matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/clear/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/clear/fwd".
  18
  19 include "clear/defs.ma".
  20
  21 theorem clear_gen_sort:
  22  \forall (x: C).(\forall (n: nat).((clear (CSort n) x) \to (\forall (P:
  23 Prop).P)))
  24 \def
  25  \lambda (x: C).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (clear (CSort n) x)).(\lambda
  26 (P: Prop).(let H0 \def (match H in clear return (\lambda (c: C).(\lambda (c0:
  27 C).(\lambda (_: (clear c c0)).((eq C c (CSort n)) \to ((eq C c0 x) \to P)))))
  28 with [(clear_bind b e u) \Rightarrow (\lambda (H0: (eq C (CHead e (Bind b) u)
  29 (CSort n))).(\lambda (H1: (eq C (CHead e (Bind b) u) x)).((let H2 \def
  30 (eq_ind C (CHead e (Bind b) u) (\lambda (e0: C).(match e0 in C return
  31 (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _)
  32 \Rightarrow True])) I (CSort n) H0) in (False_ind ((eq C (CHead e (Bind b) u)
  33 x) \to P) H2)) H1))) | (clear_flat e c H0 f u) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq
  34 C (CHead e (Flat f) u) (CSort n))).(\lambda (H2: (eq C c x)).((let H3 \def
  35 (eq_ind C (CHead e (Flat f) u) (\lambda (e0: C).(match e0 in C return
  36 (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _)
  37 \Rightarrow True])) I (CSort n) H1) in (False_ind ((eq C c x) \to ((clear e
  38 c) \to P)) H3)) H2 H0)))]) in (H0 (refl_equal C (CSort n)) (refl_equal C
  39 x)))))).
  40
  41 theorem clear_gen_bind:
  42  \forall (b: B).(\forall (e: C).(\forall (x: C).(\forall (u: T).((clear
  43 (CHead e (Bind b) u) x) \to (eq C x (CHead e (Bind b) u))))))
  44 \def
  45  \lambda (b: B).(\lambda (e: C).(\lambda (x: C).(\lambda (u: T).(\lambda (H:
  46 (clear (CHead e (Bind b) u) x)).(let H0 \def (match H in clear return
  47 (\lambda (c: C).(\lambda (c0: C).(\lambda (_: (clear c c0)).((eq C c (CHead e
  48 (Bind b) u)) \to ((eq C c0 x) \to (eq C x (CHead e (Bind b) u))))))) with
  49 [(clear_bind b0 e0 u0) \Rightarrow (\lambda (H0: (eq C (CHead e0 (Bind b0)
  50 u0) (CHead e (Bind b) u))).(\lambda (H1: (eq C (CHead e0 (Bind b0) u0)
  51 x)).((let H2 \def (f_equal C T (\lambda (e1: C).(match e1 in C return
  52 (\lambda (_: C).T) with [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t) \Rightarrow
  53 t])) (CHead e0 (Bind b0) u0) (CHead e (Bind b) u) H0) in ((let H3 \def
  54 (f_equal C B (\lambda (e1: C).(match e1 in C return (\lambda (_: C).B) with
  55 [(CSort _) \Rightarrow b0 | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K return
  56 (\lambda (_: K).B) with [(Bind b1) \Rightarrow b1 | (Flat _) \Rightarrow
  57 b0])])) (CHead e0 (Bind b0) u0) (CHead e (Bind b) u) H0) in ((let H4 \def
  58 (f_equal C C (\lambda (e1: C).(match e1 in C return (\lambda (_: C).C) with
  59 [(CSort _) \Rightarrow e0 | (CHead c _ _) \Rightarrow c])) (CHead e0 (Bind
  60 b0) u0) (CHead e (Bind b) u) H0) in (eq_ind C e (\lambda (c: C).((eq B b0 b)
  61 \to ((eq T u0 u) \to ((eq C (CHead c (Bind b0) u0) x) \to (eq C x (CHead e
  62 (Bind b) u)))))) (\lambda (H5: (eq B b0 b)).(eq_ind B b (\lambda (b1: B).((eq
  63 T u0 u) \to ((eq C (CHead e (Bind b1) u0) x) \to (eq C x (CHead e (Bind b)
  64 u))))) (\lambda (H6: (eq T u0 u)).(eq_ind T u (\lambda (t: T).((eq C (CHead e
  65 (Bind b) t) x) \to (eq C x (CHead e (Bind b) u)))) (\lambda (H7: (eq C (CHead
  66 e (Bind b) u) x)).(eq_ind C (CHead e (Bind b) u) (\lambda (c: C).(eq C c
  67 (CHead e (Bind b) u))) (refl_equal C (CHead e (Bind b) u)) x H7)) u0 (sym_eq
  68 T u0 u H6))) b0 (sym_eq B b0 b H5))) e0 (sym_eq C e0 e H4))) H3)) H2)) H1)))
  69 | (clear_flat e0 c H0 f u0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq C (CHead e0 (Flat
  70 f) u0) (CHead e (Bind b) u))).(\lambda (H2: (eq C c x)).((let H3 \def (eq_ind
  71 C (CHead e0 (Flat f) u0) (\lambda (e1: C).(match e1 in C return (\lambda (_:
  72 C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match
  73 k in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat
  74 _) \Rightarrow True])])) I (CHead e (Bind b) u) H1) in (False_ind ((eq C c x)
  75 \to ((clear e0 c) \to (eq C x (CHead e (Bind b) u)))) H3)) H2 H0)))]) in (H0
  76 (refl_equal C (CHead e (Bind b) u)) (refl_equal C x))))))).
