matita/contribs/LAMBDA-TYPES/Base-1/ext/arith.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "Base-1/preamble.ma".
  18
  19 theorem nat_dec:
  20  \forall (n1: nat).(\forall (n2: nat).(or (eq nat n1 n2) ((eq nat n1 n2) \to
  21 (\forall (P: Prop).P))))
  22 \def
  23  \lambda (n1: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n2: nat).(or (eq nat
  24 n n2) ((eq nat n n2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (n2:
  25 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(or (eq nat O n) ((eq nat O n) \to (\forall
  26 (P: Prop).P)))) (or_introl (eq nat O O) ((eq nat O O) \to (\forall (P:
  27 Prop).P)) (refl_equal nat O)) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (or (eq nat O n)
  28 ((eq nat O n) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq nat O (S n)) ((eq
  29 nat O (S n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H0: (eq nat O (S
  30 n))).(\lambda (P: Prop).(let H1 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match
  31 ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True | (S _)
  32 \Rightarrow False])) I (S n) H0) in (False_ind P H1))))))) n2)) (\lambda (n:
  33 nat).(\lambda (H: ((\forall (n2: nat).(or (eq nat n n2) ((eq nat n n2) \to
  34 (\forall (P: Prop).P)))))).(\lambda (n2: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(or
  35 (eq nat (S n) n0) ((eq nat (S n) n0) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_intror
  36 (eq nat (S n) O) ((eq nat (S n) O) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H0:
  37 (eq nat (S n) O)).(\lambda (P: Prop).(let H1 \def (eq_ind nat (S n) (\lambda
  38 (ee: nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow
  39 False | (S _) \Rightarrow True])) I O H0) in (False_ind P H1))))) (\lambda
  40 (n0: nat).(\lambda (H0: (or (eq nat (S n) n0) ((eq nat (S n) n0) \to (\forall
  41 (P: Prop).P)))).(or_ind (eq nat n n0) ((eq nat n n0) \to (\forall (P:
  42 Prop).P)) (or (eq nat (S n) (S n0)) ((eq nat (S n) (S n0)) \to (\forall (P:
  43 Prop).P))) (\lambda (H1: (eq nat n n0)).(let H2 \def (eq_ind_r nat n0
  44 (\lambda (n3: nat).(or (eq nat (S n) n3) ((eq nat (S n) n3) \to (\forall (P:
  45 Prop).P)))) H0 n H1) in (eq_ind nat n (\lambda (n3: nat).(or (eq nat (S n) (S
  46 n3)) ((eq nat (S n) (S n3)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl (eq nat
  47 (S n) (S n)) ((eq nat (S n) (S n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal nat
  48 (S n))) n0 H1))) (\lambda (H1: (((eq nat n n0) \to (\forall (P:
  49 Prop).P)))).(or_intror (eq nat (S n) (S n0)) ((eq nat (S n) (S n0)) \to
  50 (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H2: (eq nat (S n) (S n0))).(\lambda (P:
  51 Prop).(let H3 \def (f_equal nat nat (\lambda (e: nat).(match e in nat return
  52 (\lambda (_: nat).nat) with [O \Rightarrow n | (S n3) \Rightarrow n3])) (S n)
  53 (S n0) H2) in (let H4 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n3: nat).((eq nat n n3)
  54 \to (\forall (P0: Prop).P0))) H1 n H3) in (let H5 \def (eq_ind_r nat n0
  55 (\lambda (n3: nat).(or (eq nat (S n) n3) ((eq nat (S n) n3) \to (\forall (P0:
  56 Prop).P0)))) H0 n H3) in (H4 (refl_equal nat n) P)))))))) (H n0)))) n2))))
  57 n1).
  58
  59 theorem simpl_plus_r:
  60  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).(\forall (p: nat).((eq nat (plus m n)
  61 (plus p n)) \to (eq nat m p))))
  62 \def
  63  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (p: nat).(\lambda (H: (eq nat
  64 (plus m n) (plus p n))).(simpl_plus_l n m p (eq_ind_r nat (plus m n) (\lambda
  65 (n0: nat).(eq nat n0 (plus n p))) (eq_ind_r nat (plus p n) (\lambda (n0:
  66 nat).(eq nat n0 (plus n p))) (sym_eq nat (plus n p) (plus p n) (plus_sym n
  67 p)) (plus m n) H) (plus n m) (plus_sym n m)))))).
  68
  69 theorem minus_Sx_Sy:
  70  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(eq nat (minus (S x) (S y)) (minus x y)))
  71 \def
  72  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(refl_equal nat (minus x y))).
  73
  74 theorem minus_plus_r:
  75  \forall (m: nat).(\forall (n: nat).(eq nat (minus (plus m n) n) m))
  76 \def
  77  \lambda (m: nat).(\lambda (n: nat).(eq_ind_r nat (plus n m) (\lambda (n0:
  78 nat).(eq nat (minus n0 n) m)) (minus_plus n m) (plus m n) (plus_sym m n))).
  79
  80 theorem plus_permute_2_in_3:
  81  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (z: nat).(eq nat (plus (plus x
  82 y) z) (plus (plus x z) y))))
  83 \def
  84  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (z: nat).(eq_ind_r nat (plus x
  85 (plus y z)) (\lambda (n: nat).(eq nat n (plus (plus x z) y))) (eq_ind_r nat
  86 (plus z y) (\lambda (n: nat).(eq nat (plus x n) (plus (plus x z) y))) (eq_ind
  87 nat (plus (plus x z) y) (\lambda (n: nat).(eq nat n (plus (plus x z) y)))
  88 (refl_equal nat (plus (plus x z) y)) (plus x (plus z y)) (plus_assoc_r x z
  89 y)) (plus y z) (plus_sym y z)) (plus (plus x y) z) (plus_assoc_r x y z)))).
