matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/leq/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/leq/fwd".
  18
  19 include "leq/defs.ma".
  20
  21 theorem leq_gen_sort:
  22  \forall (g: G).(\forall (h1: nat).(\forall (n1: nat).(\forall (a2: A).((leq
  23 g (ASort h1 n1) a2) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
  24 nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2 (ASort h2 n2))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda
  25 (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort
  26 h2 n2) k))))))))))
  27 \def
  28  \lambda (g: G).(\lambda (h1: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (a2:
  29 A).(\lambda (H: (leq g (ASort h1 n1) a2)).(let H0 \def (match H in leq return
  30 (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a (ASort
  31 h1 n1)) \to ((eq A a0 a2) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda
  32 (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2 (ASort h2 n2))))) (\lambda (n2:
  33 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k)
  34 (aplus g (ASort h2 n2) k))))))))))) with [(leq_sort h0 h2 n0 n2 k H0)
  35 \Rightarrow (\lambda (H1: (eq A (ASort h0 n0) (ASort h1 n1))).(\lambda (H2:
  36 (eq A (ASort h2 n2) a2)).((let H3 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match
  37 e in A return (\lambda (_: A).nat) with [(ASort _ n) \Rightarrow n | (AHead _
  38 _) \Rightarrow n0])) (ASort h0 n0) (ASort h1 n1) H1) in ((let H4 \def
  39 (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).nat) with
  40 [(ASort n _) \Rightarrow n | (AHead _ _) \Rightarrow h0])) (ASort h0 n0)
  41 (ASort h1 n1) H1) in (eq_ind nat h1 (\lambda (n: nat).((eq nat n0 n1) \to
  42 ((eq A (ASort h2 n2) a2) \to ((eq A (aplus g (ASort n n0) k) (aplus g (ASort
  43 h2 n2) k)) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3:
  44 nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2 (ASort h3 n3))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda
  45 (h3: nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k0) (aplus g (ASort
  46 h3 n3) k0)))))))))) (\lambda (H5: (eq nat n0 n1)).(eq_ind nat n1 (\lambda (n:
  47 nat).((eq A (ASort h2 n2) a2) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n) k) (aplus g
  48 (ASort h2 n2) k)) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3:
  49 nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2 (ASort h3 n3))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda
  50 (h3: nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k0) (aplus g (ASort
  51 h3 n3) k0))))))))) (\lambda (H6: (eq A (ASort h2 n2) a2)).(eq_ind A (ASort h2
  52 n2) (\lambda (a: A).((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  53 k)) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_:
  54 nat).(eq A a (ASort h3 n3))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda
  55 (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k0) (aplus g (ASort h3 n3) k0))))))))
  56 (\lambda (H7: (eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  57 k))).(ex2_3_intro nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda
  58 (_: nat).(eq A (ASort h2 n2) (ASort h3 n3))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda
  59 (h3: nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k0) (aplus g (ASort
  60 h3 n3) k0))))) n2 h2 k (refl_equal A (ASort h2 n2)) H7)) a2 H6)) n0 (sym_eq
  61 nat n0 n1 H5))) h0 (sym_eq nat h0 h1 H4))) H3)) H2 H0))) | (leq_head a1 a0 H0
  62 a3 a4 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (AHead a1 a3) (ASort h1
  63 n1))).(\lambda (H3: (eq A (AHead a0 a4) a2)).((let H4 \def (eq_ind A (AHead
  64 a1 a3) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop) with
  65 [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow True])) I (ASort h1
  66 n1) H2) in (False_ind ((eq A (AHead a0 a4) a2) \to ((leq g a1 a0) \to ((leq g
  67 a3 a4) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda
  68 (_: nat).(eq A a2 (ASort h2 n2))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
  69 nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  70 k))))))))) H4)) H3 H0 H1)))]) in (H0 (refl_equal A (ASort h1 n1)) (refl_equal
  71 A a2))))))).
  72
  73 theorem leq_gen_head:
  74  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a: A).((leq g
  75 (AHead a1 a2) a) \to (ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A a
  76 (AHead a3 a4)))) (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3))) (\lambda
  77 (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))))))))
  78 \def
  79  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a: A).(\lambda
  80 (H: (leq g (AHead a1 a2) a)).(let H0 \def (match H in leq return (\lambda
  81 (a0: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (_: (leq ? a0 a3)).((eq A a0 (AHead a1 a2))
  82 \to ((eq A a3 a) \to (ex3_2 A A (\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq A a
  83 (AHead a4 a5)))) (\lambda (a4: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a4))) (\lambda
  84 (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g a2 a5))))))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k
  85 H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq A (ASort h1 n1) (AHead a1 a2))).(\lambda
  86 (H2: (eq A (ASort h2 n2) a)).((let H3 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda
  87 (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _)
  88 \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead a1 a2) H1) in
  89 (False_ind ((eq A (ASort h2 n2) a) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k)
  90 (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (a4:
  91 A).(eq A a (AHead a3 a4)))) (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3)))
  92 (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4)))))) H3)) H2 H0))) | (leq_head
  93 a0 a3 H0 a4 a5 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (AHead a0 a4) (AHead a1
  94 a2))).(\lambda (H3: (eq A (AHead a3 a5) a)).((let H4 \def (f_equal A A
  95 (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
  96 \Rightarrow a4 | (AHead _ a6) \Rightarrow a6])) (AHead a0 a4) (AHead a1 a2)
  97 H2) in ((let H5 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return
  98 (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a6 _)
  99 \Rightarrow a6])) (AHead a0 a4) (AHead a1 a2) H2) in (eq_ind A a1 (\lambda
 100 (a6: A).((eq A a4 a2) \to ((eq A (AHead a3 a5) a) \to ((leq g a6 a3) \to
 101 ((leq g a4 a5) \to (ex3_2 A A (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A a
 102 (AHead a7 a8)))) (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a7))) (\lambda
 103 (_: A).(\lambda (a8: A).(leq g a2 a8))))))))) (\lambda (H6: (eq A a4
 104 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a6: A).((eq A (AHead a3 a5) a) \to ((leq g a1 a3)
 105 \to ((leq g a6 a5) \to (ex3_2 A A (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A a
 106 (AHead a7 a8)))) (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a7))) (\lambda
 107 (_: A).(\lambda (a8: A).(leq g a2 a8)))))))) (\lambda (H7: (eq A (AHead a3
 108 a5) a)).(eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda (a6: A).((leq g a1 a3) \to ((leq g
 109 a2 a5) \to (ex3_2 A A (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A a6 (AHead a7
 110 a8)))) (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a7))) (\lambda (_:
 111 A).(\lambda (a8: A).(leq g a2 a8))))))) (\lambda (H8: (leq g a1 a3)).(\lambda
 112 (H9: (leq g a2 a5)).(ex3_2_intro A A (\lambda (a6: A).(\lambda (a7: A).(eq A
 113 (AHead a3 a5) (AHead a6 a7)))) (\lambda (a6: A).(\lambda (_: A).(leq g a1
 114 a6))) (\lambda (_: A).(\lambda (a7: A).(leq g a2 a7))) a3 a5 (refl_equal A
 115 (AHead a3 a5)) H8 H9))) a H7)) a4 (sym_eq A a4 a2 H6))) a0 (sym_eq A a0 a1
 116 H5))) H4)) H3 H0 H1)))]) in (H0 (refl_equal A (AHead a1 a2)) (refl_equal A
 117 a))))))).
 118