matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/T/dec.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/T/defs.ma".
  18
  19 theorem terms_props__bind_dec:
  20  \forall (b1: B).(\forall (b2: B).(or (eq B b1 b2) ((eq B b1 b2) \to (\forall
  21 (P: Prop).P))))
  22 \def
  23  \lambda (b1: B).(B_ind (\lambda (b: B).(\forall (b2: B).(or (eq B b b2) ((eq
  24 B b b2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (b2: B).(B_ind (\lambda (b:
  25 B).(or (eq B Abbr b) ((eq B Abbr b) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl
  26 (eq B Abbr Abbr) ((eq B Abbr Abbr) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal B
  27 Abbr)) (or_intror (eq B Abbr Abst) ((eq B Abbr Abst) \to (\forall (P:
  28 Prop).P)) (\lambda (H: (eq B Abbr Abst)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  29 (eq_ind B Abbr (\lambda (ee: B).(match ee in B return (\lambda (_: B).Prop)
  30 with [Abbr \Rightarrow True | Abst \Rightarrow False | Void \Rightarrow
  31 False])) I Abst H) in (False_ind P H0))))) (or_intror (eq B Abbr Void) ((eq B
  32 Abbr Void) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B Abbr Void)).(\lambda
  33 (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind B Abbr (\lambda (ee: B).(match ee in B return
  34 (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow True | Abst \Rightarrow False |
  35 Void \Rightarrow False])) I Void H) in (False_ind P H0))))) b2)) (\lambda
  36 (b2: B).(B_ind (\lambda (b: B).(or (eq B Abst b) ((eq B Abst b) \to (\forall
  37 (P: Prop).P)))) (or_intror (eq B Abst Abbr) ((eq B Abst Abbr) \to (\forall
  38 (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B Abst Abbr)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  39 (eq_ind B Abst (\lambda (ee: B).(match ee in B return (\lambda (_: B).Prop)
  40 with [Abbr \Rightarrow False | Abst \Rightarrow True | Void \Rightarrow
  41 False])) I Abbr H) in (False_ind P H0))))) (or_introl (eq B Abst Abst) ((eq B
  42 Abst Abst) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal B Abst)) (or_intror (eq B
  43 Abst Void) ((eq B Abst Void) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B
  44 Abst Void)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind B Abst (\lambda (ee:
  45 B).(match ee in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False |
  46 Abst \Rightarrow True | Void \Rightarrow False])) I Void H) in (False_ind P
  47 H0))))) b2)) (\lambda (b2: B).(B_ind (\lambda (b: B).(or (eq B Void b) ((eq B
  48 Void b) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_intror (eq B Void Abbr) ((eq B Void
  49 Abbr) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B Void Abbr)).(\lambda (P:
  50 Prop).(let H0 \def (eq_ind B Void (\lambda (ee: B).(match ee in B return
  51 (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False | Abst \Rightarrow False |
  52 Void \Rightarrow True])) I Abbr H) in (False_ind P H0))))) (or_intror (eq B
  53 Void Abst) ((eq B Void Abst) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq B
  54 Void Abst)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind B Void (\lambda (ee:
  55 B).(match ee in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False |
  56 Abst \Rightarrow False | Void \Rightarrow True])) I Abst H) in (False_ind P
  57 H0))))) (or_introl (eq B Void Void) ((eq B Void Void) \to (\forall (P:
  58 Prop).P)) (refl_equal B Void)) b2)) b1).
  59
  60 theorem bind_dec_not:
  61  \forall (b1: B).(\forall (b2: B).(or (eq B b1 b2) (not (eq B b1 b2))))
  62 \def
  63  \lambda (b1: B).(\lambda (b2: B).(let H_x \def (terms_props__bind_dec b1 b2)
  64 in (let H \def H_x in (or_ind (eq B b1 b2) ((eq B b1 b2) \to (\forall (P:
  65 Prop).P)) (or (eq B b1 b2) ((eq B b1 b2) \to False)) (\lambda (H0: (eq B b1
  66 b2)).(or_introl (eq B b1 b2) ((eq B b1 b2) \to False) H0)) (\lambda (H0:
  67 (((eq B b1 b2) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq B b1 b2) ((eq B b1
  68 b2) \to False) (\lambda (H1: (eq B b1 b2)).(H0 H1 False)))) H)))).