  90
  91 theorem plus_permute_2_in_3_assoc:
  92  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(eq nat (plus (plus n
  93 h) k) (plus n (plus k h)))))
  94 \def
  95  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(eq_ind_r nat (plus
  96 (plus n k) h) (\lambda (n0: nat).(eq nat n0 (plus n (plus k h)))) (eq_ind_r
  97 nat (plus (plus n k) h) (\lambda (n0: nat).(eq nat (plus (plus n k) h) n0))
  98 (refl_equal nat (plus (plus n k) h)) (plus n (plus k h)) (plus_assoc_l n k
  99 h)) (plus (plus n h) k) (plus_permute_2_in_3 n h k)))).
 100
 101 theorem plus_O:
 102  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((eq nat (plus x y) O) \to (land (eq nat
 103 x O) (eq nat y O))))
 104 \def
 105  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((eq nat (plus
 106 n y) O) \to (land (eq nat n O) (eq nat y O))))) (\lambda (y: nat).(\lambda
 107 (H: (eq nat (plus O y) O)).(conj (eq nat O O) (eq nat y O) (refl_equal nat O)
 108 H))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: ((\forall (y: nat).((eq nat (plus n y) O)
 109 \to (land (eq nat n O) (eq nat y O)))))).(\lambda (y: nat).(\lambda (H0: (eq
 110 nat (plus (S n) y) O)).(let H1 \def (match H0 in eq return (\lambda (n0:
 111 nat).(\lambda (_: (eq ? ? n0)).((eq nat n0 O) \to (land (eq nat (S n) O) (eq
 112 nat y O))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (plus (S n)
 113 y) O)).(let H2 \def (eq_ind nat (plus (S n) y) (\lambda (e: nat).(match e in
 114 nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _)
 115 \Rightarrow True])) I O H1) in (False_ind (land (eq nat (S n) O) (eq nat y
 116 O)) H2)))]) in (H1 (refl_equal nat O))))))) x).
 117
 118 theorem minus_Sx_SO:
 119  \forall (x: nat).(eq nat (minus (S x) (S O)) x)
 120 \def
 121  \lambda (x: nat).(eq_ind nat x (\lambda (n: nat).(eq nat n x)) (refl_equal
 122 nat x) (minus x O) (minus_n_O x)).
 123
 124 theorem eq_nat_dec:
 125  \forall (i: nat).(\forall (j: nat).(or (not (eq nat i j)) (eq nat i j)))
 126 \def
 127  \lambda (i: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (j: nat).(or (not (eq
 128 nat n j)) (eq nat n j)))) (\lambda (j: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(or
 129 (not (eq nat O n)) (eq nat O n))) (or_intror (not (eq nat O O)) (eq nat O O)
 130 (refl_equal nat O)) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (or (not (eq nat O n)) (eq
 131 nat O n))).(or_introl (not (eq nat O (S n))) (eq nat O (S n)) (O_S n)))) j))
 132 (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (j: nat).(or (not (eq nat n j)) (eq
 133 nat n j))))).(\lambda (j: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(or (not (eq nat
 134 (S n) n0)) (eq nat (S n) n0))) (or_introl (not (eq nat (S n) O)) (eq nat (S
 135 n) O) (sym_not_eq nat O (S n) (O_S n))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (or
 136 (not (eq nat (S n) n0)) (eq nat (S n) n0))).(or_ind (not (eq nat n n0)) (eq
 137 nat n n0) (or (not (eq nat (S n) (S n0))) (eq nat (S n) (S n0))) (\lambda
 138 (H1: (not (eq nat n n0))).(or_introl (not (eq nat (S n) (S n0))) (eq nat (S
 139 n) (S n0)) (not_eq_S n n0 H1))) (\lambda (H1: (eq nat n n0)).(or_intror (not
 140 (eq nat (S n) (S n0))) (eq nat (S n) (S n0)) (f_equal nat nat S n n0 H1))) (H
 141 n0)))) j)))) i).
 142
 143 theorem neq_eq_e:
 144  \forall (i: nat).(\forall (j: nat).(\forall (P: Prop).((((not (eq nat i j))
 145 \to P)) \to ((((eq nat i j) \to P)) \to P))))
 146 \def
 147  \lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((not
 148 (eq nat i j)) \to P))).(\lambda (H0: (((eq nat i j) \to P))).(let o \def
 149 (eq_nat_dec i j) in (or_ind (not (eq nat i j)) (eq nat i j) P H H0 o)))))).
 150
 151 theorem le_false:
 152  \forall (m: nat).(\forall (n: nat).(\forall (P: Prop).((le m n) \to ((le (S
 153 n) m) \to P))))
 154 \def
 155  \lambda (m: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: nat).(\forall (P:
 156 Prop).((le n n0) \to ((le (S n0) n) \to P))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (P:
 157 Prop).(\lambda (_: (le O n)).(\lambda (H0: (le (S n) O)).(let H1 \def (match
 158 H0 in le return (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (le ? n0)).((eq nat n0 O) \to
 159 P))) with [le_n \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S n) O)).(let H2 \def
 160 (eq_ind nat (S n) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_:
 161 nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H1) in
 162 (False_ind P H2))) | (le_S m0 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq nat (S m0)
 163 O)).((let H3 \def (eq_ind nat (S m0) (\lambda (e: nat).(match e in nat return
 164 (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True]))
 165 I O H2) in (False_ind ((le (S n) m0) \to P) H3)) H1))]) in (H1 (refl_equal
 166 nat O))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (n0: nat).(\forall (P:
 167 Prop).((le n n0) \to ((le (S n0) n) \to P)))))).(\lambda (n0: nat).(nat_ind
 168 (\lambda (n1: nat).(\forall (P: Prop).((le (S n) n1) \to ((le (S n1) (S n))
 169 \to P)))) (\lambda (P: Prop).(\lambda (H0: (le (S n) O)).(\lambda (_: (le (S
 170 O) (S n))).(let H2 \def (match H0 in le return (\lambda (n1: nat).(\lambda
 171 (_: (le ? n1)).((eq nat n1 O) \to P))) with [le_n \Rightarrow (\lambda (H2:
 172 (eq nat (S n) O)).(let H3 \def (eq_ind nat (S n) (\lambda (e: nat).(match e
 173 in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _)
 174 \Rightarrow True])) I O H2) in (False_ind P H3))) | (le_S m0 H2) \Rightarrow
 175 (\lambda (H3: (eq nat (S m0) O)).((let H4 \def (eq_ind nat (S m0) (\lambda
 176 (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow
 177 False | (S _) \Rightarrow True])) I O H3) in (False_ind ((le (S n) m0) \to P)
 178 H4)) H2))]) in (H2 (refl_equal nat O)))))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_:
 179 ((\forall (P: Prop).((le (S n) n1) \to ((le (S n1) (S n)) \to P))))).(\lambda
 180 (P: Prop).(\lambda (H1: (le (S n) (S n1))).(\lambda (H2: (le (S (S n1)) (S
 181 n))).(H n1 P (le_S_n n n1 H1) (le_S_n (S n1) n H2))))))) n0)))) m).
