matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/leq/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/leq/props".
  18
  19 include "leq/defs.ma".
  20
  21 include "aplus/props.ma".
  22
  23 theorem ahead_inj_snd:
  24  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a3: A).(\forall
  25 (a4: A).((leq g (AHead a1 a2) (AHead a3 a4)) \to (leq g a2 a4))))))
  26 \def
  27  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a3: A).(\lambda
  28 (a4: A).(\lambda (H: (leq g (AHead a1 a2) (AHead a3 a4))).(let H0 \def (match
  29 H in leq return (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a
  30 a0)).((eq A a (AHead a1 a2)) \to ((eq A a0 (AHead a3 a4)) \to (leq g a2
  31 a4)))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k H0) \Rightarrow (\lambda (H1: (eq A
  32 (ASort h1 n1) (AHead a1 a2))).(\lambda (H2: (eq A (ASort h2 n2) (AHead a3
  33 a4))).((let H3 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda (e: A).(match e in A
  34 return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _)
  35 \Rightarrow False])) I (AHead a1 a2) H1) in (False_ind ((eq A (ASort h2 n2)
  36 (AHead a3 a4)) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  37 k)) \to (leq g a2 a4))) H3)) H2 H0))) | (leq_head a0 a5 H0 a6 a7 H1)
  38 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (AHead a0 a6) (AHead a1 a2))).(\lambda (H3:
  39 (eq A (AHead a5 a7) (AHead a3 a4))).((let H4 \def (f_equal A A (\lambda (e:
  40 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a6 |
  41 (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a0 a6) (AHead a1 a2) H2) in ((let H5 \def
  42 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
  43 [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a0 a6)
  44 (AHead a1 a2) H2) in (eq_ind A a1 (\lambda (a: A).((eq A a6 a2) \to ((eq A
  45 (AHead a5 a7) (AHead a3 a4)) \to ((leq g a a5) \to ((leq g a6 a7) \to (leq g
  46 a2 a4)))))) (\lambda (H6: (eq A a6 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a: A).((eq A
  47 (AHead a5 a7) (AHead a3 a4)) \to ((leq g a1 a5) \to ((leq g a a7) \to (leq g
  48 a2 a4))))) (\lambda (H7: (eq A (AHead a5 a7) (AHead a3 a4))).(let H8 \def
  49 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
  50 [(ASort _ _) \Rightarrow a7 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a5 a7)
  51 (AHead a3 a4) H7) in ((let H9 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
  52 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a5 | (AHead a _)
  53 \Rightarrow a])) (AHead a5 a7) (AHead a3 a4) H7) in (eq_ind A a3 (\lambda (a:
  54 A).((eq A a7 a4) \to ((leq g a1 a) \to ((leq g a2 a7) \to (leq g a2 a4)))))
  55 (\lambda (H10: (eq A a7 a4)).(eq_ind A a4 (\lambda (a: A).((leq g a1 a3) \to
  56 ((leq g a2 a) \to (leq g a2 a4)))) (\lambda (_: (leq g a1 a3)).(\lambda (H12:
  57 (leq g a2 a4)).H12)) a7 (sym_eq A a7 a4 H10))) a5 (sym_eq A a5 a3 H9))) H8)))
  58 a6 (sym_eq A a6 a2 H6))) a0 (sym_eq A a0 a1 H5))) H4)) H3 H0 H1)))]) in (H0
  59 (refl_equal A (AHead a1 a2)) (refl_equal A (AHead a3 a4))))))))).
  60
  61 theorem leq_refl:
  62  \forall (g: G).(\forall (a: A).(leq g a a))
  63 \def
  64  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).(leq g a0 a0))
  65 (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(leq_sort g n n n0 n0 O (refl_equal A
  66 (aplus g (ASort n n0) O))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (H: (leq g a0
  67 a0)).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (leq g a1 a1)).(leq_head g a0 a0 H a1 a1
  68 H0))))) a)).
  69
  70 theorem leq_eq:
  71  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((eq A a1 a2) \to (leq g a1
  72 a2))))
  73 \def
  74  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (eq A a1
  75 a2)).(eq_ind_r A a2 (\lambda (a: A).(leq g a a2)) (leq_refl g a2) a1 H)))).
