matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/T/dec.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17
  18
  19 include "T/defs.ma".
  20
  21 theorem terms_props__bind_dec:
  22  \forall (b1: B).(\forall (b2: B).(or (eq B b1 b2) ((eq B b1 b2) \to (\forall
  23 (P: Prop).P))))
  24 \def
  25  \lambda (b1: B).(B_ind (\lambda (b: B).(\forall (b2: B).(or (eq B b b2) ((eq
  26 B b b2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (b2: B).(B_ind (\lambda (b:
  27 B).(or (eq B Abbr b) ((eq B Abbr b) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl
  28 (eq B Abbr Abbr) ((eq B Abbr Abbr) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal B
  29 Abbr)) (or_intror (eq B Abbr Abst) ((eq B Abbr Abst) \to (\forall (P:
  30 Prop).P)) (\lambda (H: (eq B Abbr Abst)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  31 (eq_ind B Abbr (\lambda (ee: B).(match ee in B return (\lambda (_: B).Prop)
  32 with [Abbr \Rightarrow True | Abst \Rightarrow False | Void \Rightarrow
  33 False])) I Abst H) in (False_ind P H0))))) (or_intror (eq B Abbr Void) ((eq B
  34 Abbr Void) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B Abbr Void)).(\lambda
  35 (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind B Abbr (\lambda (ee: B).(match ee in B return
  36 (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow True | Abst \Rightarrow False |
  37 Void \Rightarrow False])) I Void H) in (False_ind P H0))))) b2)) (\lambda
  38 (b2: B).(B_ind (\lambda (b: B).(or (eq B Abst b) ((eq B Abst b) \to (\forall
  39 (P: Prop).P)))) (or_intror (eq B Abst Abbr) ((eq B Abst Abbr) \to (\forall
  40 (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B Abst Abbr)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  41 (eq_ind B Abst (\lambda (ee: B).(match ee in B return (\lambda (_: B).Prop)
  42 with [Abbr \Rightarrow False | Abst \Rightarrow True | Void \Rightarrow
  43 False])) I Abbr H) in (False_ind P H0))))) (or_introl (eq B Abst Abst) ((eq B
  44 Abst Abst) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal B Abst)) (or_intror (eq B
  45 Abst Void) ((eq B Abst Void) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B
  46 Abst Void)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind B Abst (\lambda (ee:
  47 B).(match ee in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False |
  48 Abst \Rightarrow True | Void \Rightarrow False])) I Void H) in (False_ind P
  49 H0))))) b2)) (\lambda (b2: B).(B_ind (\lambda (b: B).(or (eq B Void b) ((eq B
  50 Void b) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_intror (eq B Void Abbr) ((eq B Void
  51 Abbr) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B Void Abbr)).(\lambda (P:
  52 Prop).(let H0 \def (eq_ind B Void (\lambda (ee: B).(match ee in B return
  53 (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False | Abst \Rightarrow False |
  54 Void \Rightarrow True])) I Abbr H) in (False_ind P H0))))) (or_intror (eq B
  55 Void Abst) ((eq B Void Abst) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B
  56 Void Abst)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind B Void (\lambda (ee:
  57 B).(match ee in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False |
  58 Abst \Rightarrow False | Void \Rightarrow True])) I Abst H) in (False_ind P
  59 H0))))) (or_introl (eq B Void Void) ((eq B Void Void) \to (\forall (P:
  60 Prop).P)) (refl_equal B Void)) b2)) b1).
  61
  62 theorem bind_dec_not:
  63  \forall (b1: B).(\forall (b2: B).(or (eq B b1 b2) (not (eq B b1 b2))))
  64 \def
  65  \lambda (b1: B).(\lambda (b2: B).(let H_x \def (terms_props__bind_dec b1 b2)
  66 in (let H \def H_x in (or_ind (eq B b1 b2) ((eq B b1 b2) \to (\forall (P:
  67 Prop).P)) (or (eq B b1 b2) ((eq B b1 b2) \to False)) (\lambda (H0: (eq B b1
  68 b2)).(or_introl (eq B b1 b2) ((eq B b1 b2) \to False) H0)) (\lambda (H0:
  69 (((eq B b1 b2) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq B b1 b2) ((eq B b1
  70 b2) \to False) (\lambda (H1: (eq B b1 b2)).(H0 H1 False)))) H)))).
