matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/ex2/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/ex2/props".
  18
  19 include "ex2/defs.ma".
  20
  21 include "nf2/defs.ma".
  22
  23 include "pr2/fwd.ma".
  24
  25 include "arity/fwd.ma".
  26
  27 theorem ex2_nf2:
  28  nf2 ex2_c ex2_t
  29 \def
  30  \lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 (CSort O) (THead (Flat Appl) (TSort O)
  31 (TSort O)) t2)).(let H0 \def (pr2_gen_appl (CSort O) (TSort O) (TSort O) t2
  32 H) in (or3_ind (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead
  33 (Flat Appl) u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr2 (CSort O) (TSort
  34 O) u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr2 (CSort O) (TSort O) t3))))
  35 (ex4_4 T T T T (\lambda (y1: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_:
  36 T).(eq T (TSort O) (THead (Bind Abst) y1 z1)))))) (\lambda (_: T).(\lambda
  37 (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) u2
  38 t3)))))) (\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (_:
  39 T).(pr2 (CSort O) (TSort O) u2))))) (\lambda (_: T).(\lambda (z1: T).(\lambda
  40 (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr2 (CHead (CSort O)
  41 (Bind b) u) z1 t3)))))))) (ex6_6 B T T T T T (\lambda (b: B).(\lambda (_:
  42 T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(not (eq B
  43 b Abst)))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (y1: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_:
  44 T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(eq T (TSort O) (THead (Bind b) y1
  45 z1)))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (z2:
  46 T).(\lambda (u2: T).(\lambda (y2: T).(eq T t2 (THead (Bind b) y2 (THead (Flat
  47 Appl) (lift (S O) O u2) z2))))))))) (\lambda (_: B).(\lambda (_: T).(\lambda
  48 (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr2 (CSort O) (TSort
  49 O) u2))))))) (\lambda (_: B).(\lambda (y1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_:
  50 T).(\lambda (_: T).(\lambda (y2: T).(pr2 (CSort O) y1 y2))))))) (\lambda (b:
  51 B).(\lambda (_: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (z2: T).(\lambda (_: T).(\lambda
  52 (y2: T).(pr2 (CHead (CSort O) (Bind b) y2) z1 z2)))))))) (eq T (THead (Flat
  53 Appl) (TSort O) (TSort O)) t2) (\lambda (H1: (ex3_2 T T (\lambda (u2:
  54 T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Flat Appl) u2 t3)))) (\lambda (u2:
  55 T).(\lambda (_: T).(pr2 (CSort O) (TSort O) u2))) (\lambda (_: T).(\lambda
  56 (t3: T).(pr2 (CSort O) (TSort O) t3))))).(ex3_2_ind T T (\lambda (u2:
  57 T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Flat Appl) u2 t3)))) (\lambda (u2:
  58 T).(\lambda (_: T).(pr2 (CSort O) (TSort O) u2))) (\lambda (_: T).(\lambda
  59 (t3: T).(pr2 (CSort O) (TSort O) t3))) (eq T (THead (Flat Appl) (TSort O)
  60 (TSort O)) t2) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H2: (eq T t2
  61 (THead (Flat Appl) x0 x1))).(\lambda (H3: (pr2 (CSort O) (TSort O)
  62 x0)).(\lambda (H4: (pr2 (CSort O) (TSort O) x1)).(let H5 \def (eq_ind T x1
  63 (\lambda (t: T).(eq T t2 (THead (Flat Appl) x0 t))) H2 (TSort O)
  64 (pr2_gen_sort (CSort O) x1 O H4)) in (let H6 \def (eq_ind T x0 (\lambda (t:
  65 T).(eq T t2 (THead (Flat Appl) t (TSort O)))) H5 (TSort O) (pr2_gen_sort
  66 (CSort O) x0 O H3)) in (eq_ind_r T (THead (Flat Appl) (TSort O) (TSort O))
  67 (\lambda (t: T).(eq T (THead (Flat Appl) (TSort O) (TSort O)) t)) (refl_equal
  68 T (THead (Flat Appl) (TSort O) (TSort O))) t2 H6)))))))) H1)) (\lambda (H1:
  69 (ex4_4 T T T T (\lambda (y1: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_:
  70 T).(eq T (TSort O) (THead (Bind Abst) y1 z1)))))) (\lambda (_: T).(\lambda
  71 (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) u2
  72 t3)))))) (\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (_:
  73 T).(pr2 (CSort O) (TSort O) u2))))) (\lambda (_: T).(\lambda (z1: T).(\lambda
  74 (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr2 (CHead (CSort O)
  75 (Bind b) u) z1 t3))))))))).(ex4_4_ind T T T T (\lambda (y1: T).(\lambda (z1:
  76 T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(eq T (TSort O) (THead (Bind Abst) y1
  77 z1)))))) (\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (t3:
  78 T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) u2 t3)))))) (\lambda (_: T).(\lambda (_:
  79 T).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr2 (CSort O) (TSort O) u2))))) (\lambda
  80 (_: T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b:
  81 B).(\forall (u: T).(pr2 (CHead (CSort O) (Bind b) u) z1 t3))))))) (eq T
  82 (THead (Flat Appl) (TSort O) (TSort O)) t2) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1:
  83 T).(\lambda (x2: T).(\lambda (x3: T).(\lambda (H2: (eq T (TSort O) (THead
  84 (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (H3: (eq T t2 (THead (Bind Abbr) x2
  85 x3))).(\lambda (H4: (pr2 (CSort O) (TSort O) x2)).(\lambda (_: ((\forall (b:
  86 B).(\forall (u: T).(pr2 (CHead (CSort O) (Bind b) u) x1 x3))))).(let H6 \def
  87 (eq_ind T x2 (\lambda (t: T).(eq T t2 (THead (Bind Abbr) t x3))) H3 (TSort O)
  88 (pr2_gen_sort (CSort O) x2 O H4)) in (eq_ind_r T (THead (Bind Abbr) (TSort O)
  89 x3) (\lambda (t: T).(eq T (THead (Flat Appl) (TSort O) (TSort O)) t)) (let H7
  90 \def (eq_ind T (TSort O) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
  91 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
  92 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead (Bind Abst) x0 x1) H2) in
  93 (False_ind (eq T (THead (Flat Appl) (TSort O) (TSort O)) (THead (Bind Abbr)
  94 (TSort O) x3)) H7)) t2 H6)))))))))) H1)) (\lambda (H1: (ex6_6 B T T T T T
  95 (\lambda (b: B).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_:
  96 T).(\lambda (_: T).(not (eq B b Abst)))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (y1:
  97 T).(\lambda (z1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(eq T
  98 (TSort O) (THead (Bind b) y1 z1)))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_:
  99 T).(\lambda (_: T).(\lambda (z2: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (y2: T).(eq T
 100 t2 (THead (Bind b) y2 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O u2) z2)))))))))
 101 (\lambda (_: B).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2:
 102 T).(\lambda (_: T).(pr2 (CSort O) (TSort O) u2))))))) (\lambda (_:
 103 B).(\lambda (y1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda
 104 (y2: T).(pr2 (CSort O) y1 y2))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_: T).(\lambda
 105 (z1: T).(\lambda (z2: T).(\lambda (_: T).(\lambda (y2: T).(pr2 (CHead (CSort
 106 O) (Bind b) y2) z1 z2))))))))).(ex6_6_ind B T T T T T (\lambda (b:
 107 B).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda
 108 (_: T).(not (eq B b Abst)))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (y1: T).(\lambda
 109 (z1: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(eq T (TSort O)
 110 (THead (Bind b) y1 z1)))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_: T).(\lambda (_:
 111 T).(\lambda (z2: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (y2: T).(eq T t2 (THead (Bind
 112 b) y2 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O u2) z2))))))))) (\lambda (_:
 113 B).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (u2: T).(\lambda
 114 (_: T).(pr2 (CSort O) (TSort O) u2))))))) (\lambda (_: B).(\lambda (y1:
 115 T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (_: T).(\lambda (y2: T).(pr2
 116 (CSort O) y1 y2))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (_: T).(\lambda (z1:
 117 T).(\lambda (z2: T).(\lambda (_: T).(\lambda (y2: T).(pr2 (CHead (CSort O)
 118 (Bind b) y2) z1 z2))))))) (eq T (THead (Flat Appl) (TSort O) (TSort O)) t2)
 119 (\lambda (x0: B).(\lambda (x1: T).(\lambda (x2: T).(\lambda (x3: T).(\lambda
 120 (x4: T).(\lambda (x5: T).(\lambda (_: (not (eq B x0 Abst))).(\lambda (H3: (eq
 121 T (TSort O) (THead (Bind x0) x1 x2))).(\lambda (H4: (eq T t2 (THead (Bind x0)
 122 x5 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O x4) x3)))).(\lambda (H5: (pr2 (CSort O)
 123 (TSort O) x4)).(\lambda (H6: (pr2 (CSort O) x1 x5)).(\lambda (_: (pr2 (CHead
 124 (CSort O) (Bind x0) x5) x2 x3)).(let H_y \def (pr2_gen_csort x1 x5 O H6) in
 125 (let H8 \def (eq_ind T x4 (\lambda (t: T).(eq T t2 (THead (Bind x0) x5 (THead
 126 (Flat Appl) (lift (S O) O t) x3)))) H4 (TSort O) (pr2_gen_sort (CSort O) x4 O
 127 H5)) in (eq_ind_r T (THead (Bind x0) x5 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O
 128 (TSort O)) x3)) (\lambda (t: T).(eq T (THead (Flat Appl) (TSort O) (TSort O))
 129 t)) (let H9 \def (eq_ind T (TSort O) (\lambda (ee: T).(match ee in T return
 130 (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _)
