not_zero O);
  59 nrewrite > eqOS; //.
  60 nqed.
  61
  62 ntheorem not_eq_n_Sn: ∀n:nat. n ≠ S n.
  63 #n; nelim n;/2/; nqed.
  64
  65 ntheorem nat_case:
  66  ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
  67   (n=O → P O) → (∀m:nat. (n=(S m) → P (S m))) → P n.
  68 #n; #P; nelim n; /2/; nqed.
  69
  70 ntheorem nat_elim2 :
  71  ∀R:nat → nat → Prop.
  72   (∀n:nat. R O n)
  73   → (∀n:nat. R (S n) O)
  74   → (∀n,m:nat. R n m → R (S n) (S m))
  75   → ∀n,m:nat. R n m.
  76 #R; #ROn; #RSO; #RSS; #n; nelim n;//;
  77 #n0; #Rn0m; #m; ncases m;/2/; nqed.
  78
  79 ntheorem decidable_eq_nat : ∀n,m:nat.decidable (n=m).
  80 napply nat_elim2; #n;
  81  ##[ ncases n; /2/;
  82  ##| /3/;
  83  ##| #m; #Hind; ncases Hind;/3/;
  84  ##]
  85 nqed.
  86
  87 (*************************** plus ******************************)
  88
  89 nlet rec plus n m ≝
  90  match n with
  91  [ O ⇒ m
  92  | S p ⇒ S (plus p m) ].
  93
  94 interpretation "natural plus" 'plus x y = (plus x y).
  95
  96 ntheorem plus_O_n: ∀n:nat. n = 0+n.
  97 //; nqed.
  98
  99 (*
 100 ntheorem plus_Sn_m: ∀n,m:nat. S (n + m) = S n + m.
 101 //; nqed.
 102 *)
 103
 104 ntheorem plus_n_O: ∀n:nat. n = n+0.
 105 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 106
 107 ntheorem plus_n_Sm : ∀n,m:nat. S (n+m) = n + S m.
 108 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 109
 110 (*
 111 ntheorem plus_Sn_m1: ∀n,m:nat. S m + n = n + S m.
 112 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 113 *)
 114
 115 (* deleterio?
 116 ntheorem plus_n_1 : ∀n:nat. S n = n+1.
 117 //; nqed.
 118 *)
 119
 120 ntheorem symmetric_plus: symmetric ? plus.
 121 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 122
 123 ntheorem associative_plus : associative nat plus.
 124 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 125
 126 ntheorem assoc_plus1: ∀a,b,c. c + (b + a) = b + c + a.
 127 //; nqed.
 128
 129 ntheorem injective_plus_r: ∀n:nat.injective nat nat (λm.n+m).
 130 #n; nelim n; nnormalize; /3/; nqed.
 131
 132 (* ntheorem inj_plus_r: \forall p,n,m:nat. p+n = p+m \to n=m
 133 \def injective_plus_r.
 134
 135 ntheorem injective_plus_l: ∀m:nat.injective nat nat (λn.n+m).
 136 /2/; nqed. *)
 137
 138 (* ntheorem inj_plus_l: \forall p,n,m:nat. n+p = m+p \to n=m
 139 \def injective_plus_l. *)
 140
 141 (*************************** times *****************************)
 142
 143 nlet rec times n m ≝
 144  match n with
 145  [ O ⇒ O
 146  | S p ⇒ m+(times p m) ].
 147
 148 interpretation "natural times" 'times x y = (times x y).
 149
 150 ntheorem times_Sn_m: ∀n,m:nat. m+n*m = S n*m.
 151 //; nqed.
 152
 153 ntheorem times_O_n: ∀n:nat. O = O*n.
 154 //; nqed.
 155
 156 ntheorem times_n_O: ∀n:nat. O = n*O.
 157 #n; nelim n; //; nqed.
 158
 159 ntheorem times_n_Sm : ∀n,m:nat. n+(n*m) = n*(S m).
 160 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 161
 162 ntheorem symmetric_times : symmetric nat times.
 163 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 164
 165 (* variant sym_times : \forall n,m:nat. n*m = m*n \def
 166 symmetric_times. *)
 167
 168 ntheorem distributive_times_plus : distributive nat times plus.
 169 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 170
 171 ntheorem distributive_times_plus_r :
 172   ∀a,b,c:nat. (b+c)*a = b*a + c*a.
 173 //; nqed.
 174
 175 ntheorem associative_times: associative nat times.
 176 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 177
 178 nlemma times_times: ∀x,y,z. x*(y*z) = y*(x*z).
 179 //; nqed.
 180
 181 (* ci servono questi risultati?
 182 ntheorem times_O_to_O: ∀n,m:nat.n*m=O → n=O ∨ m=O.
 183 napply nat_elim2; /2/;
 184 #n; #m; #H; nnormalize; #H1; napply False_ind;napply not_eq_O_S;
 185 //; nqed.
 186
 187 ntheorem times_n_SO : ∀n:nat. n = n * S O.
 188 #n; //; nqed.
 189
 190 ntheorem times_SSO_n : ∀n:nat. n + n = (S(S O)) * n.
 191 nnormalize; //; nqed.
 192
 193 nlemma times_SSO: \forall n.(S(S O))*(S n) = S(S((S(S O))*n)).
 194 //; nqed.
 195
 196 ntheorem or_eq_eq_S: \forall n.\exists m.
 197 n = (S(S O))*m \lor n = S ((S(S O))*m).
 198 #n; nelim n;
 199   ##[@; /2/;
 200   ##|#a; #H; nelim H; #b;#or;nelim or;#aeq;
 201     ##[@ b; @ 2; //;
 202     ##|@ (S b); @ 1; /2/;
 203     ##]
 204 nqed.