  69
  70 theorem terms_props__flat_dec:
  71  \forall (f1: F).(\forall (f2: F).(or (eq F f1 f2) ((eq F f1 f2) \to (\forall
  72 (P: Prop).P))))
  73 \def
  74  \lambda (f1: F).(F_ind (\lambda (f: F).(\forall (f2: F).(or (eq F f f2) ((eq
  75 F f f2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (f2: F).(F_ind (\lambda (f:
  76 F).(or (eq F Appl f) ((eq F Appl f) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl
  77 (eq F Appl Appl) ((eq F Appl Appl) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal F
  78 Appl)) (or_intror (eq F Appl Cast) ((eq F Appl Cast) \to (\forall (P:
  79 Prop).P)) (\lambda (H: (eq F Appl Cast)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  80 (eq_ind F Appl (\lambda (ee: F).(match ee in F return (\lambda (_: F).Prop)
  81 with [Appl \Rightarrow True | Cast \Rightarrow False])) I Cast H) in
  82 (False_ind P H0))))) f2)) (\lambda (f2: F).(F_ind (\lambda (f: F).(or (eq F
  83 Cast f) ((eq F Cast f) \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_intror (eq F Cast
  84 Appl) ((eq F Cast Appl) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq F Cast
  85 Appl)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind F Cast (\lambda (ee: F).(match
  86 ee in F return (\lambda (_: F).Prop) with [Appl \Rightarrow False | Cast
  87 \Rightarrow True])) I Appl H) in (False_ind P H0))))) (or_introl (eq F Cast
  88 Cast) ((eq F Cast Cast) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal F Cast)) f2))
  89 f1).
  90
  91 theorem terms_props__kind_dec:
  92  \forall (k1: K).(\forall (k2: K).(or (eq K k1 k2) ((eq K k1 k2) \to (\forall
  93 (P: Prop).P))))
  94 \def
  95  \lambda (k1: K).(K_ind (\lambda (k: K).(\forall (k2: K).(or (eq K k k2) ((eq
  96 K k k2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (b: B).(\lambda (k2: K).(K_ind
  97 (\lambda (k: K).(or (eq K (Bind b) k) ((eq K (Bind b) k) \to (\forall (P:
  98 Prop).P)))) (\lambda (b0: B).(let H_x \def (terms_props__bind_dec b b0) in
  99 (let H \def H_x in (or_ind (eq B b b0) ((eq B b b0) \to (\forall (P:
 100 Prop).P)) (or (eq K (Bind b) (Bind b0)) ((eq K (Bind b) (Bind b0)) \to
 101 (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H0: (eq B b b0)).(eq_ind B b (\lambda (b1:
 102 B).(or (eq K (Bind b) (Bind b1)) ((eq K (Bind b) (Bind b1)) \to (\forall (P:
 103 Prop).P)))) (or_introl (eq K (Bind b) (Bind b)) ((eq K (Bind b) (Bind b)) \to
 104 (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal K (Bind b))) b0 H0)) (\lambda (H0: (((eq B
 105 b b0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq K (Bind b) (Bind b0)) ((eq
 106 K (Bind b) (Bind b0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq K (Bind b)
 107 (Bind b0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal K B (\lambda (e:
 108 K).(match e in K return (\lambda (_: K).B) with [(Bind b1) \Rightarrow b1 |
 109 (Flat _) \Rightarrow b])) (Bind b) (Bind b0) H1) in (let H3 \def (eq_ind_r B
 110 b0 (\lambda (b1: B).((eq B b b1) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H0 b H2) in
 111 (H3 (refl_equal B b) P))))))) H)))) (\lambda (f: F).(or_intror (eq K (Bind b)
 112 (Flat f)) ((eq K (Bind b) (Flat f)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H:
 113 (eq K (Bind b) (Flat f))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind K (Bind b)
 114 (\lambda (ee: K).(match ee in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _)
 115 \Rightarrow True | (Flat _) \Rightarrow False])) I (Flat f) H) in (False_ind
 116 P H0)))))) k2))) (\lambda (f: F).(\lambda (k2: K).(K_ind (\lambda (k: K).(or
 117 (eq K (Flat f) k) ((eq K (Flat f) k) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda
 118 (b: B).(or_intror (eq K (Flat f) (Bind b)) ((eq K (Flat f) (Bind b)) \to
 119 (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H: (eq K (Flat f) (Bind b))).(\lambda (P:
 120 Prop).(let H0 \def (eq_ind K (Flat f) (\lambda (ee: K).(match ee in K return
 121 (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow
 122 True])) I (Bind b) H) in (False_ind P H0)))))) (\lambda (f0: F).(let H_x \def