 182
 183 theorem le_Sx_x:
 184  \forall (x: nat).((le (S x) x) \to (\forall (P: Prop).P))
 185 \def
 186  \lambda (x: nat).(\lambda (H: (le (S x) x)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 187 le_Sn_n in (False_ind P (H0 x H))))).
 188
 189 theorem le_n_pred:
 190  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (le (pred n) (pred m))))
 191 \def
 192  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).(le_ind n (\lambda
 193 (n0: nat).(le (pred n) (pred n0))) (le_n (pred n)) (\lambda (m0:
 194 nat).(\lambda (_: (le n m0)).(\lambda (H1: (le (pred n) (pred m0))).(le_trans
 195 (pred n) (pred m0) m0 H1 (le_pred_n m0))))) m H))).
 196
 197 theorem minus_le:
 198  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(le (minus x y) x))
 199 \def
 200  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).(le (minus n
 201 y) n))) (\lambda (_: nat).(le_n O)) (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall
 202 (y: nat).(le (minus n y) n)))).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
 203 nat).(le (minus (S n) n0) (S n))) (le_n (S n)) (\lambda (n0: nat).(\lambda
 204 (_: (le (match n0 with [O \Rightarrow (S n) | (S l) \Rightarrow (minus n l)])
 205 (S n))).(le_S (minus n n0) n (H n0)))) y)))) x).
 206
 207 theorem le_plus_minus_sym:
 208  \forall (n: nat).(\forall (m: nat).((le n m) \to (eq nat m (plus (minus m n)
 209 n))))
 210 \def
 211  \lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (le n m)).(eq_ind_r nat
 212 (plus n (minus m n)) (\lambda (n0: nat).(eq nat m n0)) (le_plus_minus n m H)
 213 (plus (minus m n) n) (plus_sym (minus m n) n)))).
 214
 215 theorem le_minus_minus:
 216  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le x y) \to (\forall (z: nat).((le y z)
 217 \to (le (minus y x) (minus z x))))))
 218 \def
 219  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le x y)).(\lambda (z:
 220 nat).(\lambda (H0: (le y z)).(simpl_le_plus_l x (minus y x) (minus z x)
 221 (eq_ind_r nat y (\lambda (n: nat).(le n (plus x (minus z x)))) (eq_ind_r nat
 222 z (\lambda (n: nat).(le y n)) H0 (plus x (minus z x)) (le_plus_minus_r x z
 223 (le_trans x y z H H0))) (plus x (minus y x)) (le_plus_minus_r x y H))))))).
 224
 225 theorem le_minus_plus:
 226  \forall (z: nat).(\forall (x: nat).((le z x) \to (\forall (y: nat).(eq nat
 227 (minus (plus x y) z) (plus (minus x z) y)))))
 228 \def
 229  \lambda (z: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x: nat).((le n x) \to
 230 (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus x y) n) (plus (minus x n) y))))))
 231 (\lambda (x: nat).(\lambda (H: (le O x)).(let H0 \def (match H in le return
 232 (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n x) \to (\forall (y:
 233 nat).(eq nat (minus (plus x y) O) (plus (minus x O) y)))))) with [le_n
 234 \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat O x)).(eq_ind nat O (\lambda (n:
 235 nat).(\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus n y) O) (plus (minus n O) y))))
 236 (\lambda (y: nat).(sym_eq nat (plus (minus O O) y) (minus (plus O y) O)
 237 (minus_n_O (plus O y)))) x H0)) | (le_S m H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq
 238 nat (S m) x)).(eq_ind nat (S m) (\lambda (n: nat).((le O m) \to (\forall (y:
 239 nat).(eq nat (minus (plus n y) O) (plus (minus n O) y))))) (\lambda (_: (le O
 240 m)).(\lambda (y: nat).(refl_equal nat (plus (minus (S m) O) y)))) x H1 H0))])
 241 in (H0 (refl_equal nat x))))) (\lambda (z0: nat).(\lambda (H: ((\forall (x:
 242 nat).((le z0 x) \to (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus x y) z0) (plus
 243 (minus x z0) y))))))).(\lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).((le (S
 244 z0) n) \to (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus n y) (S z0)) (plus (minus n
 245 (S z0)) y))))) (\lambda (H0: (le (S z0) O)).(\lambda (y: nat).(let H1 \def
 246 (match H0 in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n O)
 247 \to (eq nat (minus (plus O y) (S z0)) (plus (minus O (S z0)) y))))) with
 248 [le_n \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S z0) O)).(let H2 \def (eq_ind nat
 249 (S z0) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with
 250 [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H1) in (False_ind (eq
 251 nat (minus (plus O y) (S z0)) (plus (minus O (S z0)) y)) H2))) | (le_S m H1)
 252 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq nat (S m) O)).((let H3 \def (eq_ind nat (S m)
 253 (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O
 254 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H2) in (False_ind ((le (S
 255 z0) m) \to (eq nat (minus (plus O y) (S z0)) (plus (minus O (S z0)) y))) H3))
 256 H1))]) in (H1 (refl_equal nat O))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (((le (S
 257 z0) n) \to (\forall (y: nat).(eq nat (minus (plus n y) (S z0)) (plus (minus n
 258 (S z0)) y)))))).(\lambda (H1: (le (S z0) (S n))).(\lambda (y: nat).(H n
 259 (le_S_n z0 n H1) y))))) x)))) z).