  76
  77 theorem leq_sym:
  78  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (leq g
  79 a2 a1))))
  80 \def
  81  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  82 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(leq g a0 a))) (\lambda (h1:
  83 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k:
  84 nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  85 k))).(leq_sort g h2 h1 n2 n1 k (sym_eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
  86 (ASort h2 n2) k) H0)))))))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_:
  87 (leq g a3 a4)).(\lambda (H1: (leq g a4 a3)).(\lambda (a5: A).(\lambda (a6:
  88 A).(\lambda (_: (leq g a5 a6)).(\lambda (H3: (leq g a6 a5)).(leq_head g a4 a3
  89 H1 a6 a5 H3))))))))) a1 a2 H)))).
  90
  91 theorem leq_trans:
  92  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (\forall
  93 (a3: A).((leq g a2 a3) \to (leq g a1 a3))))))
  94 \def
  95  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  96 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\forall (a3: A).((leq g a0
  97 a3) \to (leq g a a3))))) (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1:
  98 nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort
  99 h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(\lambda (a3: A).(\lambda (H1: (leq g
 100 (ASort h2 n2) a3)).(let H2 \def (match H1 in leq return (\lambda (a:
 101 A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a (ASort h2 n2)) \to
 102 ((eq A a0 a3) \to (leq g (ASort h1 n1) a3)))))) with [(leq_sort h0 h3 n0 n3
 103 k0 H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A (ASort h0 n0) (ASort h2 n2))).(\lambda
 104 (H4: (eq A (ASort h3 n3) a3)).((let H5 \def (f_equal A nat (\lambda (e:
 105 A).(match e in A return (\lambda (_: A).nat) with [(ASort _ n) \Rightarrow n
 106 | (AHead _ _) \Rightarrow n0])) (ASort h0 n0) (ASort h2 n2) H3) in ((let H6
 107 \def (f_equal A nat (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).nat)
 108 with [(ASort n _) \Rightarrow n | (AHead _ _) \Rightarrow h0])) (ASort h0 n0)
 109 (ASort h2 n2) H3) in (eq_ind nat h2 (\lambda (n: nat).((eq nat n0 n2) \to
 110 ((eq A (ASort h3 n3) a3) \to ((eq A (aplus g (ASort n n0) k0) (aplus g (ASort
 111 h3 n3) k0)) \to (leq g (ASort h1 n1) a3))))) (\lambda (H7: (eq nat n0
 112 n2)).(eq_ind nat n2 (\lambda (n: nat).((eq A (ASort h3 n3) a3) \to ((eq A
 113 (aplus g (ASort h2 n) k0) (aplus g (ASort h3 n3) k0)) \to (leq g (ASort h1
 114 n1) a3)))) (\lambda (H8: (eq A (ASort h3 n3) a3)).(eq_ind A (ASort h3 n3)
 115 (\lambda (a: A).((eq A (aplus g (ASort h2 n2) k0) (aplus g (ASort h3 n3) k0))
 116 \to (leq g (ASort h1 n1) a))) (\lambda (H9: (eq A (aplus g (ASort h2 n2) k0)
 117 (aplus g (ASort h3 n3) k0))).(lt_le_e k k0 (leq g (ASort h1 n1) (ASort h3
 118 n3)) (\lambda (H10: (lt k k0)).(let H_y \def (aplus_reg_r g (ASort h1 n1)
 119 (ASort h2 n2) k k H0 (minus k0 k)) in (let H11 \def (eq_ind_r nat (plus
 120 (minus k0 k) k) (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) n) (aplus g
 121 (ASort h2 n2) n))) H_y k0 (le_plus_minus_sym k k0 (le_trans k (S k) k0 (le_S
 122 k k (le_n k)) H10))) in (leq_sort g h1 h3 n1 n3 k0 (trans_eq A (aplus g
 123 (ASort h1 n1) k0) (aplus g (ASort h2 n2) k0) (aplus g (ASort h3 n3) k0) H11
 124 H9))))) (\lambda (H10: (le k0 k)).(let H_y \def (aplus_reg_r g (ASort h2 n2)
