matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/ex0/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/ex0/defs.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/leq/defs.ma".
  20
  21 include "LambdaDelta-1/aplus/props.ma".
  22
  23 theorem aplus_gz_le:
  24  \forall (k: nat).(\forall (h: nat).(\forall (n: nat).((le h k) \to (eq A
  25 (aplus gz (ASort h n) k) (ASort O (plus (minus k h) n))))))
  26 \def
  27  \lambda (k: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (n0:
  28 nat).((le h n) \to (eq A (aplus gz (ASort h n0) n) (ASort O (plus (minus n h)
  29 n0))))))) (\lambda (h: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le h O)).(let H_y
  30 \def (le_n_O_eq h H) in (eq_ind nat O (\lambda (n0: nat).(eq A (ASort n0 n)
  31 (ASort O n))) (refl_equal A (ASort O n)) h H_y))))) (\lambda (k0:
  32 nat).(\lambda (IH: ((\forall (h: nat).(\forall (n: nat).((le h k0) \to (eq A
  33 (aplus gz (ASort h n) k0) (ASort O (plus (minus k0 h) n)))))))).(\lambda (h:
  34 nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).(\forall (n0: nat).((le n (S k0)) \to (eq A
  35 (asucc gz (aplus gz (ASort n n0) k0)) (ASort O (plus (match n with [O
  36 \Rightarrow (S k0) | (S l) \Rightarrow (minus k0 l)]) n0)))))) (\lambda (n:
  37 nat).(\lambda (_: (le O (S k0))).(eq_ind A (aplus gz (asucc gz (ASort O n))
  38 k0) (\lambda (a: A).(eq A a (ASort O (S (plus k0 n))))) (eq_ind_r A (ASort O
  39 (plus (minus k0 O) (S n))) (\lambda (a: A).(eq A a (ASort O (S (plus k0
  40 n))))) (eq_ind nat k0 (\lambda (n0: nat).(eq A (ASort O (plus n0 (S n)))
  41 (ASort O (S (plus k0 n))))) (eq_ind nat (S (plus k0 n)) (\lambda (n0:
  42 nat).(eq A (ASort O n0) (ASort O (S (plus k0 n))))) (refl_equal A (ASort O (S
  43 (plus k0 n)))) (plus k0 (S n)) (plus_n_Sm k0 n)) (minus k0 O) (minus_n_O k0))
  44 (aplus gz (ASort O (S n)) k0) (IH O (S n) (le_O_n k0))) (asucc gz (aplus gz
  45 (ASort O n) k0)) (aplus_asucc gz k0 (ASort O n))))) (\lambda (n:
  46 nat).(\lambda (_: ((\forall (n0: nat).((le n (S k0)) \to (eq A (asucc gz
  47 (aplus gz (ASort n n0) k0)) (ASort O (plus (match n with [O \Rightarrow (S
  48 k0) | (S l) \Rightarrow (minus k0 l)]) n0))))))).(\lambda (n0: nat).(\lambda
  49 (H0: (le (S n) (S k0))).(let H_y \def (le_S_n n k0 H0) in (eq_ind A (aplus gz
  50 (ASort n n0) k0) (\lambda (a: A).(eq A (asucc gz (aplus gz (ASort (S n) n0)
  51 k0)) a)) (eq_ind A (aplus gz (asucc gz (ASort (S n) n0)) k0) (\lambda (a:
  52 A).(eq A a (aplus gz (ASort n n0) k0))) (refl_equal A (aplus gz (ASort n n0)
  53 k0)) (asucc gz (aplus gz (ASort (S n) n0) k0)) (aplus_asucc gz k0 (ASort (S
  54 n) n0))) (ASort O (plus (minus k0 n) n0)) (IH n n0 H_y))))))) h)))) k).
