matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/arity/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/arity/fwd.ma".
  18
  19 theorem node_inh:
  20  \forall (g: G).(\forall (n: nat).(\forall (k: nat).(ex_2 C T (\lambda (c:
  21 C).(\lambda (t: T).(arity g c t (ASort k n)))))))
  22 \def
  23  \lambda (g: G).(\lambda (n: nat).(\lambda (k: nat).(nat_ind (\lambda (n0:
  24 nat).(ex_2 C T (\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(arity g c t (ASort n0 n))))))
  25 (ex_2_intro C T (\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(arity g c t (ASort O n))))
  26 (CSort O) (TSort n) (arity_sort g (CSort O) n)) (\lambda (n0: nat).(\lambda
  27 (H: (ex_2 C T (\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(arity g c t (ASort n0
  28 n)))))).(let H0 \def H in (ex_2_ind C T (\lambda (c: C).(\lambda (t:
  29 T).(arity g c t (ASort n0 n)))) (ex_2 C T (\lambda (c: C).(\lambda (t:
  30 T).(arity g c t (ASort (S n0) n))))) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1:
  31 T).(\lambda (H1: (arity g x0 x1 (ASort n0 n))).(ex_2_intro C T (\lambda (c:
  32 C).(\lambda (t: T).(arity g c t (ASort (S n0) n)))) (CHead x0 (Bind Abst) x1)
  33 (TLRef O) (arity_abst g (CHead x0 (Bind Abst) x1) x0 x1 O (getl_refl Abst x0
  34 x1) (ASort (S n0) n) H1))))) H0)))) k))).
  35
  36 theorem arity_lift:
  37  \forall (g: G).(\forall (c2: C).(\forall (t: T).(\forall (a: A).((arity g c2
  38 t a) \to (\forall (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1
  39 c2) \to (arity g c1 (lift h d t) a)))))))))
  40 \def
  41  \lambda (g: G).(\lambda (c2: C).(\lambda (t: T).(\lambda (a: A).(\lambda (H:
  42 (arity g c2 t a)).(arity_ind g (\lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a0:
  43 A).(\forall (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to
  44 (arity g c1 (lift h d t0) a0)))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (n:
  45 nat).(\lambda (c1: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (_: (drop
  46 h d c1 c)).(eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(arity g c1 t0 (ASort O
  47 n))) (arity_sort g c1 n) (lift h d (TSort n)) (lift_sort n h d))))))))
  48 (\lambda (c: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
  49 (H0: (getl i c (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H1:
  50 (arity g d u a0)).(\lambda (H2: ((\forall (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall
  51 (d0: nat).((drop h d0 c1 d) \to (arity g c1 (lift h d0 u) a0))))))).(\lambda
  52 (c1: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d0: nat).(\lambda (H3: (drop h d0 c1
  53 c)).(lt_le_e i d0 (arity g c1 (lift h d0 (TLRef i)) a0) (\lambda (H4: (lt i
  54 d0)).(eq_ind_r T (TLRef i) (\lambda (t0: T).(arity g c1 t0 a0)) (let H5 \def
  55 (drop_getl_trans_le i d0 (le_S_n i d0 (le_S (S i) d0 H4)) c1 c h H3 (CHead d
  56 (Bind Abbr) u) H0) in (ex3_2_ind C C (\lambda (e0: C).(\lambda (_: C).(drop i
  57 O c1 e0))) (\lambda (e0: C).(\lambda (e1: C).(drop h (minus d0 i) e0 e1)))
  58 (\lambda (_: C).(\lambda (e1: C).(clear e1 (CHead d (Bind Abbr) u)))) (arity
  59 g c1 (TLRef i) a0) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: C).(\lambda (H6: (drop i O
  60 c1 x0)).(\lambda (H7: (drop h (minus d0 i) x0 x1)).(\lambda (H8: (clear x1
  61 (CHead d (Bind Abbr) u))).(let H9 \def (eq_ind nat (minus d0 i) (\lambda (n:
  62 nat).(drop h n x0 x1)) H7 (S (minus d0 (S i))) (minus_x_Sy d0 i H4)) in (let
  63 H10 \def (drop_clear_S x1 x0 h (minus d0 (S i)) H9 Abbr d u H8) in (ex2_ind C
  64 (\lambda (c3: C).(clear x0 (CHead c3 (Bind Abbr) (lift h (minus d0 (S i))