  77
  78 theorem clear_gen_flat:
  79  \forall (f: F).(\forall (e: C).(\forall (x: C).(\forall (u: T).((clear
  80 (CHead e (Flat f) u) x) \to (clear e x)))))
  81 \def
  82  \lambda (f: F).(\lambda (e: C).(\lambda (x: C).(\lambda (u: T).(\lambda (H:
  83 (clear (CHead e (Flat f) u) x)).(let H0 \def (match H in clear return
  84 (\lambda (c: C).(\lambda (c0: C).(\lambda (_: (clear c c0)).((eq C c (CHead e
  85 (Flat f) u)) \to ((eq C c0 x) \to (clear e x)))))) with [(clear_bind b e0 u0)
  86 \Rightarrow (\lambda (H0: (eq C (CHead e0 (Bind b) u0) (CHead e (Flat f)
  87 u))).(\lambda (H1: (eq C (CHead e0 (Bind b) u0) x)).((let H2 \def (eq_ind C
  88 (CHead e0 (Bind b) u0) (\lambda (e1: C).(match e1 in C return (\lambda (_:
  89 C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _) \Rightarrow (match
  90 k in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow True | (Flat
  91 _) \Rightarrow False])])) I (CHead e (Flat f) u) H0) in (False_ind ((eq C
  92 (CHead e0 (Bind b) u0) x) \to (clear e x)) H2)) H1))) | (clear_flat e0 c H0
  93 f0 u0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq C (CHead e0 (Flat f0) u0) (CHead e (Flat
  94 f) u))).(\lambda (H2: (eq C c x)).((let H3 \def (f_equal C T (\lambda (e1:
  95 C).(match e1 in C return (\lambda (_: C).T) with [(CSort _) \Rightarrow u0 |
  96 (CHead _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead e0 (Flat f0) u0) (CHead e (Flat f) u)
  97 H1) in ((let H4 \def (f_equal C F (\lambda (e1: C).(match e1 in C return
  98 (\lambda (_: C).F) with [(CSort _) \Rightarrow f0 | (CHead _ k _) \Rightarrow
  99 (match k in K return (\lambda (_: K).F) with [(Bind _) \Rightarrow f0 | (Flat
 100 f1) \Rightarrow f1])])) (CHead e0 (Flat f0) u0) (CHead e (Flat f) u) H1) in
 101 ((let H5 \def (f_equal C C (\lambda (e1: C).(match e1 in C return (\lambda
 102 (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow e0 | (CHead c0 _ _) \Rightarrow c0]))
 103 (CHead e0 (Flat f0) u0) (CHead e (Flat f) u) H1) in (eq_ind C e (\lambda (c0:
 104 C).((eq F f0 f) \to ((eq T u0 u) \to ((eq C c x) \to ((clear c0 c) \to (clear
 105 e x)))))) (\lambda (H6: (eq F f0 f)).(eq_ind F f (\lambda (_: F).((eq T u0 u)
 106 \to ((eq C c x) \to ((clear e c) \to (clear e x))))) (\lambda (H7: (eq T u0
 107 u)).(eq_ind T u (\lambda (_: T).((eq C c x) \to ((clear e c) \to (clear e
 108 x)))) (\lambda (H8: (eq C c x)).(eq_ind C x (\lambda (c0: C).((clear e c0)
 109 \to (clear e x))) (\lambda (H9: (clear e x)).H9) c (sym_eq C c x H8))) u0
 110 (sym_eq T u0 u H7))) f0 (sym_eq F f0 f H6))) e0 (sym_eq C e0 e H5))) H4))
 111 H3)) H2 H0)))]) in (H0 (refl_equal C (CHead e (Flat f) u)) (refl_equal C
 112 x))))))).