 125 (ASort h3 n3) k0 k0 H9 (minus k k0)) in (let H11 \def (eq_ind_r nat (plus
 126 (minus k k0) k0) (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) n) (aplus g
 127 (ASort h3 n3) n))) H_y k (le_plus_minus_sym k0 k H10)) in (leq_sort g h1 h3
 128 n1 n3 k (trans_eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)
 129 (aplus g (ASort h3 n3) k) H0 H11))))))) a3 H8)) n0 (sym_eq nat n0 n2 H7))) h0
 130 (sym_eq nat h0 h2 H6))) H5)) H4 H2))) | (leq_head a0 a4 H2 a5 a6 H3)
 131 \Rightarrow (\lambda (H4: (eq A (AHead a0 a5) (ASort h2 n2))).(\lambda (H5:
 132 (eq A (AHead a4 a6) a3)).((let H6 \def (eq_ind A (AHead a0 a5) (\lambda (e:
 133 A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow
 134 False | (AHead _ _) \Rightarrow True])) I (ASort h2 n2) H4) in (False_ind
 135 ((eq A (AHead a4 a6) a3) \to ((leq g a0 a4) \to ((leq g a5 a6) \to (leq g
 136 (ASort h1 n1) a3)))) H6)) H5 H2 H3)))]) in (H2 (refl_equal A (ASort h2 n2))
 137 (refl_equal A a3))))))))))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_:
 138 (leq g a3 a4)).(\lambda (H1: ((\forall (a5: A).((leq g a4 a5) \to (leq g a3
 139 a5))))).(\lambda (a5: A).(\lambda (a6: A).(\lambda (_: (leq g a5
 140 a6)).(\lambda (H3: ((\forall (a7: A).((leq g a6 a7) \to (leq g a5
 141 a7))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H4: (leq g (AHead a4 a6) a0)).(let H5 \def
 142 (match H4 in leq return (\lambda (a: A).(\lambda (a7: A).(\lambda (_: (leq ?
 143 a a7)).((eq A a (AHead a4 a6)) \to ((eq A a7 a0) \to (leq g (AHead a3 a5)
 144 a0)))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k H5) \Rightarrow (\lambda (H6: (eq A
 145 (ASort h1 n1) (AHead a4 a6))).(\lambda (H7: (eq A (ASort h2 n2) a0)).((let H8
 146 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 147 (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow
 148 False])) I (AHead a4 a6) H6) in (False_ind ((eq A (ASort h2 n2) a0) \to ((eq
 149 A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to (leq g (AHead a3
 150 a5) a0))) H8)) H7 H5))) | (leq_head a7 a8 H5 a9 a10 H6) \Rightarrow (\lambda
 151 (H7: (eq A (AHead a7 a9) (AHead a4 a6))).(\lambda (H8: (eq A (AHead a8 a10)
 152 a0)).((let H9 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 153 (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a9 | (AHead _ a) \Rightarrow a]))
 154 (AHead a7 a9) (AHead a4 a6) H7) in ((let H10 \def (f_equal A A (\lambda (e:
 155 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a7 |
 156 (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a7 a9) (AHead a4 a6) H7) in (eq_ind A a4
 157 (\lambda (a: A).((eq A a9 a6) \to ((eq A (AHead a8 a10) a0) \to ((leq g a a8)
 158 \to ((leq g a9 a10) \to (leq g (AHead a3 a5) a0)))))) (\lambda (H11: (eq A a9
 159 a6)).(eq_ind A a6 (\lambda (a: A).((eq A (AHead a8 a10) a0) \to ((leq g a4
 160 a8) \to ((leq g a a10) \to (leq g (AHead a3 a5) a0))))) (\lambda (H12: (eq A
 161 (AHead a8 a10) a0)).(eq_ind A (AHead a8 a10) (\lambda (a: A).((leq g a4 a8)
 162 \to ((leq g a6 a10) \to (leq g (AHead a3 a5) a)))) (\lambda (H13: (leq g a4
 163 a8)).(\lambda (H14: (leq g a6 a10)).(leq_head g a3 a8 (H1 a8 H13) a5 a10 (H3
 164 a10 H14)))) a0 H12)) a9 (sym_eq A a9 a6 H11))) a7 (sym_eq A a7 a4 H10))) H9))
 165 H8 H5 H6)))]) in (H5 (refl_equal A (AHead a4 a6)) (refl_equal A
 166 a0))))))))))))) a1 a2 H)))).
