matita/contribs/CoRN-Decl/reals/CauchySeq.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/CoRN-Decl/reals/CauchySeq".
  18
  19 include "CoRN.ma".
  20
  21 (* $Id: CauchySeq.v,v 1.8 2004/04/23 10:01:04 lcf Exp $ *)
  22
  23 (*#* printing IR %\ensuremath{\mathbb R}% *)
  24
  25 (*#* printing PartIR %\ensuremath{\mathbb R\!\not\rightarrow\!\mathbb R}% *)
  26
  27 (*#* printing ZeroR %\ensuremath{\mathbf0}% #0# *)
  28
  29 (*#* printing OneR %\ensuremath{\mathbf1}% #1# *)
  30
  31 (*#* printing AbsIR %\ensuremath{|\cdot|_{\mathbb R}}% *)
  32
  33 include "reals/CReals.ma".
  34
  35 (*#* *Real Number Structures
  36 %\begin{convention}% Let [IR] be a structure for real numbers.
  37 %\end{convention}%
  38 *)
  39
  40 (*
  41 Require Export R_CReals.
  42 Definition IR : CReals := Concrete_R.
  43 Opaque IR.
  44 *)
  45
  46 alias id "IR" = "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/IR.var".
  47
  48 (* NOTATION
  49 Notation PartIR := (PartFunct IR).
  50 *)
  51
  52 (* NOTATION
  53 Notation ProjIR1 := (prj1 IR _ _ _).
  54 *)
  55
  56 (* NOTATION
  57 Notation ProjIR2 := (prj2 IR _ _ _).
  58 *)
  59
  60 include "tactics/Transparent_algebra.ma".
  61
  62 (* begin hide *)
  63
  64 (* NOTATION
  65 Notation ZeroR := (Zero:IR).
  66 *)
  67
  68 (* NOTATION
  69 Notation OneR := (One:IR).
  70 *)
  71
  72 (* end hide *)
  73
  74 (* UNEXPORTED
  75 Section CReals_axioms
  76 *)
  77
  78 (*#* ** [CReals] axioms *)
  79
  80 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/CReals_is_CReals.con".
  81
  82 (*#* First properties which follow trivially from the axioms.  *)
  83
  84 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_Cauchy.con".
  85
  86 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Archimedes.con".
  87
  88 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Archimedes'.con".
  89
  90 (*#* A stronger version, which often comes in useful.  *)
  91
  92 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/str_Archimedes.con".
  93
  94 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/CauchySeqR.con".
  95
  96 (* UNEXPORTED
  97 End CReals_axioms
  98 *)
  99
 100 (* UNEXPORTED
 101 Section Cauchy_Defs
 102 *)
 103
 104 (*#* ** Cauchy sequences
 105 *** Alternative definitions
 106 This section gives several definitions of Cauchy sequences. There
 107 are no lemmas in this section.
 108
 109 The current definition of Cauchy ([Cauchy_prop]) is:
 110
 111 %\[\forall \epsilon>0. \exists N. \forall m\geq N. |seq_m - seq_N|\leq\varepsilon\]%
 112 #for all e&gt;0 there exists N such that for all m&ge; N |seqm-seqN|&le; e#
 113
 114 Variant 1 of Cauchy ([Cauchy_prop1]) is:
 115
 116 %\[\forall k. \exists N. \forall m \geq N. |seq_m - seq_N|\leq1/(k+1)\]%
 117 #for all k there exists N such that for all m &ge; N |seqm-seqN| &le; 1/(k+1)#
 118
 119 In all of the following variants the limit occurs in the definition.
 120 Therefore it is useful to define an auxiliary predicate
 121 [Cauchy_Lim_prop?], in terms of which [Cauchy_prop?] is defined.
 122
 123 Variant 2 of Cauchy ([Cauchy_prop2]) is [exists y, (Cauchy_Lim_prop2 seq y)]
 124 where
 125 [[
 126 Cauchy_Lim_prop2 seq y := forall eps [>] Zero, exists N, forall m >= N, (AbsIR seq m - y) [<=] eps
 127 ]]
 128
 129 Note that [Cauchy_Lim_prop2] equals [seqLimit].
 130
 131 Variant 3 of Cauchy ([Cauchy_prop3]) reads [exists y, (Cauchy_Lim_prop3 seq y)]
 132 where
 133 [[
 134 Cauchy_Lim_prop3 seq y := forall k, exists N, forall m >= N, (AbsIR seq m - y) [<=] One[/] (k[+]1)
 135 ]]
 136
 137 The following variant is more restricted.
 138
 139 Variant 4 of Cauchy ([Cauchy_prop4]): [exists y, (Cauchy_Lim_prop4 seq y)]
 140 where
 141 [[
 142 Cauchy_Lim_prop4 seq y := forall k, (AbsIR seq m - y) [<=] One[/] (k[+]1)
 143 ]]
 144
 145 So
 146 [[
 147 Cauchy_prop4 -> Cauchy_prop3 Iff Cauchy_prop2 Iff Cauchy_prop1 Iff Cauchy_prop
 148 ]]
 149 Note: we don't know which formulations are useful.
 150
 151 The inequalities are stated with [[<=]] rather than with [<] for the
 152 following reason: both formulations are equivalent, as is well known;
 153 and [[<=]] being a negative statement, this makes proofs
 154 sometimes easier and program extraction much more efficient.
