matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/csuba/arity.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/csuba/getl.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/csuba/props.ma".
  20
  21 include "LambdaDelta-1/arity/props.ma".
  22
  23 include "LambdaDelta-1/csubv/getl.ma".
  24
  25 theorem csuba_arity:
  26  \forall (g: G).(\forall (c1: C).(\forall (t: T).(\forall (a: A).((arity g c1
  27 t a) \to (\forall (c2: C).((csuba g c1 c2) \to (arity g c2 t a)))))))
  28 \def
  29  \lambda (g: G).(\lambda (c1: C).(\lambda (t: T).(\lambda (a: A).(\lambda (H:
  30 (arity g c1 t a)).(arity_ind g (\lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a0:
  31 A).(\forall (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 t0 a0)))))) (\lambda (c:
  32 C).(\lambda (n: nat).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: (csuba g c
  33 c2)).(arity_sort g c2 n))))) (\lambda (c: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u:
  34 T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c (CHead d (Bind Abbr)
  35 u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (arity g d u a0)).(\lambda (H2: ((\forall
  36 (c2: C).((csuba g d c2) \to (arity g c2 u a0))))).(\lambda (c2: C).(\lambda
  37 (H3: (csuba g c c2)).(let H4 \def (csuba_getl_abbr g c d u i H0 c2 H3) in
  38 (ex2_ind C (\lambda (d2: C).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abbr) u))) (\lambda
  39 (d2: C).(csuba g d d2)) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (x: C).(\lambda
  40 (H5: (getl i c2 (CHead x (Bind Abbr) u))).(\lambda (H6: (csuba g d
  41 x)).(arity_abbr g c2 x u i H5 a0 (H2 x H6))))) H4)))))))))))) (\lambda (c:
  42 C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c
  43 (CHead d (Bind Abst) u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H1: (arity g d u (asucc
  44 g a0))).(\lambda (H2: ((\forall (c2: C).((csuba g d c2) \to (arity g c2 u
  45 (asucc g a0)))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H3: (csuba g c c2)).(let H4 \def
  46 (csuba_getl_abst g c d u i H0 c2 H3) in (or_ind (ex2 C (\lambda (d2: C).(getl
  47 i c2 (CHead d2 (Bind Abst) u))) (\lambda (d2: C).(csuba g d d2))) (ex4_3 C T
  48 A (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: A).(getl i c2 (CHead d2
  49 (Bind Abbr) u2))))) (\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(\lambda (_: A).(csuba g
  50 d d2)))) (\lambda (_: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a1: A).(arity g d u (asucc
  51 g a1))))) (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (a1: A).(arity g d2 u2
  52 a1))))) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (H5: (ex2 C (\lambda (d2: C).(getl
  53 i c2 (CHead d2 (Bind Abst) u))) (\lambda (d2: C).(csuba g d d2)))).(ex2_ind C
  54 (\lambda (d2: C).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abst) u))) (\lambda (d2:
  55 C).(csuba g d d2)) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (x: C).(\lambda (H6:
  56 (getl i c2 (CHead x (Bind Abst) u))).(\lambda (H7: (csuba g d x)).(arity_abst
  57 g c2 x u i H6 a0 (H2 x H7))))) H5)) (\lambda (H5: (ex4_3 C T A (\lambda (d2:
  58 C).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: A).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abbr) u2)))))
  59 (\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(\lambda (_: A).(csuba g d d2)))) (\lambda
  60 (_: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a1: A).(arity g d u (asucc g a1)))))