 260
 261 theorem le_minus:
 262  \forall (x: nat).(\forall (z: nat).(\forall (y: nat).((le (plus x y) z) \to
 263 (le x (minus z y)))))
 264 \def
 265  \lambda (x: nat).(\lambda (z: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le (plus
 266 x y) z)).(eq_ind nat (minus (plus x y) y) (\lambda (n: nat).(le n (minus z
 267 y))) (le_minus_minus y (plus x y) (le_plus_r x y) z H) x (minus_plus_r x
 268 y))))).
 269
 270 theorem le_trans_plus_r:
 271  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (z: nat).((le (plus x y) z) \to
 272 (le y z))))
 273 \def
 274  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (z: nat).(\lambda (H: (le (plus
 275 x y) z)).(le_trans y (plus x y) z (le_plus_r x y) H)))).
 276
 277 theorem lt_x_O:
 278  \forall (x: nat).((lt x O) \to (\forall (P: Prop).P))
 279 \def
 280  \lambda (x: nat).(\lambda (H: (le (S x) O)).(\lambda (P: Prop).(let H_y \def
 281 (le_n_O_eq (S x) H) in (let H0 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match
 282 ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True | (S _)
 283 \Rightarrow False])) I (S x) H_y) in (False_ind P H0))))).
 284
 285 theorem le_gen_S:
 286  \forall (m: nat).(\forall (x: nat).((le (S m) x) \to (ex2 nat (\lambda (n:
 287 nat).(eq nat x (S n))) (\lambda (n: nat).(le m n)))))
 288 \def
 289  \lambda (m: nat).(\lambda (x: nat).(\lambda (H: (le (S m) x)).(let H0 \def
 290 (match H in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n x)
 291 \to (ex2 nat (\lambda (n0: nat).(eq nat x (S n0))) (\lambda (n0: nat).(le m
 292 n0)))))) with [le_n \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat (S m) x)).(eq_ind nat
 293 (S m) (\lambda (n: nat).(ex2 nat (\lambda (n0: nat).(eq nat n (S n0)))
 294 (\lambda (n0: nat).(le m n0)))) (ex_intro2 nat (\lambda (n: nat).(eq nat (S
 295 m) (S n))) (\lambda (n: nat).(le m n)) m (refl_equal nat (S m)) (le_n m)) x
 296 H0)) | (le_S m0 H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (S m0) x)).(eq_ind nat
 297 (S m0) (\lambda (n: nat).((le (S m) m0) \to (ex2 nat (\lambda (n0: nat).(eq
 298 nat n (S n0))) (\lambda (n0: nat).(le m n0))))) (\lambda (H2: (le (S m)
 299 m0)).(ex_intro2 nat (\lambda (n: nat).(eq nat (S m0) (S n))) (\lambda (n:
 300 nat).(le m n)) m0 (refl_equal nat (S m0)) (le_S_n m m0 (le_S (S m) m0 H2))))
 301 x H1 H0))]) in (H0 (refl_equal nat x))))).
 302
 303 theorem lt_x_plus_x_Sy:
 304  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(lt x (plus x (S y))))
 305 \def
 306  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(eq_ind_r nat (plus (S y) x) (\lambda (n:
 307 nat).(lt x n)) (le_S_n (S x) (S (plus y x)) (le_n_S (S x) (S (plus y x))
 308 (le_n_S x (plus y x) (le_plus_r y x)))) (plus x (S y)) (plus_sym x (S y)))).
 309
 310 theorem simpl_lt_plus_r:
 311  \forall (p: nat).(\forall (n: nat).(\forall (m: nat).((lt (plus n p) (plus m
 312 p)) \to (lt n m))))
 313 \def
 314  \lambda (p: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (m: nat).(\lambda (H: (lt (plus
 315 n p) (plus m p))).(simpl_lt_plus_l n m p (let H0 \def (eq_ind nat (plus n p)
 316 (\lambda (n0: nat).(lt n0 (plus m p))) H (plus p n) (plus_sym n p)) in (let
 317 H1 \def (eq_ind nat (plus m p) (\lambda (n0: nat).(lt (plus p n) n0)) H0
 318 (plus p m) (plus_sym m p)) in H1)))))).
 319
 320 theorem minus_x_Sy:
 321  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt y x) \to (eq nat (minus x y) (S
 322 (minus x (S y))))))
 323 \def
 324  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((lt y n) \to
 325 (eq nat (minus n y) (S (minus n (S y))))))) (\lambda (y: nat).(\lambda (H:
 326 (lt y O)).(let H0 \def (match H in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_:
 327 (le ? n)).((eq nat n O) \to (eq nat (minus O y) (S (minus O (S y))))))) with
 328 [le_n \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat (S y) O)).(let H1 \def (eq_ind nat (S
 329 y) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O
 330 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H0) in (False_ind (eq nat
 331 (minus O y) (S (minus O (S y)))) H1))) | (le_S m H0) \Rightarrow (\lambda
 332 (H1: (eq nat (S m) O)).((let H2 \def (eq_ind nat (S m) (\lambda (e:
 333 nat).(match e in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False
 334 | (S _) \Rightarrow True])) I O H1) in (False_ind ((le (S y) m) \to (eq nat
 335 (minus O y) (S (minus O (S y))))) H2)) H0))]) in (H0 (refl_equal nat O)))))
 336 (\lambda (n: nat).(\lambda (H: ((\forall (y: nat).((lt y n) \to (eq nat
 337 (minus n y) (S (minus n (S y)))))))).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
 338 nat).((lt n0 (S n)) \to (eq nat (minus (S n) n0) (S (minus (S n) (S n0))))))
 339 (\lambda (_: (lt O (S n))).(eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(eq nat (S n) (S
 340 n0))) (refl_equal nat (S n)) (minus n O) (minus_n_O n))) (\lambda (n0:
 341 nat).(\lambda (_: (((lt n0 (S n)) \to (eq nat (minus (S n) n0) (S (minus (S
 342 n) (S n0))))))).(\lambda (H1: (lt (S n0) (S n))).(let H2 \def (le_S_n (S n0)
 343 n H1) in (H n0 H2))))) y)))) x).
