matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/csuba/arity.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/csuba/arity".
  18
  19 include "csuba/getl.ma".
  20
  21 include "csuba/props.ma".
  22
  23 include "arity/props.ma".
  24
  25 include "T/props.ma".
  26
  27 theorem csuba_arity:
  28  \forall (g: G).(\forall (c1: C).(\forall (t: T).(\forall (a: A).((arity g c1
  29 t a) \to (\forall (c2: C).((csuba g c1 c2) \to (arity g c2 t a)))))))
  30 \def
  31  \lambda (g: G).(\lambda (c1: C).(\lambda (t: T).(\lambda (a: A).(\lambda (H:
  32 (arity g c1 t a)).(arity_ind g (\lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a0:
  33 A).(\forall (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 t0 a0)))))) (\lambda (c:
  34 C).(\lambda (n: nat).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: (csuba g c
  35 c2)).(arity_sort g c2 n))))) (\lambda (c: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u:
  36 T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c (CHead d (Bind Abbr)
  37 u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (arity g d u a0)).(\lambda (H2: ((\forall
  38 (c2: C).((csuba g d c2) \to (arity g c2 u a0))))).(\lambda (c2: C).(\lambda
  39 (H3: (csuba g c c2)).(let H4 \def (csuba_getl_abbr g c d u i H0 c2 H3) in
  40 (ex2_ind C (\lambda (d2: C).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abbr) u))) (\lambda
  41 (d2: C).(csuba g d d2)) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (x: C).(\lambda
  42 (H5: (getl i c2 (CHead x (Bind Abbr) u))).(\lambda (H6: (csuba g d
  43 x)).(arity_abbr g c2 x u i H5 a0 (H2 x H6))))) H4)))))))))))) (\lambda (c:
  44 C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c
  45 (CHead d (Bind Abst) u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H1: (arity g d u (asucc
  46 g a0))).(\lambda (H2: ((\forall (c2: C).((csuba g d c2) \to (arity g c2 u
  47 (asucc g a0)))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H3: (csuba g c c2)).(let H4 \def
  48 (csuba_getl_abst g c d u i H0 c2 H3) in (or_ind (ex2 C (\lambda (d2: C).(getl
  49 i c2 (CHead d2 (Bind Abst) u))) (\lambda (d2: C).(csuba g d d2))) (ex4_3 C T
  50 A (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: A).(getl i c2 (CHead d2
  51 (Bind Abbr) u2))))) (\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(\lambda (_: A).(csuba g
  52 d d2)))) (\lambda (_: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a1: A).(arity g d u (asucc
  53 g a1))))) (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (a1: A).(arity g d2 u2
  54 a1))))) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (H5: (ex2 C (\lambda (d2: C).(getl
  55 i c2 (CHead d2 (Bind Abst) u))) (\lambda (d2: C).(csuba g d d2)))).(ex2_ind C
  56 (\lambda (d2: C).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abst) u))) (\lambda (d2:
  57 C).(csuba g d d2)) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (x: C).(\lambda (H6:
  58 (getl i c2 (CHead x (Bind Abst) u))).(\lambda (H7: (csuba g d x)).(arity_abst
  59 g c2 x u i H6 a0 (H2 x H7))))) H5)) (\lambda (H5: (ex4_3 C T A (\lambda (d2:
  60 C).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: A).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abbr) u2)))))
  61 (\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(\lambda (_: A).(csuba g d d2)))) (\lambda
  62 (_: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a1: A).(arity g d u (asucc g a1)))))
  63 (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (a1: A).(arity g d2 u2
  64 a1)))))).(ex4_3_ind C T A (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (_:
  65 A).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abbr) u2))))) (\lambda (d2: C).(\lambda (_:
  66 T).(\lambda (_: A).(csuba g d d2)))) (\lambda (_: C).(\lambda (_: T).(\lambda
  67 (a1: A).(arity g d u (asucc g a1))))) (\lambda (d2: C).(\lambda (u2:
  68 T).(\lambda (a1: A).(arity g d2 u2 a1)))) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda
  69 (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: A).(\lambda (H6: (getl i c2 (CHead x0
  70 (Bind Abbr) x1))).(\lambda (_: (csuba g d x0)).(\lambda (H8: (arity g d u
  71 (asucc g x2))).(\lambda (H9: (arity g x0 x1 x2)).(arity_repl g c2 (TLRef i)
  72 x2 (arity_abbr g c2 x0 x1 i H6 x2 H9) a0 (asucc_inj g x2 a0 (arity_mono g d u
  73 (asucc g x2) H8 (asucc g a0) H1)))))))))) H5)) H4)))))))))))) (\lambda (b:
  74 B).(\lambda (H0: (not (eq B b Abst))).(\lambda (c: C).(\lambda (u:
  75 T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u a1)).(\lambda (H2: ((\forall