 205 *)
 206
 207 (******************** ordering relations ************************)
 208
 209 ninductive le (n:nat) : nat → Prop ≝
 210   | le_n : le n n
 211   | le_S : ∀ m:nat. le n m → le n (S m).
 212
 213 interpretation "natural 'less or equal to'" 'leq x y = (le x y).
 214
 215 interpretation "natural 'neither less nor equal to'" 'nleq x y = (Not (le x y)).
 216
 217 ndefinition lt: nat → nat → Prop ≝
 218 λn,m:nat. S n ≤ m.
 219
 220 interpretation "natural 'less than'" 'lt x y = (lt x y).
 221
 222 interpretation "natural 'not less than'" 'nless x y = (Not (lt x y)).
 223
 224 (* nlemma eq_lt: ∀n,m. (n < m) = (S n ≤ m).
 225 //; nqed. *)
 226
 227 ndefinition ge: nat → nat → Prop ≝
 228 λn,m:nat.m ≤ n.
 229
 230 interpretation "natural 'greater or equal to'" 'geq x y = (ge x y).
 231
 232 ndefinition gt: nat → nat → Prop ≝
 233 λn,m:nat.m<n.
 234
 235 interpretation "natural 'greater than'" 'gt x y = (gt x y).
 236
 237 interpretation "natural 'not greater than'" 'ngtr x y = (Not (gt x y)).
 238
 239 ntheorem transitive_le : transitive nat le.
 240 #a; #b; #c; #leab; #lebc;nelim lebc;/2/;
 241 nqed.
 242
 243 (*
 244 ntheorem trans_le: \forall n,m,p:nat. n \leq m \to m \leq p \to n \leq p
 245 \def transitive_le. *)
 246
 247
 248 ntheorem transitive_lt: transitive nat lt.
 249 #a; #b; #c; #ltab; #ltbc;nelim ltbc;/2/;nqed.
 250
 251 (*
 252 theorem trans_lt: \forall n,m,p:nat. lt n m \to lt m p \to lt n p
 253 \def transitive_lt. *)
 254
 255 ntheorem le_S_S: ∀n,m:nat. n ≤ m → S n ≤ S m.
 256 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/; nqed.
 257
 258 ntheorem le_O_n : ∀n:nat. O ≤ n.
 259 #n; nelim n; /2/; nqed.
 260
 261 ntheorem le_n_Sn : ∀n:nat. n ≤ S n.
 262 /2/; nqed.
 263
 264 ntheorem le_pred_n : ∀n:nat. pred n ≤ n.
 265 #n; nelim n; //; nqed.
 266
 267 (* XXX global problem
 268 nlemma my_trans_le : ∀x,y,z:nat.x ≤ y → y ≤ z → x ≤ z.
 269 napply transitive_le.
 270 nqed. *)
 271
 272 ntheorem monotonic_pred: monotonic ? le pred.
 273 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /2/;nqed.
 274
 275 ntheorem le_S_S_to_le: ∀n,m:nat. S n ≤ S m → n ≤ m.
 276 /2/; nqed.
 277
 278 (* this are instances of the le versions
 279 ntheorem lt_S_S_to_lt: ∀n,m. S n < S m → n < m.
 280 /2/; nqed.
 281
 282 ntheorem lt_to_lt_S_S: ∀n,m. n < m → S n < S m.
 283 /2/; nqed. *)
 284
 285 ntheorem lt_to_not_zero : ∀n,m:nat. n < m → not_zero m.
 286 #n; #m; #Hlt; nelim Hlt;//; nqed.
 287
 288 (* lt vs. le *)
 289 ntheorem not_le_Sn_O: ∀ n:nat. S n ≰ O.
 290 #n; napply nmk; #Hlen0; napply (lt_to_not_zero ?? Hlen0); nqed.
 291
 292 ntheorem not_le_to_not_le_S_S: ∀ n,m:nat. n ≰ m → S n ≰ S m.
 293 /3/; nqed.
 294
 295 ntheorem not_le_S_S_to_not_le: ∀ n,m:nat. S n ≰ S m → n ≰ m.
 296 /3/; nqed.
 297
 298 ntheorem decidable_le: ∀n,m. decidable (n≤m).
 299 napply nat_elim2; #n; /2/;
 300 #m; *; /3/; nqed.
 301
 302 ntheorem decidable_lt: ∀n,m. decidable (n < m).
 303 #n; #m; napply decidable_le ; nqed.
 304
 305 ntheorem not_le_Sn_n: ∀n:nat. S n ≰ n.
 306 #n; nelim n; /2/; nqed.
 307
 308 (* this is le_S_S_to_le
 309 ntheorem lt_S_to_le: ∀n,m:nat. n < S m → n ≤ m.
 310 /2/; nqed.
 311 *)
 312
 313 ntheorem not_le_to_lt: ∀n,m. n ≰ m → m < n.
 314 napply nat_elim2; #n;
 315  ##[#abs; napply False_ind;/2/;
 316  ##|/2/;
 317  ##|#m;#Hind;#HnotleSS; napply le_S_S;/3/;
 318  ##]
 319 nqed.
 320
 321 ntheorem lt_to_not_le: ∀n,m. n < m → m ≰ n.
 322 #n; #m; #Hltnm; nelim Hltnm;/3/; nqed.
 323
 324 ntheorem not_lt_to_le: ∀n,m:nat. n ≮ m → m ≤ n.
 325 /4/; nqed.
 326
 327 (*
 328 #n; #m; #Hnlt; napply le_S_S_to_le;/2/;
 329 (* something strange here: /2/ fails *)
 330 napply not_le_to_lt; napply Hnlt; nqed. *)
 331
 332 ntheorem le_to_not_lt: ∀n,m:nat. n ≤ m → m ≮ n.