 123 (terms_props__flat_dec f f0) in (let H \def H_x in (or_ind (eq F f f0) ((eq F
 124 f f0) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (eq K (Flat f) (Flat f0)) ((eq K (Flat
 125 f) (Flat f0)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H0: (eq F f f0)).(eq_ind
 126 F f (\lambda (f1: F).(or (eq K (Flat f) (Flat f1)) ((eq K (Flat f) (Flat f1))
 127 \to (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl (eq K (Flat f) (Flat f)) ((eq K (Flat
 128 f) (Flat f)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal K (Flat f))) f0 H0))
 129 (\lambda (H0: (((eq F f f0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq K
 130 (Flat f) (Flat f0)) ((eq K (Flat f) (Flat f0)) \to (\forall (P: Prop).P))
 131 (\lambda (H1: (eq K (Flat f) (Flat f0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def
 132 (f_equal K F (\lambda (e: K).(match e in K return (\lambda (_: K).F) with
 133 [(Bind _) \Rightarrow f | (Flat f1) \Rightarrow f1])) (Flat f) (Flat f0) H1)
 134 in (let H3 \def (eq_ind_r F f0 (\lambda (f1: F).((eq F f f1) \to (\forall
 135 (P0: Prop).P0))) H0 f H2) in (H3 (refl_equal F f) P))))))) H)))) k2))) k1).
 136
 137 theorem term_dec:
 138  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(or (eq T t1 t2) ((eq T t1 t2) \to (\forall
 139 (P: Prop).P))))
 140 \def
 141  \lambda (t1: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (t2: T).(or (eq T t t2) ((eq
 142 T t t2) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t2:
 143 T).(T_ind (\lambda (t: T).(or (eq T (TSort n) t) ((eq T (TSort n) t) \to
 144 (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n0: nat).(let H_x \def (nat_dec n n0) in
 145 (let H \def H_x in (or_ind (eq nat n n0) ((eq nat n n0) \to (\forall (P:
 146 Prop).P)) (or (eq T (TSort n) (TSort n0)) ((eq T (TSort n) (TSort n0)) \to
 147 (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H0: (eq nat n n0)).(eq_ind nat n (\lambda
 148 (n1: nat).(or (eq T (TSort n) (TSort n1)) ((eq T (TSort n) (TSort n1)) \to
 149 (\forall (P: Prop).P)))) (or_introl (eq T (TSort n) (TSort n)) ((eq T (TSort
 150 n) (TSort n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal T (TSort n))) n0 H0))
 151 (\lambda (H0: (((eq nat n n0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq T
 152 (TSort n) (TSort n0)) ((eq T (TSort n) (TSort n0)) \to (\forall (P: Prop).P))
 153 (\lambda (H1: (eq T (TSort n) (TSort n0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def
 154 (f_equal T nat (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with
 155 [(TSort n1) \Rightarrow n1 | (TLRef _) \Rightarrow n | (THead _ _ _)
 156 \Rightarrow n])) (TSort n) (TSort n0) H1) in (let H3 \def (eq_ind_r nat n0
 157 (\lambda (n1: nat).((eq nat n n1) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H0 n H2) in
 158 (H3 (refl_equal nat n) P))))))) H)))) (\lambda (n0: nat).(or_intror (eq T
 159 (TSort n) (TLRef n0)) ((eq T (TSort n) (TLRef n0)) \to (\forall (P: Prop).P))
 160 (\lambda (H: (eq T (TSort n) (TLRef n0))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 161 (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 162 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
 163 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef n0) H) in (False_ind P H0))))))
 164 (\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (or (eq T (TSort n) t) ((eq T
 165 (TSort n) t) \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (or
 166 (eq T (TSort n) t0) ((eq T (TSort n) t0) \to (\forall (P:
 167 Prop).P)))).(or_intror (eq T (TSort n) (THead k t t0)) ((eq T (TSort n)
 168 (THead k t t0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T (TSort n)
 169 (THead k t t0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda
 170 (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 171 \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow
 172 False])) I (THead k t t0) H1) in (False_ind P H2)))))))))) t2))) (\lambda (n:
 173 nat).(\lambda (t2: T).(T_ind (\lambda (t: T).(or (eq T (TLRef n) t) ((eq T
 174 (TLRef n) t) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n0: nat).(or_intror (eq T
