matita/contribs/LAMBDA-TYPES/Base-1/preamble.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/Base-1/preamble".
  16
  17 include' "../../../legacy/coq.ma".
  18
  19 alias symbol "eq" = "Coq's leibnitz's equality".
  20 alias symbol "leq" = "Coq's natural 'less or equal to'".
  21 alias symbol "neq" = "Coq's not equal to (leibnitz)".
  22 alias symbol "plus" = "Coq's natural plus".
  23
  24 alias id "bool" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/bool.ind#xpointer(1/1)".
  25 alias id "conj" = "cic:/Coq/Init/Logic/and.ind#xpointer(1/1/1)".
  26 alias id "eq_add_S" = "cic:/Coq/Init/Peano/eq_add_S.con".
  27 alias id "eq" = "cic:/Coq/Init/Logic/eq.ind#xpointer(1/1)".
  28 alias id "eq_ind" = "cic:/Coq/Init/Logic/eq_ind.con".
  29 alias id "eq_ind_r" = "cic:/Coq/Init/Logic/eq_ind_r.con".
  30 alias id "ex2" = "cic:/Coq/Init/Logic/ex2.ind#xpointer(1/1)".
  31 alias id "ex2_ind" = "cic:/Coq/Init/Logic/ex2_ind.con".
  32 alias id "ex_intro2" = "cic:/Coq/Init/Logic/ex2.ind#xpointer(1/1/1)".
  33 alias id "false" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/bool.ind#xpointer(1/1/2)".
  34 alias id "False" = "cic:/Coq/Init/Logic/False.ind#xpointer(1/1)".
  35 alias id "False_ind" = "cic:/Coq/Init/Logic/False_ind.con".
  36 alias id "I" = "cic:/Coq/Init/Logic/True.ind#xpointer(1/1/1)".
  37 alias id "land" = "cic:/Coq/Init/Logic/and.ind#xpointer(1/1)".
  38 alias id "le" = "cic:/Coq/Init/Peano/le.ind#xpointer(1/1)".
  39 alias id "le_ind" = "cic:/Coq/Init/Peano/le_ind.con".
  40 alias id "le_lt_n_Sm" = "cic:/Coq/Arith/Lt/le_lt_n_Sm.con".
  41 alias id "le_lt_or_eq" = "cic:/Coq/Arith/Lt/le_lt_or_eq.con".
  42 alias id "le_n" = "cic:/Coq/Init/Peano/le.ind#xpointer(1/1/1)".
  43 alias id "le_n_O_eq" = "cic:/Coq/Arith/Le/le_n_O_eq.con".
  44 alias id "le_not_lt" = "cic:/Coq/Arith/Lt/le_not_lt.con".
  45 alias id "le_n_S" = "cic:/Coq/Arith/Le/le_n_S.con".
  46 alias id "le_O_n" = "cic:/Coq/Arith/Le/le_O_n.con".
  47 alias id "le_or_lt" = "cic:/Coq/Arith/Lt/le_or_lt.con".
  48 alias id "le_plus_l" = "cic:/Coq/Arith/Plus/le_plus_l.con".
  49 alias id "le_plus_minus" = "cic:/Coq/Arith/Minus/le_plus_minus.con".
  50 alias id "le_plus_minus_r" = "cic:/Coq/Arith/Minus/le_plus_minus_r.con".
  51 alias id "le_plus_r" = "cic:/Coq/Arith/Plus/le_plus_r.con".
  52 alias id "le_pred_n" = "cic:/Coq/Arith/Le/le_pred_n.con".
  53 alias id "le_S" = "cic:/Coq/Init/Peano/le.ind#xpointer(1/1/2)".
  54 alias id "le_S_n" = "cic:/Coq/Arith/Le/le_S_n.con".
  55 alias id "le_Sn_n" = "cic:/Coq/Arith/Le/le_Sn_n.con".
  56 alias id "le_trans" = "cic:/Coq/Arith/Le/le_trans.con".
  57 alias id "lt" = "cic:/Coq/Init/Peano/lt.con".
  58 alias id "lt_irrefl" = "cic:/Coq/Arith/Lt/lt_irrefl.con".