  55
  56 theorem aplus_gz_ge:
  57  \forall (n: nat).(\forall (k: nat).(\forall (h: nat).((le k h) \to (eq A
  58 (aplus gz (ASort h n) k) (ASort (minus h k) n)))))
  59 \def
  60  \lambda (n: nat).(\lambda (k: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(\forall (h:
  61 nat).((le n0 h) \to (eq A (aplus gz (ASort h n) n0) (ASort (minus h n0)
  62 n))))) (\lambda (h: nat).(\lambda (_: (le O h)).(eq_ind nat h (\lambda (n0:
  63 nat).(eq A (ASort h n) (ASort n0 n))) (refl_equal A (ASort h n)) (minus h O)
  64 (minus_n_O h)))) (\lambda (k0: nat).(\lambda (IH: ((\forall (h: nat).((le k0
  65 h) \to (eq A (aplus gz (ASort h n) k0) (ASort (minus h k0) n)))))).(\lambda
  66 (h: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).((le (S k0) n0) \to (eq A (asucc gz
  67 (aplus gz (ASort n0 n) k0)) (ASort (minus n0 (S k0)) n)))) (\lambda (H: (le
  68 (S k0) O)).(ex2_ind nat (\lambda (n0: nat).(eq nat O (S n0))) (\lambda (n0:
  69 nat).(le k0 n0)) (eq A (asucc gz (aplus gz (ASort O n) k0)) (ASort O n))
  70 (\lambda (x: nat).(\lambda (H0: (eq nat O (S x))).(\lambda (_: (le k0
  71 x)).(let H2 \def (eq_ind nat O (\lambda (ee: nat).(match ee in nat return
  72 (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow True | (S _) \Rightarrow False]))
  73 I (S x) H0) in (False_ind (eq A (asucc gz (aplus gz (ASort O n) k0)) (ASort O
  74 n)) H2))))) (le_gen_S k0 O H))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (_: (((le (S k0)
  75 n0) \to (eq A (asucc gz (aplus gz (ASort n0 n) k0)) (ASort (minus n0 (S k0))
  76 n))))).(\lambda (H0: (le (S k0) (S n0))).(let H_y \def (le_S_n k0 n0 H0) in
  77 (eq_ind A (aplus gz (ASort n0 n) k0) (\lambda (a: A).(eq A (asucc gz (aplus
  78 gz (ASort (S n0) n) k0)) a)) (eq_ind A (aplus gz (asucc gz (ASort (S n0) n))
  79 k0) (\lambda (a: A).(eq A a (aplus gz (ASort n0 n) k0))) (refl_equal A (aplus
  80 gz (ASort n0 n) k0)) (asucc gz (aplus gz (ASort (S n0) n) k0)) (aplus_asucc
  81 gz k0 (ASort (S n0) n))) (ASort (minus n0 k0) n) (IH n0 H_y)))))) h)))) k)).
  82
  83 theorem next_plus_gz:
  84  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(eq nat (next_plus gz n h) (plus h n)))
  85 \def
  86  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(nat_ind (\lambda (n0: nat).(eq nat
  87 (next_plus gz n n0) (plus n0 n))) (refl_equal nat n) (\lambda (n0:
  88 nat).(\lambda (H: (eq nat (next_plus gz n n0) (plus n0 n))).(f_equal nat nat
  89 S (next_plus gz n n0) (plus n0 n) H))) h)).
  90
  91 theorem leqz_leq:
  92  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq gz a1 a2) \to (leqz a1 a2)))
  93 \def
  94  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq gz a1 a2)).(leq_ind gz
  95 (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(leqz a a0))) (\lambda (h1: nat).(\lambda
  96 (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda
  97 (H0: (eq A (aplus gz (ASort h1 n1) k) (aplus gz (ASort h2 n2) k))).(lt_le_e k
  98 h1 (leqz (ASort h1 n1) (ASort h2 n2)) (\lambda (H1: (lt k h1)).(lt_le_e k h2
  99 (leqz (ASort h1 n1) (ASort h2 n2)) (\lambda (H2: (lt k h2)).(let H3 \def
 100 (eq_ind A (aplus gz (ASort h1 n1) k) (\lambda (a: A).(eq A a (aplus gz (ASort
 101 h2 n2) k))) H0 (ASort (minus h1 k) n1) (aplus_gz_ge n1 k h1 (le_S_n k h1
 102 (le_S (S k) h1 H1)))) in (let H4 \def (eq_ind A (aplus gz (ASort h2 n2) k)
 103 (\lambda (a: A).(eq A (ASort (minus h1 k) n1) a)) H3 (ASort (minus h2 k) n2)
 104 (aplus_gz_ge n2 k h2 (le_S_n k h2 (le_S (S k) h2 H2)))) in (let H5 \def
 105 (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).nat) with
 106 [(ASort n _) \Rightarrow n | (AHead _ _) \Rightarrow ((let rec minus (n: nat)
 107 on n: (nat \to nat) \def (\lambda (m: nat).(match n with [O \Rightarrow O |
 108 (S k0) \Rightarrow (match m with [O \Rightarrow (S k0) | (S l) \Rightarrow
 109 (minus k0 l)])])) in minus) h1 k)])) (ASort (minus h1 k) n1) (ASort (minus h2
 110 k) n2) H4) in ((let H6 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e in A