  76 (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 u a1))))).(\lambda (t0: T).(\lambda
  77 (a2: A).(\lambda (_: (arity g (CHead c (Bind b) u) t0 a2)).(\lambda (H4:
  78 ((\forall (c2: C).((csuba g (CHead c (Bind b) u) c2) \to (arity g c2 t0
  79 a2))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H5: (csuba g c c2)).(arity_bind g b H0 c2
  80 u a1 (H2 c2 H5) t0 a2 (H4 (CHead c2 (Bind b) u) (csuba_head g c c2 H5 (Bind
  81 b) u)))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1:
  82 A).(\lambda (_: (arity g c u (asucc g a1))).(\lambda (H1: ((\forall (c2:
  83 C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 u (asucc g a1)))))).(\lambda (t0:
  84 T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g (CHead c (Bind Abst) u) t0
  85 a2)).(\lambda (H3: ((\forall (c2: C).((csuba g (CHead c (Bind Abst) u) c2)
  86 \to (arity g c2 t0 a2))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H4: (csuba g c
  87 c2)).(arity_head g c2 u a1 (H1 c2 H4) t0 a2 (H3 (CHead c2 (Bind Abst) u)
  88 (csuba_head g c c2 H4 (Bind Abst) u)))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda
  89 (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u a1)).(\lambda (H1:
  90 ((\forall (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 u a1))))).(\lambda (t0:
  91 T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g c t0 (AHead a1 a2))).(\lambda (H3:
  92 ((\forall (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 t0 (AHead a1
  93 a2)))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H4: (csuba g c c2)).(arity_appl g c2 u a1
  94 (H1 c2 H4) t0 a2 (H3 c2 H4))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u:
  95 T).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (arity g c u (asucc g a0))).(\lambda (H1:
  96 ((\forall (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 u (asucc g
  97 a0)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (arity g c t0 a0)).(\lambda (H3:
  98 ((\forall (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity g c2 t0 a0))))).(\lambda (c2:
  99 C).(\lambda (H4: (csuba g c c2)).(arity_cast g c2 u a0 (H1 c2 H4) t0 (H3 c2
 100 H4)))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_:
 101 (arity g c t0 a1)).(\lambda (H1: ((\forall (c2: C).((csuba g c c2) \to (arity
 102 g c2 t0 a1))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H2: (leq g a1 a2)).(\lambda (c2:
 103 C).(\lambda (H3: (csuba g c c2)).(arity_repl g c2 t0 a1 (H1 c2 H3) a2
 104 H2)))))))))) c1 t a H))))).
 105
 106 theorem csuba_arity_rev:
 107  \forall (g: G).(\forall (c1: C).(\forall (t: T).(\forall (a: A).((arity g c1
 108 t a) \to (\forall (c2: C).((csuba g c2 c1) \to (arity g c2 t a)))))))
 109 \def
 110  \lambda (g: G).(\lambda (c1: C).(\lambda (t: T).(\lambda (a: A).(\lambda (H:
 111 (arity g c1 t a)).(arity_ind g (\lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a0:
 112 A).(\forall (c2: C).((csuba g c2 c) \to (arity g c2 t0 a0)))))) (\lambda (c:
 113 C).(\lambda (n: nat).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: (csuba g c2
 114 c)).(arity_sort g c2 n))))) (\lambda (c: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u:
 115 T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c (CHead d (Bind Abbr)
 116 u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H1: (arity g d u a0)).(\lambda (H2: ((\forall
 117 (c2: C).((csuba g c2 d) \to (arity g c2 u a0))))).(\lambda (c2: C).(\lambda
 118 (H3: (csuba g c2 c)).(let H4 \def (csuba_getl_abbr_rev g c d u i H0 c2 H3) in
 119 (or_ind (ex2 C (\lambda (d2: C).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abbr) u)))
 120 (\lambda (d2: C).(csuba g d2 d))) (ex4_3 C T A (\lambda (d2: C).(\lambda (u2:
 121 T).(\lambda (_: A).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abst) u2))))) (\lambda (d2:
 122 C).(\lambda (_: T).(\lambda (_: A).(csuba g d2 d)))) (\lambda (d2:
 123 C).(\lambda (u2: T).(\lambda (a1: A).(arity g d2 u2 (asucc g a1))))) (\lambda
 124 (_: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a1: A).(arity g d u a1))))) (arity g c2
 125 (TLRef i) a0) (\lambda (H5: (ex2 C (\lambda (d2: C).(getl i c2 (CHead d2
 126 (Bind Abbr) u))) (\lambda (d2: C).(csuba g d2 d)))).(ex2_ind C (\lambda (d2:
 127 C).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abbr) u))) (\lambda (d2: C).(csuba g d2 d))
 128 (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (x: C).(\lambda (H6: (getl i c2 (CHead x
 129 (Bind Abbr) u))).(\lambda (H7: (csuba g x d)).(arity_abbr g c2 x u i H6 a0