 175 (TLRef n) (TSort n0)) ((eq T (TLRef n) (TSort n0)) \to (\forall (P: Prop).P))
 176 (\lambda (H: (eq T (TLRef n) (TSort n0))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 177 (eq_ind T (TLRef n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 178 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 179 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TSort n0) H) in (False_ind P H0))))))
 180 (\lambda (n0: nat).(let H_x \def (nat_dec n n0) in (let H \def H_x in (or_ind
 181 (eq nat n n0) ((eq nat n n0) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (eq T (TLRef n)
 182 (TLRef n0)) ((eq T (TLRef n) (TLRef n0)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda
 183 (H0: (eq nat n n0)).(eq_ind nat n (\lambda (n1: nat).(or (eq T (TLRef n)
 184 (TLRef n1)) ((eq T (TLRef n) (TLRef n1)) \to (\forall (P: Prop).P))))
 185 (or_introl (eq T (TLRef n) (TLRef n)) ((eq T (TLRef n) (TLRef n)) \to
 186 (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal T (TLRef n))) n0 H0)) (\lambda (H0: (((eq
 187 nat n n0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (eq T (TLRef n) (TLRef n0))
 188 ((eq T (TLRef n) (TLRef n0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T
 189 (TLRef n) (TLRef n0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal T nat
 190 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _)
 191 \Rightarrow n | (TLRef n1) \Rightarrow n1 | (THead _ _ _) \Rightarrow n]))
 192 (TLRef n) (TLRef n0) H1) in (let H3 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n1:
 193 nat).((eq nat n n1) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H0 n H2) in (H3 (refl_equal
 194 nat n) P))))))) H)))) (\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (or (eq T
 195 (TLRef n) t) ((eq T (TLRef n) t) \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (t0:
 196 T).(\lambda (_: (or (eq T (TLRef n) t0) ((eq T (TLRef n) t0) \to (\forall (P:
 197 Prop).P)))).(or_intror (eq T (TLRef n) (THead k t t0)) ((eq T (TLRef n)
 198 (THead k t t0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T (TLRef n)
 199 (THead k t t0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (eq_ind T (TLRef n) (\lambda
 200 (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 201 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow
 202 False])) I (THead k t t0) H1) in (False_ind P H2)))))))))) t2))) (\lambda (k:
 203 K).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t2: T).(or (eq T t t2) ((eq T t
 204 t2) \to (\forall (P: Prop).P)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall
 205 (t2: T).(or (eq T t0 t2) ((eq T t0 t2) \to (\forall (P:
 206 Prop).P)))))).(\lambda (t2: T).(T_ind (\lambda (t3: T).(or (eq T (THead k t
 207 t0) t3) ((eq T (THead k t t0) t3) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 208 nat).(or_intror (eq T (THead k t t0) (TSort n)) ((eq T (THead k t t0) (TSort
 209 n)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T (THead k t t0) (TSort
 210 n))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (eq_ind T (THead k t t0) (\lambda (ee:
 211 T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 212 False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I
 213 (TSort n) H1) in (False_ind P H2)))))) (\lambda (n: nat).(or_intror (eq T
 214 (THead k t t0) (TLRef n)) ((eq T (THead k t t0) (TLRef n)) \to (\forall (P:
 215 Prop).P)) (\lambda (H1: (eq T (THead k t t0) (TLRef n))).(\lambda (P:
 216 Prop).(let H2 \def (eq_ind T (THead k t t0) (\lambda (ee: T).(match ee in T
 217 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 218 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H1) in
 219 (False_ind P H2)))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (t3: T).(\lambda (H1: (or (eq
 220 T (THead k t t0) t3) ((eq T (THead k t t0) t3) \to (\forall (P:
 221 Prop).P)))).(\lambda (t4: T).(\lambda (H2: (or (eq T (THead k t t0) t4) ((eq
 222 T (THead k t t0) t4) \to (\forall (P: Prop).P)))).(let H_x \def (H t3) in
 223 (let H3 \def H_x in (or_ind (eq T t t3) ((eq T t t3) \to (\forall (P:
 224 Prop).P)) (or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t3 t4)) ((eq T (THead k t t0)
 225 (THead k0 t3 t4)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H4: (eq T t t3)).(let
 226 H5 \def (eq_ind_r T t3 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) t5) ((eq T
 227 (THead k t t0) t5) \to (\forall (P: Prop).P)))) H1 t H4) in (eq_ind T t
 228 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t5 t4)) ((eq T (THead k t
 229 t0) (THead k0 t5 t4)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (let H_x0 \def (H0 t4) in
 230 (let H6 \def H_x0 in (or_ind (eq T t0 t4) ((eq T t0 t4) \to (\forall (P:
 231 Prop).P)) (or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t4)) ((eq T (THead k t t0)
 232 (THead k0 t t4)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (H7: (eq T t0 t4)).(let
 233 H8 \def (eq_ind_r T t4 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) t5) ((eq T
 234 (THead k t t0) t5) \to (\forall (P: Prop).P)))) H2 t0 H7) in (eq_ind T t0
 235 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t5)) ((eq T (THead k t
 236 t0) (THead k0 t t5)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (let H_x1 \def
 237 (terms_props__kind_dec k k0) in (let H9 \def H_x1 in (or_ind (eq K k k0) ((eq
 238 K k k0) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t0))
 239 ((eq T (THead k t t0) (THead k0 t t0)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda
 240 (H10: (eq K k k0)).(eq_ind K k (\lambda (k1: K).(or (eq T (THead k t t0)
 241 (THead k1 t t0)) ((eq T (THead k t t0) (THead k1 t t0)) \to (\forall (P:
 242 Prop).P)))) (or_introl (eq T (THead k t t0) (THead k t t0)) ((eq T (THead k t
 243 t0) (THead k t t0)) \to (\forall (P: Prop).P)) (refl_equal T (THead k t t0)))
 244 k0 H10)) (\lambda (H10: (((eq K k k0) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror
 245 (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t0)) ((eq T (THead k t t0) (THead k0 t t0))
 246 \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H11: (eq T (THead k t t0) (THead k0 t
 247 t0))).(\lambda (P: Prop).(let H12 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e
 248 in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _)
 249 \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1])) (THead k t t0) (THead k0 t
 250 t0) H11) in (let H13 \def (eq_ind_r K k0 (\lambda (k1: K).((eq K k k1) \to
 251 (\forall (P0: Prop).P0))) H10 k H12) in (H13 (refl_equal K k) P))))))) H9)))
 252 t4 H7))) (\lambda (H7: (((eq T t0 t4) \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror
 253 (eq T (THead k t t0) (THead k0 t t4)) ((eq T (THead k t t0) (THead k0 t t4))
 254 \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H8: (eq T (THead k t t0) (THead k0 t
 255 t4))).(\lambda (P: Prop).(let H9 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e
 256 in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _)
 257 \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1])) (THead k t t0) (THead k0 t
 258 t4) H8) in ((let H10 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
 259 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _) \Rightarrow t0
 260 | (THead _ _ t5) \Rightarrow t5])) (THead k t t0) (THead k0 t t4) H8) in
 261 (\lambda (_: (eq K k k0)).(let H12 \def (eq_ind_r T t4 (\lambda (t5: T).((eq
 262 T t0 t5) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H7 t0 H10) in (let H13 \def (eq_ind_r
 263 T t4 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) t5) ((eq T (THead k t t0) t5)
 264 \to (\forall (P0: Prop).P0)))) H2 t0 H10) in (H12 (refl_equal T t0) P)))))
 265 H9)))))) H6))) t3 H4))) (\lambda (H4: (((eq T t t3) \to (\forall (P:
 266 Prop).P)))).(or_intror (eq T (THead k t t0) (THead k0 t3 t4)) ((eq T (THead k
 267 t t0) (THead k0 t3 t4)) \to (\forall (P: Prop).P)) (\lambda (H5: (eq T (THead
 268 k t t0) (THead k0 t3 t4))).(\lambda (P: Prop).(let H6 \def (f_equal T K
 269 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _)
 270 \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1]))