  61 (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (a1: A).(arity g d2 u2
  62 a1)))))).(ex4_3_ind C T A (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (_:
  63 A).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abbr) u2))))) (\lambda (d2: C).(\lambda (_:
  64 T).(\lambda (_: A).(csuba g d d2)))) (\lambda (_: C).(\lambda (_: T).(\lambda
  65 (a1: A).(arity g d u (asucc g a1))))) (\lambda (d2: C).(\lambda (u2:
  66 T).(\lambda (a1: A).(arity g d2 u2 a1)))) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda
  67 (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: A).(\lambda (H6: (getl i c2 (CHead x0
  68 (Bind Abbr) x1))).(\lambda (_: (csuba g d x0)).(\lambda (H8: (arity g d u
  69 (asucc g x2))).(\lambda (H9: (arity g x0 x1 x2)).(arity_repl g c2 (TLRef i)
  70 x2 (arity_abbr g c2 x0 x1 i H6 x2 H9) a0 (asucc_inj g x2 a0 (arity_mono g d u
  71 (asucc g x2) H8 (asucc g a0) H1)))))))))) H5)) H4)))))))))))) (\lambda (b:
  72 B).(\lambda (H0: (not (eq B b Abst))).(\lambda (c: C).(\lambda (u:
  73 T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u a1)).(\lambda (H2: ((\forall
  74 (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 u a1))))).(\lambda (t0: T).(\lambda
  75 (a2: A).(\lambda (_: (arity g (CHead c (Bind b) u) t0 a2)).(\lambda (H4:
  76 ((\forall (c2: C).((csuba g (CHead c (Bind b) u) c2) \to (arity g c2 t0
  77 a2))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H5: (csuba g c c2)).(arity_bind g b H0 c2
  78 u a1 (H2 c2 H5) t0 a2 (H4 (CHead c2 (Bind b) u) (csuba_head g c c2 H5 (Bind
  79 b) u)))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1:
  80 A).(\lambda (_: (arity g c u (asucc g a1))).(\lambda (H1: ((\forall (c2:
  81 C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 u (asucc g a1)))))).(\lambda (t0:
  82 T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g (CHead c (Bind Abst) u) t0
  83 a2)).(\lambda (H3: ((\forall (c2: C).((csuba g (CHead c (Bind Abst) u) c2)
  84 \to (arity g c2 t0 a2))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H4: (csuba g c
  85 c2)).(arity_head g c2 u a1 (H1 c2 H4) t0 a2 (H3 (CHead c2 (Bind Abst) u)
  86 (csuba_head g c c2 H4 (Bind Abst) u)))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda
  87 (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u a1)).(\lambda (H1:
  88 ((\forall (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 u a1))))).(\lambda (t0:
  89 T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g c t0 (AHead a1 a2))).(\lambda (H3:
  90 ((\forall (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 t0 (AHead a1
  91 a2)))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H4: (csuba g c c2)).(arity_appl g c2 u a1
  92 (H1 c2 H4) t0 a2 (H3 c2 H4))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u:
  93 T).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (arity g c u (asucc g a0))).(\lambda (H1:
  94 ((\forall (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 u (asucc g
  95 a0)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (arity g c t0 a0)).(\lambda (H3:
  96 ((\forall (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 t0 a0))))).(\lambda (c2:
  97 C).(\lambda (H4: (csuba g c c2)).(arity_cast g c2 u a0 (H1 c2 H4) t0 (H3 c2
  98 H4)))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_:
  99 (arity g c t0 a1)).(\lambda (H1: ((\forall (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity
 100 g c2 t0 a1))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H2: (leq g a1 a2)).(\lambda (c2:
 101 C).(\lambda (H3: (csuba g c c2)).(arity_repl g c2 t0 a1 (H1 c2 H3) a2
 102 H2)))))))))) c1 t a H))))).
 103
 104 theorem csuba_arity_rev:
 105  \forall (g: G).(\forall (c1: C).(\forall (t: T).(\forall (a: A).((arity g c1
 106 t a) \to (\forall (c2: C).((csuba g c2 c1) \to ((csubv c2 c1) \to (arity g c2
 107 t a))))))))
 108 \def
 109  \lambda (g: G).(\lambda (c1: C).(\lambda (t: T).(\lambda (a: A).(\lambda (H:
 110 (arity g c1 t a)).(arity_ind g (\lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a0:
 111 A).(\forall (c2: C).((csuba g c2 c) \to ((csubv c2 c) \to (arity g c2 t0
 112 a0))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (n: nat).(\lambda (c2: C).(\lambda (_:
 113 (csuba g c2 c)).(\lambda (_: (csubv c2 c)).(arity_sort g c2 n)))))) (\lambda
 114 (c: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl
 115 i c (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H1: (arity g d u
 116 a0)).(\lambda (H2: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 d) \to ((csubv c2 d) \to
 117 (arity g c2 u a0)))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H3: (csuba g c2
 118 c)).(\lambda (H4: (csubv c2 c)).(let H_x \def (csuba_getl_abbr_rev g c d u i
 119 H0 c2 H3) in (let H5 \def H_x in (or3_ind (ex2 C (\lambda (d2: C).(getl i c2
 120 (CHead d2 (Bind Abbr) u))) (\lambda (d2: C).(csuba g d2 d))) (ex4_3 C T A
 121 (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: A).(getl i c2 (CHead d2 (Bind
 122 Abst) u2))))) (\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(\lambda (_: A).(csuba g d2
 123 d)))) (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (a1: A).(arity g d2 u2
 124 (asucc g a1))))) (\lambda (_: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a1: A).(arity g d
 125 u a1))))) (ex2_2 C T (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(getl i c2 (CHead d2
 126 (Bind Void) u2)))) (\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(csuba g d2 d)))) (arity
 127 g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (H6: (ex2 C (\lambda (d2: C).(getl i c2 (CHead d2
 128 (Bind Abbr) u))) (\lambda (d2: C).(csuba g d2 d)))).(ex2_ind C (\lambda (d2:
 129 C).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abbr) u))) (\lambda (d2: C).(csuba g d2 d))
 130 (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (x: C).(\lambda (H7: (getl i c2 (CHead x
 131 (Bind Abbr) u))).(\lambda (H8: (csuba g x d)).(let H_x0 \def (csubv_getl_conf
 132 c2 c H4 Abbr x u i H7) in (let H9 \def H_x0 in (ex2_3_ind B C T (\lambda (_:
 133 B).(\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(csubv x d2)))) (\lambda (b2: B).(\lambda
 134 (d2: C).(\lambda (v2: T).(getl i c (CHead d2 (Bind b2) v2))))) (arity g c2
 135 (TLRef i) a0) (\lambda (x0: B).(\lambda (x1: C).(\lambda (x2: T).(\lambda
 136 (H10: (csubv x x1)).(\lambda (H11: (getl i c (CHead x1 (Bind x0) x2))).(let
 137 H12 \def (eq_ind C (CHead d (Bind Abbr) u) (\lambda (c0: C).(getl i c c0)) H0
 138 (CHead x1 (Bind x0) x2) (getl_mono c (CHead d (Bind Abbr) u) i H0 (CHead x1
 139 (Bind x0) x2) H11)) in (let H13 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in
 140 C return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d | (CHead c0 _ _)
 141 \Rightarrow c0])) (CHead d (Bind Abbr) u) (CHead x1 (Bind x0) x2) (getl_mono
 142 c (CHead d (Bind Abbr) u) i H0 (CHead x1 (Bind x0) x2) H11)) in ((let H14
 143 \def (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).B)
 144 with [(CSort _) \Rightarrow Abbr | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K
 145 return (\lambda (_: K).B) with [(Bind b) \Rightarrow b | (Flat _) \Rightarrow
 146 Abbr])])) (CHead d (Bind Abbr) u) (CHead x1 (Bind x0) x2) (getl_mono c (CHead
 147 d (Bind Abbr) u) i H0 (CHead x1 (Bind x0) x2) H11)) in ((let H15 \def
 148 (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T) with