  71
  72 theorem terms_props__flat_dec:
  73  \forall (f1: F).(\forall (f2: F).(or (eq F f1 f2) ((eq F f1 f2) \to (\forall
  74 (P: Prop).P))))
  75 \def
  76  \lambda (f1: F).(F_ind (\lambda (f: F).(\forall (f2: F).(or (eq F f f2) ((eq
  77 F f f2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (f2: F).(F_ind (\lambda (f:
  78 F).(or (eq F Appl f) ((eq F Appl f) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl
  79 (eq F Appl Appl) ((eq F Appl Appl) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal F
  80 Appl)) (or_intror (eq F Appl Cast) ((eq F Appl Cast) \to (\forall (P:
  81 Prop).P)) (\lambda (H: (eq F Appl Cast)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  82 (eq_ind F Appl (\lambda (ee: F).(match ee in F return (\lambda (_: F).Prop)
  83 with [Appl \Rightarrow True | Cast \Rightarrow False])) I Cast H) in
  84 (False_ind P H0))))) f2)) (\lambda (f2: F).(F_ind (\lambda (f: F).(or (eq F
  85 Cast f) ((eq F Cast f) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_intror (eq F Cast
  86 Appl) ((eq F Cast Appl) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq F Cast
  87 Appl)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind F Cast (\lambda (ee: F).(match
  88 ee in F return (\lambda (_: F).Prop) with [Appl \Rightarrow False | Cast
  89 \Rightarrow True])) I Appl H) in (False_ind P H0))))) (or_introl (eq F Cast
  90 Cast) ((eq F Cast Cast) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal F Cast)) f2))
  91 f1).
  92
  93 theorem terms_props__kind_dec:
  94  \forall (k1: K).(\forall (k2: K).(or (eq K k1 k2) ((eq K k1 k2) \to (\forall
  95 (P: Prop).P))))
  96 \def
  97  \lambda (k1: K).(K_ind (\lambda (k: K).(\forall (k2: K).(or (eq K k k2) ((eq
  98 K k k2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (b: B).(\lambda (k2: K).(K_ind
  99 (\lambda (k: K).(or (eq K (Bind b) k) ((eq K (Bind b) k) \to (\forall (P:
 100 Prop).P)))) (\lambda (b0: B).(let H_x \def (terms_props__bind_dec b b0) in
 101 (let H \def H_x in (or_ind (eq B b b0) ((eq B b b0) \to (\forall (P:
 102 Prop).P)) (or (eq K (Bind b) (Bind b0)) ((eq K (Bind b) (Bind b0)) \to
 103 (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H0: (eq B b b0)).(eq_ind B b (\lambda (b1:
 104 B).(or (eq K (Bind b) (Bind b1)) ((eq K (Bind b) (Bind b1)) \to (\forall (P:
 105 Prop).P)))) (or_introl (eq K (Bind b) (Bind b)) ((eq K (Bind b) (Bind b)) \to
 106 (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal K (Bind b))) b0 H0)) (\lambda (H0: (((eq B
 107 b b0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq K (Bind b) (Bind b0)) ((eq
 108 K (Bind b) (Bind b0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq K (Bind b)
 109 (Bind b0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal K B (\lambda (e:
 110 K).(match e in K return (\lambda (_: K).B) with [(Bind b1) \Rightarrow b1 |
 111 (Flat _) \Rightarrow b])) (Bind b) (Bind b0) H1) in (let H3 \def (eq_ind_r B
 112 b0 (\lambda (b1: B).((eq B b b1) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H0 b H2) in
 113 (H3 (refl_equal B b) P))))))) H)))) (\lambda (f: F).(or_intror (eq K (Bind b)
 114 (Flat f)) ((eq K (Bind b) (Flat f)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H:
 115 (eq K (Bind b) (Flat f))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind K (Bind b)
 116 (\lambda (ee: K).(match ee in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _)
 117 \Rightarrow True | (Flat _) \Rightarrow False])) I (Flat f) H) in (False_ind
 118 P H0)))))) k2))) (\lambda (f: F).(\lambda (k2: K).(K_ind (\lambda (k: K).(or
 119 (eq K (Flat f) k) ((eq K (Flat f) k) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda
 120 (b: B).(or_intror (eq K (Flat f) (Bind b)) ((eq K (Flat f) (Bind b)) \to
 121 (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq K (Flat f) (Bind b))).(\lambda (P:
 122 Prop).(let H0 \def (eq_ind K (Flat f) (\lambda (ee: K).(match ee in K return
 123 (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow
 124 True])) I (Bind b) H) in (False_ind P H0)))))) (\lambda (f0: F).(let H_x \def
