matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/leq/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/leq/defs.ma".
  18
  19 theorem leq_gen_sort1:
  20  \forall (g: G).(\forall (h1: nat).(\forall (n1: nat).(\forall (a2: A).((leq
  21 g (ASort h1 n1) a2) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
  22 nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  23 k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2
  24 (ASort h2 n2))))))))))
  25 \def
  26  \lambda (g: G).(\lambda (h1: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (a2:
  27 A).(\lambda (H: (leq g (ASort h1 n1) a2)).(insert_eq A (ASort h1 n1) (\lambda
  28 (a: A).(leq g a a2)) (\lambda (a: A).(ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2:
  29 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g a k) (aplus g (ASort
  30 h2 n2) k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A
  31 a2 (ASort h2 n2))))))) (\lambda (y: A).(\lambda (H0: (leq g y a2)).(leq_ind g
  32 (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).((eq A a (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat nat
  33 nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g a
  34 k) (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
  35 nat).(\lambda (_: nat).(eq A a0 (ASort h2 n2))))))))) (\lambda (h0:
  36 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k:
  37 nat).(\lambda (H1: (eq A (aplus g (ASort h0 n0) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  38 k))).(\lambda (H2: (eq A (ASort h0 n0) (ASort h1 n1))).(let H3 \def (f_equal
  39 A nat (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).nat) with [(ASort
  40 n _) \Rightarrow n | (AHead _ _) \Rightarrow h0])) (ASort h0 n0) (ASort h1
  41 n1) H2) in ((let H4 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e in A return
  42 (\lambda (_: A).nat) with [(ASort _ n) \Rightarrow n | (AHead _ _)
  43 \Rightarrow n0])) (ASort h0 n0) (ASort h1 n1) H2) in (\lambda (H5: (eq nat h0
  44 h1)).(let H6 \def (eq_ind nat n0 (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h0
  45 n) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))) H1 n1 H4) in (eq_ind_r nat n1 (\lambda (n:
  46 nat).(ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (k0:
  47 nat).(eq A (aplus g (ASort h0 n) k0) (aplus g (ASort h3 n3) k0))))) (\lambda
  48 (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort h2 n2) (ASort h3
  49 n3))))))) (let H7 \def (eq_ind nat h0 (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort
  50 n n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))) H6 h1 H5) in (eq_ind_r nat h1 (\lambda
  51 (n: nat).(ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda
  52 (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort n n1) k0) (aplus g (ASort h3 n3) k0)))))
  53 (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort h2 n2)
  54 (ASort h3 n3))))))) (ex2_3_intro nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3:
  55 nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) k0) (aplus g (ASort h3
  56 n3) k0))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A
  57 (ASort h2 n2) (ASort h3 n3))))) n2 h2 k H7 (refl_equal A (ASort h2 n2))) h0
  58 H5)) n0 H4)))) H3))))))))) (\lambda (a1: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (_:
  59 (leq g a1 a3)).(\lambda (_: (((eq A a1 (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat nat nat
  60 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g a1 k)
  61 (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda
  62 (_: nat).(eq A a3 (ASort h2 n2))))))))).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5:
  63 A).(\lambda (_: (leq g a4 a5)).(\lambda (_: (((eq A a4 (ASort h1 n1)) \to
  64 (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k:
  65 nat).(eq A (aplus g a4 k) (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda (n2:
  66 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a5 (ASort h2
  67 n2))))))))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a1 a4) (ASort h1 n1))).(let H6 \def
  68 (eq_ind A (AHead a1 a4) (\lambda (ee: A).(match ee in A return (\lambda (_:
  69 A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow
  70 True])) I (ASort h1 n1) H5) in (False_ind (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2:
  71 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (AHead a1 a4) k)
  72 (aplus g (ASort h2 n2) k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda
  73 (_: nat).(eq A (AHead a3 a5) (ASort h2 n2)))))) H6))))))))))) y a2 H0)))