 333 #n; #m; #H;napply lt_to_not_le; /2/; (* /3/ *) nqed.
 334
 335 (* lt and le trans *)
 336
 337 ntheorem lt_to_le_to_lt: ∀n,m,p:nat. n < m → m ≤ p → n < p.
 338 #n; #m; #p; #H; #H1; nelim H1; /2/; nqed.
 339
 340 ntheorem le_to_lt_to_lt: ∀n,m,p:nat. n ≤ m → m < p → n < p.
 341 #n; #m; #p; #H; nelim H; /3/; nqed.
 342
 343 ntheorem lt_S_to_lt: ∀n,m. S n < m → n < m.
 344 /2/; nqed.
 345
 346 ntheorem ltn_to_ltO: ∀n,m:nat. n < m → O < m.
 347 /2/; nqed.
 348
 349 (*
 350 theorem lt_SO_n_to_lt_O_pred_n: \forall n:nat.
 351 (S O) \lt n \to O \lt (pred n).
 352 intros.
 353 apply (ltn_to_ltO (pred (S O)) (pred n) ?).
 354  apply (lt_pred (S O) n);
 355  [ apply (lt_O_S O)
 356  | assumption
 357  ]
 358 qed. *)
 359
 360 ntheorem lt_O_n_elim: ∀n:nat. O < n →
 361   ∀P:nat → Prop.(∀m:nat.P (S m)) → P n.
 362 #n; nelim n; //; #abs; napply False_ind;/2/;
 363 nqed.
 364
 365 (*
 366 theorem lt_pred: \forall n,m.
 367   O < n \to n < m \to pred n < pred m.
 368 apply nat_elim2
 369   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 370   |intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H1)
 371   |intros.simplify.unfold.apply le_S_S_to_le.assumption
 372   ]
 373 qed.
 374
 375 theorem S_pred: \forall n:nat.lt O n \to eq nat n (S (pred n)).
 376 intro.elim n.apply False_ind.exact (not_le_Sn_O O H).
 377 apply eq_f.apply pred_Sn.
 378 qed.
 379
 380 theorem le_pred_to_le:
 381  ∀n,m. O < m → pred n ≤ pred m → n ≤ m.
 382 intros 2;
 383 elim n;
 384 [ apply le_O_n
 385 | simplify in H2;
 386   rewrite > (S_pred m);
 387   [ apply le_S_S;
 388     assumption
 389   | assumption
 390   ]
 391 ].
 392 qed.
 393
 394 *)
 395
 396 (* le to lt or eq *)
 397 ntheorem le_to_or_lt_eq: ∀n,m:nat. n ≤ m → n < m ∨ n = m.
 398 #n; #m; #lenm; nelim lenm; /3/; nqed.
 399
 400 (* not eq *)
 401 ntheorem lt_to_not_eq : ∀n,m:nat. n < m → n ≠ m.
 402 #n; #m; #H; napply not_to_not;/2/; nqed.
 403
 404 (*not lt
 405 ntheorem eq_to_not_lt: ∀a,b:nat. a = b → a ≮ b.
 406 intros.
 407 unfold Not.
 408 intros.
 409 rewrite > H in H1.
 410 apply (lt_to_not_eq b b)
 411 [ assumption
 412 | reflexivity
 413 ]
 414 qed.
 415
 416 theorem lt_n_m_to_not_lt_m_Sn: ∀n,m. n < m → m ≮ S n.
 417 intros;
 418 unfold Not;
 419 intro;
 420 unfold lt in H;
 421 unfold lt in H1;
 422 generalize in match (le_S_S ? ? H);
 423 intro;
 424 generalize in match (transitive_le ? ? ? H2 H1);
 425 intro;
 426 apply (not_le_Sn_n ? H3).
 427 qed. *)
 428
 429 ntheorem not_eq_to_le_to_lt: ∀n,m. n≠m → n≤m → n<m.
 430 #n; #m; #Hneq; #Hle; ncases (le_to_or_lt_eq ?? Hle); //;
 431 #Heq; /3/; nqed.
 432 (*
 433 nelim (Hneq Heq); nqed. *)
 434
 435 (* le elimination *)
 436 ntheorem le_n_O_to_eq : ∀n:nat. n ≤ O → O=n.
 437 #n; ncases n; //; #a ; #abs;
 438 napply False_ind; /2/;nqed.
 439
 440 ntheorem le_n_O_elim: ∀n:nat. n ≤ O → ∀P: nat →Prop. P O → P n.
 441 #n; ncases n; //; #a; #abs;
 442 napply False_ind; /2/; nqed.
 443
 444 ntheorem le_n_Sm_elim : ∀n,m:nat.n ≤ S m →
 445 ∀P:Prop. (S n ≤ S m → P) → (n=S m → P) → P.
 446 #n; #m; #Hle; #P; nelim Hle; /3/; nqed.
 447
 448 (* le and eq *)
 449
 450 ntheorem le_to_le_to_eq: ∀n,m. n ≤ m → m ≤ n → n = m.
 451 napply nat_elim2; /4/;
 452 nqed.
 453
 454 ntheorem lt_O_S : ∀n:nat. O < S n.
 455 /2/; nqed.
 456
 457 (*
 458 (* other abstract properties *)
 459 theorem antisymmetric_le : antisymmetric nat le.
 460 unfold antisymmetric.intros 2.
 461 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.(n \leq m \to m \leq n \to n=m))).
 462 intros.apply le_n_O_to_eq.assumption.
 463 intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H).
 464 intros.apply eq_f.apply H.
 465 apply le_S_S_to_le.assumption.
 466 apply le_S_S_to_le.assumption.
 467 qed.
 468
 469 theorem antisym_le: \forall n,m:nat. n \leq m \to m \leq n \to n=m
 470 \def antisymmetric_le.