 271 (THead k t t0) (THead k0 t3 t4) H5) in ((let H7 \def (f_equal T T (\lambda
 272 (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t
 273 | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ t5 _) \Rightarrow t5])) (THead k t t0)
 274 (THead k0 t3 t4) H5) in ((let H8 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e
 275 in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _)
 276 \Rightarrow t0 | (THead _ _ t5) \Rightarrow t5])) (THead k t t0) (THead k0 t3
 277 t4) H5) in (\lambda (H9: (eq T t t3)).(\lambda (_: (eq K k k0)).(let H11 \def
 278 (eq_ind_r T t4 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) t5) ((eq T (THead k
 279 t t0) t5) \to (\forall (P0: Prop).P0)))) H2 t0 H8) in (let H12 \def (eq_ind_r
 280 T t3 (\lambda (t5: T).((eq T t t5) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H4 t H9) in
 281 (let H13 \def (eq_ind_r T t3 (\lambda (t5: T).(or (eq T (THead k t t0) t5)
 282 ((eq T (THead k t t0) t5) \to (\forall (P0: Prop).P0)))) H1 t H9) in (H12
 283 (refl_equal T t) P))))))) H7)) H6)))))) H3)))))))) t2))))))) t1).
 284
 285 theorem binder_dec:
 286  \forall (t: T).(or (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u:
 287 T).(eq T t (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall
 288 (u: T).((eq T t (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))
 289 \def
 290  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(or (ex_3 B T T (\lambda (b:
 291 B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t0 (THead (Bind b) w u))))))
 292 (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t0 (THead (Bind b) w
 293 u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))) (\lambda (n: nat).(or_intror (ex_3 B T T
 294 (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T (TSort n) (THead (Bind
 295 b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T (TSort n)
 296 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (b: B).(\lambda
 297 (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (H: (eq T (TSort n) (THead (Bind b) w
 298 u))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee:
 299 T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 300 True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
 301 (THead (Bind b) w u) H) in (False_ind P H0))))))))) (\lambda (n:
 302 nat).(or_intror (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u:
 303 T).(eq T (TLRef n) (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w:
 304 T).(\forall (u: T).((eq T (TLRef n) (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P:
 305 Prop).P))))) (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (H: (eq
 306 T (TLRef n) (THead (Bind b) w u))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T
 307 (TLRef n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 308 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _)
 309 \Rightarrow False])) I (THead (Bind b) w u) H) in (False_ind P H0)))))))))
 310 (\lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t0: T).((or (ex_3 B T T
 311 (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t0 (THead (Bind b) w
 312 u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t0 (THead
 313 (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P)))))) \to (\forall (t1: T).((or (ex_3
 314 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t1 (THead (Bind
 315 b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t1 (THead
 316 (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P)))))) \to (or (ex_3 B T T (\lambda
 317 (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead (Bind b)
 318 w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T (THead k0 t0
 319 t1) (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))))))) (\lambda (b:
 320 B).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (or (ex_3 B T T (\lambda (b0: B).(\lambda
 321 (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t0 (THead (Bind b0) w u)))))) (\forall (b0:
 322 B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t0 (THead (Bind b0) w u)) \to
 323 (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: (or (ex_3 B T T