 125 (terms_props__flat_dec f f0) in (let H \def H_x in (or_ind (eq F f f0) ((eq F
 126 f f0) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (eq K (Flat f) (Flat f0)) ((eq K (Flat
 127 f) (Flat f0)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H0: (eq F f f0)).(eq_ind
 128 F f (\lambda (f1: F).(or (eq K (Flat f) (Flat f1)) ((eq K (Flat f) (Flat f1))
 129 \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl (eq K (Flat f) (Flat f)) ((eq K (Flat
 130 f) (Flat f)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal K (Flat f))) f0 H0))
 131 (\lambda (H0: (((eq F f f0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq K
 132 (Flat f) (Flat f0)) ((eq K (Flat f) (Flat f0)) \to (\forall (P: Prop).P))
 133 (\lambda (H1: (eq K (Flat f) (Flat f0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def
 134 (f_equal K F (\lambda (e: K).(match e in K return (\lambda (_: K).F) with
 135 [(Bind _) \Rightarrow f | (Flat f1) \Rightarrow f1])) (Flat f) (Flat f0) H1)
 136 in (let H3 \def (eq_ind_r F f0 (\lambda (f1: F).((eq F f f1) \to (\forall
 137 (P0: Prop).P0))) H0 f H2) in (H3 (refl_equal F f) P))))))) H)))) k2))) k1).
 138
 139 theorem term_dec:
 140  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(or (eq T t1 t2) ((eq T t1 t2) \to (\forall
 141 (P: Prop).P))))
 142 \def
 143  \lambda (t1: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (t2: T).(or (eq T t t2) ((eq
 144 T t t2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t2:
 145 T).(T_ind (\lambda (t: T).(or (eq T (TSort n) t) ((eq T (TSort n) t) \to
 146 (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n0: nat).(let H_x \def (nat_dec n n0) in
 147 (let H \def H_x in (or_ind (eq nat n n0) ((eq nat n n0) \to (\forall (P:
 148 Prop).P)) (or (eq T (TSort n) (TSort n0)) ((eq T (TSort n) (TSort n0)) \to
 149 (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H0: (eq nat n n0)).(eq_ind nat n (\lambda
 150 (n1: nat).(or (eq T (TSort n) (TSort n1)) ((eq T (TSort n) (TSort n1)) \to
 151 (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl (eq T (TSort n) (TSort n)) ((eq T (TSort
 152 n) (TSort n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal T (TSort n))) n0 H0))
 153 (\lambda (H0: (((eq nat n n0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq T
 154 (TSort n) (TSort n0)) ((eq T (TSort n) (TSort n0)) \to (\forall (P: Prop).P))
 155 (\lambda (H1: (eq T (TSort n) (TSort n0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def
 156 (f_equal T nat (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with
 157 [(TSort n1) \Rightarrow n1 | (TLRef _) \Rightarrow n | (THead _ _ _)
 158 \Rightarrow n])) (TSort n) (TSort n0) H1) in (let H3 \def (eq_ind_r nat n0
 159 (\lambda (n1: nat).((eq nat n n1) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H0 n H2) in
 160 (H3 (refl_equal nat n) P))))))) H)))) (\lambda (n0: nat).(or_intror (eq T
 161 (TSort n) (TLRef n0)) ((eq T (TSort n) (TLRef n0)) \to (\forall (P: Prop).P))
 162 (\lambda (H: (eq T (TSort n) (TLRef n0))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 163 (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 164 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
 165 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef n0) H) in (False_ind P H0))))))
 166 (\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (or (eq T (TSort n) t) ((eq T
 167 (TSort n) t) \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (or
 168 (eq T (TSort n) t0) ((eq T (TSort n) t0) \to (\forall (P:
 169 Prop).P)))).(or_intror (eq T (TSort n) (THead k t t0)) ((eq T (TSort n)
 170 (THead k t t0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T (TSort n)
 171 (THead k t t0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda
 172 (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 173 \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow
 174 False])) I (THead k t t0) H1) in (False_ind P H2)))))))))) t2))) (\lambda (n:
 175 nat).(\lambda (t2: T).(T_ind (\lambda (t: T).(or (eq T (TLRef n) t) ((eq T