 471
 472 theorem le_n_m_to_lt_m_Sn_to_eq_n_m: ∀n,m. n ≤ m → m < S n → n=m.
 473 intros;
 474 unfold lt in H1;
 475 generalize in match (le_S_S_to_le ? ? H1);
 476 intro;
 477 apply antisym_le;
 478 assumption.
 479 qed.
 480 *)
 481
 482 (* well founded induction principles *)
 483
 484 ntheorem nat_elim1 : ∀n:nat.∀P:nat → Prop.
 485 (∀m.(∀p. p < m → P p) → P m) → P n.
 486 #n; #P; #H;
 487 ncut (∀q:nat. q ≤ n → P q);/2/;
 488 nelim n;
 489  ##[#q; #HleO; (* applica male *)
 490     napply (le_n_O_elim ? HleO);
 491     napply H; #p; #ltpO;
 492     napply (False_ind ??); /2/; (* 3 *)
 493  ##|#p; #Hind; #q; #HleS;
 494     napply H; #a; #lta; napply Hind;
 495     napply le_S_S_to_le;/2/;
 496  ##]
 497 nqed.
 498
 499 (* some properties of functions *)
 500 (*
 501 definition increasing \def \lambda f:nat \to nat.
 502 \forall n:nat. f n < f (S n).
 503
 504 theorem increasing_to_monotonic: \forall f:nat \to nat.
 505 increasing f \to monotonic nat lt f.
 506 unfold monotonic.unfold lt.unfold increasing.unfold lt.intros.elim H1.apply H.
 507 apply (trans_le ? (f n1)).
 508 assumption.apply (trans_le ? (S (f n1))).
 509 apply le_n_Sn.
 510 apply H.
 511 qed.
 512
 513 theorem le_n_fn: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 514 \to \forall n:nat. n \le (f n).
 515 intros.elim n.
 516 apply le_O_n.
 517 apply (trans_le ? (S (f n1))).
 518 apply le_S_S.apply H1.
 519 simplify in H. unfold increasing in H.unfold lt in H.apply H.
 520 qed.
 521
 522 theorem increasing_to_le: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 523 \to \forall m:nat. \exists i. m \le (f i).
 524 intros.elim m.
 525 apply (ex_intro ? ? O).apply le_O_n.
 526 elim H1.
 527 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 528 apply (trans_le ? (S (f a))).
 529 apply le_S_S.assumption.
 530 simplify in H.unfold increasing in H.unfold lt in H.
 531 apply H.
 532 qed.
 533
 534 theorem increasing_to_le2: \forall f:nat \to nat. (increasing f)
 535 \to \forall m:nat. (f O) \le m \to
 536 \exists i. (f i) \le m \land m <(f (S i)).
 537 intros.elim H1.
 538 apply (ex_intro ? ? O).
 539 split.apply le_n.apply H.
 540 elim H3.elim H4.
 541 cut ((S n1) < (f (S a)) \lor (S n1) = (f (S a))).
 542 elim Hcut.
 543 apply (ex_intro ? ? a).
 544 split.apply le_S. assumption.assumption.
 545 apply (ex_intro ? ? (S a)).
 546 split.rewrite < H7.apply le_n.
 547 rewrite > H7.
 548 apply H.
 549 apply le_to_or_lt_eq.apply H6.
 550 qed.
 551 *)
 552
 553 (*********************** monotonicity ***************************)
 554 ntheorem monotonic_le_plus_r:
 555 ∀n:nat.monotonic nat le (λm.n + m).
 556 #n; #a; #b; nelim n; nnormalize; //;
 557 #m; #H; #leab;napply le_S_S; /2/; nqed.
 558
 559 (*
 560 ntheorem le_plus_r: ∀p,n,m:nat. n ≤ m → p + n ≤ p + m
 561 ≝ monotonic_le_plus_r. *)
 562
 563 ntheorem monotonic_le_plus_l:
 564 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n + m).
 565 /2/; nqed.
 566
 567 (*
 568 ntheorem le_plus_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n + p \le m + p
 569 \def monotonic_le_plus_l. *)
 570
 571 ntheorem le_plus: ∀n1,n2,m1,m2:nat. n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2
 572 → n1 + m1 ≤ n2 + m2.
 573 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem; napply (transitive_le ? (n1+m2));
 574 /2/; nqed.
 575
 576 ntheorem le_plus_n :∀n,m:nat. m ≤ n + m.
 577 /2/; nqed.
 578
 579 nlemma le_plus_a: ∀a,n,m. n ≤ m → n ≤ a + m.
 580 /2/; nqed.
 581
 582 nlemma le_plus_b: ∀b,n,m. n + b ≤ m → n ≤ m.
 583 /2/; nqed.
 584
 585 ntheorem le_plus_n_r :∀n,m:nat. m ≤ m + n.
 586 /2/; nqed.
 587
 588 ntheorem eq_plus_to_le: ∀n,m,p:nat.n=m+p → m ≤ n.
 589 //; nqed.
 590
 591 ntheorem le_plus_to_le: ∀a,n,m. a + n ≤ a + m → n ≤ m.
 592 #a; nelim a; nnormalize; /3/; nqed.
 593
 594 ntheorem le_plus_to_le_r: ∀a,n,m. n + a ≤ m +a → n ≤ m.
 595 /2/; nqed.
 596
 597 (* plus & lt *)
 598
 599 ntheorem monotonic_lt_plus_r:
 600 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.n+m).
 601 /2/; nqed.
 602
 603 (*
 604 variant lt_plus_r: \forall n,p,q:nat. p < q \to n + p < n + q \def
 605 monotonic_lt_plus_r. *)
 606
 607 ntheorem monotonic_lt_plus_l:
 608 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.m+n).