 111 return (\lambda (_: A).nat) with [(ASort _ n) \Rightarrow n | (AHead _ _)
 112 \Rightarrow n1])) (ASort (minus h1 k) n1) (ASort (minus h2 k) n2) H4) in
 113 (\lambda (H7: (eq nat (minus h1 k) (minus h2 k))).(eq_ind nat n1 (\lambda (n:
 114 nat).(leqz (ASort h1 n1) (ASort h2 n))) (eq_ind nat h1 (\lambda (n:
 115 nat).(leqz (ASort h1 n1) (ASort n n1))) (leqz_sort h1 h1 n1 n1 (refl_equal
 116 nat (plus h1 n1))) h2 (minus_minus k h1 h2 (le_S_n k h1 (le_S (S k) h1 H1))
 117 (le_S_n k h2 (le_S (S k) h2 H2)) H7)) n2 H6))) H5))))) (\lambda (H2: (le h2
 118 k)).(let H3 \def (eq_ind A (aplus gz (ASort h1 n1) k) (\lambda (a: A).(eq A a
 119 (aplus gz (ASort h2 n2) k))) H0 (ASort (minus h1 k) n1) (aplus_gz_ge n1 k h1
 120 (le_S_n k h1 (le_S (S k) h1 H1)))) in (let H4 \def (eq_ind A (aplus gz (ASort
 121 h2 n2) k) (\lambda (a: A).(eq A (ASort (minus h1 k) n1) a)) H3 (ASort O (plus
 122 (minus k h2) n2)) (aplus_gz_le k h2 n2 H2)) in (let H5 \def (eq_ind nat
 123 (minus h1 k) (\lambda (n: nat).(eq A (ASort n n1) (ASort O (plus (minus k h2)
 124 n2)))) H4 (S (minus h1 (S k))) (minus_x_Sy h1 k H1)) in (let H6 \def (eq_ind
 125 A (ASort (S (minus h1 (S k))) n1) (\lambda (ee: A).(match ee in A return
 126 (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort n _) \Rightarrow (match n in nat return
 127 (\lambda (_: nat).Prop) with [O \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True])
 128 | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (ASort O (plus (minus k h2) n2)) H5) in
 129 (False_ind (leqz (ASort h1 n1) (ASort h2 n2)) H6)))))))) (\lambda (H1: (le h1
 130 k)).(lt_le_e k h2 (leqz (ASort h1 n1) (ASort h2 n2)) (\lambda (H2: (lt k
 131 h2)).(let H3 \def (eq_ind A (aplus gz (ASort h1 n1) k) (\lambda (a: A).(eq A
 132 a (aplus gz (ASort h2 n2) k))) H0 (ASort O (plus (minus k h1) n1))
 133 (aplus_gz_le k h1 n1 H1)) in (let H4 \def (eq_ind A (aplus gz (ASort h2 n2)
 134 k) (\lambda (a: A).(eq A (ASort O (plus (minus k h1) n1)) a)) H3 (ASort
 135 (minus h2 k) n2) (aplus_gz_ge n2 k h2 (le_S_n k h2 (le_S (S k) h2 H2)))) in
 136 (let H5 \def (sym_eq A (ASort O (plus (minus k h1) n1)) (ASort (minus h2 k)
 137 n2) H4) in (let H6 \def (eq_ind nat (minus h2 k) (\lambda (n: nat).(eq A
 138 (ASort n n2) (ASort O (plus (minus k h1) n1)))) H5 (S (minus h2 (S k)))
 139 (minus_x_Sy h2 k H2)) in (let H7 \def (eq_ind A (ASort (S (minus h2 (S k)))
 140 n2) (\lambda (ee: A).(match ee in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort
 141 n _) \Rightarrow (match n in nat return (\lambda (_: nat).Prop) with [O
 142 \Rightarrow False | (S _) \Rightarrow True]) | (AHead _ _) \Rightarrow
 143 False])) I (ASort O (plus (minus k h1) n1)) H6) in (False_ind (leqz (ASort h1
 144 n1) (ASort h2 n2)) H7))))))) (\lambda (H2: (le h2 k)).(let H3 \def (eq_ind A
 145 (aplus gz (ASort h1 n1) k) (\lambda (a: A).(eq A a (aplus gz (ASort h2 n2)
 146 k))) H0 (ASort O (plus (minus k h1) n1)) (aplus_gz_le k h1 n1 H1)) in (let H4
 147 \def (eq_ind A (aplus gz (ASort h2 n2) k) (\lambda (a: A).(eq A (ASort O
 148 (plus (minus k h1) n1)) a)) H3 (ASort O (plus (minus k h2) n2)) (aplus_gz_le
 149 k h2 n2 H2)) in (let H5 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e in A
 150 return (\lambda (_: A).nat) with [(ASort _ n) \Rightarrow n | (AHead _ _)
 151 \Rightarrow ((let rec plus (n: nat) on n: (nat \to nat) \def (\lambda (m:
 152 nat).(match n with [O \Rightarrow m | (S p) \Rightarrow (S (plus p m))])) in
 153 plus) (minus k h1) n1)])) (ASort O (plus (minus k h1) n1)) (ASort O (plus
 154 (minus k h2) n2)) H4) in (let H_y \def (plus_plus k h1 h2 n1 n2 H1 H2 H5) in
 155 (leqz_sort h1 h2 n1 n2 H_y))))))))))))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (a3:
 156 A).(\lambda (_: (leq gz a0 a3)).(\lambda (H1: (leqz a0 a3)).(\lambda (a4:
 157 A).(\lambda (a5: A).(\lambda (_: (leq gz a4 a5)).(\lambda (H3: (leqz a4
 158 a5)).(leqz_head a0 a3 H1 a4 a5 H3))))))))) a1 a2 H))).