  65 u)))) (\lambda (c3: C).(drop h (minus d0 (S i)) c3 d)) (arity g c1 (TLRef i)
  66 a0) (\lambda (x: C).(\lambda (H11: (clear x0 (CHead x (Bind Abbr) (lift h
  67 (minus d0 (S i)) u)))).(\lambda (H12: (drop h (minus d0 (S i)) x
  68 d)).(arity_abbr g c1 x (lift h (minus d0 (S i)) u) i (getl_intro i c1 (CHead
  69 x (Bind Abbr) (lift h (minus d0 (S i)) u)) x0 H6 H11) a0 (H2 x h (minus d0 (S
  70 i)) H12))))) H10)))))))) H5)) (lift h d0 (TLRef i)) (lift_lref_lt i h d0
  71 H4))) (\lambda (H4: (le d0 i)).(eq_ind_r T (TLRef (plus i h)) (\lambda (t0:
  72 T).(arity g c1 t0 a0)) (arity_abbr g c1 d u (plus i h) (drop_getl_trans_ge i
  73 c1 c d0 h H3 (CHead d (Bind Abbr) u) H0 H4) a0 H1) (lift h d0 (TLRef i))
  74 (lift_lref_ge i h d0 H4)))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (d:
  75 C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c (CHead d (Bind
  76 Abst) u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H1: (arity g d u (asucc g
  77 a0))).(\lambda (H2: ((\forall (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall (d0:
  78 nat).((drop h d0 c1 d) \to (arity g c1 (lift h d0 u) (asucc g
  79 a0)))))))).(\lambda (c1: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d0: nat).(\lambda
  80 (H3: (drop h d0 c1 c)).(lt_le_e i d0 (arity g c1 (lift h d0 (TLRef i)) a0)
  81 (\lambda (H4: (lt i d0)).(eq_ind_r T (TLRef i) (\lambda (t0: T).(arity g c1
  82 t0 a0)) (let H5 \def (drop_getl_trans_le i d0 (le_S_n i d0 (le_S (S i) d0
  83 H4)) c1 c h H3 (CHead d (Bind Abst) u) H0) in (ex3_2_ind C C (\lambda (e0:
  84 C).(\lambda (_: C).(drop i O c1 e0))) (\lambda (e0: C).(\lambda (e1: C).(drop
  85 h (minus d0 i) e0 e1))) (\lambda (_: C).(\lambda (e1: C).(clear e1 (CHead d
  86 (Bind Abst) u)))) (arity g c1 (TLRef i) a0) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1:
  87 C).(\lambda (H6: (drop i O c1 x0)).(\lambda (H7: (drop h (minus d0 i) x0
  88 x1)).(\lambda (H8: (clear x1 (CHead d (Bind Abst) u))).(let H9 \def (eq_ind
  89 nat (minus d0 i) (\lambda (n: nat).(drop h n x0 x1)) H7 (S (minus d0 (S i)))
  90 (minus_x_Sy d0 i H4)) in (let H10 \def (drop_clear_S x1 x0 h (minus d0 (S i))
  91 H9 Abst d u H8) in (ex2_ind C (\lambda (c3: C).(clear x0 (CHead c3 (Bind
  92 Abst) (lift h (minus d0 (S i)) u)))) (\lambda (c3: C).(drop h (minus d0 (S
  93 i)) c3 d)) (arity g c1 (TLRef i) a0) (\lambda (x: C).(\lambda (H11: (clear x0
  94 (CHead x (Bind Abst) (lift h (minus d0 (S i)) u)))).(\lambda (H12: (drop h
  95 (minus d0 (S i)) x d)).(arity_abst g c1 x (lift h (minus d0 (S i)) u) i
  96 (getl_intro i c1 (CHead x (Bind Abst) (lift h (minus d0 (S i)) u)) x0 H6 H11)
  97 a0 (H2 x h (minus d0 (S i)) H12))))) H10)))))))) H5)) (lift h d0 (TLRef i))
  98 (lift_lref_lt i h d0 H4))) (\lambda (H4: (le d0 i)).(eq_ind_r T (TLRef (plus
  99 i h)) (\lambda (t0: T).(arity g c1 t0 a0)) (arity_abst g c1 d u (plus i h)
 100 (drop_getl_trans_ge i c1 c d0 h H3 (CHead d (Bind Abst) u) H0 H4) a0 H1)
 101 (lift h d0 (TLRef i)) (lift_lref_ge i h d0 H4)))))))))))))))) (\lambda (b:
 102 B).(\lambda (H0: (not (eq B b Abst))).(\lambda (c: C).(\lambda (u:
 103 T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u a1)).(\lambda (H2: ((\forall
 104 (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1
 105 (lift h d u) a1))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity
 106 g (CHead c (Bind b) u) t0 a2)).(\lambda (H4: ((\forall (c1: C).(\forall (h:
 107 nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 (CHead c (Bind b) u)) \to (arity g c1
 108 (lift h d t0) a2))))))).(\lambda (c1: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 109 nat).(\lambda (H5: (drop h d c1 c)).(eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h d u)