 609 /2/; nqed.
 610
 611 (*
 612 variant lt_plus_l: \forall n,p,q:nat. p < q \to p + n < q + n \def
 613 monotonic_lt_plus_l. *)
 614
 615 ntheorem lt_plus: ∀n,m,p,q:nat. n < m → p < q → n + p < m + q.
 616 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #ltpq;
 617 napply (transitive_lt ? (n+q));/2/; nqed.
 618
 619 ntheorem lt_plus_to_lt_l :∀n,p,q:nat. p+n < q+n → p<q.
 620 /2/; nqed.
 621
 622 ntheorem lt_plus_to_lt_r :∀n,p,q:nat. n+p < n+q → p<q.
 623 /2/; nqed.
 624
 625 (*
 626 ntheorem le_to_lt_to_lt_plus: ∀a,b,c,d:nat.
 627 a ≤ c → b < d → a + b < c+d.
 628 (* bello /2/ un po' lento *)
 629 #a; #b; #c; #d; #leac; #lebd;
 630 nnormalize; napplyS le_plus; //; nqed.
 631 *)
 632
 633 (* times *)
 634 ntheorem monotonic_le_times_r:
 635 ∀n:nat.monotonic nat le (λm. n * m).
 636 #n; #x; #y; #lexy; nelim n; nnormalize;//;(* lento /2/;*)
 637 #a; #lea; napply le_plus; //;
 638 nqed.
 639
 640 (*
 641 ntheorem le_times_r: \forall p,n,m:nat. n \le m \to p*n \le p*m
 642 \def monotonic_le_times_r. *)
 643
 644 (*
 645 ntheorem monotonic_le_times_l:
 646 ∀m:nat.monotonic nat le (λn.n*m).
 647 /2/; nqed.
 648 *)
 649
 650 (*
 651 theorem le_times_l: \forall p,n,m:nat. n \le m \to n*p \le m*p
 652 \def monotonic_le_times_l. *)
 653
 654 ntheorem le_times: ∀n1,n2,m1,m2:nat.
 655 n1 ≤ n2  → m1 ≤ m2 → n1*m1 ≤ n2*m2.
 656 #n1; #n2; #m1; #m2; #len; #lem;
 657 napply (transitive_le ? (n1*m2)); (* /2/ slow *)
 658  ##[ napply monotonic_le_times_r;//;
 659  ##| napplyS monotonic_le_times_r;//;
 660  ##]
 661 nqed.
 662
 663 (* interesssante *)
 664 ntheorem lt_times_n: ∀n,m:nat. O < n → m ≤ n*m.
 665 #n; #m; #H; /2/; nqed.
 666
 667 ntheorem le_times_to_le:
 668 ∀a,n,m. O < a → a * n ≤ a * m → n ≤ m.
 669 #a; napply nat_elim2; nnormalize;
 670   ##[//;
 671   ##|#n; #H1; #H2;
 672      napply (transitive_le ? (a*S n));/2/;
 673   ##|#n; #m; #H; #lta; #le;
 674      napply le_S_S; napply H; /2/;
 675   ##]
 676 nqed.
 677
 678 ntheorem le_S_times_2: ∀n,m.O < m → n ≤ m → S n ≤ 2*m.
 679 #n; #m; #posm; #lenm;  (* interessante *)
 680 napplyS (le_plus n m); //; nqed.
 681
 682 (* times & lt *)
 683 (*
 684 ntheorem lt_O_times_S_S: ∀n,m:nat.O < (S n)*(S m).
 685 intros.simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 686 qed. *)
 687
 688 (*
 689 ntheorem lt_times_eq_O: \forall a,b:nat.
 690 O < a → a * b = O → b = O.
 691 intros.
 692 apply (nat_case1 b)
 693 [ intros.
 694   reflexivity
 695 | intros.
 696   rewrite > H2 in H1.
 697   rewrite > (S_pred a) in H1
 698   [ apply False_ind.
 699     apply (eq_to_not_lt O ((S (pred a))*(S m)))
 700     [ apply sym_eq.
 701       assumption
 702     | apply lt_O_times_S_S
 703     ]
 704   | assumption
 705   ]
 706 ]
 707 qed.
 708
 709 theorem O_lt_times_to_O_lt: \forall a,c:nat.
 710 O \lt (a * c) \to O \lt a.
 711 intros.
 712 apply (nat_case1 a)
 713 [ intros.
 714   rewrite > H1 in H.
 715   simplify in H.
 716   assumption
 717 | intros.
 718   apply lt_O_S
 719 ]
 720 qed.
 721
 722 lemma lt_times_to_lt_O: \forall i,n,m:nat. i < n*m \to O < m.
 723 intros.
 724 elim (le_to_or_lt_eq O ? (le_O_n m))
 725   [assumption
 726   |apply False_ind.
 727    rewrite < H1 in H.
 728    rewrite < times_n_O in H.
 729    apply (not_le_Sn_O ? H)
 730   ]
 731 qed. *)
 732
 733 (*
 734 ntheorem monotonic_lt_times_r:
 735 ∀n:nat.monotonic nat lt (λm.(S n)*m).
 736 /2/;
 737 simplify.
 738 intros.elim n.
 739 simplify.rewrite < plus_n_O.rewrite < plus_n_O.assumption.
 740 apply lt_plus.assumption.assumption.
 741 qed. *)
 742
 743 ntheorem monotonic_lt_times_l:
 744   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(t*c)).
 745 #c; #posc; #n; #m; #ltnm;
 746 nelim ltnm; nnormalize;
 747   ##[/2/;
 748   ##|#a; #_; #lt1; napply (transitive_le ??? lt1);//;
 749   ##]
 750 nqed.
