matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/arity/aprem.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/arity/props.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/arity/cimp.ma".
  20
  21 include "LambdaDelta-1/aprem/props.ma".
  22
  23 theorem arity_aprem:
  24  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (a: A).((arity g c t
  25 a) \to (\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a b) \to (ex2_3 C T nat
  26 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c))))
  27 (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g
  28 b)))))))))))))
  29 \def
  30  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (a: A).(\lambda (H:
  31 (arity g c t a)).(arity_ind g (\lambda (c0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a0:
  32 A).(\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a0 b) \to (ex2_3 C T nat
  33 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0))))
  34 (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g
  35 b)))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (n: nat).(\lambda (i: nat).(\lambda
  36 (b: A).(\lambda (H0: (aprem i (ASort O n) b)).(let H_x \def (aprem_gen_sort b
  37 i O n H0) in (let H1 \def H_x in (False_ind (ex2_3 C T nat (\lambda (d:
  38 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d:
  39 C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g b)))))) H1))))))))
  40 (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
  41 (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_:
  42 (arity g d u a0)).(\lambda (H2: ((\forall (i0: nat).(\forall (b: A).((aprem
  43 i0 a0 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
  44 nat).(drop (plus i0 j) O d0 d)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
  45 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i0: nat).(\lambda (b:
  46 A).(\lambda (H3: (aprem i0 a0 b)).(let H_x \def (H2 i0 b H3) in (let H4 \def
  47 H_x in (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
  48 nat).(drop (plus i0 j) O d0 d)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
  49 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0:
  50 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda
  51 (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))
  52 (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H5: (drop
  53 (plus i0 x2) O x0 d)).(\lambda (H6: (arity g x0 x1 (asucc g b))).(let H_x0
  54 \def (getl_drop_conf_rev (plus i0 x2) x0 d H5 Abbr c0 u i H0) in (let H7 \def
  55 H_x0 in (ex2_ind C (\lambda (c1: C).(drop (plus i0 x2) O c1 c0)) (\lambda
  56 (c1: C).(drop (S i) (plus i0 x2) c1 x0)) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0:
  57 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda
  58 (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))
  59 (\lambda (x: C).(\lambda (H8: (drop (plus i0 x2) O x c0)).(\lambda (H9: (drop
  60 (S i) (plus i0 x2) x x0)).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_:
  61 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda
  62 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) x (lift (S i) (plus
  63 i0 x2) x1) x2 H8 (arity_lift g x0 x1 (asucc g b) H6 x (S i) (plus i0 x2)
  64 H9))))) H7)))))))) H4)))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda
  65 (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abst)
  66 u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (arity g d u (asucc g a0))).(\lambda (H2:
  67 ((\forall (i0: nat).(\forall (b: A).((aprem i0 (asucc g a0) b) \to (ex2_3 C T
  68 nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0
  69 d)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0
  70 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i0: nat).(\lambda (b: A).(\lambda (H3: (aprem
  71 i0 a0 b)).(let H4 \def (H2 i0 b (aprem_asucc g a0 b i0 H3)) in (ex2_3_ind C T
  72 nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d0
  73 d)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0
  74 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
  75 nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
  76 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1:
  77 T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H5: (drop (plus i0 x2) O x0 d)).(\lambda (H6:
  78 (arity g x0 x1 (asucc g b))).(let H_x \def (getl_drop_conf_rev (plus i0 x2)
  79 x0 d H5 Abst c0 u i H0) in (let H7 \def H_x in (ex2_ind C (\lambda (c1:
  80 C).(drop (plus i0 x2) O c1 c0)) (\lambda (c1: C).(drop (S i) (plus i0 x2) c1
  81 x0)) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
  82 (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
  83 nat).(arity g d0 u0 (asucc g b)))))) (\lambda (x: C).(\lambda (H8: (drop
  84 (plus i0 x2) O x c0)).(\lambda (H9: (drop (S i) (plus i0 x2) x
  85 x0)).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
  86 nat).(drop (plus i0 j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
  87 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) x (lift (S i) (plus i0 x2) x1) x2 H8
  88 (arity_lift g x0 x1 (asucc g b) H6 x (S i) (plus i0 x2) H9))))) H7))))))))
  89 H4))))))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_: (not (eq B b Abst))).(\lambda
  90 (c0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c0 u
  91 a1)).(\lambda (_: ((\forall (i: nat).(\forall (b0: A).((aprem i a1 b0) \to
  92 (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus
  93 i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d
  94 u0 (asucc g b0))))))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_:
  95 (arity g (CHead c0 (Bind b) u) t0 a2)).(\lambda (H4: ((\forall (i:
  96 nat).(\forall (b0: A).((aprem i a2 b0) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d:
  97 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d (CHead c0 (Bind b)
  98 u))))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
  99 (asucc g b0))))))))))).(\lambda (i: nat).(\lambda (b0: A).(\lambda (H5:
 100 (aprem i a2 b0)).(let H_x \def (H4 i b0 H5) in (let H6 \def H_x in (ex2_3_ind
 101 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O
 102 d (CHead c0 (Bind b) u))))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 103 nat).(arity g d u0 (asucc g b0))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda
 104 (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 105 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b0)))))) (\lambda (x0:
 106 C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H7: (drop (plus i x2) O x0
 107 (CHead c0 (Bind b) u))).(\lambda (H8: (arity g x0 x1 (asucc g b0))).(let H9
 108 \def (eq_ind nat (S (plus i x2)) (\lambda (n: nat).(drop n O x0 c0)) (drop_S
 109 b x0 c0 u (plus i x2) H7) (plus i (S x2)) (plus_n_Sm i x2)) in (ex2_3_intro C
 110 T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d
 111 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 112 (asucc g b0))))) x0 x1 (S x2) H9 H8))))))) H6))))))))))))))))) (\lambda (c0:
 113 C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (arity g c0 u (asucc g
 114 a1))).(\lambda (_: ((\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i (asucc g a1)
 115 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
 116 (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 117 nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2:
 118 A).(\lambda (_: (arity g (CHead c0 (Bind Abst) u) t0 a2)).(\lambda (H3:
 119 ((\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a2 b) \to (ex2_3 C T nat
 120 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d (CHead
 121 c0 (Bind Abst) u))))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 122 nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i: nat).(\lambda (b:
 123 A).(\lambda (H4: (aprem i (AHead a1 a2) b)).(nat_ind (\lambda (n:
 124 nat).((aprem n (AHead a1 a2) b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda
 125 (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus n j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 126 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))))) (\lambda (H5:
 127 (aprem O (AHead a1 a2) b)).(let H_y \def (aprem_gen_head_O a1 a2 b H5) in
 128 (eq_ind_r A a1 (\lambda (a0: A).(ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 129 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus O j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 130 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g a0))))))) (ex2_3_intro C T
 131 nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus O j) O d
 132 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 133 (asucc g a1))))) c0 u O (drop_refl c0) H0) b H_y))) (\lambda (i0:
 134 nat).(\lambda (_: (((aprem i0 (AHead a1 a2) b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda
 135 (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i0 j) O d c0))))
 136 (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 137 b))))))))).(\lambda (H5: (aprem (S i0) (AHead a1 a2) b)).(let H_y \def