 110 (lift h (s (Bind b) d) t0)) (\lambda (t1: T).(arity g c1 t1 a2)) (arity_bind
 111 g b H0 c1 (lift h d u) a1 (H2 c1 h d H5) (lift h (s (Bind b) d) t0) a2 (H4
 112 (CHead c1 (Bind b) (lift h d u)) h (s (Bind b) d) (drop_skip_bind h d c1 c H5
 113 b u))) (lift h d (THead (Bind b) u t0)) (lift_head (Bind b) u t0 h
 114 d))))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda
 115 (_: (arity g c u (asucc g a1))).(\lambda (H1: ((\forall (c1: C).(\forall (h:
 116 nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1 (lift h d u) (asucc g
 117 a1)))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g (CHead c
 118 (Bind Abst) u) t0 a2)).(\lambda (H3: ((\forall (c1: C).(\forall (h:
 119 nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 (CHead c (Bind Abst) u)) \to (arity g c1
 120 (lift h d t0) a2))))))).(\lambda (c1: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 121 nat).(\lambda (H4: (drop h d c1 c)).(eq_ind_r T (THead (Bind Abst) (lift h d
 122 u) (lift h (s (Bind Abst) d) t0)) (\lambda (t1: T).(arity g c1 t1 (AHead a1
 123 a2))) (arity_head g c1 (lift h d u) a1 (H1 c1 h d H4) (lift h (s (Bind Abst)
 124 d) t0) a2 (H3 (CHead c1 (Bind Abst) (lift h d u)) h (s (Bind Abst) d)
 125 (drop_skip_bind h d c1 c H4 Abst u))) (lift h d (THead (Bind Abst) u t0))
 126 (lift_head (Bind Abst) u t0 h d))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u:
 127 T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u a1)).(\lambda (H1: ((\forall
 128 (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1
 129 (lift h d u) a1))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity
 130 g c t0 (AHead a1 a2))).(\lambda (H3: ((\forall (c1: C).(\forall (h:
 131 nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1 (lift h d t0) (AHead
 132 a1 a2)))))))).(\lambda (c1: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda
 133 (H4: (drop h d c1 c)).(eq_ind_r T (THead (Flat Appl) (lift h d u) (lift h (s
 134 (Flat Appl) d) t0)) (\lambda (t1: T).(arity g c1 t1 a2)) (arity_appl g c1
 135 (lift h d u) a1 (H1 c1 h d H4) (lift h (s (Flat Appl) d) t0) a2 (H3 c1 h (s
 136 (Flat Appl) d) H4)) (lift h d (THead (Flat Appl) u t0)) (lift_head (Flat
 137 Appl) u t0 h d))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a0:
 138 A).(\lambda (_: (arity g c u (asucc g a0))).(\lambda (H1: ((\forall (c1:
 139 C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1 (lift
 140 h d u) (asucc g a0)))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (arity g c t0
 141 a0)).(\lambda (H3: ((\forall (c1: C).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 142 nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1 (lift h d t0) a0))))))).(\lambda (c1:
 143 C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H4: (drop h d c1
 144 c)).(eq_ind_r T (THead (Flat Cast) (lift h d u) (lift h (s (Flat Cast) d)
 145 t0)) (\lambda (t1: T).(arity g c1 t1 a0)) (arity_cast g c1 (lift h d u) a0
 146 (H1 c1 h d H4) (lift h (s (Flat Cast) d) t0) (H3 c1 h (s (Flat Cast) d) H4))
 147 (lift h d (THead (Flat Cast) u t0)) (lift_head (Flat Cast) u t0 h
 148 d)))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a1: A).(\lambda
 149 (_: (arity g c t0 a1)).(\lambda (H1: ((\forall (c1: C).(\forall (h:
 150 nat).(\forall (d: nat).((drop h d c1 c) \to (arity g c1 (lift h d t0)
 151 a1))))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H2: (leq g a1 a2)).(\lambda (c1:
 152 C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H3: (drop h d c1
 153 c)).(arity_repl g c1 (lift h d t0) a1 (H1 c1 h d H3) a2 H2)))))))))))) c2 t a