 149 [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead d (Bind
 150 Abbr) u) (CHead x1 (Bind x0) x2) (getl_mono c (CHead d (Bind Abbr) u) i H0
 151 (CHead x1 (Bind x0) x2) H11)) in (\lambda (H16: (eq B Abbr x0)).(\lambda
 152 (H17: (eq C d x1)).(let H18 \def (eq_ind_r T x2 (\lambda (t0: T).(getl i c
 153 (CHead x1 (Bind x0) t0))) H12 u H15) in (let H19 \def (eq_ind_r C x1 (\lambda
 154 (c0: C).(getl i c (CHead c0 (Bind x0) u))) H18 d H17) in (let H20 \def
 155 (eq_ind_r C x1 (\lambda (c0: C).(csubv x c0)) H10 d H17) in (let H21 \def
 156 (eq_ind_r B x0 (\lambda (b: B).(getl i c (CHead d (Bind b) u))) H19 Abbr H16)
 157 in (arity_abbr g c2 x u i H7 a0 (H2 x H8 H20))))))))) H14)) H13))))))))
 158 H9)))))) H6)) (\lambda (H6: (ex4_3 C T A (\lambda (d2: C).(\lambda (u2:
 159 T).(\lambda (_: A).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abst) u2))))) (\lambda (d2:
 160 C).(\lambda (_: T).(\lambda (_: A).(csuba g d2 d)))) (\lambda (d2:
 161 C).(\lambda (u2: T).(\lambda (a1: A).(arity g d2 u2 (asucc g a1))))) (\lambda
 162 (_: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a1: A).(arity g d u a1)))))).(ex4_3_ind C T
 163 A (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: A).(getl i c2 (CHead d2
 164 (Bind Abst) u2))))) (\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(\lambda (_: A).(csuba g
 165 d2 d)))) (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (a1: A).(arity g d2 u2
 166 (asucc g a1))))) (\lambda (_: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a1: A).(arity g d
 167 u a1)))) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda
 168 (x2: A).(\lambda (H7: (getl i c2 (CHead x0 (Bind Abst) x1))).(\lambda (_:
 169 (csuba g x0 d)).(\lambda (H9: (arity g x0 x1 (asucc g x2))).(\lambda (H10:
 170 (arity g d u x2)).(arity_repl g c2 (TLRef i) x2 (arity_abst g c2 x0 x1 i H7
 171 x2 H9) a0 (arity_mono g d u x2 H10 a0 H1))))))))) H6)) (\lambda (H6: (ex2_2 C
 172 T (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Void) u2))))
 173 (\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(csuba g d2 d))))).(ex2_2_ind C T (\lambda
 174 (d2: C).(\lambda (u2: T).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Void) u2)))) (\lambda
 175 (d2: C).(\lambda (_: T).(csuba g d2 d))) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda
 176 (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (H7: (getl i c2 (CHead x0 (Bind Void)
 177 x1))).(\lambda (_: (csuba g x0 d)).(let H_x0 \def (csubv_getl_conf_void c2 c
 178 H4 x0 x1 i H7) in (let H9 \def H_x0 in (ex2_2_ind C T (\lambda (d2:
 179 C).(\lambda (_: T).(csubv x0 d2))) (\lambda (d2: C).(\lambda (v2: T).(getl i
 180 c (CHead d2 (Bind Void) v2)))) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (x2:
 181 C).(\lambda (x3: T).(\lambda (_: (csubv x0 x2)).(\lambda (H11: (getl i c
 182 (CHead x2 (Bind Void) x3))).(let H12 \def (eq_ind C (CHead d (Bind Abbr) u)
 183 (\lambda (c0: C).(getl i c c0)) H0 (CHead x2 (Bind Void) x3) (getl_mono c
 184 (CHead d (Bind Abbr) u) i H0 (CHead x2 (Bind Void) x3) H11)) in (let H13 \def
 185 (eq_ind C (CHead d (Bind Abbr) u) (\lambda (ee: C).(match ee in C return
 186 (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k _)
 187 \Rightarrow (match k in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind b)
 188 \Rightarrow (match b in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow
 189 True | Abst \Rightarrow False | Void \Rightarrow False]) | (Flat _)
 190 \Rightarrow False])])) I (CHead x2 (Bind Void) x3) (getl_mono c (CHead d
 191 (Bind Abbr) u) i H0 (CHead x2 (Bind Void) x3) H11)) in (False_ind (arity g c2
 192 (TLRef i) a0) H13))))))) H9))))))) H6)) H5)))))))))))))) (\lambda (c:
 193 C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c
 194 (CHead d (Bind Abst) u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (arity g d u (asucc g