 751
 752 ntheorem monotonic_lt_times_r:
 753   ∀c:nat. O < c → monotonic nat lt (λt.(c*t)).
 754 /2/; nqed.
 755
 756 ntheorem lt_to_le_to_lt_times:
 757 ∀n,m,p,q:nat. n < m → p ≤ q → O < q → n*p < m*q.
 758 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #lepq; #posq;
 759 napply (le_to_lt_to_lt ? (n*q));
 760   ##[napply monotonic_le_times_r;//;
 761   ##|napply monotonic_lt_times_l;//;
 762   ##]
 763 nqed.
 764
 765 ntheorem lt_times:∀n,m,p,q:nat. n<m → p<q → n*p < m*q.
 766 #n; #m; #p; #q; #ltnm; #ltpq;
 767 napply lt_to_le_to_lt_times;/2/;
 768 nqed.
 769
 770 ntheorem lt_times_n_to_lt_l:
 771 ∀n,p,q:nat. p*n < q*n → p < q.
 772 #n; #p; #q; #Hlt;
 773 nelim (decidable_lt p q);//;
 774 #nltpq; napply False_ind;
 775 napply (absurd ? ? (lt_to_not_le ? ? Hlt));
 776 napplyS monotonic_le_times_r;/2/;
 777 nqed.
 778
 779 ntheorem lt_times_n_to_lt_r:
 780 ∀n,p,q:nat. n*p < n*q → p < q.
 781 /2/; nqed.
 782
 783 (*
 784 theorem nat_compare_times_l : \forall n,p,q:nat.
 785 nat_compare p q = nat_compare ((S n) * p) ((S n) * q).
 786 intros.apply nat_compare_elim.intro.
 787 apply nat_compare_elim.
 788 intro.reflexivity.
 789 intro.absurd (p=q).
 790 apply (inj_times_r n).assumption.
 791 apply lt_to_not_eq. assumption.
 792 intro.absurd (q<p).
 793 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 794 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 795 intro.rewrite < H.rewrite > nat_compare_n_n.reflexivity.
 796 intro.apply nat_compare_elim.intro.
 797 absurd (p<q).
 798 apply (lt_times_to_lt_r n).assumption.
 799 apply le_to_not_lt.apply lt_to_le.assumption.
 800 intro.absurd (q=p).
 801 symmetry.
 802 apply (inj_times_r n).assumption.
 803 apply lt_to_not_eq.assumption.
 804 intro.reflexivity.
 805 qed. *)
 806
 807 (* times and plus
 808 theorem lt_times_plus_times: \forall a,b,n,m:nat.
 809 a < n \to b < m \to a*m + b < n*m.
 810 intros 3.
 811 apply (nat_case n)
 812   [intros.apply False_ind.apply (not_le_Sn_O ? H)
 813   |intros.simplify.
 814    rewrite < sym_plus.
 815    unfold.
 816    change with (S b+a*m1 \leq m1+m*m1).
 817    apply le_plus
 818     [assumption
 819     |apply le_times
 820       [apply le_S_S_to_le.assumption
 821       |apply le_n
 822       ]
 823     ]
 824   ]
 825 qed. *)
 826
 827 (************************** minus ******************************)
 828
 829 nlet rec minus n m ≝
 830  match n with
 831  [ O ⇒ O
 832  | S p ⇒
 833         match m with
 834           [ O ⇒ S p
 835     | S q ⇒ minus p q ]].
 836
 837 interpretation "natural minus" 'minus x y = (minus x y).
 838
 839 ntheorem minus_S_S: ∀n,m:nat.S n - S m = n -m.
 840 //; nqed.
 841
 842 ntheorem minus_O_n: ∀n:nat.O=O-n.
 843 #n; ncases n; //; nqed.
 844
 845 ntheorem minus_n_O: ∀n:nat.n=n-O.
 846 #n; ncases n; //; nqed.
 847
 848 ntheorem minus_n_n: ∀n:nat.O=n-n.
 849 #n; nelim n; //; nqed.
 850
 851 ntheorem minus_Sn_n: ∀n:nat. S O = (S n)-n.
 852 #n; nelim n; nnormalize; //; nqed.
 853
 854 ntheorem minus_Sn_m: ∀m,n:nat. m ≤ n → S n -m = S (n-m).
 855 (* qualcosa da capire qui
 856 #n; #m; #lenm; nelim lenm; napplyS refl_eq. *)
 857 napply nat_elim2;
 858   ##[//
 859   ##|#n; #abs; napply False_ind; /2/
 860   ##|#n; #m; #Hind; #c; napplyS Hind; /2/;
 861   ##]
 862 nqed.
 863
 864 ntheorem not_eq_to_le_to_le_minus:
 865   ∀n,m.n ≠ m → n ≤ m → n ≤ m - 1.
 866 #n; #m; ncases m;//; #m; nnormalize;
 867 #H; #H1; napply le_S_S_to_le;
 868 napplyS (not_eq_to_le_to_lt n (S m) H H1);
 869 nqed.
 870
 871 ntheorem eq_minus_S_pred: ∀n,m. n - (S m) = pred(n -m).
 872 napply nat_elim2; nnormalize; //; nqed.
 873
 874 ntheorem plus_minus:
 875 ∀m,n,p:nat. m ≤ n → (n-m)+p = (n+p)-m.
 876 napply nat_elim2;
 877   ##[//
 878   ##|#n; #p; #abs; napply False_ind; /2/;
 879   ##|nnormalize;/3/;
 880   ##]
 881 nqed.
 882
 883 ntheorem minus_plus_m_m: ∀n,m:nat.n = (n+m)-m.
 884 #n; #m; napplyS (plus_minus m m n); //; nqed.
 885
 886 ntheorem plus_minus_m_m: ∀n,m:nat.