 154 H))))).
 155
 156 theorem arity_mono:
 157  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (a1: A).((arity g c
 158 t a1) \to (\forall (a2: A).((arity g c t a2) \to (leq g a1 a2)))))))
 159 \def
 160  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (H:
 161 (arity g c t a1)).(arity_ind g (\lambda (c0: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a:
 162 A).(\forall (a2: A).((arity g c0 t0 a2) \to (leq g a a2)))))) (\lambda (c0:
 163 C).(\lambda (n: nat).(\lambda (a2: A).(\lambda (H0: (arity g c0 (TSort n)
 164 a2)).(leq_sym g a2 (ASort O n) (arity_gen_sort g c0 n a2 H0)))))) (\lambda
 165 (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl
 166 i c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (a: A).(\lambda (_: (arity g d u
 167 a)).(\lambda (H2: ((\forall (a2: A).((arity g d u a2) \to (leq g a
 168 a2))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H3: (arity g c0 (TLRef i) a2)).(let H4
 169 \def (arity_gen_lref g c0 i a2 H3) in (or_ind (ex2_2 C T (\lambda (d0:
 170 C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind Abbr) u0)))) (\lambda (d0:
 171 C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 a2)))) (ex2_2 C T (\lambda (d0:
 172 C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind Abst) u0)))) (\lambda (d0:
 173 C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 (asucc g a2))))) (leq g a a2) (\lambda
 174 (H5: (ex2_2 C T (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind
 175 Abbr) u0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0
 176 a2))))).(ex2_2_ind C T (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0
 177 (Bind Abbr) u0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 a2)))
 178 (leq g a a2) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (H6: (getl i c0
 179 (CHead x0 (Bind Abbr) x1))).(\lambda (H7: (arity g x0 x1 a2)).(let H8 \def
 180 (eq_ind C (CHead d (Bind Abbr) u) (\lambda (c1: C).(getl i c0 c1)) H0 (CHead
 181 x0 (Bind Abbr) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abbr) u) i H0 (CHead x0 (Bind
 182 Abbr) x1) H6)) in (let H9 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C
 183 return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d | (CHead c1 _ _)
 184 \Rightarrow c1])) (CHead d (Bind Abbr) u) (CHead x0 (Bind Abbr) x1)
 185 (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abbr) u) i H0 (CHead x0 (Bind Abbr) x1) H6)) in
 186 ((let H10 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_:
 187 C).T) with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead
 188 d (Bind Abbr) u) (CHead x0 (Bind Abbr) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abbr)
 189 u) i H0 (CHead x0 (Bind Abbr) x1) H6)) in (\lambda (H11: (eq C d x0)).(let
 190 H12 \def (eq_ind_r T x1 (\lambda (t0: T).(getl i c0 (CHead x0 (Bind Abbr)
 191 t0))) H8 u H10) in (let H13 \def (eq_ind_r T x1 (\lambda (t0: T).(arity g x0
 192 t0 a2)) H7 u H10) in (let H14 \def (eq_ind_r C x0 (\lambda (c1: C).(getl i c0
 193 (CHead c1 (Bind Abbr) u))) H12 d H11) in (let H15 \def (eq_ind_r C x0
 194 (\lambda (c1: C).(arity g c1 u a2)) H13 d H11) in (H2 a2 H15))))))) H9)))))))
 195 H5)) (\lambda (H5: (ex2_2 C T (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0
 196 (CHead d0 (Bind Abst) u0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0
 197 (asucc g a2)))))).(ex2_2_ind C T (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0
 198 (CHead d0 (Bind Abst) u0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0
 199 (asucc g a2)))) (leq g a a2) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (H6:
 200 (getl i c0 (CHead x0 (Bind Abst) x1))).(\lambda (_: (arity g x0 x1 (asucc g
 201 a2))).(let H8 \def (eq_ind C (CHead d (Bind Abbr) u) (\lambda (c1: C).(getl i
 202 c0 c1)) H0 (CHead x0 (Bind Abst) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abbr) u) i
 203 H0 (CHead x0 (Bind Abst) x1) H6)) in (let H9 \def (eq_ind C (CHead d (Bind
 204 Abbr) u) (\lambda (ee: C).(match ee in C return (\lambda (_: C).Prop) with
 205 [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K return