  74 H))))).
  75
  76 theorem leq_gen_head1:
  77  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a: A).((leq g
  78 (AHead a1 a2) a) \to (ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a1
  79 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3:
  80 A).(\lambda (a4: A).(eq A a (AHead a3 a4)))))))))
  81 \def
  82  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a: A).(\lambda
  83 (H: (leq g (AHead a1 a2) a)).(insert_eq A (AHead a1 a2) (\lambda (a0: A).(leq
  84 g a0 a)) (\lambda (_: A).(ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g
  85 a1 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3:
  86 A).(\lambda (a4: A).(eq A a (AHead a3 a4)))))) (\lambda (y: A).(\lambda (H0:
  87 (leq g y a)).(leq_ind g (\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).((eq A a0 (AHead a1
  88 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a4: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a4))) (\lambda
  89 (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g a2 a5))) (\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq
  90 A a3 (AHead a4 a5)))))))) (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1:
  91 nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (_: (eq A (aplus g (ASort
  92 h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(\lambda (H2: (eq A (ASort h1 n1)
  93 (AHead a1 a2))).(let H3 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda (ee: A).(match
  94 ee in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True |
  95 (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead a1 a2) H2) in (False_ind (ex3_2 A A
  96 (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda
  97 (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort h2 n2)
  98 (AHead a3 a4))))) H3))))))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (H1:
  99 (leq g a0 a3)).(\lambda (H2: (((eq A a0 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A
 100 (\lambda (a4: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a4))) (\lambda (_: A).(\lambda
 101 (a5: A).(leq g a2 a5))) (\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq A a3 (AHead a4
 102 a5)))))))).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(\lambda (H3: (leq g a4
 103 a5)).(\lambda (H4: (((eq A a4 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a6:
 104 A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a6))) (\lambda (_: A).(\lambda (a7: A).(leq g a2
 105 a7))) (\lambda (a6: A).(\lambda (a7: A).(eq A a5 (AHead a6
 106 a7)))))))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a0 a4) (AHead a1 a2))).(let H6 \def
 107 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
 108 [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a6 _) \Rightarrow a6])) (AHead a0 a4)
 109 (AHead a1 a2) H5) in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
 110 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a6)
 111 \Rightarrow a6])) (AHead a0 a4) (AHead a1 a2) H5) in (\lambda (H8: (eq A a0
 112 a1)).(let H9 \def (eq_ind A a4 (\lambda (a6: A).((eq A a6 (AHead a1 a2)) \to
 113 (ex3_2 A A (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a7))) (\lambda (_:
 114 A).(\lambda (a8: A).(leq g a2 a8))) (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A
 115 a5 (AHead a7 a8))))))) H4 a2 H7) in (let H10 \def (eq_ind A a4 (\lambda (a6:
 116 A).(leq g a6 a5)) H3 a2 H7) in (let H11 \def (eq_ind A a0 (\lambda (a6:
 117 A).((eq A a6 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a7: A).(\lambda (_:
 118 A).(leq g a1 a7))) (\lambda (_: A).(\lambda (a8: A).(leq g a2 a8))) (\lambda
 119 (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A a3 (AHead a7 a8))))))) H2 a1 H8) in (let H12
 120 \def (eq_ind A a0 (\lambda (a6: A).(leq g a6 a3)) H1 a1 H8) in (ex3_2_intro A
 121 A (\lambda (a6: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a6))) (\lambda (_: A).(\lambda
 122 (a7: A).(leq g a2 a7))) (\lambda (a6: A).(\lambda (a7: A).(eq A (AHead a3 a5)
 123 (AHead a6 a7)))) a3 a5 H12 H10 (refl_equal A (AHead a3 a5)))))))))