 131 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead (Bind x0) x1
 132 x2) H3) in (False_ind (eq T (THead (Flat Appl) (TSort O) (TSort O)) (THead
 133 (Bind x0) x5 (THead (Flat Appl) (lift (S O) O (TSort O)) x3))) H9)) t2
 134 H8))))))))))))))) H1)) H0))).
 135
 136 theorem ex2_arity:
 137  \forall (g: G).(\forall (a: A).((arity g ex2_c ex2_t a) \to (\forall (P:
 138 Prop).P)))
 139 \def
 140  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(\lambda (H: (arity g (CSort O) (THead (Flat
 141 Appl) (TSort O) (TSort O)) a)).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
 142 (arity_gen_appl g (CSort O) (TSort O) (TSort O) a H) in (ex2_ind A (\lambda
 143 (a1: A).(arity g (CSort O) (TSort O) a1)) (\lambda (a1: A).(arity g (CSort O)
 144 (TSort O) (AHead a1 a))) P (\lambda (x: A).(\lambda (_: (arity g (CSort O)
 145 (TSort O) x)).(\lambda (H2: (arity g (CSort O) (TSort O) (AHead x a))).(let
 146 H3 \def (match (arity_gen_sort g (CSort O) O (AHead x a) H2) in leq return
 147 (\lambda (a0: A).(\lambda (a1: A).(\lambda (_: (leq ? a0 a1)).((eq A a0
 148 (AHead x a)) \to ((eq A a1 (ASort O O)) \to P))))) with [(leq_sort h1 h2 n1
 149 n2 k H3) \Rightarrow (\lambda (H4: (eq A (ASort h1 n1) (AHead x a))).(\lambda
 150 (H5: (eq A (ASort h2 n2) (ASort O O))).((let H6 \def (eq_ind A (ASort h1 n1)
 151 (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _)
 152 \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead x a) H4) in
 153 (False_ind ((eq A (ASort h2 n2) (ASort O O)) \to ((eq A (aplus g (ASort h1
 154 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to P)) H6)) H5 H3))) | (leq_head a1 a2 H3
 155 a3 a4 H4) \Rightarrow (\lambda (H5: (eq A (AHead a1 a3) (AHead x
 156 a))).(\lambda (H6: (eq A (AHead a2 a4) (ASort O O))).((let H7 \def (f_equal A
 157 A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 158 \Rightarrow a3 | (AHead _ a0) \Rightarrow a0])) (AHead a1 a3) (AHead x a) H5)
 159 in ((let H8 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 160 (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a1 | (AHead a0 _) \Rightarrow a0]))
 161 (AHead a1 a3) (AHead x a) H5) in (eq_ind A x (\lambda (a0: A).((eq A a3 a)
 162 \to ((eq A (AHead a2 a4) (ASort O O)) \to ((leq g a0 a2) \to ((leq g a3 a4)
 163 \to P))))) (\lambda (H9: (eq A a3 a)).(eq_ind A a (\lambda (a0: A).((eq A
 164 (AHead a2 a4) (ASort O O)) \to ((leq g x a2) \to ((leq g a0 a4) \to P))))
 165 (\lambda (H10: (eq A (AHead a2 a4) (ASort O O))).(let H11 \def (eq_ind A
 166 (AHead a2 a4) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop) with
 167 [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow True])) I (ASort O
 168 O) H10) in (False_ind ((leq g x a2) \to ((leq g a a4) \to P)) H11))) a3
 169 (sym_eq A a3 a H9))) a1 (sym_eq A a1 x H8))) H7)) H6 H3 H4)))]) in (H3
 170 (refl_equal A (AHead x a)) (refl_equal A (ASort O O))))))) H0))))).
 171