matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/csubst0/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/csubst0/fwd".
  18
  19 include "csubst0/defs.ma".
  20
  21 theorem csubst0_gen_sort:
  22  \forall (x: C).(\forall (v: T).(\forall (i: nat).(\forall (n: nat).((csubst0
  23 i v (CSort n) x) \to (\forall (P: Prop).P)))))
  24 \def
  25  \lambda (x: C).(\lambda (v: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda
  26 (H: (csubst0 i v (CSort n) x)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (match H in
  27 csubst0 return (\lambda (n0: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (c: C).(\lambda
  28 (c0: C).(\lambda (_: (csubst0 n0 t c c0)).((eq nat n0 i) \to ((eq T t v) \to
  29 ((eq C c (CSort n)) \to ((eq C c0 x) \to P))))))))) with [(csubst0_snd k i0
  30 v0 u1 u2 H0 c) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (s k i0) i)).(\lambda (H2:
  31 (eq T v0 v)).(\lambda (H3: (eq C (CHead c k u1) (CSort n))).(\lambda (H4: (eq
  32 C (CHead c k u2) x)).(eq_ind nat (s k i0) (\lambda (_: nat).((eq T v0 v) \to
  33 ((eq C (CHead c k u1) (CSort n)) \to ((eq C (CHead c k u2) x) \to ((subst0 i0
  34 v0 u1 u2) \to P))))) (\lambda (H5: (eq T v0 v)).(eq_ind T v (\lambda (t:
  35 T).((eq C (CHead c k u1) (CSort n)) \to ((eq C (CHead c k u2) x) \to ((subst0
  36 i0 t u1 u2) \to P)))) (\lambda (H6: (eq C (CHead c k u1) (CSort n))).(let H7
  37 \def (eq_ind C (CHead c k u1) (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda
  38 (_: C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _) \Rightarrow
  39 True])) I (CSort n) H6) in (False_ind ((eq C (CHead c k u2) x) \to ((subst0
  40 i0 v u1 u2) \to P)) H7))) v0 (sym_eq T v0 v H5))) i H1 H2 H3 H4 H0))))) |
  41 (csubst0_fst k i0 c1 c2 v0 H0 u) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq nat (s k i0)
  42 i)).(\lambda (H2: (eq T v0 v)).(\lambda (H3: (eq C (CHead c1 k u) (CSort
  43 n))).(\lambda (H4: (eq C (CHead c2 k u) x)).(eq_ind nat (s k i0) (\lambda (_:
  44 nat).((eq T v0 v) \to ((eq C (CHead c1 k u) (CSort n)) \to ((eq C (CHead c2 k
  45 u) x) \to ((csubst0 i0 v0 c1 c2) \to P))))) (\lambda (H5: (eq T v0
  46 v)).(eq_ind T v (\lambda (t: T).((eq C (CHead c1 k u) (CSort n)) \to ((eq C
  47 (CHead c2 k u) x) \to ((csubst0 i0 t c1 c2) \to P)))) (\lambda (H6: (eq C
  48 (CHead c1 k u) (CSort n))).(let H7 \def (eq_ind C (CHead c1 k u) (\lambda (e:
  49 C).(match e in C return (\lambda (_: C).Prop) with [(CSort _) \Rightarrow
  50 False | (CHead _ _ _) \Rightarrow True])) I (CSort n) H6) in (False_ind ((eq
  51 C (CHead c2 k u) x) \to ((csubst0 i0 v c1 c2) \to P)) H7))) v0 (sym_eq T v0 v
  52 H5))) i H1 H2 H3 H4 H0))))) | (csubst0_both k i0 v0 u1 u2 H0 c1 c2 H1)
  53 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq nat (s k i0) i)).(\lambda (H3: (eq T v0
  54 v)).(\lambda (H4: (eq C (CHead c1 k u1) (CSort n))).(\lambda (H5: (eq C
  55 (CHead c2 k u2) x)).(eq_ind nat (s k i0) (\lambda (_: nat).((eq T v0 v) \to
  56 ((eq C (CHead c1 k u1) (CSort n)) \to ((eq C (CHead c2 k u2) x) \to ((subst0
  57 i0 v0 u1 u2) \to ((csubst0 i0 v0 c1 c2) \to P)))))) (\lambda (H6: (eq T v0
  58 v)).(eq_ind T v (\lambda (t: T).((eq C (CHead c1 k u1) (CSort n)) \to ((eq C
  59 (CHead c2 k u2) x) \to ((subst0 i0 t u1 u2) \to ((csubst0 i0 t c1 c2) \to
  60 P))))) (\lambda (H7: (eq C (CHead c1 k u1) (CSort n))).(let H8 \def (eq_ind C
  61 (CHead c1 k u1) (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).Prop)
  62 with [(CSort _) \Rightarrow False | (CHead _ _ _) \Rightarrow True])) I
  63 (CSort n) H7) in (False_ind ((eq C (CHead c2 k u2) x) \to ((subst0 i0 v u1
  64 u2) \to ((csubst0 i0 v c1 c2) \to P))) H8))) v0 (sym_eq T v0 v H6))) i H2 H3
  65 H4 H5 H0 H1)))))]) in (H0 (refl_equal nat i) (refl_equal T v) (refl_equal C
  66 (CSort n)) (refl_equal C x)))))))).