  59 alias id "lt_le_S" = "cic:/Coq/Arith/Lt/lt_le_S.con".
  60 alias id "lt_n_S" = "cic:/Coq/Arith/Lt/lt_n_S.con".
  61 alias id "minus" = "cic:/Coq/Init/Peano/minus.con".
  62 alias id "minus_n_O" = "cic:/Coq/Arith/Minus/minus_n_O.con".
  63 alias id "minus_plus" = "cic:/Coq/Arith/Minus/minus_plus.con".
  64 alias id "nat" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat.ind#xpointer(1/1)".
  65 alias id "nat_ind" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat_ind.con".
  66 alias id "not" = "cic:/Coq/Init/Logic/not.con".
  67 alias id "not_eq_S" = "cic:/Coq/Init/Peano/not_eq_S.con".
  68 alias id "O" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat.ind#xpointer(1/1/1)".
  69 alias id "or" = "cic:/Coq/Init/Logic/or.ind#xpointer(1/1)".
  70 alias id "or_ind" = "cic:/Coq/Init/Logic/or_ind.con".
  71 alias id "or_introl" = "cic:/Coq/Init/Logic/or.ind#xpointer(1/1/1)".
  72 alias id "or_intror" = "cic:/Coq/Init/Logic/or.ind#xpointer(1/1/2)".
  73 alias id "O_S" = "cic:/Coq/Init/Peano/O_S.con".
  74 alias id "plus_assoc" = "cic:/Coq/Arith/Plus/plus_assoc.con".
  75 alias id "plus_assoc_reverse" = "cic:/Coq/Arith/Plus/plus_assoc_reverse.con".
  76 alias id "plus" = "cic:/Coq/Init/Peano/plus.con".
  77 alias id "plus_comm" = "cic:/Coq/Arith/Plus/plus_comm.con".
  78 alias id "plus_le_compat" = "cic:/Coq/Arith/Plus/plus_le_compat.con".
  79 alias id "plus_le_reg_l" = "cic:/Coq/Arith/Plus/plus_le_reg_l.con".
  80 alias id "plus_lt_reg_l" = "cic:/Coq/Arith/Plus/plus_lt_reg_l.con".
  81 alias id "plus_n_Sm" = "cic:/Coq/Init/Peano/plus_n_Sm.con".
  82 alias id "plus_reg_l" = "cic:/Coq/Arith/Plus/plus_reg_l.con".
  83 alias id "pred" = "cic:/Coq/Init/Peano/pred.con".
  84 alias id "refl_equal" = "cic:/Coq/Init/Logic/eq.ind#xpointer(1/1/1)".
  85 alias id "S" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/nat.ind#xpointer(1/1/2)".
  86 alias id "true" = "cic:/Coq/Init/Datatypes/bool.ind#xpointer(1/1/1)".
  87 alias id "True" = "cic:/Coq/Init/Logic/True.ind#xpointer(1/1)".
  88
  89 theorem f_equal: \forall A,B:Type. \forall f:A \to B.
  90                  \forall x,y:A. x = y \to f x = f y.
  91  intros. elim H. reflexivity.
  92 qed.
  93
  94 theorem sym_eq: \forall A:Type. \forall x,y:A. x = y \to y = x.
  95  intros. rewrite > H. reflexivity.
  96 qed.
  97
  98 theorem sym_not_eq: \forall A:Type. \forall x,y:A. x \neq y \to y \neq x.
  99  unfold not. intros. apply H. symmetry. assumption.
 100 qed.
 101
 102 theorem trans_eq : \forall A:Type. \forall x,y,z:A. x=y \to y=z \to x=z.
 103  intros. transitivity y; assumption.
 104 qed.
 105
 106 theorem plus_reg_l: \forall n,m,p. n + m = n + p \to m = p.
 107  intros. apply plus_reg_l; autobatch.
 108 qed.
 109
 110 theorem plus_le_reg_l: \forall p,n,m. p + n <= p + m \to n <= m.
 111  intros. apply plus_le_reg_l; autobatch.
 112 qed.