 206 (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind b) \Rightarrow (match b in B return
 207 (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow True | Abst \Rightarrow False |
 208 Void \Rightarrow False]) | (Flat _) \Rightarrow False])])) I (CHead x0 (Bind
 209 Abst) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abbr) u) i H0 (CHead x0 (Bind Abst)
 210 x1) H6)) in (False_ind (leq g a a2) H9))))))) H5)) H4)))))))))))) (\lambda
 211 (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl
 212 i c0 (CHead d (Bind Abst) u))).(\lambda (a: A).(\lambda (_: (arity g d u
 213 (asucc g a))).(\lambda (H2: ((\forall (a2: A).((arity g d u a2) \to (leq g
 214 (asucc g a) a2))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H3: (arity g c0 (TLRef i)
 215 a2)).(let H4 \def (arity_gen_lref g c0 i a2 H3) in (or_ind (ex2_2 C T
 216 (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind Abbr) u0))))
 217 (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 a2)))) (ex2_2 C T (\lambda
 218 (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind Abst) u0)))) (\lambda
 219 (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 (asucc g a2))))) (leq g a a2)
 220 (\lambda (H5: (ex2_2 C T (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead
 221 d0 (Bind Abbr) u0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0
 222 a2))))).(ex2_2_ind C T (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0
 223 (Bind Abbr) u0)))) (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 a2)))
 224 (leq g a a2) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (H6: (getl i c0
 225 (CHead x0 (Bind Abbr) x1))).(\lambda (_: (arity g x0 x1 a2)).(let H8 \def
 226 (eq_ind C (CHead d (Bind Abst) u) (\lambda (c1: C).(getl i c0 c1)) H0 (CHead
 227 x0 (Bind Abbr) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abst) u) i H0 (CHead x0 (Bind
 228 Abbr) x1) H6)) in (let H9 \def (eq_ind C (CHead d (Bind Abst) u) (\lambda
 229 (ee: C).(match ee in C return (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort _)
 230 \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K return (\lambda
 231 (_: K).Prop) with [(Bind b) \Rightarrow (match b in B return (\lambda (_:
 232 B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False | Abst \Rightarrow True | Void
 233 \Rightarrow False]) | (Flat _) \Rightarrow False])])) I (CHead x0 (Bind Abbr)
 234 x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abst) u) i H0 (CHead x0 (Bind Abbr) x1) H6))
 235 in (False_ind (leq g a a2) H9))))))) H5)) (\lambda (H5: (ex2_2 C T (\lambda
 236 (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind Abst) u0)))) (\lambda
 237 (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 (asucc g a2)))))).(ex2_2_ind C T
 238 (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(getl i c0 (CHead d0 (Bind Abst) u0))))
 239 (\lambda (d0: C).(\lambda (u0: T).(arity g d0 u0 (asucc g a2)))) (leq g a a2)
 240 (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (H6: (getl i c0 (CHead x0 (Bind
 241 Abst) x1))).(\lambda (H7: (arity g x0 x1 (asucc g a2))).(let H8 \def (eq_ind
 242 C (CHead d (Bind Abst) u) (\lambda (c1: C).(getl i c0 c1)) H0 (CHead x0 (Bind
 243 Abst) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abst) u) i H0 (CHead x0 (Bind Abst)
 244 x1) H6)) in (let H9 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C return
 245 (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d | (CHead c1 _ _) \Rightarrow
 246 c1])) (CHead d (Bind Abst) u) (CHead x0 (Bind Abst) x1) (getl_mono c0 (CHead
 247 d (Bind Abst) u) i H0 (CHead x0 (Bind Abst) x1) H6)) in ((let H10 \def
 248 (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T) with
 249 [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead d (Bind
 250 Abst) u) (CHead x0 (Bind Abst) x1) (getl_mono c0 (CHead d (Bind Abst) u) i H0
 251 (CHead x0 (Bind Abst) x1) H6)) in (\lambda (H11: (eq C d x0)).(let H12 \def
 252 (eq_ind_r T x1 (\lambda (t0: T).(getl i c0 (CHead x0 (Bind Abst) t0))) H8 u
 253 H10) in (let H13 \def (eq_ind_r T x1 (\lambda (t0: T).(arity g x0 t0 (asucc g
 254 a2))) H7 u H10) in (let H14 \def (eq_ind_r C x0 (\lambda (c1: C).(getl i c0