 344
 345 theorem lt_plus_minus:
 346  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (eq nat y (S (plus x (minus
 347 y (S x)))))))
 348 \def
 349  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(le_plus_minus (S
 350 x) y H))).
 351
 352 theorem lt_plus_minus_r:
 353  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (eq nat y (S (plus (minus y
 354 (S x)) x)))))
 355 \def
 356  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(eq_ind_r nat
 357 (plus x (minus y (S x))) (\lambda (n: nat).(eq nat y (S n))) (lt_plus_minus x
 358 y H) (plus (minus y (S x)) x) (plus_sym (minus y (S x)) x)))).
 359
 360 theorem minus_x_SO:
 361  \forall (x: nat).((lt O x) \to (eq nat x (S (minus x (S O)))))
 362 \def
 363  \lambda (x: nat).(\lambda (H: (lt O x)).(eq_ind nat (minus x O) (\lambda (n:
 364 nat).(eq nat x n)) (eq_ind nat x (\lambda (n: nat).(eq nat x n)) (refl_equal
 365 nat x) (minus x O) (minus_n_O x)) (S (minus x (S O))) (minus_x_Sy x O H))).
 366
 367 theorem le_x_pred_y:
 368  \forall (y: nat).(\forall (x: nat).((lt x y) \to (le x (pred y))))
 369 \def
 370  \lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x: nat).((lt x n) \to
 371 (le x (pred n))))) (\lambda (x: nat).(\lambda (H: (lt x O)).(let H0 \def
 372 (match H in le return (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (le ? n)).((eq nat n O)
 373 \to (le x O)))) with [le_n \Rightarrow (\lambda (H0: (eq nat (S x) O)).(let
 374 H1 \def (eq_ind nat (S x) (\lambda (e: nat).(match e in nat return (\lambda
 375 (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H0)
 376 in (False_ind (le x O) H1))) | (le_S m H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat
 377 (S m) O)).((let H2 \def (eq_ind nat (S m) (\lambda (e: nat).(match e in nat
 378 return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow
 379 True])) I O H1) in (False_ind ((le (S x) m) \to (le x O)) H2)) H0))]) in (H0
 380 (refl_equal nat O))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: ((\forall (x: nat).((lt
 381 x n) \to (le x (pred n)))))).(\lambda (x: nat).(\lambda (H0: (lt x (S
 382 n))).(le_S_n x n H0))))) y).
 383
 384 theorem lt_le_minus:
 385  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (le x (minus y (S O)))))
 386 \def
 387  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(le_minus x y (S
 388 O) (eq_ind_r nat (plus (S O) x) (\lambda (n: nat).(le n y)) H (plus x (S O))
 389 (plus_sym x (S O)))))).
 390
 391 theorem lt_le_e:
 392  \forall (n: nat).(\forall (d: nat).(\forall (P: Prop).((((lt n d) \to P))
 393 \to ((((le d n) \to P)) \to P))))
 394 \def
 395  \lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((lt n
 396 d) \to P))).(\lambda (H0: (((le d n) \to P))).(let H1 \def (le_or_lt d n) in
 397 (or_ind (le d n) (lt n d) P H0 H H1)))))).
 398
 399 theorem lt_eq_e:
 400  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (P: Prop).((((lt x y) \to P))
 401 \to ((((eq nat x y) \to P)) \to ((le x y) \to P)))))
 402 \def
 403  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((lt x
 404 y) \to P))).(\lambda (H0: (((eq nat x y) \to P))).(\lambda (H1: (le x
 405 y)).(or_ind (lt x y) (eq nat x y) P H H0 (le_lt_or_eq x y H1))))))).
 406
 407 theorem lt_eq_gt_e:
 408  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).(\forall (P: Prop).((((lt x y) \to P))
 409 \to ((((eq nat x y) \to P)) \to ((((lt y x) \to P)) \to P)))))
 410 \def
 411  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (P: Prop).(\lambda (H: (((lt x
 412 y) \to P))).(\lambda (H0: (((eq nat x y) \to P))).(\lambda (H1: (((lt y x)
 413 \to P))).(lt_le_e x y P H (\lambda (H2: (le y x)).(lt_eq_e y x P H1 (\lambda
 414 (H3: (eq nat y x)).(H0 (sym_eq nat y x H3))) H2)))))))).
 415
 416 theorem lt_gen_xS:
 417  \forall (x: nat).(\forall (n: nat).((lt x (S n)) \to (or (eq nat x O) (ex2
 418 nat (\lambda (m: nat).(eq nat x (S m))) (\lambda (m: nat).(lt m n))))))
 419 \def
 420  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: nat).((lt n (S
 421 n0)) \to (or (eq nat n O) (ex2 nat (\lambda (m: nat).(eq nat n (S m)))
 422 (\lambda (m: nat).(lt m n0))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (lt O (S
 423 n))).(or_introl (eq nat O O) (ex2 nat (\lambda (m: nat).(eq nat O (S m)))
 424 (\lambda (m: nat).(lt m n))) (refl_equal nat O)))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 425 (_: ((\forall (n0: nat).((lt n (S n0)) \to (or (eq nat n O) (ex2 nat (\lambda
 426 (m: nat).(eq nat n (S m))) (\lambda (m: nat).(lt m n0)))))))).(\lambda (n0:
 427 nat).(\lambda (H0: (lt (S n) (S n0))).(or_intror (eq nat (S n) O) (ex2 nat
 428 (\lambda (m: nat).(eq nat (S n) (S m))) (\lambda (m: nat).(lt m n0)))
 429 (ex_intro2 nat (\lambda (m: nat).(eq nat (S n) (S m))) (\lambda (m: nat).(lt
 430 m n0)) n (refl_equal nat (S n)) (le_S_n (S n) n0 H0))))))) x).