 138 (aprem_gen_head_S a1 a2 b i0 H5) in (let H_x \def (H3 i0 b H_y) in (let H6
 139 \def H_x in (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 140 nat).(drop (plus i0 j) O d (CHead c0 (Bind Abst) u))))) (\lambda (d:
 141 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C
 142 T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus (S i0) j)
 143 O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 144 (asucc g b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2:
 145 nat).(\lambda (H7: (drop (plus i0 x2) O x0 (CHead c0 (Bind Abst)
 146 u))).(\lambda (H8: (arity g x0 x1 (asucc g b))).(ex2_3_intro C T nat (\lambda
 147 (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus (S i0) j) O d c0))))
 148 (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 149 b))))) x0 x1 x2 (drop_S Abst x0 c0 u (plus i0 x2) H7) H8)))))) H6))))))) i
 150 H4))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda
 151 (_: (arity g c0 u a1)).(\lambda (_: ((\forall (i: nat).(\forall (b:
 152 A).((aprem i a1 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 153 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 154 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (t0:
 155 T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g c0 t0 (AHead a1 a2))).(\lambda (H3:
 156 ((\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i (AHead a1 a2) b) \to (ex2_3 C T
 157 nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d
 158 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 159 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i: nat).(\lambda (b: A).(\lambda (H4: (aprem
 160 i a2 b)).(let H5 \def (H3 (S i) b (aprem_succ a2 b i H4 a1)) in (ex2_3_ind C
 161 T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (S (plus i j))
 162 O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 163 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 164 nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 165 (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1:
 166 T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H6: (drop (S (plus i x2)) O x0 c0)).(\lambda
 167 (H7: (arity g x0 x1 (asucc g b))).(C_ind (\lambda (c1: C).((drop (S (plus i
 168 x2)) O c1 c0) \to ((arity g c1 x1 (asucc g b)) \to (ex2_3 C T nat (\lambda
 169 (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda
 170 (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b)))))))))
 171 (\lambda (n: nat).(\lambda (H8: (drop (S (plus i x2)) O (CSort n)
 172 c0)).(\lambda (_: (arity g (CSort n) x1 (asucc g b))).(and3_ind (eq C c0
 173 (CSort n)) (eq nat (S (plus i x2)) O) (eq nat O O) (ex2_3 C T nat (\lambda
 174 (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda
 175 (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))
 176 (\lambda (_: (eq C c0 (CSort n))).(\lambda (H11: (eq nat (S (plus i x2))
 177 O)).(\lambda (_: (eq nat O O)).(let H13 \def (eq_ind nat (S (plus i x2))
 178 (\lambda (ee: nat).(match ee in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O
 179 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])) I O H11) in (False_ind (ex2_3 C
 180 T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d
 181 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0
 182 (asucc g b)))))) H13))))) (drop_gen_sort n (S (plus i x2)) O c0 H8)))))
 183 (\lambda (d: C).(\lambda (IHd: (((drop (S (plus i x2)) O d c0) \to ((arity g
 184 d x1 (asucc g b)) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_:
 185 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda
 186 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b)))))))))).(\lambda (k:
 187 K).(\lambda (t1: T).(\lambda (H8: (drop (S (plus i x2)) O (CHead d k t1)
 188 c0)).(\lambda (H9: (arity g (CHead d k t1) x1 (asucc g b))).(K_ind (\lambda
 189 (k0: K).((arity g (CHead d k0 t1) x1 (asucc g b)) \to ((drop (r k0 (plus i
 190 x2)) O d c0) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 191 nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 192 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))))) (\lambda (b0: B).(\lambda (H10:
 193 (arity g (CHead d (Bind b0) t1) x1 (asucc g b))).(\lambda (H11: (drop (r
 194 (Bind b0) (plus i x2)) O d c0)).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d0:
 195 C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda
 196 (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b)))))
