helm/software/matita/nlibrary/sets/setoids1.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "properties/relations1.ma".
  16 include "sets/setoids.ma".
  17
  18 nrecord setoid1: Type[2] ≝
  19  { carr1:> Type[1];
  20    eq1: equivalence_relation1 carr1
  21  }.
  22
  23 ndefinition setoid1_of_setoid: setoid → setoid1.
  24  #s; napply mk_setoid1
  25   [ napply (carr s)
  26   | napply (mk_equivalence_relation1 s)
  27     [ napply eq
  28     | napply refl
  29     | napply sym
  30     | napply trans]##]
  31 nqed.
  32
  33 (*ncoercion setoid1_of_setoid : ∀s:setoid. setoid1 ≝ setoid1_of_setoid
  34  on _s: setoid to setoid1.*)
  35 (*prefer coercion Type_OF_setoid.*)
  36
  37 interpretation "setoid1 eq" 'eq t x y = (eq_rel1 ? (eq1 t) x y).
  38 interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq t) x y).
  39
  40 notation > "hvbox(a break =_12 b)" non associative with precedence 45
  41 for @{ eq_rel2 (carr2 (setoid2_of_setoid1 ?)) (eq2 (setoid2_of_setoid1 ?)) $a $b }.
  42 notation > "hvbox(a break =_0 b)" non associative with precedence 45
  43 for @{ eq_rel ? (eq ?) $a $b }.
  44 notation > "hvbox(a break =_1 b)" non associative with precedence 45
  45 for @{ eq_rel1 ? (eq1 ?) $a $b }.
  46
  47 interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ???? r).
  48 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
  49 notation ".= r" with precedence 50 for @{'trans $r}.
  50 interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 ????? r).
  51 interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
  52
  53 nrecord unary_morphism1 (A,B: setoid1) : Type[1] ≝
  54  { fun11:1> A → B;
  55    prop11: ∀a,a'. eq1 ? a a' → eq1 ? (fun11 a) (fun11 a')
  56  }.
  57
  58 nrecord binary_morphism1 (A,B,C:setoid1) : Type[1] ≝
  59  { fun21:2> A → B → C;
  60    prop21: ∀a,a',b,b'. eq1 ? a a' → eq1 ? b b' → eq1 ? (fun21 a b) (fun21 a' b')
  61  }.
  62
  63 interpretation "prop11" 'prop1 c = (prop11 ????? c).
  64 interpretation "prop21" 'prop2 l r = (prop21 ???????? l r).
  65 interpretation "refl1" 'refl = (refl1 ???).