 431
 432 theorem le_lt_false:
 433  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le x y) \to ((lt y x) \to (\forall (P:
 434 Prop).P))))
 435 \def
 436  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le x y)).(\lambda (H0: (lt
 437 y x)).(\lambda (P: Prop).(False_ind P (le_not_lt x y H H0)))))).
 438
 439 theorem lt_neq:
 440  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x y) \to (not (eq nat x y))))
 441 \def
 442  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (H: (lt x y)).(\lambda (H0: (eq
 443 nat x y)).(let H1 \def (eq_ind nat x (\lambda (n: nat).(lt n y)) H y H0) in
 444 (lt_n_n y H1))))).
 445
 446 theorem arith0:
 447  \forall (h2: nat).(\forall (d2: nat).(\forall (n: nat).((le (plus d2 h2) n)
 448 \to (\forall (h1: nat).(le (plus d2 h1) (minus (plus n h1) h2))))))
 449 \def
 450  \lambda (h2: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le
 451 (plus d2 h2) n)).(\lambda (h1: nat).(eq_ind nat (minus (plus h2 (plus d2 h1))
 452 h2) (\lambda (n0: nat).(le n0 (minus (plus n h1) h2))) (le_minus_minus h2
 453 (plus h2 (plus d2 h1)) (le_plus_l h2 (plus d2 h1)) (plus n h1) (eq_ind_r nat
 454 (plus (plus h2 d2) h1) (\lambda (n0: nat).(le n0 (plus n h1))) (eq_ind_r nat
 455 (plus d2 h2) (\lambda (n0: nat).(le (plus n0 h1) (plus n h1))) (le_S_n (plus
 456 (plus d2 h2) h1) (plus n h1) (le_n_S (plus (plus d2 h2) h1) (plus n h1)
 457 (le_plus_plus (plus d2 h2) n h1 h1 H (le_n h1)))) (plus h2 d2) (plus_sym h2
 458 d2)) (plus h2 (plus d2 h1)) (plus_assoc_l h2 d2 h1))) (plus d2 h1)
 459 (minus_plus h2 (plus d2 h1))))))).
 460
 461 theorem O_minus:
 462  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le x y) \to (eq nat (minus x y) O)))
 463 \def
 464  \lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((le n y) \to
 465 (eq nat (minus n y) O)))) (\lambda (y: nat).(\lambda (_: (le O
 466 y)).(refl_equal nat O))) (\lambda (x0: nat).(\lambda (H: ((\forall (y:
 467 nat).((le x0 y) \to (eq nat (minus x0 y) O))))).(\lambda (y: nat).(nat_ind
 468 (\lambda (n: nat).((le (S x0) n) \to (eq nat (match n with [O \Rightarrow (S
 469 x0) | (S l) \Rightarrow (minus x0 l)]) O))) (\lambda (H0: (le (S x0)
 470 O)).(ex2_ind nat (\lambda (n: nat).(eq nat O (S n))) (\lambda (n: nat).(le x0
 471 n)) (eq nat (S x0) O) (\lambda (x1: nat).(\lambda (H1: (eq nat O (S
 472 x1))).(\lambda (_: (le x0 x1)).(let H3 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee:
 473 nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True
 474 | (S _) \Rightarrow False])) I (S x1) H1) in (False_ind (eq nat (S x0) O)
 475 H3))))) (le_gen_S x0 O H0))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (((le (S x0) n)
 476 \to (eq nat (match n with [O \Rightarrow (S x0) | (S l) \Rightarrow (minus x0
 477 l)]) O)))).(\lambda (H1: (le (S x0) (S n))).(H n (le_S_n x0 n H1))))) y))))
 478 x).
 479
 480 theorem minus_minus:
 481  \forall (z: nat).(\forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le z x) \to ((le z y)
 482 \to ((eq nat (minus x z) (minus y z)) \to (eq nat x y))))))
 483 \def
 484  \lambda (z: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x: nat).(\forall (y:
 485 nat).((le n x) \to ((le n y) \to ((eq nat (minus x n) (minus y n)) \to (eq
 486 nat x y))))))) (\lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(\lambda (_: (le O
 487 x)).(\lambda (_: (le O y)).(\lambda (H1: (eq nat (minus x O) (minus y
 488 O))).(let H2 \def (eq_ind_r nat (minus x O) (\lambda (n: nat).(eq nat n
 489 (minus y O))) H1 x (minus_n_O x)) in (let H3 \def (eq_ind_r nat (minus y O)
 490 (\lambda (n: nat).(eq nat x n)) H2 y (minus_n_O y)) in H3))))))) (\lambda
 491 (z0: nat).(\lambda (IH: ((\forall (x: nat).(\forall (y: nat).((le z0 x) \to
 492 ((le z0 y) \to ((eq nat (minus x z0) (minus y z0)) \to (eq nat x
 493 y)))))))).(\lambda (x: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y: nat).((le
 494 (S z0) n) \to ((le (S z0) y) \to ((eq nat (minus n (S z0)) (minus y (S z0)))
 495 \to (eq nat n y)))))) (\lambda (y: nat).(\lambda (H: (le (S z0) O)).(\lambda
 496 (_: (le (S z0) y)).(\lambda (_: (eq nat (minus O (S z0)) (minus y (S
 497 z0)))).(ex2_ind nat (\lambda (n: nat).(eq nat O (S n))) (\lambda (n: nat).(le