 124 H6))))))))))) y a H0))) H))))).
 125
 126 theorem leq_gen_sort2:
 127  \forall (g: G).(\forall (h1: nat).(\forall (n1: nat).(\forall (a2: A).((leq
 128 g a2 (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
 129 nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k) (aplus g (ASort h1 n1)
 130 k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a2
 131 (ASort h2 n2))))))))))
 132 \def
 133  \lambda (g: G).(\lambda (h1: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (a2:
 134 A).(\lambda (H: (leq g a2 (ASort h1 n1))).(insert_eq A (ASort h1 n1) (\lambda
 135 (a: A).(leq g a2 a)) (\lambda (a: A).(ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2:
 136 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k)
 137 (aplus g a k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq
 138 A a2 (ASort h2 n2))))))) (\lambda (y: A).(\lambda (H0: (leq g a2 y)).(leq_ind
 139 g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).((eq A a0 (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat
 140 nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus
 141 g (ASort h2 n2) k) (aplus g a0 k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2:
 142 nat).(\lambda (_: nat).(eq A a (ASort h2 n2))))))))) (\lambda (h0:
 143 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k:
 144 nat).(\lambda (H1: (eq A (aplus g (ASort h0 n0) k) (aplus g (ASort h2 n2)
 145 k))).(\lambda (H2: (eq A (ASort h2 n2) (ASort h1 n1))).(let H3 \def (f_equal
 146 A nat (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).nat) with [(ASort
 147 n _) \Rightarrow n | (AHead _ _) \Rightarrow h2])) (ASort h2 n2) (ASort h1
 148 n1) H2) in ((let H4 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e in A return
 149 (\lambda (_: A).nat) with [(ASort _ n) \Rightarrow n | (AHead _ _)
 150 \Rightarrow n2])) (ASort h2 n2) (ASort h1 n1) H2) in (\lambda (H5: (eq nat h2
 151 h1)).(let H6 \def (eq_ind nat n2 (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h0
 152 n0) k) (aplus g (ASort h2 n) k))) H1 n1 H4) in (eq_ind_r nat n1 (\lambda (n:
 153 nat).(ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (k0:
 154 nat).(eq A (aplus g (ASort h3 n3) k0) (aplus g (ASort h2 n) k0))))) (\lambda
 155 (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort h0 n0) (ASort h3
 156 n3))))))) (let H7 \def (eq_ind nat h2 (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort
 157 h0 n0) k) (aplus g (ASort n n1) k))) H6 h1 H5) in (eq_ind_r nat h1 (\lambda
 158 (n: nat).(ex2_3 nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda
 159 (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h3 n3) k0) (aplus g (ASort n n1) k0)))))
 160 (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A (ASort h0 n0)
 161 (ASort h3 n3))))))) (ex2_3_intro nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3:
 162 nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h3 n3) k0) (aplus g (ASort h1
 163 n1) k0))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A
 164 (ASort h0 n0) (ASort h3 n3))))) n0 h0 k H7 (refl_equal A (ASort h0 n0))) h2
 165 H5)) n2 H4)))) H3))))))))) (\lambda (a1: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (_:
 166 (leq g a1 a3)).(\lambda (_: (((eq A a3 (ASort h1 n1)) \to (ex2_3 nat nat nat
 167 (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort
 168 h2 n2) k) (aplus g a3 k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda
 169 (_: nat).(eq A a1 (ASort h2 n2))))))))).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5:
 170 A).(\lambda (_: (leq g a4 a5)).(\lambda (_: (((eq A a5 (ASort h1 n1)) \to
 171 (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k:
 172 nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k) (aplus g a5 k))))) (\lambda (n2:
 173 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a4 (ASort h2
 174 n2))))))))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a3 a5) (ASort h1 n1))).(let H6 \def
 175 (eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda (ee: A).(match ee in A return (\lambda (_:
 176 A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow
 177 True])) I (ASort h1 n1) H5) in (False_ind (ex2_3 nat nat nat (\lambda (n2:
 178 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (k: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k)
 179 (aplus g (AHead a3 a5) k))))) (\lambda (n2: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda
 180 (_: nat).(eq A (AHead a1 a4) (ASort h2 n2)))))) H6))))))))))) a2 y H0)))