 159
 160 theorem leq_leqz:
 161  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leqz a1 a2) \to (leq gz a1 a2)))
 162 \def
 163  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leqz a1 a2)).(leqz_ind
 164 (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(leq gz a a0))) (\lambda (h1: nat).(\lambda
 165 (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (H0: (eq nat (plus
 166 h1 n2) (plus h2 n1))).(leq_sort gz h1 h2 n1 n2 (plus h1 h2) (eq_ind_r A
 167 (ASort (minus h1 (plus h1 h2)) (next_plus gz n1 (minus (plus h1 h2) h1)))
 168 (\lambda (a: A).(eq A a (aplus gz (ASort h2 n2) (plus h1 h2)))) (eq_ind_r A
 169 (ASort (minus h2 (plus h1 h2)) (next_plus gz n2 (minus (plus h1 h2) h2)))
 170 (\lambda (a: A).(eq A (ASort (minus h1 (plus h1 h2)) (next_plus gz n1 (minus
 171 (plus h1 h2) h1))) a)) (eq_ind_r nat h2 (\lambda (n: nat).(eq A (ASort (minus
 172 h1 (plus h1 h2)) (next_plus gz n1 n)) (ASort (minus h2 (plus h1 h2))
 173 (next_plus gz n2 (minus (plus h1 h2) h2))))) (eq_ind_r nat h1 (\lambda (n:
 174 nat).(eq A (ASort (minus h1 (plus h1 h2)) (next_plus gz n1 h2)) (ASort (minus
 175 h2 (plus h1 h2)) (next_plus gz n2 n)))) (eq_ind_r nat O (\lambda (n: nat).(eq
 176 A (ASort n (next_plus gz n1 h2)) (ASort (minus h2 (plus h1 h2)) (next_plus gz
 177 n2 h1)))) (eq_ind_r nat O (\lambda (n: nat).(eq A (ASort O (next_plus gz n1
 178 h2)) (ASort n (next_plus gz n2 h1)))) (eq_ind_r nat (plus h2 n1) (\lambda (n:
 179 nat).(eq A (ASort O n) (ASort O (next_plus gz n2 h1)))) (eq_ind_r nat (plus
 180 h1 n2) (\lambda (n: nat).(eq A (ASort O (plus h2 n1)) (ASort O n))) (f_equal
 181 nat A (ASort O) (plus h2 n1) (plus h1 n2) (sym_eq nat (plus h1 n2) (plus h2
 182 n1) H0)) (next_plus gz n2 h1) (next_plus_gz n2 h1)) (next_plus gz n1 h2)
 183 (next_plus_gz n1 h2)) (minus h2 (plus h1 h2)) (O_minus h2 (plus h1 h2)
 184 (le_plus_r h1 h2))) (minus h1 (plus h1 h2)) (O_minus h1 (plus h1 h2)
 185 (le_plus_l h1 h2))) (minus (plus h1 h2) h2) (minus_plus_r h1 h2)) (minus
 186 (plus h1 h2) h1) (minus_plus h1 h2)) (aplus gz (ASort h2 n2) (plus h1 h2))
 187 (aplus_asort_simpl gz (plus h1 h2) h2 n2)) (aplus gz (ASort h1 n1) (plus h1
 188 h2)) (aplus_asort_simpl gz (plus h1 h2) h1 n1)))))))) (\lambda (a0:
 189 A).(\lambda (a3: A).(\lambda (_: (leqz a0 a3)).(\lambda (H1: (leq gz a0
 190 a3)).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(\lambda (_: (leqz a4 a5)).(\lambda
 191 (H3: (leq gz a4 a5)).(leq_head gz a0 a3 H1 a4 a5 H3))))))))) a1 a2 H))).
 192