helm/software/matita/nlibrary/basics/relations.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                                *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "Plogic/connectives.ma".
  16
  17 ndefinition relation : Type \to Type
  18 ≝ λA:Type.A→A→Prop.
  19
  20 nrecord relation (A:Type) : Type ≝
  21 {fun:2> A→A→Prop}.
  22
  23 ndefinition reflexive: ∀A:Type.∀R :relation A.Prop
  24 ≝ λA.λR.∀x:A.R x x.
  25
  26 ndefinition symmetric: ∀A:Type.∀R: relation A.Prop
  27 ≝ λA.λR.∀x,y:A.R x y → R y x.
  28
  29 ndefinition transitive: ∀A:Type.∀R:relation A.Prop
  30 ≝ λA.λR.∀x,y,z:A.R x y → R y z → R x z.
  31
  32 ndefinition irreflexive: ∀A:Type.∀R:relation A.Prop
  33 ≝ λA.λR.∀x:A.¬(R x x).
  34
  35 ndefinition cotransitive: ∀A:Type.∀R:relation A.Prop
  36 ≝ λA.λR.∀x,y:A.R x y → ∀z:A. R x z ∨ R z y.
  37
  38 ndefinition tight_apart: ∀A:Type.∀eq,ap:relation A.Prop
  39 ≝ λA.λeq,ap.∀x,y:A. (¬(ap x y) → eq x y) ∧
  40 (eq x y → ¬(ap x y)).
  41
  42 ndefinition antisymmetric: ∀A:Type.∀R:relation A.Prop
  43 ≝ λA.λR.∀x,y:A. R x y → ¬(R y x).
  44
  45