 155 *)
 156
 157 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_prop1.con".
 158
 159 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_Lim_prop2.con".
 160
 161 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_prop2.con".
 162
 163 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_Lim_prop3.con".
 164
 165 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_prop3.con".
 166
 167 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_Lim_prop4.con".
 168
 169 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_prop4.con".
 170
 171 (* UNEXPORTED
 172 End Cauchy_Defs
 173 *)
 174
 175 (* UNEXPORTED
 176 Section Inequalities
 177 *)
 178
 179 (*#* *** Inequalities of Limits
 180
 181 The next lemma is equal to lemma [Lim_Cauchy].  *)
 182
 183 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_complete.con".
 184
 185 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/less_Lim_so_less_seq.con".
 186
 187 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_less_so_seq_less.con".
 188
 189 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_less_Lim_so_seq_less_seq.con".
 190
 191 (*#* The next lemma follows from [less_Lim_so_less_seq] with [y := (y[+] (Lim seq)) [/]TwoNZ].  *)
 192
 193 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/less_Lim_so.con".
 194
 195 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_less_so.con".
 196
 197 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/leEq_seq_so_leEq_Lim.con".
 198
 199 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/str_leEq_seq_so_leEq_Lim.con".
 200
 201 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_leEq_Lim.con".
 202
 203 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/seq_leEq_so_Lim_leEq.con".
 204
 205 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/str_seq_leEq_so_Lim_leEq.con".
 206
 207 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Limits_unique.con".
 208
 209 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_wd.con".
 210
 211 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_strext.con".
 212
 213 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_ap_imp_seq_ap.con".
 214
 215 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_ap_imp_seq_ap'.con".
 216
 217 (* UNEXPORTED
 218 End Inequalities
 219 *)
 220
 221 (* UNEXPORTED
 222 Section Equiv_Cauchy
 223 *)
 224
 225 (*#* *** Equivalence of formulations of Cauchy *)
 226
 227 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_prop1_prop.con".
 228
 229 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_prop2_prop.con".
 230
 231 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_Lim_prop3_prop2.con".
 232
 233 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_prop3_prop2.con".
 234
 235 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_prop3_prop.con".
 236
 237 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Build_CauchySeq1.con".
 238
 239 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_Lim_prop4_prop3.con".
 240
 241 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_Lim_prop4_prop2.con".
 242
 243 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_prop4_prop3.con".
 244
 245 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_prop4_prop.con".
 246
 247 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Build_CauchySeq4.con".
 248
 249 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Build_CauchySeq4_y.con".
 250
 251 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_CauchySeq4.con".
 252
 253 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Build_CauchySeq2.con".
 254
 255 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Build_CauchySeq2_y.con".
 256
 257 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_CauchySeq2.con".
 258
 259 (*#* Well definedness. *)
 260
 261 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_prop_wd.con".
 262
 263 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_Lim_prop2_wd.con".
 264
 265 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_wd'.con".
 266
 267 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_unique.con".
 268
 269 (* UNEXPORTED
 270 End Equiv_Cauchy
 271 *)
 272
 273 (* UNEXPORTED
 274 Section Cauchy_props
 275 *)
 276
 277 (*#* *** Properties of Cauchy sequences
 278
 279 Some of these lemmas are now obsolete, because they were reproved for arbitrary ordered fields$\ldots$#...#
 280
 281 We begin by defining the constant sequence and proving that it is Cauchy with the expected limit.
 282 *)
 283
 284 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_const.con".
 285
 286 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_const.con".
 287
 288 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_Lim_plus.con".
 289
 290 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_plus.con".
 291
 292 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_plus.con".
 293
 294 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_Lim_inv.con".
 295
 296 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_inv.con".
 297
 298 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_inv.con".
 299
 300 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_Lim_minus.con".
 301
 302 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_minus.con".
 303
 304 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_minus.con".
 305
 306 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_Lim_mult.con".
 307
 308 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Cauchy_mult.con".
 309
 310 inline "cic:/CoRN/reals/CauchySeq/Lim_mult.con".
 311
 312 (* UNEXPORTED
 313 End Cauchy_props
 314 *)
 315