 255 (CHead c1 (Bind Abst) u))) H12 d H11) in (let H15 \def (eq_ind_r C x0
 256 (\lambda (c1: C).(arity g c1 u (asucc g a2))) H13 d H11) in (asucc_inj g a a2
 257 (H2 (asucc g a2) H15)))))))) H9))))))) H5)) H4)))))))))))) (\lambda (b:
 258 B).(\lambda (H0: (not (eq B b Abst))).(\lambda (c0: C).(\lambda (u:
 259 T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g c0 u a2)).(\lambda (_: ((\forall
 260 (a3: A).((arity g c0 u a3) \to (leq g a2 a3))))).(\lambda (t0: T).(\lambda
 261 (a3: A).(\lambda (_: (arity g (CHead c0 (Bind b) u) t0 a3)).(\lambda (H4:
 262 ((\forall (a4: A).((arity g (CHead c0 (Bind b) u) t0 a4) \to (leq g a3
 263 a4))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H5: (arity g c0 (THead (Bind b) u t0)
 264 a0)).(let H6 \def (arity_gen_bind b H0 g c0 u t0 a0 H5) in (ex2_ind A
 265 (\lambda (a4: A).(arity g c0 u a4)) (\lambda (_: A).(arity g (CHead c0 (Bind
 266 b) u) t0 a0)) (leq g a3 a0) (\lambda (x: A).(\lambda (_: (arity g c0 u
 267 x)).(\lambda (H8: (arity g (CHead c0 (Bind b) u) t0 a0)).(H4 a0 H8))))
 268 H6))))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a2: A).(\lambda
 269 (_: (arity g c0 u (asucc g a2))).(\lambda (H1: ((\forall (a3: A).((arity g c0
 270 u a3) \to (leq g (asucc g a2) a3))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a3:
 271 A).(\lambda (_: (arity g (CHead c0 (Bind Abst) u) t0 a3)).(\lambda (H3:
 272 ((\forall (a4: A).((arity g (CHead c0 (Bind Abst) u) t0 a4) \to (leq g a3
 273 a4))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H4: (arity g c0 (THead (Bind Abst) u t0)
 274 a0)).(let H5 \def (arity_gen_abst g c0 u t0 a0 H4) in (ex3_2_ind A A (\lambda
 275 (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq A a0 (AHead a4 a5)))) (\lambda (a4: A).(\lambda
 276 (_: A).(arity g c0 u (asucc g a4)))) (\lambda (_: A).(\lambda (a5: A).(arity
 277 g (CHead c0 (Bind Abst) u) t0 a5))) (leq g (AHead a2 a3) a0) (\lambda (x0:
 278 A).(\lambda (x1: A).(\lambda (H6: (eq A a0 (AHead x0 x1))).(\lambda (H7:
 279 (arity g c0 u (asucc g x0))).(\lambda (H8: (arity g (CHead c0 (Bind Abst) u)
 280 t0 x1)).(eq_ind_r A (AHead x0 x1) (\lambda (a: A).(leq g (AHead a2 a3) a))
 281 (leq_head g a2 x0 (asucc_inj g a2 x0 (H1 (asucc g x0) H7)) a3 x1 (H3 x1 H8))
 282 a0 H6)))))) H5))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a2:
 283 A).(\lambda (_: (arity g c0 u a2)).(\lambda (_: ((\forall (a3: A).((arity g
 284 c0 u a3) \to (leq g a2 a3))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a3: A).(\lambda (_:
 285 (arity g c0 t0 (AHead a2 a3))).(\lambda (H3: ((\forall (a4: A).((arity g c0
 286 t0 a4) \to (leq g (AHead a2 a3) a4))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H4: (arity
 287 g c0 (THead (Flat Appl) u t0) a0)).(let H5 \def (arity_gen_appl g c0 u t0 a0
 288 H4) in (ex2_ind A (\lambda (a4: A).(arity g c0 u a4)) (\lambda (a4: A).(arity
 289 g c0 t0 (AHead a4 a0))) (leq g a3 a0) (\lambda (x: A).(\lambda (_: (arity g
 290 c0 u x)).(\lambda (H7: (arity g c0 t0 (AHead x a0))).(ahead_inj_snd g a2 a3 x
 291 a0 (H3 (AHead x a0) H7))))) H5))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u:
 292 T).(\lambda (a: A).(\lambda (_: (arity g c0 u (asucc g a))).(\lambda (_:
 293 ((\forall (a2: A).((arity g c0 u a2) \to (leq g (asucc g a) a2))))).(\lambda
 294 (t0: T).(\lambda (_: (arity g c0 t0 a)).(\lambda (H3: ((\forall (a2:
 295 A).((arity g c0 t0 a2) \to (leq g a a2))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H4:
 296 (arity g c0 (THead (Flat Cast) u t0) a2)).(let H5 \def (arity_gen_cast g c0 u
 297 t0 a2 H4) in (land_ind (arity g c0 u (asucc g a2)) (arity g c0 t0 a2) (leq g
 298 a a2) (\lambda (_: (arity g c0 u (asucc g a2))).(\lambda (H7: (arity g c0 t0
 299 a2)).(H3 a2 H7))) H5)))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (t0: T).(\lambda
 300 (a2: A).(\lambda (_: (arity g c0 t0 a2)).(\lambda (H1: ((\forall (a3:
 301 A).((arity g c0 t0 a3) \to (leq g a2 a3))))).(\lambda (a3: A).(\lambda (H2:
 302 (leq g a2 a3)).(\lambda (a0: A).(\lambda (H3: (arity g c0 t0 a0)).(leq_trans
 303 g a3 a2 (leq_sym g a2 a3 H2) a0 (H1 a0 H3))))))))))) c t a1 H))))).