 113
 114 theorem clear_gen_flat_r:
 115  \forall (f: F).(\forall (x: C).(\forall (e: C).(\forall (u: T).((clear x
 116 (CHead e (Flat f) u)) \to (\forall (P: Prop).P)))))
 117 \def
 118  \lambda (f: F).(\lambda (x: C).(\lambda (e: C).(\lambda (u: T).(\lambda (H:
 119 (clear x (CHead e (Flat f) u))).(\lambda (P: Prop).(insert_eq C (CHead e
 120 (Flat f) u) (\lambda (c: C).(clear x c)) P (\lambda (y: C).(\lambda (H0:
 121 (clear x y)).(clear_ind (\lambda (_: C).(\lambda (c0: C).((eq C c0 (CHead e
 122 (Flat f) u)) \to P))) (\lambda (b: B).(\lambda (e0: C).(\lambda (u0:
 123 T).(\lambda (H1: (eq C (CHead e0 (Bind b) u0) (CHead e (Flat f) u))).(let H2
 124 \def (eq_ind C (CHead e0 (Bind b) u0) (\lambda (ee: C).(match ee in C return
 125 (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _)
 126 \Rightarrow (match k in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _)
 127 \Rightarrow True | (Flat _) \Rightarrow False])])) I (CHead e (Flat f) u) H1)
 128 in (False_ind P H2)))))) (\lambda (e0: C).(\lambda (c: C).(\lambda (H1:
 129 (clear e0 c)).(\lambda (H2: (((eq C c (CHead e (Flat f) u)) \to P))).(\lambda
 130 (_: F).(\lambda (_: T).(\lambda (H3: (eq C c (CHead e (Flat f) u))).(let H4
 131 \def (eq_ind C c (\lambda (c0: C).((eq C c0 (CHead e (Flat f) u)) \to P)) H2
 132 (CHead e (Flat f) u) H3) in (let H5 \def (eq_ind C c (\lambda (c0: C).(clear
 133 e0 c0)) H1 (CHead e (Flat f) u) H3) in (H4 (refl_equal C (CHead e (Flat f)
 134 u)))))))))))) x y H0))) H)))))).
 135
 136 theorem clear_gen_all:
 137  \forall (c1: C).(\forall (c2: C).((clear c1 c2) \to (ex_3 B C T (\lambda (b:
 138 B).(\lambda (e: C).(\lambda (u: T).(eq C c2 (CHead e (Bind b) u))))))))
 139 \def
 140  \lambda (c1: C).(\lambda (c2: C).(\lambda (H: (clear c1 c2)).(clear_ind
 141 (\lambda (_: C).(\lambda (c0: C).(ex_3 B C T (\lambda (b: B).(\lambda (e:
 142 C).(\lambda (u: T).(eq C c0 (CHead e (Bind b) u)))))))) (\lambda (b:
 143 B).(\lambda (e: C).(\lambda (u: T).(ex_3_intro B C T (\lambda (b0:
 144 B).(\lambda (e0: C).(\lambda (u0: T).(eq C (CHead e (Bind b) u) (CHead e0
 145 (Bind b0) u0))))) b e u (refl_equal C (CHead e (Bind b) u)))))) (\lambda (e:
 146 C).(\lambda (c: C).(\lambda (H0: (clear e c)).(\lambda (H1: (ex_3 B C T
 147 (\lambda (b: B).(\lambda (e0: C).(\lambda (u: T).(eq C c (CHead e0 (Bind b)
 148 u))))))).(\lambda (_: F).(\lambda (_: T).(let H2 \def H1 in (ex_3_ind B C T
 149 (\lambda (b: B).(\lambda (e0: C).(\lambda (u0: T).(eq C c (CHead e0 (Bind b)
 150 u0))))) (ex_3 B C T (\lambda (b: B).(\lambda (e0: C).(\lambda (u0: T).(eq C c
 151 (CHead e0 (Bind b) u0)))))) (\lambda (x0: B).(\lambda (x1: C).(\lambda (x2:
 152 T).(\lambda (H3: (eq C c (CHead x1 (Bind x0) x2))).(let H4 \def (eq_ind C c
 153 (\lambda (c0: C).(clear e c0)) H0 (CHead x1 (Bind x0) x2) H3) in (eq_ind_r C
 154 (CHead x1 (Bind x0) x2) (\lambda (c0: C).(ex_3 B C T (\lambda (b: B).(\lambda
 155 (e0: C).(\lambda (u0: T).(eq C c0 (CHead e0 (Bind b) u0))))))) (ex_3_intro B
 156 C T (\lambda (b: B).(\lambda (e0: C).(\lambda (u0: T).(eq C (CHead x1 (Bind
 157 x0) x2) (CHead e0 (Bind b) u0))))) x0 x1 x2 (refl_equal C (CHead x1 (Bind x0)
 158 x2))) c H3)))))) H2)))))))) c1 c2 H))).
 159