 324 (\lambda (b0: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t1 (THead (Bind b0) w
 325 u)))))) (\forall (b0: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T t1 (THead
 326 (Bind b0) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(or_introl (ex_3 B T T
 327 (\lambda (b0: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T (THead (Bind b) t0 t1)
 328 (THead (Bind b0) w u)))))) (\forall (b0: B).(\forall (w: T).(\forall (u:
 329 T).((eq T (THead (Bind b) t0 t1) (THead (Bind b0) w u)) \to (\forall (P:
 330 Prop).P))))) (ex_3_intro B T T (\lambda (b0: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u:
 331 T).(eq T (THead (Bind b) t0 t1) (THead (Bind b0) w u))))) b t0 t1 (refl_equal
 332 T (THead (Bind b) t0 t1))))))))) (\lambda (f: F).(\lambda (t0: T).(\lambda
 333 (_: (or (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(eq T t0
 334 (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u:
 335 T).((eq T t0 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda
 336 (t1: T).(\lambda (_: (or (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w: T).(\lambda
 337 (u: T).(eq T t1 (THead (Bind b) w u)))))) (\forall (b: B).(\forall (w:
 338 T).(\forall (u: T).((eq T t1 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P:
 339 Prop).P))))))).(or_intror (ex_3 B T T (\lambda (b: B).(\lambda (w:
 340 T).(\lambda (u: T).(eq T (THead (Flat f) t0 t1) (THead (Bind b) w u))))))
 341 (\forall (b: B).(\forall (w: T).(\forall (u: T).((eq T (THead (Flat f) t0 t1)
 342 (THead (Bind b) w u)) \to (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (b: B).(\lambda
 343 (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (H1: (eq T (THead (Flat f) t0 t1) (THead
 344 (Bind b) w u))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (eq_ind T (THead (Flat f) t0
 345 t1) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort
 346 _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead k0 _ _)
 347 \Rightarrow (match k0 in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _)
 348 \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow True])])) I (THead (Bind b) w u) H1)
 349 in (False_ind P H2))))))))))))) k)) t).
 350
 351 theorem abst_dec:
 352  \forall (u: T).(\forall (v: T).(or (ex T (\lambda (t: T).(eq T u (THead
 353 (Bind Abst) v t)))) (\forall (t: T).((eq T u (THead (Bind Abst) v t)) \to
 354 (\forall (P: Prop).P)))))
 355 \def
 356  \lambda (u: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (v: T).(or (ex T (\lambda
 357 (t0: T).(eq T t (THead (Bind Abst) v t0)))) (\forall (t0: T).((eq T t (THead
 358 (Bind Abst) v t0)) \to (\forall (P: Prop).P)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 359 (v: T).(or_intror (ex T (\lambda (t: T).(eq T (TSort n) (THead (Bind Abst) v
 360 t)))) (\forall (t: T).((eq T (TSort n) (THead (Bind Abst) v t)) \to (\forall
 361 (P: Prop).P))) (\lambda (t: T).(\lambda (H: (eq T (TSort n) (THead (Bind
 362 Abst) v t))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda
 363 (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 364 \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow
 365 False])) I (THead (Bind Abst) v t) H) in (False_ind P H0)))))))) (\lambda (n:
 366 nat).(\lambda (v: T).(or_intror (ex T (\lambda (t: T).(eq T (TLRef n) (THead
 367 (Bind Abst) v t)))) (\forall (t: T).((eq T (TLRef n) (THead (Bind Abst) v t))
 368 \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t: T).(\lambda (H: (eq T (TLRef n)
 369 (THead (Bind Abst) v t))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (TLRef n)
 370 (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 371 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow
 372 False])) I (THead (Bind Abst) v t) H) in (False_ind P H0)))))))) (\lambda (k:
 373 K).(\lambda (t: T).(\lambda (_: ((\forall (v: T).(or (ex T (\lambda (t0:
 374 T).(eq T t (THead (Bind Abst) v t0)))) (\forall (t0: T).((eq T t (THead (Bind
 375 Abst) v t0)) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
 376 ((\forall (v: T).(or (ex T (\lambda (t1: T).(eq T t0 (THead (Bind Abst) v