 304
 305 theorem arity_repellent:
 306  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (w: T).(\forall (t: T).(\forall (a1:
 307 A).((arity g (CHead c (Bind Abst) w) t a1) \to (\forall (a2: A).((arity g c
 308 (THead (Bind Abst) w t) a2) \to ((leq g a1 a2) \to (\forall (P:
 309 Prop).P)))))))))
 310 \def
 311  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (w: T).(\lambda (t: T).(\lambda (a1:
 312 A).(\lambda (H: (arity g (CHead c (Bind Abst) w) t a1)).(\lambda (a2:
 313 A).(\lambda (H0: (arity g c (THead (Bind Abst) w t) a2)).(\lambda (H1: (leq g
 314 a1 a2)).(\lambda (P: Prop).(let H_y \def (arity_repl g (CHead c (Bind Abst)
 315 w) t a1 H a2 H1) in (let H2 \def (arity_gen_abst g c w t a2 H0) in (ex3_2_ind
 316 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A a2 (AHead a3 a4)))) (\lambda (a3:
 317 A).(\lambda (_: A).(arity g c w (asucc g a3)))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4:
 318 A).(arity g (CHead c (Bind Abst) w) t a4))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1:
 319 A).(\lambda (H3: (eq A a2 (AHead x0 x1))).(\lambda (_: (arity g c w (asucc g
 320 x0))).(\lambda (H5: (arity g (CHead c (Bind Abst) w) t x1)).(let H6 \def
 321 (eq_ind A a2 (\lambda (a: A).(arity g (CHead c (Bind Abst) w) t a)) H_y
 322 (AHead x0 x1) H3) in (leq_ahead_false_2 g x1 x0 (arity_mono g (CHead c (Bind
 323 Abst) w) t (AHead x0 x1) H6 x1 H5) P))))))) H2)))))))))))).
 324
 325 theorem arity_appls_cast:
 326  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (vs:
 327 TList).(\forall (a: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) vs u) (asucc g a)) \to
 328 ((arity g c (THeads (Flat Appl) vs t) a) \to (arity g c (THeads (Flat Appl)
 329 vs (THead (Flat Cast) u t)) a))))))))
 330 \def
 331  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (vs:
 332 TList).(TList_ind (\lambda (t0: TList).(\forall (a: A).((arity g c (THeads
 333 (Flat Appl) t0 u) (asucc g a)) \to ((arity g c (THeads (Flat Appl) t0 t) a)
 334 \to (arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (THead (Flat Cast) u t)) a)))))
 335 (\lambda (a: A).(\lambda (H: (arity g c u (asucc g a))).(\lambda (H0: (arity
 336 g c t a)).(arity_cast g c u a H t H0)))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t1:
 337 TList).(\lambda (H: ((\forall (a: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) t1 u)
 338 (asucc g a)) \to ((arity g c (THeads (Flat Appl) t1 t) a) \to (arity g c
 339 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat Cast) u t)) a)))))).(\lambda (a:
 340 A).(\lambda (H0: (arity g c (THead (Flat Appl) t0 (THeads (Flat Appl) t1 u))
 341 (asucc g a))).(\lambda (H1: (arity g c (THead (Flat Appl) t0 (THeads (Flat
 342 Appl) t1 t)) a)).(let H2 \def (arity_gen_appl g c t0 (THeads (Flat Appl) t1
 343 t) a H1) in (ex2_ind A (\lambda (a1: A).(arity g c t0 a1)) (\lambda (a1:
 344 A).(arity g c (THeads (Flat Appl) t1 t) (AHead a1 a))) (arity g c (THead
 345 (Flat Appl) t0 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat Cast) u t))) a) (\lambda
 346 (x: A).(\lambda (H3: (arity g c t0 x)).(\lambda (H4: (arity g c (THeads (Flat
 347 Appl) t1 t) (AHead x a))).(let H5 \def (arity_gen_appl g c t0 (THeads (Flat
 348 Appl) t1 u) (asucc g a) H0) in (ex2_ind A (\lambda (a1: A).(arity g c t0 a1))
 349 (\lambda (a1: A).(arity g c (THeads (Flat Appl) t1 u) (AHead a1 (asucc g
 350 a)))) (arity g c (THead (Flat Appl) t0 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat
 351 Cast) u t))) a) (\lambda (x0: A).(\lambda (H6: (arity g c t0 x0)).(\lambda
 352 (H7: (arity g c (THeads (Flat Appl) t1 u) (AHead x0 (asucc g
 353 a)))).(arity_appl g c t0 x H3 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat Cast) u t))
 354 a (H (AHead x a) (arity_repl g c (THeads (Flat Appl) t1 u) (AHead x (asucc g
 355 a)) (arity_repl g c (THeads (Flat Appl) t1 u) (AHead x0 (asucc g a)) H7
 356 (AHead x (asucc g a)) (leq_head g x0 x (arity_mono g c t0 x0 H6 x H3) (asucc
 357 g a) (asucc g a) (leq_refl g (asucc g a)))) (asucc g (AHead x a)) (leq_refl g
 358 (asucc g (AHead x a)))) H4))))) H5))))) H2)))))))) vs))))).