 130 (H2 x H7))))) H5)) (\lambda (H5: (ex4_3 C T A (\lambda (d2: C).(\lambda (u2:
 131 T).(\lambda (_: A).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abst) u2))))) (\lambda (d2:
 132 C).(\lambda (_: T).(\lambda (_: A).(csuba g d2 d)))) (\lambda (d2:
 133 C).(\lambda (u2: T).(\lambda (a1: A).(arity g d2 u2 (asucc g a1))))) (\lambda
 134 (_: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a1: A).(arity g d u a1)))))).(ex4_3_ind C T
 135 A (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: A).(getl i c2 (CHead d2
 136 (Bind Abst) u2))))) (\lambda (d2: C).(\lambda (_: T).(\lambda (_: A).(csuba g
 137 d2 d)))) (\lambda (d2: C).(\lambda (u2: T).(\lambda (a1: A).(arity g d2 u2
 138 (asucc g a1))))) (\lambda (_: C).(\lambda (_: T).(\lambda (a1: A).(arity g d
 139 u a1)))) (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: T).(\lambda
 140 (x2: A).(\lambda (H6: (getl i c2 (CHead x0 (Bind Abst) x1))).(\lambda (_:
 141 (csuba g x0 d)).(\lambda (H8: (arity g x0 x1 (asucc g x2))).(\lambda (H9:
 142 (arity g d u x2)).(arity_repl g c2 (TLRef i) x2 (arity_abst g c2 x0 x1 i H6
 143 x2 H8) a0 (arity_mono g d u x2 H9 a0 H1))))))))) H5)) H4)))))))))))) (\lambda
 144 (c: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl
 145 i c (CHead d (Bind Abst) u))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (arity g d u
 146 (asucc g a0))).(\lambda (H2: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 d) \to (arity g
 147 c2 u (asucc g a0)))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H3: (csuba g c2 c)).(let H4
 148 \def (csuba_getl_abst_rev g c d u i H0 c2 H3) in (ex2_ind C (\lambda (d2:
 149 C).(getl i c2 (CHead d2 (Bind Abst) u))) (\lambda (d2: C).(csuba g d2 d))
 150 (arity g c2 (TLRef i) a0) (\lambda (x: C).(\lambda (H5: (getl i c2 (CHead x
 151 (Bind Abst) u))).(\lambda (H6: (csuba g x d)).(arity_abst g c2 x u i H5 a0
 152 (H2 x H6))))) H4)))))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (H0: (not (eq B b
 153 Abst))).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity
 154 g c u a1)).(\lambda (H2: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 c) \to (arity g c2 u
 155 a1))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g (CHead c
 156 (Bind b) u) t0 a2)).(\lambda (H4: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 (CHead c
 157 (Bind b) u)) \to (arity g c2 t0 a2))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H5: (csuba
 158 g c2 c)).(arity_bind g b H0 c2 u a1 (H2 c2 H5) t0 a2 (H4 (CHead c2 (Bind b)
 159 u) (csuba_head g c2 c H5 (Bind b) u)))))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda
 160 (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u (asucc g a1))).(\lambda
 161 (H1: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 c) \to (arity g c2 u (asucc g
 162 a1)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g (CHead c
 163 (Bind Abst) u) t0 a2)).(\lambda (H3: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 (CHead c
 164 (Bind Abst) u)) \to (arity g c2 t0 a2))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H4:
 165 (csuba g c2 c)).(arity_head g c2 u a1 (H1 c2 H4) t0 a2 (H3 (CHead c2 (Bind
 166 Abst) u) (csuba_head g c2 c H4 (Bind Abst) u)))))))))))))) (\lambda (c:
 167 C).(\lambda (u: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (arity g c u a1)).(\lambda
 168 (H1: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 c) \to (arity g c2 u a1))))).(\lambda
 169 (t0: T).(\lambda (a2: A).(\lambda (_: (arity g c t0 (AHead a1 a2))).(\lambda
 170 (H3: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 c) \to (arity g c2 t0 (AHead a1
 171 a2)))))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H4: (csuba g c2 c)).(arity_appl g c2 u a1
 172 (H1 c2 H4) t0 a2 (H3 c2 H4))))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (u:
 173 T).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (arity g c u (asucc g a0))).(\lambda (H1:
 174 ((\forall (c2: C).((csuba g c2 c) \to (arity g c2 u (asucc g
 175 a0)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (arity g c t0 a0)).(\lambda (H3:
 176 ((\forall (c2: C).((csuba g c2 c) \to (arity g c2 t0 a0))))).(\lambda (c2:
 177 C).(\lambda (H4: (csuba g c2 c)).(arity_cast g c2 u a0 (H1 c2 H4) t0 (H3 c2
 178 H4)))))))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (_:
 179 (arity g c t0 a1)).(\lambda (H1: ((\forall (c2: C).((csuba g c2 c) \to (arity
 180 g c2 t0 a1))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H2: (leq g a1 a2)).(\lambda (c2:
 181 C).(\lambda (H3: (csuba g c2 c)).(arity_repl g c2 t0 a1 (H1 c2 H3) a2
 182 H2)))))))))) c1 t a H))))).
 183
 184 theorem arity_appls_appl:
 185  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (v: T).(\forall (a1: A).((arity g c
 186 v a1) \to (\forall (u: T).((arity g c u (asucc g a1)) \to (\forall (t:
 187 T).(\forall (vs: TList).(\forall (a2: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) vs
 188 (THead (Bind Abbr) v t)) a2) \to (arity g c (THeads (Flat Appl) vs (THead
 189 (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) u t))) a2)))))))))))
 190 \def
 191  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (v: T).(\lambda (a1: A).(\lambda (H:
 192 (arity g c v a1)).(\lambda (u: T).(\lambda (H0: (arity g c u (asucc g
 193 a1))).(\lambda (t: T).(\lambda (vs: TList).(TList_ind (\lambda (t0:
 194 TList).(\forall (a2: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (THead (Bind Abbr)
 195 v t)) a2) \to (arity g c (THeads (Flat Appl) t0 (THead (Flat Appl) v (THead
 196 (Bind Abst) u t))) a2)))) (\lambda (a2: A).(\lambda (H1: (arity g c (THead
 197 (Bind Abbr) v t) a2)).(let H_x \def (arity_gen_bind Abbr (\lambda (H2: (eq B
 198 Abbr Abst)).(not_abbr_abst H2)) g c v t a2 H1) in (let H2 \def H_x in
 199 (ex2_ind A (\lambda (a3: A).(arity g c v a3)) (\lambda (_: A).(arity g (CHead
 200 c (Bind Abbr) v) t a2)) (arity g c (THead (Flat Appl) v (THead (Bind Abst) u
 201 t)) a2) (\lambda (x: A).(\lambda (_: (arity g c v x)).(\lambda (H4: (arity g
 202 (CHead c (Bind Abbr) v) t a2)).(arity_appl g c v a1 H (THead (Bind Abst) u t)
 203 a2 (arity_head g c u a1 H0 t a2 (csuba_arity_rev g (CHead c (Bind Abbr) v) t
 204 a2 H4 (CHead c (Bind Abst) u) (csuba_abst g c c (csuba_refl g c) u a1 H0 v
 205 H))))))) H2))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t1: TList).(\lambda (H1:
 206 ((\forall (a2: A).((arity g c (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Bind Abbr) v t))
 207 a2) \to (arity g c (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat Appl) v (THead (Bind
 208 Abst) u t))) a2))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H2: (arity g c (THead (Flat
 209 Appl) t0 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Bind Abbr) v t))) a2)).(let H3 \def
 210 (arity_gen_appl g c t0 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Bind Abbr) v t)) a2 H2)
 211 in (ex2_ind A (\lambda (a3: A).(arity g c t0 a3)) (\lambda (a3: A).(arity g c
 212 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Bind Abbr) v t)) (AHead a3 a2))) (arity g c
 213 (THead (Flat Appl) t0 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat Appl) v (THead
 214 (Bind Abst) u t)))) a2) (\lambda (x: A).(\lambda (H4: (arity g c t0
 215 x)).(\lambda (H5: (arity g c (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Bind Abbr) v t))
 216 (AHead x a2))).(arity_appl g c t0 x H4 (THeads (Flat Appl) t1 (THead (Flat
 217 Appl) v (THead (Bind Abst) u t))) a2 (H1 (AHead x a2) H5))))) H3)))))))
 218 vs))))))))).
 219