helm/software/matita/nlibrary/sets/setoids.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/connectives.ma".
  16 include "properties/relations.ma".
  17
  18 (*
  19 notation "hvbox(a break = \sub \ID b)" non associative with precedence 45
  20 for @{ 'eqID $a $b }.
  21
  22 notation > "hvbox(a break =_\ID b)" non associative with precedence 45
  23 for @{ cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? $a $b }.
  24
  25 interpretation "ID eq" 'eqID x y = (cic:/matita/logic/equality/eq.ind#xpointer(1/1) ? x y).
  26 *)
  27
  28 nrecord setoid : Type[1] ≝
  29  { carr:> Type[0];
  30    eq: equivalence_relation carr
  31  }.
  32
  33 interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq t) x y).
  34
  35 notation > "hvbox(a break =_0 b)" non associative with precedence 45
  36 for @{ eq_rel ? (eq ?) $a $b }.
  37
  38 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
  39 notation ".= r" with precedence 50 for @{'trans $r}.
  40 interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
  41
  42 nrecord unary_morphism (A,B: setoid) : Type[0] ≝
  43  { fun1:1> A → B;
  44    prop1: ∀a,a'. eq ? a a' → eq ? (fun1 a) (fun1 a')
  45  }.
  46
  47 nrecord binary_morphism (A,B,C:setoid) : Type[0] ≝
  48  { fun2:2> A → B → C;
  49    prop2: ∀a,a',b,b'. eq ? a a' → eq ? b b' → eq ? (fun2 a b) (fun2 a' b')
  50  }.
  51
  52 notation "† c" with precedence 90 for @{'prop1 $c }.
  53 notation "l ‡ r" with precedence 90 for @{'prop2 $l $r }.
  54 notation "#" with precedence 90 for @{'refl}.
  55 interpretation "prop1" 'prop1 c  = (prop1 ????? c).
  56 interpretation "prop2" 'prop2 l r = (prop2 ???????? l r).
  57 interpretation "refl" 'refl = (refl ???).