 195 a0))).(\lambda (H2: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 d) \to ((csubv c2 d) \to
 196 (arity g c2 u (asucc g a0))))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H3: (csuba g c2
 197 c)).(\lambda (H4: (csubv c2 c)).(let H_x \def (csuba_getl_abst_rev g c d u i
 198 H0 c2 H3) in (let H5 \def H_x in (or_ind (ex2 C (\lambda (d2: C).(getl i c2
 199 (CHead d2 (Bind Abst) u))) (\lambda (d2: C).(csuba g d2 d))) (ex2_2 C T
 200 (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Void) u2))))
 201 (\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(csuba g d2 d)))) (arity g c2 (TLRef i) a0)
 202 (\lambda (H6: (ex2 C (\lambda (d2: C).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abst) u)))
 203 (\lambda (d2: C).(csuba g d2 d)))).(ex2_ind C (\lambda (d2: C).(getl i c2
 204 (CHead d2 (Bind Abst) u))) (\lambda (d2: C).(csuba g d2 d)) (arity g c2
 205 (TLRef i) a0) (\lambda (x: C).(\lambda (H7: (getl i c2 (CHead x (Bind Abst)
 206 u))).(\lambda (H8: (csuba g x d)).(let H_x0 \def (csubv_getl_conf c2 c H4
 207 Abst x u i H7) in (let H9 \def H_x0 in (ex2_3_ind B C T (\lambda (_:
 208 B).(\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(csubv x d2)))) (\lambda (b2: B).(\lambda
 209 (d2: C).(\lambda (v2: T).(getl i c (CHead d2 (Bind b2) v2))))) (arity g c2
 210 (TLRef i) a0) (\lambda (x0: B).(\lambda (x1: C).(\lambda (x2: T).(\lambda
 211 (H10: (csubv x x1)).(\lambda (H11: (getl i c (CHead x1 (Bind x0) x2))).(let
 212 H12 \def (eq_ind C (CHead d (Bind Abst) u) (\lambda (c0: C).(getl i c c0)) H0
 213 (CHead x1 (Bind x0) x2) (getl_mono c (CHead d (Bind Abst) u) i H0 (CHead x1
 214 (Bind x0) x2) H11)) in (let H13 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in
 215 C return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d | (CHead c0 _ _)
 216 \Rightarrow c0])) (CHead d (Bind Abst) u) (CHead x1 (Bind x0) x2) (getl_mono
 217 c (CHead d (Bind Abst) u) i H0 (CHead x1 (Bind x0) x2) H11)) in ((let H14
 218 \def (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).B)
 219 with [(CSort _) \Rightarrow Abst | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K
 220 return (\lambda (_: K).B) with [(Bind b) \Rightarrow b | (Flat _) \Rightarrow
 221 Abst])])) (CHead d (Bind Abst) u) (CHead x1 (Bind x0) x2) (getl_mono c (CHead
 222 d (Bind Abst) u) i H0 (CHead x1 (Bind x0) x2) H11)) in ((let H15 \def
 223 (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T) with
 224 [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead d (Bind
 225 Abst) u) (CHead x1 (Bind x0) x2) (getl_mono c (CHead d (Bind Abst) u) i H0
 226 (CHead x1 (Bind x0) x2) H11)) in (\lambda (H16: (eq B Abst x0)).(\lambda
 227 (H17: (eq C d x1)).(let H18 \def (eq_ind_r T x2 (\lambda (t0: T).(getl i c
 228 (CHead x1 (Bind x0) t0))) H12 u H15) in (let H19 \def (eq_ind_r C x1 (\lambda
 229 (c0: C).(getl i c (CHead c0 (Bind x0) u))) H18 d H17) in (let H20 \def
 230 (eq_ind_r C x1 (\lambda (c0: C).(csubv x c0)) H10 d H17) in (let H21 \def
 231 (eq_ind_r B x0 (\lambda (b: B).(getl i c (CHead d (Bind b) u))) H19 Abst H16)
 232 in (arity_abst g c2 x u i H7 a0 (H2 x H8 H20))))))))) H14)) H13))))))))
 233 H9)))))) H6)) (\lambda (H6: (ex2_2 C T (\lambda (d2: C).(\lambda (u2:
 234 T).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Void) u2)))) (\lambda (d2: C).(\lambda (_:
 235 T).(csuba g d2 d))))).(ex2_2_ind C T (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(getl
 236 i c2 (CHead d2 (Bind Void) u2)))) (\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(csuba g
 237 d2 d))) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda
 238 (H7: (getl i c2 (CHead x0 (Bind Void) x1))).(\lambda (_: (csuba g x0 d)).(let
 239 H_x0 \def (csubv_getl_conf_void c2 c H4 x0 x1 i H7) in (let H9 \def H_x0 in