 167
 168 theorem leq_ahead_false_1:
 169  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g (AHead a1 a2) a1)
 170 \to (\forall (P: Prop).P))))
 171 \def
 172  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a2:
 173 A).((leq g (AHead a a2) a) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 174 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g (AHead (ASort n
 175 n0) a2) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((leq g
 176 (AHead (ASort n1 n0) a2) (ASort n1 n0)) \to P)) (\lambda (H0: (leq g (AHead
 177 (ASort O n0) a2) (ASort O n0))).(let H1 \def (match H0 in leq return (\lambda
 178 (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a (AHead (ASort O
 179 n0) a2)) \to ((eq A a0 (ASort O n0)) \to P))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k
 180 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (ASort h1 n1) (AHead (ASort O n0)
 181 a2))).(\lambda (H3: (eq A (ASort h2 n2) (ASort O n0))).((let H4 \def (eq_ind
 182 A (ASort h1 n1) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop)
 183 with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I
 184 (AHead (ASort O n0) a2) H2) in (False_ind ((eq A (ASort h2 n2) (ASort O n0))
 185 \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to P)) H4))
 186 H3 H1))) | (leq_head a0 a3 H1 a4 a5 H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A
 187 (AHead a0 a4) (AHead (ASort O n0) a2))).(\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5)
 188 (ASort O n0))).((let H5 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
 189 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a)
 190 \Rightarrow a])) (AHead a0 a4) (AHead (ASort O n0) a2) H3) in ((let H6 \def
 191 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
 192 [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4)
 193 (AHead (ASort O n0) a2) H3) in (eq_ind A (ASort O n0) (\lambda (a: A).((eq A
 194 a4 a2) \to ((eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0)) \to ((leq g a a3) \to ((leq g
 195 a4 a5) \to P))))) (\lambda (H7: (eq A a4 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a:
 196 A).((eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0)) \to ((leq g (ASort O n0) a3) \to ((leq
 197 g a a5) \to P)))) (\lambda (H8: (eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0))).(let H9
 198 \def (eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 199 (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow
 200 True])) I (ASort O n0) H8) in (False_ind ((leq g (ASort O n0) a3) \to ((leq g
 201 a2 a5) \to P)) H9))) a4 (sym_eq A a4 a2 H7))) a0 (sym_eq A a0 (ASort O n0)
 202 H6))) H5)) H4 H1 H2)))]) in (H1 (refl_equal A (AHead (ASort O n0) a2))
 203 (refl_equal A (ASort O n0))))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((leq g
 204 (AHead (ASort n1 n0) a2) (ASort n1 n0)) \to P))).(\lambda (H0: (leq g (AHead
 205 (ASort (S n1) n0) a2) (ASort (S n1) n0))).(let H1 \def (match H0 in leq
 206 return (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a
 207 (AHead (ASort (S n1) n0) a2)) \to ((eq A a0 (ASort (S n1) n0)) \to P)))))
 208 with [(leq_sort h1 h2 n2 n3 k H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (ASort h1
 209 n2) (AHead (ASort (S n1) n0) a2))).(\lambda (H3: (eq A (ASort h2 n3) (ASort
 210 (S n1) n0))).((let H4 \def (eq_ind A (ASort h1 n2) (\lambda (e: A).(match e
 211 in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead
 212 _ _) \Rightarrow False])) I (AHead (ASort (S n1) n0) a2) H2) in (False_ind
 213 ((eq A (ASort h2 n3) (ASort (S n1) n0)) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n2) k)
 214 (aplus g (ASort h2 n3) k)) \to P)) H4)) H3 H1))) | (leq_head a0 a3 H1 a4 a5
 215 H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A (AHead a0 a4) (AHead (ASort (S n1) n0)
 216 a2))).(\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0))).((let H5 \def
 217 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
 218 [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4)
 219 (AHead (ASort (S n1) n0) a2) H3) in ((let H6 \def (f_equal A A (\lambda (e:
 220 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 |
 221 (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4) (AHead (ASort (S n1) n0) a2) H3)
 222 in (eq_ind A (ASort (S n1) n0) (\lambda (a: A).((eq A a4 a2) \to ((eq A
 223 (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0)) \to ((leq g a a3) \to ((leq g a4 a5) \to
 224 P))))) (\lambda (H7: (eq A a4 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a: A).((eq A (AHead
 225 a3 a5) (ASort (S n1) n0)) \to ((leq g (ASort (S n1) n0) a3) \to ((leq g a a5)
 226 \to P)))) (\lambda (H8: (eq A (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0))).(let H9 \def
 227 (eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_:
 228 A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow
 229 True])) I (ASort (S n1) n0) H8) in (False_ind ((leq g (ASort (S n1) n0) a3)
 230 \to ((leq g a2 a5) \to P)) H9))) a4 (sym_eq A a4 a2 H7))) a0 (sym_eq A a0
 231 (ASort (S n1) n0) H6))) H5)) H4 H1 H2)))]) in (H1 (refl_equal A (AHead (ASort
 232 (S n1) n0) a2)) (refl_equal A (ASort (S n1) n0))))))) n H)))))) (\lambda (a:
 233 A).(\lambda (H: ((\forall (a2: A).((leq g (AHead a a2) a) \to (\forall (P:
 234 Prop).P))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: ((\forall (a2: A).((leq g (AHead
 235 a0 a2) a0) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H1: (leq
 236 g (AHead (AHead a a0) a2) (AHead a a0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def
 237 (match H1 in leq return (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_: (leq ?