 498 z0 n)) (eq nat O y) (\lambda (x0: nat).(\lambda (H2: (eq nat O (S
 499 x0))).(\lambda (_: (le z0 x0)).(let H4 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee:
 500 nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True
 501 | (S _) \Rightarrow False])) I (S x0) H2) in (False_ind (eq nat O y) H4)))))
 502 (le_gen_S z0 O H)))))) (\lambda (x0: nat).(\lambda (_: ((\forall (y:
 503 nat).((le (S z0) x0) \to ((le (S z0) y) \to ((eq nat (minus x0 (S z0)) (minus
 504 y (S z0))) \to (eq nat x0 y))))))).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n:
 505 nat).((le (S z0) (S x0)) \to ((le (S z0) n) \to ((eq nat (minus (S x0) (S
 506 z0)) (minus n (S z0))) \to (eq nat (S x0) n))))) (\lambda (H: (le (S z0) (S
 507 x0))).(\lambda (H0: (le (S z0) O)).(\lambda (_: (eq nat (minus (S x0) (S z0))
 508 (minus O (S z0)))).(let H_y \def (le_S_n z0 x0 H) in (ex2_ind nat (\lambda
 509 (n: nat).(eq nat O (S n))) (\lambda (n: nat).(le z0 n)) (eq nat (S x0) O)
 510 (\lambda (x1: nat).(\lambda (H2: (eq nat O (S x1))).(\lambda (_: (le z0
 511 x1)).(let H4 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match ee in nat return
 512 (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False]))
 513 I (S x1) H2) in (False_ind (eq nat (S x0) O) H4))))) (le_gen_S z0 O H0))))))
 514 (\lambda (y0: nat).(\lambda (_: (((le (S z0) (S x0)) \to ((le (S z0) y0) \to
 515 ((eq nat (minus (S x0) (S z0)) (minus y0 (S z0))) \to (eq nat (S x0)
 516 y0)))))).(\lambda (H: (le (S z0) (S x0))).(\lambda (H0: (le (S z0) (S
 517 y0))).(\lambda (H1: (eq nat (minus (S x0) (S z0)) (minus (S y0) (S
 518 z0)))).(f_equal nat nat S x0 y0 (IH x0 y0 (le_S_n z0 x0 H) (le_S_n z0 y0 H0)
 519 H1))))))) y)))) x)))) z).
 520
 521 theorem plus_plus:
 522  \forall (z: nat).(\forall (x1: nat).(\forall (x2: nat).(\forall (y1:
 523 nat).(\forall (y2: nat).((le x1 z) \to ((le x2 z) \to ((eq nat (plus (minus z
 524 x1) y1) (plus (minus z x2) y2)) \to (eq nat (plus x1 y2) (plus x2 y1)))))))))
 525 \def
 526  \lambda (z: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (x1: nat).(\forall (x2:
 527 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le x1 n) \to ((le x2 n) \to ((eq
 528 nat (plus (minus n x1) y1) (plus (minus n x2) y2)) \to (eq nat (plus x1 y2)
 529 (plus x2 y1)))))))))) (\lambda (x1: nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (y1:
 530 nat).(\lambda (y2: nat).(\lambda (H: (le x1 O)).(\lambda (H0: (le x2
 531 O)).(\lambda (H1: (eq nat y1 y2)).(eq_ind nat y1 (\lambda (n: nat).(eq nat
 532 (plus x1 n) (plus x2 y1))) (let H_y \def (le_n_O_eq x2 H0) in (eq_ind nat O
 533 (\lambda (n: nat).(eq nat (plus x1 y1) (plus n y1))) (let H_y0 \def
 534 (le_n_O_eq x1 H) in (eq_ind nat O (\lambda (n: nat).(eq nat (plus n y1) (plus
 535 O y1))) (refl_equal nat (plus O y1)) x1 H_y0)) x2 H_y)) y2 H1))))))))
 536 (\lambda (z0: nat).(\lambda (IH: ((\forall (x1: nat).(\forall (x2:
 537 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le x1 z0) \to ((le x2 z0) \to
 538 ((eq nat (plus (minus z0 x1) y1) (plus (minus z0 x2) y2)) \to (eq nat (plus
 539 x1 y2) (plus x2 y1))))))))))).(\lambda (x1: nat).(nat_ind (\lambda (n:
 540 nat).(\forall (x2: nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le n (S z0))
 541 \to ((le x2 (S z0)) \to ((eq nat (plus (minus (S z0) n) y1) (plus (minus (S
 542 z0) x2) y2)) \to (eq nat (plus n y2) (plus x2 y1))))))))) (\lambda (x2:
 543 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le O
 544 (S z0)) \to ((le n (S z0)) \to ((eq nat (plus (minus (S z0) O) y1) (plus
 545 (minus (S z0) n) y2)) \to (eq nat (plus O y2) (plus n y1)))))))) (\lambda
 546 (y1: nat).(\lambda (y2: nat).(\lambda (_: (le O (S z0))).(\lambda (_: (le O
 547 (S z0))).(\lambda (H1: (eq nat (S (plus z0 y1)) (S (plus z0 y2)))).(let H_y
 548 \def (IH O O) in (let H2 \def (eq_ind_r nat (minus z0 O) (\lambda (n:
 549 nat).(\forall (y3: nat).(\forall (y4: nat).((le O z0) \to ((le O z0) \to ((eq
 550 nat (plus n y3) (plus n y4)) \to (eq nat y4 y3))))))) H_y z0 (minus_n_O z0))
 551 in (H2 y1 y2 (le_O_n z0) (le_O_n z0) (eq_add_S (plus z0 y1) (plus z0 y2)
 552 H1))))))))) (\lambda (x3: nat).(\lambda (_: ((\forall (y1: nat).(\forall (y2:
 553 nat).((le O (S z0)) \to ((le x3 (S z0)) \to ((eq nat (S (plus z0 y1)) (plus