  67
  68 theorem csubst0_gen_head:
  69  \forall (k: K).(\forall (c1: C).(\forall (x: C).(\forall (u1: T).(\forall
  70 (v: T).(\forall (i: nat).((csubst0 i v (CHead c1 k u1) x) \to (or3 (ex3_2 T
  71 nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat i (s k j)))) (\lambda (u2:
  72 T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j:
  73 nat).(subst0 j v u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
  74 nat i (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2 k
  75 u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c2)))) (ex4_3 T C
  76 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat i (s k j)))))
  77 (\lambda (u2: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2 k
  78 u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
  79 u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
  80 c2))))))))))))
  81 \def
  82  \lambda (k: K).(\lambda (c1: C).(\lambda (x: C).(\lambda (u1: T).(\lambda
  83 (v: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H: (csubst0 i v (CHead c1 k u1) x)).(let
  84 H0 \def (match H in csubst0 return (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda
  85 (c: C).(\lambda (c0: C).(\lambda (_: (csubst0 n t c c0)).((eq nat n i) \to
  86 ((eq T t v) \to ((eq C c (CHead c1 k u1)) \to ((eq C c0 x) \to (or3 (ex3_2 T
  87 nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat i (s k j)))) (\lambda (u2:
  88 T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j:
  89 nat).(subst0 j v u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
  90 nat i (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2 k
  91 u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c2)))) (ex4_3 T C
  92 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat i (s k j)))))
  93 (\lambda (u2: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2 k
  94 u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
  95 u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
  96 c2))))))))))))))) with [(csubst0_snd k0 i0 v0 u0 u2 H0 c) \Rightarrow
  97 (\lambda (H1: (eq nat (s k0 i0) i)).(\lambda (H2: (eq T v0 v)).(\lambda (H3:
  98 (eq C (CHead c k0 u0) (CHead c1 k u1))).(\lambda (H4: (eq C (CHead c k0 u2)
  99 x)).(eq_ind nat (s k0 i0) (\lambda (n: nat).((eq T v0 v) \to ((eq C (CHead c
 100 k0 u0) (CHead c1 k u1)) \to ((eq C (CHead c k0 u2) x) \to ((subst0 i0 v0 u0
 101 u2) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat n (s k
 102 j)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u3)))) (\lambda
 103 (u3: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_:
 104 C).(\lambda (j: nat).(eq nat n (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_:
 105 nat).(eq C x (CHead c2 k u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j
 106 v c1 c2)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j:
 107 nat).(eq nat n (s k j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (_:
 108 nat).(eq C x (CHead c2 k u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda
 109 (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j:
 110 nat).(csubst0 j v c1 c2))))))))))) (\lambda (H5: (eq T v0 v)).(eq_ind T v
 111 (\lambda (t: T).((eq C (CHead c k0 u0) (CHead c1 k u1)) \to ((eq C (CHead c
 112 k0 u2) x) \to ((subst0 i0 t u0 u2) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_:
 113 T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda (u3: T).(\lambda
 114 (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (j:
 115 nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
 116 nat (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2
 117 k u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c2)))) (ex4_3 T C
 118 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k
 119 j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2
 120 k u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
 121 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
 122 c2)))))))))) (\lambda (H6: (eq C (CHead c k0 u0) (CHead c1 k u1))).(let H7
 123 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T)
 124 with [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead c k0
 125 u0) (CHead c1 k u1) H6) in ((let H8 \def (f_equal C K (\lambda (e: C).(match
 126 e in C return (\lambda (_: C).K) with [(CSort _) \Rightarrow k0 | (CHead _ k1
 127 _) \Rightarrow k1])) (CHead c k0 u0) (CHead c1 k u1) H6) in ((let H9 \def
 128 (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).C) with
 129 [(CSort _) \Rightarrow c | (CHead c0 _ _) \Rightarrow c0])) (CHead c k0 u0)
 130 (CHead c1 k u1) H6) in (eq_ind C c1 (\lambda (c0: C).((eq K k0 k) \to ((eq T
 131 u0 u1) \to ((eq C (CHead c0 k0 u2) x) \to ((subst0 i0 v u0 u2) \to (or3
 132 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j))))
 133 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3:
 134 T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_:
 135 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda
 136 (_: nat).(eq C x (CHead c2 k u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (j:
 137 nat).(csubst0 j v c1 c2)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_:
 138 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda
 139 (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2 k u3))))) (\lambda (u3:
 140 T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (\lambda (_:
 141 T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c2))))))))))) (\lambda
 142 (H10: (eq K k0 k)).(eq_ind K k (\lambda (k1: K).((eq T u0 u1) \to ((eq C
 143 (CHead c1 k1 u2) x) \to ((subst0 i0 v u0 u2) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda
 144 (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k j)))) (\lambda (u3:
 145 T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (j:
 146 nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
 147 nat (s k1 i0) (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2
 148 k u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c2)))) (ex4_3 T C
 149 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k
 150 j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2
 151 k u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
 152 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
 153 c2)))))))))) (\lambda (H11: (eq T u0 u1)).(eq_ind T u1 (\lambda (t: T).((eq C
 154 (CHead c1 k u2) x) \to ((subst0 i0 v t u2) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_:
 155 T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (u3: T).(\lambda
 156 (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (j:
 157 nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
 158 nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2
 159 k u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c2)))) (ex4_3 T C
 160 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k
 161 j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c2
 162 k u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
 163 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
 164 c2))))))))) (\lambda (H12: (eq C (CHead c1 k u2) x)).(eq_ind C (CHead c1 k
 165 u2) (\lambda (c0: C).((subst0 i0 v u1 u2) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_:
 166 T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (u3: T).(\lambda
 167 (_: nat).(eq C c0 (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (j:
 168 nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
 169 nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C c0 (CHead c2
 170 k u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c2)))) (ex4_3 T C
 171 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k
 172 j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C c0 (CHead c2
 173 k u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
 174 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
 175 c2)))))))) (\lambda (H13: (subst0 i0 v u1 u2)).(let H14 \def (eq_ind K k0
 176 (\lambda (k1: K).(eq nat (s k1 i0) i)) H1 k H10) in (or3_intro0 (ex3_2 T nat
 177 (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (u3:
 178 T).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c1 k u2) (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3:
 179 T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_:
 180 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (c2: C).(\lambda
 181 (_: nat).(eq C (CHead c1 k u2) (CHead c2 k u1)))) (\lambda (c2: C).(\lambda
 182 (j: nat).(csubst0 j v c1 c2)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_:
 183 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda
 184 (c2: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c1 k u2) (CHead c2 k u3))))) (\lambda
 185 (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (\lambda (_:
 186 T).(\lambda (c2: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c2))))) (ex3_2_intro T
 187 nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda
 188 (u3: T).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c1 k u2) (CHead c1 k u3)))) (\lambda
 189 (u3: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3))) u2 i0 (refl_equal nat (s k
 190 i0)) (refl_equal C (CHead c1 k u2)) H13)))) x H12)) u0 (sym_eq T u0 u1 H11)))
 191 k0 (sym_eq K k0 k H10))) c (sym_eq C c c1 H9))) H8)) H7))) v0 (sym_eq T v0 v
 192 H5))) i H1 H2 H3 H4 H0))))) | (csubst0_fst k0 i0 c0 c2 v0 H0 u) \Rightarrow
 193 (\lambda (H1: (eq nat (s k0 i0) i)).(\lambda (H2: (eq T v0 v)).(\lambda (H3:
 194 (eq C (CHead c0 k0 u) (CHead c1 k u1))).(\lambda (H4: (eq C (CHead c2 k0 u)
 195 x)).(eq_ind nat (s k0 i0) (\lambda (n: nat).((eq T v0 v) \to ((eq C (CHead c0
 196 k0 u) (CHead c1 k u1)) \to ((eq C (CHead c2 k0 u) x) \to ((csubst0 i0 v0 c0
 197 c2) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat n (s k
 198 j)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u2)))) (\lambda