 238 a3 a4)).((eq A a3 (AHead (AHead a a0) a2)) \to ((eq A a4 (AHead a a0)) \to
 239 P))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A
 240 (ASort h1 n1) (AHead (AHead a a0) a2))).(\lambda (H4: (eq A (ASort h2 n2)
 241 (AHead a a0))).((let H5 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda (e: A).(match e
 242 in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead
 243 _ _) \Rightarrow False])) I (AHead (AHead a a0) a2) H3) in (False_ind ((eq A
 244 (ASort h2 n2) (AHead a a0)) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
 245 (ASort h2 n2) k)) \to P)) H5)) H4 H2))) | (leq_head a3 a4 H2 a5 a6 H3)
 246 \Rightarrow (\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5) (AHead (AHead a a0)
 247 a2))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a4 a6) (AHead a a0))).((let H6 \def (f_equal
 248 A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 249 \Rightarrow a5 | (AHead _ a7) \Rightarrow a7])) (AHead a3 a5) (AHead (AHead a
 250 a0) a2) H4) in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
 251 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a7 _)
 252 \Rightarrow a7])) (AHead a3 a5) (AHead (AHead a a0) a2) H4) in (eq_ind A
 253 (AHead a a0) (\lambda (a7: A).((eq A a5 a2) \to ((eq A (AHead a4 a6) (AHead a
 254 a0)) \to ((leq g a7 a4) \to ((leq g a5 a6) \to P))))) (\lambda (H8: (eq A a5
 255 a2)).(eq_ind A a2 (\lambda (a7: A).((eq A (AHead a4 a6) (AHead a a0)) \to
 256 ((leq g (AHead a a0) a4) \to ((leq g a7 a6) \to P)))) (\lambda (H9: (eq A
 257 (AHead a4 a6) (AHead a a0))).(let H10 \def (f_equal A A (\lambda (e:
 258 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a6 |
 259 (AHead _ a7) \Rightarrow a7])) (AHead a4 a6) (AHead a a0) H9) in ((let H11
 260 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A)
 261 with [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead a7 _) \Rightarrow a7])) (AHead a4
 262 a6) (AHead a a0) H9) in (eq_ind A a (\lambda (a7: A).((eq A a6 a0) \to ((leq
 263 g (AHead a a0) a7) \to ((leq g a2 a6) \to P)))) (\lambda (H12: (eq A a6
 264 a0)).(eq_ind A a0 (\lambda (a7: A).((leq g (AHead a a0) a) \to ((leq g a2 a7)
 265 \to P))) (\lambda (H13: (leq g (AHead a a0) a)).(\lambda (_: (leq g a2
 266 a0)).(H a0 H13 P))) a6 (sym_eq A a6 a0 H12))) a4 (sym_eq A a4 a H11))) H10)))
 267 a5 (sym_eq A a5 a2 H8))) a3 (sym_eq A a3 (AHead a a0) H7))) H6)) H5 H2
 268 H3)))]) in (H2 (refl_equal A (AHead (AHead a a0) a2)) (refl_equal A (AHead a
 269 a0))))))))))) a1)).