 887   m ≤ n → n = (n-m)+m.
 888 #n; #m; #lemn; napplyS sym_eq;
 889 napplyS (plus_minus m n m); //; nqed.
 890
 891 ntheorem le_plus_minus_m_m: ∀n,m:nat. n ≤ (n-m)+m.
 892 #n; nelim n;
 893   ##[//
 894   ##|#a; #Hind; #m; ncases m;//;
 895      nnormalize; #n;/2/;
 896   ##]
 897 nqed.
 898
 899 ntheorem minus_to_plus :∀n,m,p:nat.
 900   m ≤ n → n-m = p → n = m+p.
 901 #n; #m; #p; #lemn; #eqp; napplyS plus_minus_m_m; //;
 902 nqed.
 903
 904 ntheorem plus_to_minus :∀n,m,p:nat.n = m+p → n-m = p.
 905 (* /4/ done in 43.5 *)
 906 #n; #m; #p; #eqp;
 907 napply sym_eq;
 908 napplyS (minus_plus_m_m p m);
 909 nqed.
 910
 911 ntheorem minus_pred_pred : ∀n,m:nat. O < n → O < m →
 912 pred n - pred m = n - m.
 913 #n; #m; #posn; #posm;
 914 napply (lt_O_n_elim n posn);
 915 napply (lt_O_n_elim m posm);//.
 916 nqed.
 917
 918 (*
 919 theorem eq_minus_n_m_O: \forall n,m:nat.
 920 n \leq m \to n-m = O.
 921 intros 2.
 922 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.n \leq m \to n-m = O)).
 923 intros.simplify.reflexivity.
 924 intros.apply False_ind.
 925 apply not_le_Sn_O;
 926 [2: apply H | skip].
 927 intros.
 928 simplify.apply H.apply le_S_S_to_le. apply H1.
 929 qed.
 930
 931 theorem le_SO_minus: \forall n,m:nat.S n \leq m \to S O \leq m-n.
 932 intros.elim H.elim (minus_Sn_n n).apply le_n.
 933 rewrite > minus_Sn_m.
 934 apply le_S.assumption.
 935 apply lt_to_le.assumption.
 936 qed.
 937
 938 theorem minus_le_S_minus_S: \forall n,m:nat. m-n \leq S (m-(S n)).
 939 intros.
 940 apply (nat_elim2 (\lambda n,m.m-n \leq S (m-(S n)))).
 941 intro.elim n1.simplify.apply le_n_Sn.
 942 simplify.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 943 intros.simplify.apply le_n_Sn.
 944 intros.simplify.apply H.
 945 qed.
 946
 947 theorem lt_minus_S_n_to_le_minus_n : \forall n,m,p:nat. m-(S n) < p \to m-n \leq p.
 948 intros 3.intro.
 949 (* autobatch *)
 950 (* end auto($Revision: 9739 $) proof: TIME=1.33 SIZE=100 DEPTH=100 *)
 951 apply (trans_le (m-n) (S (m-(S n))) p).
 952 apply minus_le_S_minus_S.
 953 assumption.
 954 qed.
 955
 956 theorem le_minus_m: \forall n,m:nat. n-m \leq n.
 957 intros.apply (nat_elim2 (\lambda m,n. n-m \leq n)).
 958 intros.rewrite < minus_n_O.apply le_n.
 959 intros.simplify.apply le_n.
 960 intros.simplify.apply le_S.assumption.
 961 qed.
 962
 963 theorem lt_minus_m: \forall n,m:nat. O < n \to O < m \to n-m \lt n.
 964 intros.apply (lt_O_n_elim n H).intro.
 965 apply (lt_O_n_elim m H1).intro.
 966 simplify.unfold lt.apply le_S_S.apply le_minus_m.
 967 qed.
 968
 969 theorem minus_le_O_to_le: \forall n,m:nat. n-m \leq O \to n \leq m.
 970 intros 2.
 971 apply (nat_elim2 (\lambda n,m:nat.n-m \leq O \to n \leq m)).
 972 intros.apply le_O_n.
 973 simplify.intros. assumption.
 974 simplify.intros.apply le_S_S.apply H.assumption.
 975 qed.
 976 *)
 977
 978 (* monotonicity and galois *)
 979
 980 ntheorem monotonic_le_minus_l:
 981 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → q-n ≤ p-n.
 982 napply nat_elim2; #p; #q;
 983   ##[#lePO; napply (le_n_O_elim ? lePO);//;
 984   ##|//;
 985   ##|#Hind; #n; ncases n;
 986     ##[//;
 987     ##|#a; #leSS; napply Hind; /2/;
 988     ##]
 989   ##]
 990 nqed.
 991
 992 ntheorem le_minus_to_plus: ∀n,m,p. n-m ≤ p → n≤ p+m.
 993 #n; #m; #p; #lep;
 994 napply transitive_le;
 995   ##[##|napply le_plus_minus_m_m
 996   ##|napply monotonic_le_plus_l;//;
 997   ##]
 998 nqed.
 999
1000 ntheorem le_plus_to_minus: ∀n,m,p. n ≤ p+m → n-m ≤ p.
1001 #n; #m; #p; #lep;
1002 (* bello *)
1003 napplyS monotonic_le_minus_l;//;
1004 (* /2/; *)
1005 nqed.
1006
1007 ntheorem monotonic_le_minus_r:
1008 ∀p,q,n:nat. q ≤ p → n-p ≤ n-q.
1009 #p; #q; #n; #lepq;
1010 napply le_plus_to_minus;
1011 napply (transitive_le ??? (le_plus_minus_m_m ? q));/2/;
1012 nqed.
1013
1014 (*********************** boolean arithmetics ********************)
1015 include "basics/bool.ma".