 176 (TLRef n) t) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n0: nat).(or_intror (eq T
 177 (TLRef n) (TSort n0)) ((eq T (TLRef n) (TSort n0)) \to (\forall (P: Prop).P))
 178 (\lambda (H: (eq T (TLRef n) (TSort n0))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 179 (eq_ind T (TLRef n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 180 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 181 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TSort n0) H) in (False_ind P H0))))))
 182 (\lambda (n0: nat).(let H_x \def (nat_dec n n0) in (let H \def H_x in (or_ind
 183 (eq nat n n0) ((eq nat n n0) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (eq T (TLRef n)
 184 (TLRef n0)) ((eq T (TLRef n) (TLRef n0)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda
 185 (H0: (eq nat n n0)).(eq_ind nat n (\lambda (n1: nat).(or (eq T (TLRef n)
 186 (TLRef n1)) ((eq T (TLRef n) (TLRef n1)) \to (\forall (P: Prop).P))))
 187 (or_introl (eq T (TLRef n) (TLRef n)) ((eq T (TLRef n) (TLRef n)) \to
 188 (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal T (TLRef n))) n0 H0)) (\lambda (H0: (((eq
 189 nat n n0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq T (TLRef n) (TLRef n0))
 190 ((eq T (TLRef n) (TLRef n0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T
 191 (TLRef n) (TLRef n0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal T nat
 192 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _)
 193 \Rightarrow n | (TLRef n1) \Rightarrow n1 | (THead _ _ _) \Rightarrow n]))
 194 (TLRef n) (TLRef n0) H1) in (let H3 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n1:
 195 nat).((eq nat n n1) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H0 n H2) in (H3 (refl_equal
 196 nat n) P))))))) H)))) (\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (or (eq T
 197 (TLRef n) t) ((eq T (TLRef n) t) \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (t0:
 198 T).(\lambda (_: (or (eq T (TLRef n) t0) ((eq T (TLRef n) t0) \to (\forall (P:
 199 Prop).P)))).(or_intror (eq T (TLRef n) (THead k t t0)) ((eq T (TLRef n)
 200 (THead k t t0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T (TLRef n)
 201 (THead k t t0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (eq_ind T (TLRef n) (\lambda
 202 (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 203 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow
 204 False])) I (THead k t t0) H1) in (False_ind P H2)))))))))) t2))) (\lambda (k:
 205 K).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t2: T).(or (eq T t t2) ((eq T t
 206 t2) \to (\forall (P: Prop).P)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall
 207 (t2: T).(or (eq T t0 t2) ((eq T t0 t2) \to (\forall (P:
 208 Prop).P)))))).(\lambda (t2: T).(T_ind (\lambda (t3: T).(or (eq T (THead k t
 209 t0) t3) ((eq T (THead k t t0) t3) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 210 nat).(or_intror (eq T (THead k t t0) (TSort n)) ((eq T (THead k t t0) (TSort
 211 n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T (THead k t t0) (TSort
 212 n))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (eq_ind T (THead k t t0) (\lambda (ee:
 213 T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 214 False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I
 215 (TSort n) H1) in (False_ind P H2)))))) (\lambda (n: nat).(or_intror (eq T
 216 (THead k t t0) (TLRef n)) ((eq T (THead k t t0) (TLRef n)) \to (\forall (P:
 217 Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T (THead k t t0) (TLRef n))).(\lambda (P:
 218 Prop).(let H2 \def (eq_ind T (THead k t t0) (\lambda (ee: T).(match ee in T
 219 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 220 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H1) in
 221 (False_ind P H2)))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (t3: T).(\lambda (H1: (or (eq
 222 T (THead k t t0) t3) ((eq T (THead k t t0) t3) \to (\forall (P:
 223 Prop).P)))).(\lambda (t4: T).(\lambda (H2: (or (eq T (THead k t t0) t4) ((eq
 224 T (THead k t t0) t4) \to (\forall (P: Prop).P)))).(let H_x \def (H t3) in