 240 (ex2_2_ind C T (\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(csubv x0 d2))) (\lambda (d2:
 241 C).(\lambda (v2: T).(getl i c (CHead d2 (Bind Void) v2)))) (arity g c2 (TLRef
 242 i) a0) (\lambda (x2: C).(\lambda (x3: T).(\lambda (_: (csubv x0 x2)).(\lambda
 243 (H11: (getl i c (CHead x2 (Bind Void) x3))).(let H12 \def (eq_ind C (CHead d
 244 (Bind Abst) u) (\lambda (c0: C).(getl i c c0)) H0 (CHead x2 (Bind Void) x3)
 245 (getl_mono c (CHead d (Bind Abst) u) i H0 (CHead x2 (Bind Void) x3) H11)) in
 246 (let H13 \def (eq_ind C (CHead d (Bind Abst) u) (\lambda (ee: C).(match ee in
 247 C return (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ k
 248 _) \Rightarrow (match k in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind b)
 249 \Rightarrow (match b in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow
 250 False | Abst \Rightarrow True | Void \Rightarrow False]) | (Flat _)
 251 \Rightarrow False])])) I (CHead x2 (Bind Void) x3) (getl_mono c (CHead d
 252 (Bind Abst) u) i H0 (CHead x2 (Bind Void) x3) H11)) in (False_ind (arity g c2
 253 (TLRef i) a0) H13))))))) H9))))))) H6)) H5)))))))))))))) (\lambda (b:
 254 B).(\lambda (H0: (not (eq B b Abst))).(\lambda (c: C).(\lambda (u:
 255 T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u a1)).(\lambda (H2: ((\forall
 256 (c2: C).((csuba g c2 c) \to ((csubv c2 c) \to (arity g c2 u a1)))))).(\lambda
 257 (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g (CHead c (Bind b) u) t0
 258 a2)).(\lambda (H4: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 (CHead c (Bind b) u)) \to
 259 ((csubv c2 (CHead c (Bind b) u)) \to (arity g c2 t0 a2)))))).(\lambda (c2:
 260 C).(\lambda (H5: (csuba g c2 c)).(\lambda (H6: (csubv c2 c)).(arity_bind g b
 261 H0 c2 u a1 (H2 c2 H5 H6) t0 a2 (H4 (CHead c2 (Bind b) u) (csuba_head g c2 c
 262 H5 (Bind b) u) (csubv_bind_same c2 c H6 b u u))))))))))))))))) (\lambda (c:
 263 C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u (asucc g
 264 a1))).(\lambda (H1: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 c) \to ((csubv c2 c) \to
 265 (arity g c2 u (asucc g a1))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda
 266 (_: (arity g (CHead c (Bind Abst) u) t0 a2)).(\lambda (H3: ((\forall (c2:
 267 C).((csuba g c2 (CHead c (Bind Abst) u)) \to ((csubv c2 (CHead c (Bind Abst)
 268 u)) \to (arity g c2 t0 a2)))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H4: (csuba g c2
 269 c)).(\lambda (H5: (csubv c2 c)).(arity_head g c2 u a1 (H1 c2 H4 H5) t0 a2 (H3
 270 (CHead c2 (Bind Abst) u) (csuba_head g c2 c H4 (Bind Abst) u)
 271 (csubv_bind_same c2 c H5 Abst u u))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u:
 272 T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u a1)).(\lambda (H1: ((\forall
 273 (c2: C).((csuba g c2 c) \to ((csubv c2 c) \to (arity g c2 u a1)))))).(\lambda
 274 (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g c t0 (AHead a1 a2))).(\lambda
 275 (H3: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 c) \to ((csubv c2 c) \to (arity g c2 t0
 276 (AHead a1 a2))))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H4: (csuba g c2 c)).(\lambda
 277 (H5: (csubv c2 c)).(arity_appl g c2 u a1 (H1 c2 H4 H5) t0 a2 (H3 c2 H4
 278 H5)))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a0: A).(\lambda
 279 (_: (arity g c u (asucc g a0))).(\lambda (H1: ((\forall (c2: C).((csuba g c2
 280 c) \to ((csubv c2 c) \to (arity g c2 u (asucc g a0))))))).(\lambda (t0:
 281 T).(\lambda (_: (arity g c t0 a0)).(\lambda (H3: ((\forall (c2: C).((csuba g
 282 c2 c) \to ((csubv c2 c) \to (arity g c2 t0 a0)))))).(\lambda (c2: C).(\lambda
 283 (H4: (csuba g c2 c)).(\lambda (H5: (csubv c2 c)).(arity_cast g c2 u a0 (H1 c2
 284 H4 H5) t0 (H3 c2 H4 H5))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda
 285 (a1: A).(\lambda (_: (arity g c t0 a1)).(\lambda (H1: ((\forall (c2:
 286 C).((csuba g c2 c) \to ((csubv c2 c) \to (arity g c2 t0 a1)))))).(\lambda
 287 (a2: A).(\lambda (H2: (leq g a1 a2)).(\lambda (c2: C).(\lambda (H3: (csuba g
 288 c2 c)).(\lambda (H4: (csubv c2 c)).(arity_repl g c2 t0 a1 (H1 c2 H3 H4) a2
 289 H2))))))))))) c1 t a H))))).
 290
 291 theorem arity_appls_appl:
 292  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (v: T).(\forall (a1: A).((arity g c
 293 v a1) \to (\forall (u: T).((arity g c u (asucc g a1)) \to (\forall (t:
 294 T).(\forall (vs: TList).(\forall (a2: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) vs
 295 (THead (Bind Abbr) v t)) a2) \to (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead
 296 (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) u t))) a2)))))))))))
 297 \def
 298  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (v: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (H:
 299 (arity g c v a1)).(\lambda (u: T).(\lambda (H0: (arity g c u (asucc g
 300 a1))).(\lambda (t: T).(\lambda (vs: TList).(TList_ind (\lambda (t0:
 301 TList).(\forall (a2: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (THead (Bind Abbr)
 302 v t)) a2) \to (arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (THead (Flat Appl) v (THead
 303 (Bind Abst) u t))) a2)))) (\lambda (a2: A).(\lambda (H1: (arity g c (THead
 304 (Bind Abbr) v t) a2)).(let H_x \def (arity_gen_bind Abbr (\lambda (H2: (eq B
 305 Abbr Abst)).(not_abbr_abst H2)) g c v t a2 H1) in (let H2 \def H_x in
 306 (ex2_ind A (\lambda (a3: A).(arity g c v a3)) (\lambda (_: A).(arity g (CHead
 307 c (Bind Abbr) v) t a2)) (arity g c (THead (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) u
 308 t)) a2) (\lambda (x: A).(\lambda (_: (arity g c v x)).(\lambda (H4: (arity g
 309 (CHead c (Bind Abbr) v) t a2)).(arity_appl g c v a1 H (THead (Bind Abst) u t)
 310 a2 (arity_head g c u a1 H0 t a2 (csuba_arity_rev g (CHead c (Bind Abbr) v) t
 311 a2 H4 (CHead c (Bind Abst) u) (csuba_abst g c c (csuba_refl g c) u a1 H0 v H)
 312 (csubv_bind c c (csubv_refl c) Abst (sym_not_eq B Void Abst not_void_abst)
 313 Abbr u v))))))) H2))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t1: TList).(\lambda (H1:
 314 ((\forall (a2: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Bind Abbr) v t))
 315 a2) \to (arity g c (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat Appl) v (THead (Bind
 316 Abst) u t))) a2))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H2: (arity g c (THead (Flat
 317 Appl) t0 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Bind Abbr) v t))) a2)).(let H3 \def
 318 (arity_gen_appl g c t0 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Bind Abbr) v t)) a2 H2)
 319 in (ex2_ind A (\lambda (a3: A).(arity g c t0 a3)) (\lambda (a3: A).(arity g c
 320 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Bind Abbr) v t)) (AHead a3 a2))) (arity g c
 321 (THead (Flat Appl) t0 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat Appl) v (THead
 322 (Bind Abst) u t)))) a2) (\lambda (x: A).(\lambda (H4: (arity g c t0
 323 x)).(\lambda (H5: (arity g c (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Bind Abbr) v t))
 324 (AHead x a2))).(arity_appl g c t0 x H4 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat
 325 Appl) v (THead (Bind Abst) u t))) a2 (H1 (AHead x a2) H5))))) H3)))))))
 326 vs))))))))).
 327