 181 H))))).
 182
 183 theorem leq_gen_head2:
 184  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a: A).((leq g a
 185 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a3
 186 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a4 a2))) (\lambda (a3:
 187 A).(\lambda (a4: A).(eq A a (AHead a3 a4)))))))))
 188 \def
 189  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a: A).(\lambda
 190 (H: (leq g a (AHead a1 a2))).(insert_eq A (AHead a1 a2) (\lambda (a0: A).(leq
 191 g a a0)) (\lambda (_: A).(ex3_2 A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g
 192 a3 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a4 a2))) (\lambda (a3:
 193 A).(\lambda (a4: A).(eq A a (AHead a3 a4)))))) (\lambda (y: A).(\lambda (H0:
 194 (leq g a y)).(leq_ind g (\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).((eq A a3 (AHead a1
 195 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a4: A).(\lambda (_: A).(leq g a4 a1))) (\lambda
 196 (_: A).(\lambda (a5: A).(leq g a5 a2))) (\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq
 197 A a0 (AHead a4 a5)))))))) (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1:
 198 nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (_: (eq A (aplus g (ASort
 199 h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(\lambda (H2: (eq A (ASort h2 n2)
 200 (AHead a1 a2))).(let H3 \def (eq_ind A (ASort h2 n2) (\lambda (ee: A).(match
 201 ee in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True |
 202 (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead a1 a2) H2) in (False_ind (ex3_2 A A
 203 (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a3 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda
 204 (a4: A).(leq g a4 a2))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort h1 n1)
 205 (AHead a3 a4))))) H3))))))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (H1:
 206 (leq g a0 a3)).(\lambda (H2: (((eq A a3 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A
 207 (\lambda (a4: A).(\lambda (_: A).(leq g a4 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda
 208 (a5: A).(leq g a5 a2))) (\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(eq A a0 (AHead a4
 209 a5)))))))).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(\lambda (H3: (leq g a4
 210 a5)).(\lambda (H4: (((eq A a5 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a6:
 211 A).(\lambda (_: A).(leq g a6 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a7: A).(leq g a7
 212 a2))) (\lambda (a6: A).(\lambda (a7: A).(eq A a4 (AHead a6
 213 a7)))))))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a3 a5) (AHead a1 a2))).(let H6 \def
 214 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
 215 [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a6 _) \Rightarrow a6])) (AHead a3 a5)
 216 (AHead a1 a2) H5) in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
 217 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a5 | (AHead _ a6)
 218 \Rightarrow a6])) (AHead a3 a5) (AHead a1 a2) H5) in (\lambda (H8: (eq A a3
 219 a1)).(let H9 \def (eq_ind A a5 (\lambda (a6: A).((eq A a6 (AHead a1 a2)) \to
 220 (ex3_2 A A (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a7 a1))) (\lambda (_:
 221 A).(\lambda (a8: A).(leq g a8 a2))) (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A
 222 a4 (AHead a7 a8))))))) H4 a2 H7) in (let H10 \def (eq_ind A a5 (\lambda (a6:
 223 A).(leq g a4 a6)) H3 a2 H7) in (let H11 \def (eq_ind A a3 (\lambda (a6:
 224 A).((eq A a6 (AHead a1 a2)) \to (ex3_2 A A (\lambda (a7: A).(\lambda (_:
 225 A).(leq g a7 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda (a8: A).(leq g a8 a2))) (\lambda
 226 (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A a0 (AHead a7 a8))))))) H2 a1 H8) in (let H12
 227 \def (eq_ind A a3 (\lambda (a6: A).(leq g a0 a6)) H1 a1 H8) in (ex3_2_intro A
 228 A (\lambda (a6: A).(\lambda (_: A).(leq g a6 a1))) (\lambda (_: A).(\lambda
 229 (a7: A).(leq g a7 a2))) (\lambda (a6: A).(\lambda (a7: A).(eq A (AHead a0 a4)
 230 (AHead a6 a7)))) a0 a4 H12 H10 (refl_equal A (AHead a0 a4)))))))))
 231 H6))))))))))) a y H0))) H))))).
 232