 199 (u2: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_:
 200 C).(\lambda (j: nat).(eq nat n (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_:
 201 nat).(eq C x (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j
 202 v c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j:
 203 nat).(eq nat n (s k j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_:
 204 nat).(eq C x (CHead c3 k u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda
 205 (j: nat).(subst0 j v u1 u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j:
 206 nat).(csubst0 j v c1 c3))))))))))) (\lambda (H5: (eq T v0 v)).(eq_ind T v
 207 (\lambda (t: T).((eq C (CHead c0 k0 u) (CHead c1 k u1)) \to ((eq C (CHead c2
 208 k0 u) x) \to ((csubst0 i0 t c0 c2) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_:
 209 T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda (u2: T).(\lambda
 210 (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j:
 211 nat).(subst0 j v u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
 212 nat (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3
 213 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C
 214 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k
 215 j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3
 216 k u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
 217 u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
 218 c3)))))))))) (\lambda (H6: (eq C (CHead c0 k0 u) (CHead c1 k u1))).(let H7
 219 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T)
 220 with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead c0 k0
 221 u) (CHead c1 k u1) H6) in ((let H8 \def (f_equal C K (\lambda (e: C).(match e
 222 in C return (\lambda (_: C).K) with [(CSort _) \Rightarrow k0 | (CHead _ k1
 223 _) \Rightarrow k1])) (CHead c0 k0 u) (CHead c1 k u1) H6) in ((let H9 \def
 224 (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).C) with
 225 [(CSort _) \Rightarrow c0 | (CHead c _ _) \Rightarrow c])) (CHead c0 k0 u)
 226 (CHead c1 k u1) H6) in (eq_ind C c1 (\lambda (c: C).((eq K k0 k) \to ((eq T u
 227 u1) \to ((eq C (CHead c2 k0 u) x) \to ((csubst0 i0 v c c2) \to (or3 (ex3_2 T
 228 nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda
 229 (u2: T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2:
 230 T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_:
 231 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda
 232 (_: nat).(eq C x (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j:
 233 nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_:
 234 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda
 235 (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3 k u2))))) (\lambda (u2:
 236 T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u2)))) (\lambda (_:
 237 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3))))))))))) (\lambda
 238 (H10: (eq K k0 k)).(eq_ind K k (\lambda (k1: K).((eq T u u1) \to ((eq C
 239 (CHead c2 k1 u) x) \to ((csubst0 i0 v c1 c2) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda
 240 (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k j)))) (\lambda (u2:
 241 T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j:
 242 nat).(subst0 j v u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
 243 nat (s k1 i0) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3
 244 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C
 245 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k
 246 j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3
 247 k u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
 248 u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
 249 c3)))))))))) (\lambda (H11: (eq T u u1)).(eq_ind T u1 (\lambda (t: T).((eq C
 250 (CHead c2 k t) x) \to ((csubst0 i0 v c1 c2) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda
 251 (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (u2:
 252 T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j:
 253 nat).(subst0 j v u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
 254 nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3
 255 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C
 256 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k
 257 j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3
 258 k u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
 259 u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
 260 c3))))))))) (\lambda (H12: (eq C (CHead c2 k u1) x)).(eq_ind C (CHead c2 k
 261 u1) (\lambda (c: C).((csubst0 i0 v c1 c2) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_:
 262 T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (u2: T).(\lambda
 263 (_: nat).(eq C c (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (j:
 264 nat).(subst0 j v u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
 265 nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C c (CHead c3