 270
 271 theorem leq_ahead_false_2:
 272  \forall (g: G).(\forall (a2: A).(\forall (a1: A).((leq g (AHead a1 a2) a2)
 273 \to (\forall (P: Prop).P))))
 274 \def
 275  \lambda (g: G).(\lambda (a2: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a1:
 276 A).((leq g (AHead a1 a) a) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 277 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a1: A).(\lambda (H: (leq g (AHead a1 (ASort
 278 n n0)) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((leq g
 279 (AHead a1 (ASort n1 n0)) (ASort n1 n0)) \to P)) (\lambda (H0: (leq g (AHead
 280 a1 (ASort O n0)) (ASort O n0))).(let H1 \def (match H0 in leq return (\lambda
 281 (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a (AHead a1 (ASort
 282 O n0))) \to ((eq A a0 (ASort O n0)) \to P))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k
 283 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (ASort h1 n1) (AHead a1 (ASort O
 284 n0)))).(\lambda (H3: (eq A (ASort h2 n2) (ASort O n0))).((let H4 \def (eq_ind
 285 A (ASort h1 n1) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop)
 286 with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I
 287 (AHead a1 (ASort O n0)) H2) in (False_ind ((eq A (ASort h2 n2) (ASort O n0))
 288 \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to P)) H4))
 289 H3 H1))) | (leq_head a0 a3 H1 a4 a5 H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A
 290 (AHead a0 a4) (AHead a1 (ASort O n0)))).(\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5)
 291 (ASort O n0))).((let H5 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A
 292 return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a)
 293 \Rightarrow a])) (AHead a0 a4) (AHead a1 (ASort O n0)) H3) in ((let H6 \def
 294 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
 295 [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4)
 296 (AHead a1 (ASort O n0)) H3) in (eq_ind A a1 (\lambda (a: A).((eq A a4 (ASort
 297 O n0)) \to ((eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0)) \to ((leq g a a3) \to ((leq g
 298 a4 a5) \to P))))) (\lambda (H7: (eq A a4 (ASort O n0))).(eq_ind A (ASort O
 299 n0) (\lambda (a: A).((eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0)) \to ((leq g a1 a3) \to
 300 ((leq g a a5) \to P)))) (\lambda (H8: (eq A (AHead a3 a5) (ASort O n0))).(let
 301 H9 \def (eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 302 (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _ _) \Rightarrow
 303 True])) I (ASort O n0) H8) in (False_ind ((leq g a1 a3) \to ((leq g (ASort O
 304 n0) a5) \to P)) H9))) a4 (sym_eq A a4 (ASort O n0) H7))) a0 (sym_eq A a0 a1
 305 H6))) H5)) H4 H1 H2)))]) in (H1 (refl_equal A (AHead a1 (ASort O n0)))
 306 (refl_equal A (ASort O n0))))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((leq g
 307 (AHead a1 (ASort n1 n0)) (ASort n1 n0)) \to P))).(\lambda (H0: (leq g (AHead
 308 a1 (ASort (S n1) n0)) (ASort (S n1) n0))).(let H1 \def (match H0 in leq
 309 return (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: (leq ? a a0)).((eq A a
 310 (AHead a1 (ASort (S n1) n0))) \to ((eq A a0 (ASort (S n1) n0)) \to P)))))
 311 with [(leq_sort h1 h2 n2 n3 k H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq A (ASort h1
 312 n2) (AHead a1 (ASort (S n1) n0)))).(\lambda (H3: (eq A (ASort h2 n3) (ASort
 313 (S n1) n0))).((let H4 \def (eq_ind A (ASort h1 n2) (\lambda (e: A).(match e
 314 in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True | (AHead
 315 _ _) \Rightarrow False])) I (AHead a1 (ASort (S n1) n0)) H2) in (False_ind
 316 ((eq A (ASort h2 n3) (ASort (S n1) n0)) \to ((eq A (aplus g (ASort h1 n2) k)
 317 (aplus g (ASort h2 n3) k)) \to P)) H4)) H3 H1))) | (leq_head a0 a3 H1 a4 a5
 318 H2) \Rightarrow (\lambda (H3: (eq A (AHead a0 a4) (AHead a1 (ASort (S n1)
 319 n0)))).(\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0))).((let H5 \def
 320 (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with