 359
 360 theorem arity_appls_abbr:
 361  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (d: C).(\forall (v: T).(\forall (i:
 362 nat).((getl i c (CHead d (Bind Abbr) v)) \to (\forall (vs: TList).(\forall
 363 (a: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O v)) a) \to (arity g c
 364 (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) a)))))))))
 365 \def
 366  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (d: C).(\lambda (v: T).(\lambda (i:
 367 nat).(\lambda (H: (getl i c (CHead d (Bind Abbr) v))).(\lambda (vs:
 368 TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(\forall (a: A).((arity g c (THeads
 369 (Flat Appl) t (lift (S i) O v)) a) \to (arity g c (THeads (Flat Appl) t
 370 (TLRef i)) a)))) (\lambda (a: A).(\lambda (H0: (arity g c (lift (S i) O v)
 371 a)).(arity_abbr g c d v i H a (arity_gen_lift g c v a (S i) O H0 d (getl_drop
 372 Abbr c d v i H))))) (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H0:
 373 ((\forall (a: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O v)) a) \to
 374 (arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) a))))).(\lambda (a: A).(\lambda
 375 (H1: (arity g c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O
 376 v))) a)).(let H2 \def (arity_gen_appl g c t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S
 377 i) O v)) a H1) in (ex2_ind A (\lambda (a1: A).(arity g c t a1)) (\lambda (a1:
 378 A).(arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O v)) (AHead a1 a))) (arity
 379 g c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))) a) (\lambda (x:
 380 A).(\lambda (H3: (arity g c t x)).(\lambda (H4: (arity g c (THeads (Flat
 381 Appl) t0 (lift (S i) O v)) (AHead x a))).(arity_appl g c t x H3 (THeads (Flat
 382 Appl) t0 (TLRef i)) a (H0 (AHead x a) H4))))) H2))))))) vs))))))).
 383
 384 theorem arity_appls_bind:
 385  \forall (g: G).(\forall (b: B).((not (eq B b Abst)) \to (\forall (c:
 386 C).(\forall (v: T).(\forall (a1: A).((arity g c v a1) \to (\forall (t:
 387 T).(\forall (vs: TList).(\forall (a2: A).((arity g (CHead c (Bind b) v)
 388 (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O vs) t) a2) \to (arity g c (THeads (Flat
 389 Appl) vs (THead (Bind b) v t)) a2)))))))))))
 390 \def
 391  \lambda (g: G).(\lambda (b: B).(\lambda (H: (not (eq B b Abst))).(\lambda
 392 (c: C).(\lambda (v: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (arity g c v
 393 a1)).(\lambda (t: T).(\lambda (vs: TList).(TList_ind (\lambda (t0:
 394 TList).(\forall (a2: A).((arity g (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl)
 395 (lifts (S O) O t0) t) a2) \to (arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (THead (Bind
 396 b) v t)) a2)))) (\lambda (a2: A).(\lambda (H1: (arity g (CHead c (Bind b) v)
 397 t a2)).(arity_bind g b H c v a1 H0 t a2 H1))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t1:
 398 TList).(\lambda (H1: ((\forall (a2: A).((arity g (CHead c (Bind b) v) (THeads
 399 (Flat Appl) (lifts (S O) O t1) t) a2) \to (arity g c (THeads (Flat Appl) t1
 400 (THead (Bind b) v t)) a2))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H2: (arity g (CHead
 401 c (Bind b) v) (THead (Flat Appl) (lift (S O) O t0) (THeads (Flat Appl) (lifts
 402 (S O) O t1) t)) a2)).(let H3 \def (arity_gen_appl g (CHead c (Bind b) v)
 403 (lift (S O) O t0) (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O t1) t) a2 H2) in
 404 (ex2_ind A (\lambda (a3: A).(arity g (CHead c (Bind b) v) (lift (S O) O t0)
 405 a3)) (\lambda (a3: A).(arity g (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl)
 406 (lifts (S O) O t1) t) (AHead a3 a2))) (arity g c (THead (Flat Appl) t0
 407 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Bind b) v t))) a2) (\lambda (x: A).(\lambda
 408 (H4: (arity g (CHead c (Bind b) v) (lift (S O) O t0) x)).(\lambda (H5: (arity
 409 g (CHead c (Bind b) v) (THeads (Flat Appl) (lifts (S O) O t1) t) (AHead x
 410 a2))).(arity_appl g c t0 x (arity_gen_lift g (CHead c (Bind b) v) t0 x (S O)
 411 O H4 c (drop_drop (Bind b) O c c (drop_refl c) v)) (THeads (Flat Appl) t1
 412 (THead (Bind b) v t)) a2 (H1 (AHead x a2) H5))))) H3))))))) vs))))))))).
 413