helm/software/matita/tests/fguidi.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 include "logic/connectives.ma".
  16 include "nat/nat.ma".
  17
  18 theorem eq_S_S: \forall m,n. m = n \to (S m) = (S n).
  19 intros; destruct; autobatch.
  20 qed.
  21
  22 inductive le: nat \to nat \to Prop \def
  23      le_zero: \forall n. (le O n)
  24    | le_succ: \forall m, n. (le m n) \to (le (S m) (S n)).
  25
  26 theorem le_refl: \forall x. (le x x).
  27 intros; elim x; clear x; autobatch.
  28 qed.
  29
  30 theorem le_gen_x_O_aux: \forall x, y. (le x y) \to (y =O) \to (x = O).
  31 intros 3; elim H; clear H x y;
  32 [ autobatch
  33 | destruct
  34 ]
  35 qed.
  36
  37 theorem le_gen_x_O: \forall x. (le x O) \to (x = O).
  38 intros; lapply linear le_gen_x_O_aux to H;
  39 [ destruct; autobatch
  40 | autobatch
  41 ].
  42 qed.
  43
  44 theorem le_x_O: \forall x. (x = O) \to (le x O).
  45 intros; destruct; autobatch.
  46 qed.
  47
  48 theorem le_gen_S_x_aux: \forall m,x,y. (le y x) \to (y = S m) \to
  49                         (\exists n. x = (S n) \land (le m n)).
  50 intros 4; elim H; clear H x y;
  51 [ destruct
  52 | destruct; autobatch
  53 ].
  54 qed.
  55
  56 theorem le_gen_S_x: \forall m,x. (le (S m) x) \to
  57                     (\exists n. x = (S n) \land (le m n)).
  58 intros; lapply le_gen_S_x_aux to H; autobatch.
  59 qed.
  60
  61 theorem le_S_x: \forall m,x. (\exists n. x = (S n) \land (le m n)) \to
  62                 (le (S m) x).
  63 intros; decompose; destruct; autobatch.
  64 qed.
  65
  66 theorem le_gen_S_S: \forall m,n. (le (S m) (S n)) \to (le m n).
  67 intros.
  68 lapply linear le_gen_S_x to H as H0; decompose; destruct; autobatch.
  69 qed.
  70
  71 theorem le_S_S: \forall m,n. (le m n) \to (le (S m) (S n)).
  72 intros; autobatch.
  73 qed.
  74
  75 theorem le_trans: \forall x,y. (le x y) \to \forall z. (le y z) \to (le x z).
  76 intros 3. elim H; clear H x y;
  77 [ autobatch
  78 | lapply linear le_gen_S_x to H3; decompose; destruct; autobatch.
  79 ].
  80 qed.