 377 t1)))) (\forall (t1: T).((eq T t0 (THead (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P:
 378 Prop).P))))))).(\lambda (v: T).(let H_x \def (terms_props__kind_dec k (Bind
 379 Abst)) in (let H1 \def H_x in (or_ind (eq K k (Bind Abst)) ((eq K k (Bind
 380 Abst)) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead k t
 381 t0) (THead (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead k t t0) (THead
 382 (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (H2: (eq K k (Bind
 383 Abst))).(eq_ind_r K (Bind Abst) (\lambda (k0: K).(or (ex T (\lambda (t1:
 384 T).(eq T (THead k0 t t0) (THead (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T
 385 (THead k0 t t0) (THead (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P))))) (let
 386 H_x0 \def (term_dec t v) in (let H3 \def H_x0 in (or_ind (eq T t v) ((eq T t
 387 v) \to (\forall (P: Prop).P)) (or (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead (Bind
 388 Abst) t t0) (THead (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead (Bind
 389 Abst) t t0) (THead (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda
 390 (H4: (eq T t v)).(eq_ind T t (\lambda (t1: T).(or (ex T (\lambda (t2: T).(eq
 391 T (THead (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) t1 t2)))) (\forall (t2: T).((eq
 392 T (THead (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) t1 t2)) \to (\forall (P:
 393 Prop).P))))) (or_introl (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead (Bind Abst) t t0)
 394 (THead (Bind Abst) t t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead (Bind Abst) t t0)
 395 (THead (Bind Abst) t t1)) \to (\forall (P: Prop).P))) (ex_intro T (\lambda
 396 (t1: T).(eq T (THead (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) t t1))) t0
 397 (refl_equal T (THead (Bind Abst) t t0)))) v H4)) (\lambda (H4: (((eq T t v)
 398 \to (\forall (P: Prop).P)))).(or_intror (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead
 399 (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead
 400 (Bind Abst) t t0) (THead (Bind Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P)))
 401 (\lambda (t1: T).(\lambda (H5: (eq T (THead (Bind Abst) t t0) (THead (Bind
 402 Abst) v t1))).(\lambda (P: Prop).(let H6 \def (f_equal T T (\lambda (e:
 403 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t |
 404 (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ t2 _) \Rightarrow t2])) (THead (Bind Abst)
 405 t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H5) in ((let H7 \def (f_equal T T (\lambda (e:
 406 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t0 |
 407 (TLRef _) \Rightarrow t0 | (THead _ _ t2) \Rightarrow t2])) (THead (Bind
 408 Abst) t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H5) in (\lambda (H8: (eq T t v)).(H4 H8
 409 P))) H6))))))) H3))) k H2)) (\lambda (H2: (((eq K k (Bind Abst)) \to (\forall
 410 (P: Prop).P)))).(or_intror (ex T (\lambda (t1: T).(eq T (THead k t t0) (THead
 411 (Bind Abst) v t1)))) (\forall (t1: T).((eq T (THead k t t0) (THead (Bind
 412 Abst) v t1)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t1: T).(\lambda (H3: (eq T
 413 (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1))).(\lambda (P: Prop).(let H4 \def
 414 (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with
 415 [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k0 _ _)
 416 \Rightarrow k0])) (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H3) in ((let H5
 417 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T)
 418 with [(TSort _) \Rightarrow t | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ t2 _)
 419 \Rightarrow t2])) (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H3) in ((let H6
 420 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T)
 421 with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _) \Rightarrow t0 | (THead _ _ t2)
 422 \Rightarrow t2])) (THead k t t0) (THead (Bind Abst) v t1) H3) in (\lambda (_:
 423 (eq T t v)).(\lambda (H8: (eq K k (Bind Abst))).(H2 H8 P)))) H5)) H4)))))))
 424 H1))))))))) u).
 425