1016
1017 nlet rec eqb n m ≝
1018 match n with
1019   [ O ⇒ match m with [ O ⇒ true | S q ⇒ false]
1020   | S p ⇒ match m with [ O ⇒ false | S q ⇒ eqb p q]
1021   ].
1022
1023 (*
1024 ntheorem eqb_to_Prop: ∀n,m:nat.
1025 match (eqb n m) with
1026 [ true  \Rightarrow n = m
1027 | false \Rightarrow n \neq m].
1028 intros.
1029 apply (nat_elim2
1030 (\lambda n,m:nat.match (eqb n m) with
1031 [ true  \Rightarrow n = m
1032 | false \Rightarrow n \neq m])).
1033 intro.elim n1.
1034 simplify.reflexivity.
1035 simplify.apply not_eq_O_S.
1036 intro.
1037 simplify.unfold Not.
1038 intro. apply (not_eq_O_S n1).apply sym_eq.assumption.
1039 intros.simplify.
1040 generalize in match H.
1041 elim ((eqb n1 m1)).
1042 simplify.apply eq_f.apply H1.
1043 simplify.unfold Not.intro.apply H1.apply inj_S.assumption.
1044 qed.
1045 *)
1046
1047 ntheorem eqb_elim : ∀ n,m:nat.∀ P:bool → Prop.
1048 (n=m → (P true)) → (n ≠ m → (P false)) → (P (eqb n m)).
1049 napply nat_elim2;
1050   ##[#n; ncases n; nnormalize; /3/;
1051   ##|nnormalize; /3/;
1052   ##|nnormalize; /4/;
1053   ##]
1054 nqed.
1055
1056 ntheorem eqb_n_n: ∀n. eqb n n = true.
1057 #n; nelim n; nnormalize; //.
1058 nqed.
1059
1060 ntheorem eqb_true_to_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = true → n = m.
1061 #n; #m; napply (eqb_elim n m);//;
1062 #_; #abs; napply False_ind; /2/;
1063 nqed.
1064
1065 ntheorem eqb_false_to_not_eq: ∀n,m:nat. eqb n m = false → n ≠ m.
1066 #n; #m; napply (eqb_elim n m);/2/;
1067 nqed.
1068
1069 ntheorem eq_to_eqb_true: ∀n,m:nat.
1070   n = m → eqb n m = true.
1071 //; nqed.
1072
1073 ntheorem not_eq_to_eqb_false: ∀n,m:nat.
1074   n ≠  m → eqb n m = false.
1075 #n; #m; #noteq;
1076 napply eqb_elim;//;
1077 #Heq; napply False_ind; /2/;
1078 nqed.
1079
1080 nlet rec leb n m ≝
1081 match n with
1082     [ O ⇒ true
1083     | (S p) ⇒
1084         match m with
1085         [ O ⇒ false
1086               | (S q) ⇒ leb p q]].
1087
1088 ntheorem leb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1089 (n ≤ m → P true) → (n ≰ m → P false) → P (leb n m).
1090 napply nat_elim2; nnormalize;
1091   ##[/2/
1092   ##|/3/;
1093   ##|#n; #m; #Hind; #P; #Pt; #Pf; napply Hind;
1094     ##[#lenm; napply Pt; napply le_S_S;//;
1095     ##|#nlenm; napply Pf; /2/;
1096     ##]
1097   ##]
1098 nqed.
1099
1100 ntheorem leb_true_to_le:∀n,m.leb n m = true → n ≤ m.
1101 #n; #m; napply leb_elim;
1102   ##[//;
1103   ##|#_; #abs; napply False_ind; /2/;
1104   ##]
1105 nqed.
1106
1107 ntheorem leb_false_to_not_le:∀n,m.
1108   leb n m = false → n ≰ m.
1109 #n; #m; napply leb_elim;
1110   ##[#_; #abs; napply False_ind; /2/;
1111   ##|//;
1112   ##]
1113 nqed.
1114
1115 ntheorem le_to_leb_true: ∀n,m. n ≤ m → leb n m = true.
1116 #n; #m; napply leb_elim; //;
1117 #H; #H1; napply False_ind; /2/;
1118 nqed.
1119
1120 ntheorem not_le_to_leb_false: ∀n,m. n ≰ m → leb n m = false.
1121 #n; #m; napply leb_elim; //;
1122 #H; #H1; napply False_ind; /2/;
1123 nqed.
1124
1125 ntheorem lt_to_leb_false: ∀n,m. m < n → leb n m = false.
1126 /3/; nqed.
1127
1128 (* serve anche ltb?
1129 ndefinition ltb ≝λn,m. leb (S n) m.
1130
1131 ntheorem ltb_elim: ∀n,m:nat. ∀P:bool → Prop.
1132 (n < m → P true) → (n ≮ m → P false) → P (ltb n m).
1133 #n; #m; #P; #Hlt; #Hnlt;
1134 napply leb_elim; /3/; nqed.
1135
1136 ntheorem ltb_true_to_lt:∀n,m.ltb n m = true → n < m.
1137 #n; #m; #Hltb; napply leb_true_to_le; nassumption;
1138 nqed.
1139
1140 ntheorem ltb_false_to_not_lt:∀n,m.
1141   ltb n m = false → n ≮ m.
1142 #n; #m; #Hltb; napply leb_false_to_not_le; nassumption;
1143 nqed.
1144
1145 ntheorem lt_to_ltb_true: ∀n,m. n < m → ltb n m = true.
1146 #n; #m; #Hltb; napply le_to_leb_true; nassumption;
1147 nqed.
1148
1149 ntheorem le_to_ltb_false: ∀n,m. m \le n → ltb n m = false.
1150 #n; #m; #Hltb; napply lt_to_leb_false; /2/;
1151 nqed. *)
1152