 266 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C
 267 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k
 268 j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C c (CHead c3
 269 k u2))))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
 270 u2)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
 271 c3)))))))) (\lambda (H13: (csubst0 i0 v c1 c2)).(let H14 \def (eq_ind K k0
 272 (\lambda (k1: K).(eq nat (s k1 i0) i)) H1 k H10) in (or3_intro1 (ex3_2 T nat
 273 (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (u2:
 274 T).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u1) (CHead c1 k u2)))) (\lambda (u2:
 275 T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u2)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_:
 276 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda
 277 (_: nat).(eq C (CHead c2 k u1) (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda
 278 (j: nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_:
 279 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j))))) (\lambda (u2: T).(\lambda
 280 (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u1) (CHead c3 k u2))))) (\lambda
 281 (u2: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u2)))) (\lambda (_:
 282 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3))))) (ex3_2_intro C
 283 nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda
 284 (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u1) (CHead c3 k u1)))) (\lambda
 285 (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3))) c2 i0 (refl_equal nat (s k
 286 i0)) (refl_equal C (CHead c2 k u1)) H13)))) x H12)) u (sym_eq T u u1 H11)))
 287 k0 (sym_eq K k0 k H10))) c0 (sym_eq C c0 c1 H9))) H8)) H7))) v0 (sym_eq T v0
 288 v H5))) i H1 H2 H3 H4 H0))))) | (csubst0_both k0 i0 v0 u0 u2 H0 c0 c2 H1)
 289 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq nat (s k0 i0) i)).(\lambda (H3: (eq T v0
 290 v)).(\lambda (H4: (eq C (CHead c0 k0 u0) (CHead c1 k u1))).(\lambda (H5: (eq
 291 C (CHead c2 k0 u2) x)).(eq_ind nat (s k0 i0) (\lambda (n: nat).((eq T v0 v)
 292 \to ((eq C (CHead c0 k0 u0) (CHead c1 k u1)) \to ((eq C (CHead c2 k0 u2) x)
 293 \to ((subst0 i0 v0 u0 u2) \to ((csubst0 i0 v0 c0 c2) \to (or3 (ex3_2 T nat
 294 (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat n (s k j)))) (\lambda (u3:
 295 T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (j:
 296 nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
 297 nat n (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3 k
 298 u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C
 299 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat n (s k j)))))
 300 (\lambda (u3: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3 k
 301 u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
 302 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
 303 c3)))))))))))) (\lambda (H6: (eq T v0 v)).(eq_ind T v (\lambda (t: T).((eq C
 304 (CHead c0 k0 u0) (CHead c1 k u1)) \to ((eq C (CHead c2 k0 u2) x) \to ((subst0
 305 i0 t u0 u2) \to ((csubst0 i0 t c0 c2) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_:
 306 T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda (u3: T).(\lambda
 307 (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (j:
 308 nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
 309 nat (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3
 310 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C
 311 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k
 312 j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3
 313 k u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
 314 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
 315 c3))))))))))) (\lambda (H7: (eq C (CHead c0 k0 u0) (CHead c1 k u1))).(let H8
 316 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T)
 317 with [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t) \Rightarrow t])) (CHead c0 k0
 318 u0) (CHead c1 k u1) H7) in ((let H9 \def (f_equal C K (\lambda (e: C).(match
 319 e in C return (\lambda (_: C).K) with [(CSort _) \Rightarrow k0 | (CHead _ k1
 320 _) \Rightarrow k1])) (CHead c0 k0 u0) (CHead c1 k u1) H7) in ((let H10 \def
 321 (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).C) with
 322 [(CSort _) \Rightarrow c0 | (CHead c _ _) \Rightarrow c])) (CHead c0 k0 u0)
 323 (CHead c1 k u1) H7) in (eq_ind C c1 (\lambda (c: C).((eq K k0 k) \to ((eq T
 324 u0 u1) \to ((eq C (CHead c2 k0 u2) x) \to ((subst0 i0 v u0 u2) \to ((csubst0
 325 i0 v c c2) \to (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s
 326 k0 i0) (s k j)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k
 327 u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat
 328 (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j)))) (\lambda (c3:
 329 C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j:
 330 nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_:
 331 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k0 i0) (s k j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda
 332 (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3 k u3))))) (\lambda (u3:
 333 T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (\lambda (_:
 334 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3)))))))))))) (\lambda
 335 (H11: (eq K k0 k)).(eq_ind K k (\lambda (k1: K).((eq T u0 u1) \to ((eq C
 336 (CHead c2 k1 u2) x) \to ((subst0 i0 v u0 u2) \to ((csubst0 i0 v c1 c2) \to
 337 (or3 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k
 338 j)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u3)))) (\lambda
 339 (u3: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_:
 340 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda
 341 (_: nat).(eq C x (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j:
 342 nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_:
 343 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k1 i0) (s k j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda
 344 (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3 k u3))))) (\lambda (u3:
 345 T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (\lambda (_:
 346 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3))))))))))) (\lambda
 347 (H12: (eq T u0 u1)).(eq_ind T u1 (\lambda (t: T).((eq C (CHead c2 k u2) x)
 348 \to ((subst0 i0 v t u2) \to ((csubst0 i0 v c1 c2) \to (or3 (ex3_2 T nat
 349 (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (u3:
 350 T).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (j:
 351 nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq
 352 nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3
 353 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C
 354 nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k
 355 j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C x (CHead c3
 356 k u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
 357 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
 358 c3)))))))))) (\lambda (H13: (eq C (CHead c2 k u2) x)).(eq_ind C (CHead c2 k
 359 u2) (\lambda (c: C).((subst0 i0 v u1 u2) \to ((csubst0 i0 v c1 c2) \to (or3
 360 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j))))
 361 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: nat).(eq C c (CHead c1 k u3)))) (\lambda (u3:
 362 T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat (\lambda (_:
 363 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (c3: C).(\lambda
 364 (_: nat).(eq C c (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3: C).(\lambda (j:
 365 nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_:
 366 C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda
 367 (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C c (CHead c3 k u3))))) (\lambda (u3:
 368 T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (\lambda (_:
 369 T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3))))))))) (\lambda
 370 (H14: (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H15: (csubst0 i0 v c1 c2)).(let H16 \def
 371 (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).(eq nat (s k1 i0) i)) H2 k H11) in (or3_intro2
 372 (ex3_2 T nat (\lambda (_: T).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j))))
 373 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u2) (CHead c1 k u3))))
 374 (\lambda (u3: T).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (ex3_2 C nat
 375 (\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j)))) (\lambda (c3:
 376 C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u2) (CHead c3 k u1)))) (\lambda (c3:
 377 C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3)))) (ex4_3 T C nat (\lambda (_:
 378 T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(eq nat (s k i0) (s k j))))) (\lambda
 379 (u3: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (_: nat).(eq C (CHead c2 k u2) (CHead c3 k
 380 u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1
 381 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3: C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1
 382 c3))))) (ex4_3_intro T C nat (\lambda (_: T).(\lambda (_: C).(\lambda (j:
 383 nat).(eq nat (s k i0) (s k j))))) (\lambda (u3: T).(\lambda (c3: C).(\lambda
 384 (_: nat).(eq C (CHead c2 k u2) (CHead c3 k u3))))) (\lambda (u3: T).(\lambda
 385 (_: C).(\lambda (j: nat).(subst0 j v u1 u3)))) (\lambda (_: T).(\lambda (c3:
 386 C).(\lambda (j: nat).(csubst0 j v c1 c3)))) u2 c2 i0 (refl_equal nat (s k
 387 i0)) (refl_equal C (CHead c2 k u2)) H14 H15))))) x H13)) u0 (sym_eq T u0 u1
 388 H12))) k0 (sym_eq K k0 k H11))) c0 (sym_eq C c0 c1 H10))) H9)) H8))) v0
 389 (sym_eq T v0 v H6))) i H2 H3 H4 H5 H0 H1)))))]) in (H0 (refl_equal nat i)
 390 (refl_equal T v) (refl_equal C (CHead c1 k u1)) (refl_equal C x))))))))).
 391