 225 (let H3 \def H_x in (or_ind (eq T t t3) ((eq T t t3) \to (\forall (P:
 226 Prop).P)) (or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t3 t4)) ((eq T (THead k t t0)
 227 (THead k0 t3 t4)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H4: (eq T t t3)).(let
 228 H5 \def (eq_ind_r T t3 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) t5) ((eq T
 229 (THead k t t0) t5) \to (\forall (P: Prop).P)))) H1 t H4) in (eq_ind T t
 230 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t5 t4)) ((eq T (THead k t
 231 t0) (THead k0 t5 t4)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (let H_x0 \def (H0 t4) in
 232 (let H6 \def H_x0 in (or_ind (eq T t0 t4) ((eq T t0 t4) \to (\forall (P:
 233 Prop).P)) (or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t4)) ((eq T (THead k t t0)
 234 (THead k0 t t4)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H7: (eq T t0 t4)).(let
 235 H8 \def (eq_ind_r T t4 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) t5) ((eq T
 236 (THead k t t0) t5) \to (\forall (P: Prop).P)))) H2 t0 H7) in (eq_ind T t0
 237 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t5)) ((eq T (THead k t
 238 t0) (THead k0 t t5)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (let H_x1 \def
 239 (terms_props__kind_dec k k0) in (let H9 \def H_x1 in (or_ind (eq K k k0) ((eq
 240 K k k0) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t0))
 241 ((eq T (THead k t t0) (THead k0 t t0)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda
 242 (H10: (eq K k k0)).(eq_ind K k (\lambda (k1: K).(or (eq T (THead k t t0)
 243 (THead k1 t t0)) ((eq T (THead k t t0) (THead k1 t t0)) \to (\forall (P:
 244 Prop).P)))) (or_introl (eq T (THead k t t0) (THead k t t0)) ((eq T (THead k t
 245 t0) (THead k t t0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal T (THead k t t0)))
 246 k0 H10)) (\lambda (H10: (((eq K k k0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror
 247 (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t0)) ((eq T (THead k t t0) (THead k0 t t0))
 248 \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H11: (eq T (THead k t t0) (THead k0 t
 249 t0))).(\lambda (P: Prop).(let H12 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e
 250 in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _)
 251 \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1])) (THead k t t0) (THead k0 t
 252 t0) H11) in (let H13 \def (eq_ind_r K k0 (\lambda (k1: K).((eq K k k1) \to
 253 (\forall (P0: Prop).P0))) H10 k H12) in (H13 (refl_equal K k) P))))))) H9)))
 254 t4 H7))) (\lambda (H7: (((eq T t0 t4) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror
 255 (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t4)) ((eq T (THead k t t0) (THead k0 t t4))
 256 \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H8: (eq T (THead k t t0) (THead k0 t
 257 t4))).(\lambda (P: Prop).(let H9 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e
 258 in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _)
 259 \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1])) (THead k t t0) (THead k0 t
 260 t4) H8) in ((let H10 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
 261 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _) \Rightarrow t0
 262 | (THead _ _ t5) \Rightarrow t5])) (THead k t t0) (THead k0 t t4) H8) in
 263 (\lambda (_: (eq K k k0)).(let H12 \def (eq_ind_r T t4 (\lambda (t5: T).((eq
 264 T t0 t5) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H7 t0 H10) in (let H13 \def (eq_ind_r
 265 T t4 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) t5) ((eq T (THead k t t0) t5)
 266 \to (\forall (P0: Prop).P0)))) H2 t0 H10) in (H12 (refl_equal T t0) P)))))
 267 H9)))))) H6))) t3 H4))) (\lambda (H4: (((eq T t t3) \to (\forall (P:
 268 Prop).P)))).(or_intror (eq T (THead k t t0) (THead k0 t3 t4)) ((eq T (THead k
 269 t t0) (THead k0 t3 t4)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H5: (eq T (THead
 270 k t t0) (THead k0 t3 t4))).(\lambda (P: Prop).(let H6 \def (f_equal T K
 271 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _)