 554 (match x3 with [O \Rightarrow (S z0) | (S l) \Rightarrow (minus z0 l)]) y2))
 555 \to (eq nat y2 (plus x3 y1))))))))).(\lambda (y1: nat).(\lambda (y2:
 556 nat).(\lambda (_: (le O (S z0))).(\lambda (H0: (le (S x3) (S z0))).(\lambda
 557 (H1: (eq nat (S (plus z0 y1)) (plus (minus z0 x3) y2))).(let H_y \def (IH O
 558 x3 (S y1)) in (let H2 \def (eq_ind_r nat (minus z0 O) (\lambda (n:
 559 nat).(\forall (y3: nat).((le O z0) \to ((le x3 z0) \to ((eq nat (plus n (S
 560 y1)) (plus (minus z0 x3) y3)) \to (eq nat y3 (plus x3 (S y1)))))))) H_y z0
 561 (minus_n_O z0)) in (let H3 \def (eq_ind_r nat (plus z0 (S y1)) (\lambda (n:
 562 nat).(\forall (y3: nat).((le O z0) \to ((le x3 z0) \to ((eq nat n (plus
 563 (minus z0 x3) y3)) \to (eq nat y3 (plus x3 (S y1)))))))) H2 (S (plus z0 y1))
 564 (plus_n_Sm z0 y1)) in (let H4 \def (eq_ind_r nat (plus x3 (S y1)) (\lambda
 565 (n: nat).(\forall (y3: nat).((le O z0) \to ((le x3 z0) \to ((eq nat (S (plus
 566 z0 y1)) (plus (minus z0 x3) y3)) \to (eq nat y3 n)))))) H3 (S (plus x3 y1))
 567 (plus_n_Sm x3 y1)) in (H4 y2 (le_O_n z0) (le_S_n x3 z0 H0) H1))))))))))))
 568 x2)) (\lambda (x2: nat).(\lambda (_: ((\forall (x3: nat).(\forall (y1:
 569 nat).(\forall (y2: nat).((le x2 (S z0)) \to ((le x3 (S z0)) \to ((eq nat
 570 (plus (minus (S z0) x2) y1) (plus (minus (S z0) x3) y2)) \to (eq nat (plus x2
 571 y2) (plus x3 y1)))))))))).(\lambda (x3: nat).(nat_ind (\lambda (n:
 572 nat).(\forall (y1: nat).(\forall (y2: nat).((le (S x2) (S z0)) \to ((le n (S
 573 z0)) \to ((eq nat (plus (minus (S z0) (S x2)) y1) (plus (minus (S z0) n) y2))
 574 \to (eq nat (plus (S x2) y2) (plus n y1)))))))) (\lambda (y1: nat).(\lambda
 575 (y2: nat).(\lambda (H: (le (S x2) (S z0))).(\lambda (_: (le O (S
 576 z0))).(\lambda (H1: (eq nat (plus (minus z0 x2) y1) (S (plus z0 y2)))).(let
 577 H_y \def (IH x2 O y1 (S y2)) in (let H2 \def (eq_ind_r nat (minus z0 O)
 578 (\lambda (n: nat).((le x2 z0) \to ((le O z0) \to ((eq nat (plus (minus z0 x2)
 579 y1) (plus n (S y2))) \to (eq nat (plus x2 (S y2)) y1))))) H_y z0 (minus_n_O
 580 z0)) in (let H3 \def (eq_ind_r nat (plus z0 (S y2)) (\lambda (n: nat).((le x2
 581 z0) \to ((le O z0) \to ((eq nat (plus (minus z0 x2) y1) n) \to (eq nat (plus
 582 x2 (S y2)) y1))))) H2 (S (plus z0 y2)) (plus_n_Sm z0 y2)) in (let H4 \def
 583 (eq_ind_r nat (plus x2 (S y2)) (\lambda (n: nat).((le x2 z0) \to ((le O z0)
 584 \to ((eq nat (plus (minus z0 x2) y1) (S (plus z0 y2))) \to (eq nat n y1)))))
 585 H3 (S (plus x2 y2)) (plus_n_Sm x2 y2)) in (H4 (le_S_n x2 z0 H) (le_O_n z0)
 586 H1)))))))))) (\lambda (x4: nat).(\lambda (_: ((\forall (y1: nat).(\forall
 587 (y2: nat).((le (S x2) (S z0)) \to ((le x4 (S z0)) \to ((eq nat (plus (minus
 588 z0 x2) y1) (plus (match x4 with [O \Rightarrow (S z0) | (S l) \Rightarrow
 589 (minus z0 l)]) y2)) \to (eq nat (S (plus x2 y2)) (plus x4
 590 y1))))))))).(\lambda (y1: nat).(\lambda (y2: nat).(\lambda (H: (le (S x2) (S
 591 z0))).(\lambda (H0: (le (S x4) (S z0))).(\lambda (H1: (eq nat (plus (minus z0
 592 x2) y1) (plus (minus z0 x4) y2))).(f_equal nat nat S (plus x2 y2) (plus x4
 593 y1) (IH x2 x4 y1 y2 (le_S_n x2 z0 H) (le_S_n x4 z0 H0) H1))))))))) x3))))
 594 x1)))) z).
 595
 596 theorem le_S_minus:
 597  \forall (d: nat).(\forall (h: nat).(\forall (n: nat).((le (plus d h) n) \to
 598 (le d (S (minus n h))))))
 599 \def
 600  \lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le (plus
 601 d h) n)).(let H0 \def (le_trans d (plus d h) n (le_plus_l d h) H) in (let H1
 602 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(le d n0)) H0 (plus (minus n h) h)
 603 (le_plus_minus_sym h n (le_trans h (plus d h) n (le_plus_r d h) H))) in (le_S
 604 d (minus n h) (le_minus d n h H))))))).
 605
 606 theorem lt_x_pred_y:
 607  \forall (x: nat).(\forall (y: nat).((lt x (pred y)) \to (lt (S x) y)))
 608 \def
 609  \lambda (x: nat).(\lambda (y: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).((lt x (pred
 610 n)) \to (lt (S x) n))) (\lambda (H: (lt x O)).(lt_x_O x H (lt (S x) O)))
 611 (\lambda (n: nat).(\lambda (_: (((lt x (pred n)) \to (lt (S x) n)))).(\lambda
 612 (H0: (lt x n)).(le_S_n (S (S x)) (S n) (le_n_S (S (S x)) (S n) (le_n_S (S x)
 613 n H0)))))) y)).
 614