 197 (CHead d (Bind b0) t1) x1 (S x2) (eq_ind nat (S (plus i x2)) (\lambda (n:
 198 nat).(drop n O (CHead d (Bind b0) t1) c0)) (drop_drop (Bind b0) (plus i x2) d
 199 c0 H11 t1) (plus i (S x2)) (plus_n_Sm i x2)) H10)))) (\lambda (f: F).(\lambda
 200 (H10: (arity g (CHead d (Flat f) t1) x1 (asucc g b))).(\lambda (H11: (drop (r
 201 (Flat f) (plus i x2)) O d c0)).(let H12 \def (IHd H11 (arity_cimp_conf g
 202 (CHead d (Flat f) t1) x1 (asucc g b) H10 d (cimp_flat_sx f d t1))) in
 203 (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
 204 (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_:
 205 nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda
 206 (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda (d0:
 207 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))))
 208 (\lambda (x3: C).(\lambda (x4: T).(\lambda (x5: nat).(\lambda (H13: (drop
 209 (plus i x5) O x3 c0)).(\lambda (H14: (arity g x3 x4 (asucc g
 210 b))).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d0: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 211 nat).(drop (plus i j) O d0 c0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 212 (_: nat).(arity g d0 u0 (asucc g b))))) x3 x4 x5 H13 H14)))))) H12))))) k H9
 213 (drop_gen_drop k d c0 t1 (plus i x2) H8)))))))) x0 H6 H7))))))
 214 H5)))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a0: A).(\lambda
 215 (_: (arity g c0 u (asucc g a0))).(\lambda (_: ((\forall (i: nat).(\forall (b:
 216 A).((aprem i (asucc g a0) b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 217 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 218 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (t0:
 219 T).(\lambda (_: (arity g c0 t0 a0)).(\lambda (H3: ((\forall (i: nat).(\forall
 220 (b: A).((aprem i a0 b) \to (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 221 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 222 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))))))))).(\lambda (i:
 223 nat).(\lambda (b: A).(\lambda (H4: (aprem i a0 b)).(let H_x \def (H3 i b H4)
 224 in (let H5 \def H_x in (ex2_3_ind C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 225 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda
 226 (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))) (ex2_3 C T nat
 227 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0))))
 228 (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u0 (asucc g
 229 b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H6:
 230 (drop (plus i x2) O x0 c0)).(\lambda (H7: (arity g x0 x1 (asucc g
 231 b))).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j:
 232 nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda
 233 (_: nat).(arity g d u0 (asucc g b))))) x0 x1 x2 H6 H7)))))) H5))))))))))))))
 234 (\lambda (c0: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c0
 235 t0 a1)).(\lambda (H1: ((\forall (i: nat).(\forall (b: A).((aprem i a1 b) \to
 236 (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus
 237 i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d
 238 u (asucc g b))))))))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H2: (leq g a1
 239 a2)).(\lambda (i: nat).(\lambda (b: A).(\lambda (H3: (aprem i a2 b)).(let H_x
 240 \def (aprem_repl g a1 a2 H2 i b H3) in (let H4 \def H_x in (ex2_ind A
 241 (\lambda (b1: A).(leq g b1 b)) (\lambda (b1: A).(aprem i a1 b1)) (ex2_3 C T
 242 nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d
 243 c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc
 244 g b)))))) (\lambda (x: A).(\lambda (H5: (leq g x b)).(\lambda (H6: (aprem i
 245 a1 x)).(let H_x0 \def (H1 i x H6) in (let H7 \def H_x0 in (ex2_3_ind C T nat
 246 (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0))))
 247 (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g
 248 x))))) (ex2_3 C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(drop
 249 (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (_:
 250 nat).(arity g d u (asucc g b)))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda
 251 (x2: nat).(\lambda (H8: (drop (plus i x2) O x0 c0)).(\lambda (H9: (arity g x0
 252 x1 (asucc g x))).(ex2_3_intro C T nat (\lambda (d: C).(\lambda (_:
 253 T).(\lambda (j: nat).(drop (plus i j) O d c0)))) (\lambda (d: C).(\lambda (u:
 254 T).(\lambda (_: nat).(arity g d u (asucc g b))))) x0 x1 x2 H8 (arity_repl g
 255 x0 x1 (asucc g x) H9 (asucc g b) (asucc_repl g x b H5)))))))) H7))))))
 256 H4))))))))))))) c t a H))))).
 257