 272 \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1]))
 273 (THead k t t0) (THead k0 t3 t4) H5) in ((let H7 \def (f_equal T T (\lambda
 274 (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t
 275 | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ t5 _) \Rightarrow t5])) (THead k t t0)
 276 (THead k0 t3 t4) H5) in ((let H8 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e
 277 in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _)
 278 \Rightarrow t0 | (THead _ _ t5) \Rightarrow t5])) (THead k t t0) (THead k0 t3
 279 t4) H5) in (\lambda (H9: (eq T t t3)).(\lambda (_: (eq K k k0)).(let H11 \def
 280 (eq_ind_r T t4 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) t5) ((eq T (THead k
 281 t t0) t5) \to (\forall (P0: Prop).P0)))) H2 t0 H8) in (let H12 \def (eq_ind_r
 282 T t3 (\lambda (t5: T).((eq T t t5) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H4 t H9) in
 283 (let H13 \def (eq_ind_r T t3 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) t5)
 284 ((eq T (THead k t t0) t5) \to (\forall (P0: Prop).P0)))) H1 t H9) in (H12
 285 (refl_equal T t) P))))))) H7)) H6)))))) H3)))))))) t2))))))) t1).
 286
 287 theorem binder_dec:
 288  \forall (t: T).(or (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u:
 289 T).(eq T t (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall
 290 (u: T).((eq T t (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))
 291 \def
 292  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(or (ex_3 B T T (\lambda (b:
 293 B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t0 (THead (Bind b) w u))))))
 294 (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t0 (THead (Bind b) w
 295 u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))) (\lambda (n: nat).(or_intror (ex_3 B T T
 296 (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T (TSort n) (THead (Bind
 297 b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T (TSort n)
 298 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (b: B).(\lambda
 299 (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (H: (eq T (TSort n) (THead (Bind b) w
 300 u))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee:
 301 T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 302 True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
 303 (THead (Bind b) w u) H) in (False_ind P H0))))))))) (\lambda (n:
 304 nat).(or_intror (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u:
 305 T).(eq T (TLRef n) (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w:
 306 T).(\forall (u: T).((eq T (TLRef n) (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P:
 307 Prop).P))))) (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (H: (eq
 308 T (TLRef n) (THead (Bind b) w u))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T
 309 (TLRef n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 310 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _)
 311 \Rightarrow False])) I (THead (Bind b) w u) H) in (False_ind P H0)))))))))
 312 (\lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t0: T).((or (ex_3 B T T
 313 (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t0 (THead (Bind b) w
 314 u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t0 (THead
 315 (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P)))))) \to (\forall (t1: T).((or (ex_3
 316 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t1 (THead (Bind
 317 b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t1 (THead
 318 (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P)))))) \to (or (ex_3 B T T (\lambda
 319 (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead (Bind b)
 320 w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T (THead k0 t0
 321 t1) (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))))))) (\lambda (b:
 322 B).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (or (ex_3 B T T (\lambda (b0: B).(\lambda
 323 (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t0 (THead (Bind b0) w u)))))) (\forall (b0:
 324 B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t0 (THead (Bind b0) w u)) \to
