helm/software/matita/nlibrary/sets/setoids2.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "properties/relations2.ma".
  16 include "sets/setoids1.ma".
  17
  18 nrecord setoid2: Type[3] ≝
  19  { carr2:> Type[2];
  20    eq2: equivalence_relation2 carr2
  21  }.
  22
  23 ndefinition setoid2_of_setoid1: setoid1 → setoid2.
  24  #s; @ (carr1 s); @ (carr1 s) (eq1 ?)
  25   [ napply refl1
  26   | napply sym1
  27   | napply trans1]
  28 nqed.
  29
  30 (*ncoercion setoid1_of_setoid : ∀s:setoid. setoid1 ≝ setoid1_of_setoid
  31  on _s: setoid to setoid1.*)
  32 (*prefer coercion Type_OF_setoid.*)
  33
  34 interpretation "setoid2 eq" 'eq t x y = (eq_rel2 ? (eq2 t) x y).
  35 interpretation "setoid1 eq" 'eq t x y = (eq_rel1 ? (eq1 t) x y).
  36 interpretation "setoid eq" 'eq t x y = (eq_rel ? (eq t) x y).
  37
  38 (*
  39 notation > "hvbox(a break =_12 b)" non associative with precedence 45
  40 for @{ eq_rel2 (carr2 (setoid2_of_setoid1 ?)) (eq2 (setoid2_of_setoid1 ?)) $a $b }.
  41 *)
  42 notation > "hvbox(a break =_0 b)" non associative with precedence 45
  43 for @{ eq_rel ? (eq0 ?) $a $b }.
  44 notation > "hvbox(a break =_1 b)" non associative with precedence 45
  45 for @{ eq_rel1 ? (eq1 ?) $a $b }.
  46 notation > "hvbox(a break =_2 b)" non associative with precedence 45
  47 for @{ eq_rel2 ? (eq2 ?) $a $b }.
  48
  49 interpretation "setoid2 symmetry" 'invert r = (sym2 ???? r).
  50 interpretation "setoid1 symmetry" 'invert r = (sym1 ???? r).
  51 interpretation "setoid symmetry" 'invert r = (sym ???? r).
  52 notation ".= r" with precedence 50 for @{'trans $r}.
  53 interpretation "trans2" 'trans r = (trans2 ????? r).
  54 interpretation "trans1" 'trans r = (trans1 ????? r).
  55 interpretation "trans" 'trans r = (trans ????? r).
  56
  57 nrecord unary_morphism2 (A,B: setoid2) : Type[2] ≝
  58  { fun12:1> A → B;
  59    prop12: ∀a,a'. eq2 ? a a' → eq2 ? (fun12 a) (fun12 a')
  60  }.
  61
  62 nrecord binary_morphism2 (A,B,C:setoid2) : Type[2] ≝
  63  { fun22:2> A → B → C;
  64    prop22: ∀a,a',b,b'. eq2 ? a a' → eq2 ? b b' → eq2 ? (fun22 a b) (fun22 a' b')
  65  }.
  66
  67 interpretation "prop12" 'prop1 c = (prop12 ????? c).
  68 interpretation "prop22" 'prop2 l r = (prop22 ???????? l r).
  69 interpretation "refl2" 'refl = (refl2 ???).