 325 (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: (or (ex_3 B T T
 326 (\lambda (b0: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t1 (THead (Bind b0) w
 327 u)))))) (\forall (b0: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t1 (THead
 328 (Bind b0) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(or_introl (ex_3 B T T
 329 (\lambda (b0: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T (THead (Bind b) t0 t1)
 330 (THead (Bind b0) w u)))))) (\forall (b0: B).(\forall (w: T).(\forall (u:
 331 T).((eq T (THead (Bind b) t0 t1) (THead (Bind b0) w u)) \to (\forall (P:
 332 Prop).P))))) (ex_3_intro B T T (\lambda (b0: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u:
 333 T).(eq T (THead (Bind b) t0 t1) (THead (Bind b0) w u))))) b t0 t1 (refl_equal
 334 T (THead (Bind b) t0 t1))))))))) (\lambda (f: F).(\lambda (t0: T).(\lambda
 335 (_: (or (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t0
 336 (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u:
 337 T).((eq T t0 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda
 338 (t1: T).(\lambda (_: (or (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda
 339 (u: T).(eq T t1 (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w:
 340 T).(\forall (u: T).((eq T t1 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P:
 341 Prop).P))))))).(or_intror (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w:
 342 T).(\lambda (u: T).(eq T (THead (Flat f) t0 t1) (THead (Bind b) w u))))))
 343 (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T (THead (Flat f) t0 t1)
 344 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (b: B).(\lambda
 345 (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (H1: (eq T (THead (Flat f) t0 t1) (THead
 346 (Bind b) w u))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (eq_ind T (THead (Flat f) t0
 347 t1) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort
 348 _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead k0 _ _)
 349 \Rightarrow (match k0 in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _)
 350 \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow True])])) I (THead (Bind b) w u) H1)
 351 in (False_ind P H2))))))))))))) k)) t).
 352
 353 theorem abst_dec:
 354  \forall (u: T).(\forall (v: T).(or (ex T (\lambda (t: T).(eq T u (THead
 355 (Bind Abst) v t)))) (\forall (t: T).((eq T u (THead (Bind Abst) v t)) \to
 356 (\forall (P: Prop).P)))))
 357 \def
 358  \lambda (u: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (v: T).(or (ex T (\lambda
 359 (t0: T).(eq T t (THead (Bind Abst) v t0)))) (\forall (t0: T).((eq T t (THead
 360 (Bind Abst) v t0)) \to (\forall (P: Prop).P)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 361 (v: T).(or_intror (ex T (\lambda (t: T).(eq T (TSort n) (THead (Bind Abst) v
 362 t)))) (\forall (t: T).((eq T (TSort n) (THead (Bind Abst) v t)) \to (\forall
 363 (P: Prop).P))) (\lambda (t: T).(\lambda (H: (eq T (TSort n) (THead (Bind
 364 Abst) v t))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda
 365 (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 366 \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow
 367 False])) I (THead (Bind Abst) v t) H) in (False_ind P H0)))))))) (\lambda (n:
 368 nat).(\lambda (v: T).(or_intror (ex T (\lambda (t: T).(eq T (TLRef n) (THead
 369 (Bind Abst) v t)))) (\forall (t: T).((eq T (TLRef n) (THead (Bind Abst) v t))
 370 \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t: T).(\lambda (H: (eq T (TLRef n)
 371 (THead (Bind Abst) v t))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (TLRef n)
 372 (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 373 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow
 374 False])) I (THead (Bind Abst) v t) H) in (False_ind P H0)))))))) (\lambda (k:
 375 K).(\lambda (t: T).(\lambda (_: ((\forall (v: T).(or (ex T (\lambda (t0:
 376 T).(eq T t (THead (Bind Abst) v t0)))) (\forall (t0: T).((eq T t (THead (Bind
 377 Abst) v t0)) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
 378 ((\forall (v: T).(or (ex T (\lambda (t1: T).(eq T t0 (THead (Bind Abst) v
 379 t1)))) (\forall (t1: T).((eq T t0 (THead (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P:
 380 Prop).P))))))).(\lambda (v: T).(let H_x \def (terms_props__kind_dec k (Bind
 381 Abst)) in (let H1 \def H_x in (or_ind (eq K k (Bind Abst)) ((eq K k (Bind
 382 Abst)) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead k t
 383 t0) (THead (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead k t t0) (THead
 384 (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (H2: (eq K k (Bind
 385 Abst))).(eq_ind_r K (Bind Abst) (\lambda (k0: K).(or (ex T (\lambda (t1:
 386 T).(eq T (THead k0 t t0) (THead (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T
 387 (THead k0 t t0) (THead (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P))))) (let
 388 H_x0 \def (term_dec t v) in (let H3 \def H_x0 in (or_ind (eq T t v) ((eq T t
 389 v) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead (Bind
 390 Abst) t t0) (THead (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead (Bind
 391 Abst) t t0) (THead (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda
 392 (H4: (eq T t v)).(eq_ind T t (\lambda (t1: T).(or (ex T (\lambda (t2: T).(eq
 393 T (THead (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) t1 t2)))) (\forall (t2: T).((eq
 394 T (THead (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) t1 t2)) \to (\forall (P:
 395 Prop).P))))) (or_introl (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead (Bind Abst) t t0)
 396 (THead (Bind Abst) t t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead (Bind Abst) t t0)
 397 (THead (Bind Abst) t t1)) \to (\forall (P: Prop).P))) (ex_intro T (\lambda
 398 (t1: T).(eq T (THead (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) t t1))) t0
 399 (refl_equal T (THead (Bind Abst) t t0)))) v H4)) (\lambda (H4: (((eq T t v)
 400 \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead
 401 (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead
 402 (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P)))
 403 (\lambda (t1: T).(\lambda (H5: (eq T (THead (Bind Abst) t t0) (THead (Bind
 404 Abst) v t1))).(\lambda (P: Prop).(let H6 \def (f_equal T T (\lambda (e:
 405 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t |
 406 (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ t2 _) \Rightarrow t2])) (THead (Bind Abst)
 407 t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H5) in ((let H7 \def (f_equal T T (\lambda (e:
 408 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t0 |
 409 (TLRef _) \Rightarrow t0 | (THead _ _ t2) \Rightarrow t2])) (THead (Bind
 410 Abst) t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H5) in (\lambda (H8: (eq T t v)).(H4 H8
 411 P))) H6))))))) H3))) k H2)) (\lambda (H2: (((eq K k (Bind Abst)) \to (\forall
 412 (P: Prop).P)))).(or_intror (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead k t t0) (THead
 413 (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead k t t0) (THead (Bind
 414 Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t1: T).(\lambda (H3: (eq T
 415 (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1))).(\lambda (P: Prop).(let H4 \def
 416 (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with
 417 [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k0 _ _)
 418 \Rightarrow k0])) (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H3) in ((let H5
 419 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T)
 420 with [(TSort _) \Rightarrow t | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ t2 _)
 421 \Rightarrow t2])) (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H3) in ((let H6
 422 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T)
 423 with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _) \Rightarrow t0 | (THead _ _ t2)
 424 \Rightarrow t2])) (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H3) in (\lambda (_:
 425 (eq T t v)).(\lambda (H8: (eq K k (Bind Abst))).(H2 H8 P)))) H5)) H4)))))))
 426 H1))))))))) u).
 427