 321 [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4)
 322 (AHead a1 (ASort (S n1) n0)) H3) in ((let H6 \def (f_equal A A (\lambda (e:
 323 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 |
 324 (AHead a _) \Rightarrow a])) (AHead a0 a4) (AHead a1 (ASort (S n1) n0)) H3)
 325 in (eq_ind A a1 (\lambda (a: A).((eq A a4 (ASort (S n1) n0)) \to ((eq A
 326 (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0)) \to ((leq g a a3) \to ((leq g a4 a5) \to
 327 P))))) (\lambda (H7: (eq A a4 (ASort (S n1) n0))).(eq_ind A (ASort (S n1) n0)
 328 (\lambda (a: A).((eq A (AHead a3 a5) (ASort (S n1) n0)) \to ((leq g a1 a3)
 329 \to ((leq g a a5) \to P)))) (\lambda (H8: (eq A (AHead a3 a5) (ASort (S n1)
 330 n0))).(let H9 \def (eq_ind A (AHead a3 a5) (\lambda (e: A).(match e in A
 331 return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow False | (AHead _
 332 _) \Rightarrow True])) I (ASort (S n1) n0) H8) in (False_ind ((leq g a1 a3)
 333 \to ((leq g (ASort (S n1) n0) a5) \to P)) H9))) a4 (sym_eq A a4 (ASort (S n1)
 334 n0) H7))) a0 (sym_eq A a0 a1 H6))) H5)) H4 H1 H2)))]) in (H1 (refl_equal A
 335 (AHead a1 (ASort (S n1) n0))) (refl_equal A (ASort (S n1) n0))))))) n H))))))
 336 (\lambda (a: A).(\lambda (_: ((\forall (a1: A).((leq g (AHead a1 a) a) \to
 337 (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H0: ((\forall (a1:
 338 A).((leq g (AHead a1 a0) a0) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a1:
 339 A).(\lambda (H1: (leq g (AHead a1 (AHead a a0)) (AHead a a0))).(\lambda (P:
 340 Prop).(let H2 \def (match H1 in leq return (\lambda (a3: A).(\lambda (a4:
 341 A).(\lambda (_: (leq ? a3 a4)).((eq A a3 (AHead a1 (AHead a a0))) \to ((eq A
 342 a4 (AHead a a0)) \to P))))) with [(leq_sort h1 h2 n1 n2 k H2) \Rightarrow
 343 (\lambda (H3: (eq A (ASort h1 n1) (AHead a1 (AHead a a0)))).(\lambda (H4: (eq
 344 A (ASort h2 n2) (AHead a a0))).((let H5 \def (eq_ind A (ASort h1 n1) (\lambda
 345 (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _)
 346 \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead a1 (AHead a a0))
 347 H3) in (False_ind ((eq A (ASort h2 n2) (AHead a a0)) \to ((eq A (aplus g
 348 (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k)) \to P)) H5)) H4 H2))) | (leq_head
 349 a3 a4 H2 a5 a6 H3) \Rightarrow (\lambda (H4: (eq A (AHead a3 a5) (AHead a1
 350 (AHead a a0)))).(\lambda (H5: (eq A (AHead a4 a6) (AHead a a0))).((let H6
 351 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A)
 352 with [(ASort _ _) \Rightarrow a5 | (AHead _ a7) \Rightarrow a7])) (AHead a3
 353 a5) (AHead a1 (AHead a a0)) H4) in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e:
 354 A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 |
 355 (AHead a7 _) \Rightarrow a7])) (AHead a3 a5) (AHead a1 (AHead a a0)) H4) in
 356 (eq_ind A a1 (\lambda (a7: A).((eq A a5 (AHead a a0)) \to ((eq A (AHead a4
 357 a6) (AHead a a0)) \to ((leq g a7 a4) \to ((leq g a5 a6) \to P))))) (\lambda
 358 (H8: (eq A a5 (AHead a a0))).(eq_ind A (AHead a a0) (\lambda (a7: A).((eq A
 359 (AHead a4 a6) (AHead a a0)) \to ((leq g a1 a4) \to ((leq g a7 a6) \to P))))
 360 (\lambda (H9: (eq A (AHead a4 a6) (AHead a a0))).(let H10 \def (f_equal A A
 361 (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 362 \Rightarrow a6 | (AHead _ a7) \Rightarrow a7])) (AHead a4 a6) (AHead a a0)
 363 H9) in ((let H11 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return
 364 (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a4 | (AHead a7 _)
 365 \Rightarrow a7])) (AHead a4 a6) (AHead a a0) H9) in (eq_ind A a (\lambda (a7:
 366 A).((eq A a6 a0) \to ((leq g a1 a7) \to ((leq g (AHead a a0) a6) \to P))))
 367 (\lambda (H12: (eq A a6 a0)).(eq_ind A a0 (\lambda (a7: A).((leq g a1 a) \to
 368 ((leq g (AHead a a0) a7) \to P))) (\lambda (_: (leq g a1 a)).(\lambda (H14:
 369 (leq g (AHead a a0) a0)).(H0 a H14 P))) a6 (sym_eq A a6 a0 H12))) a4 (sym_eq
 370 A a4 a H11))) H10))) a5 (sym_eq A a5 (AHead a a0) H8))) a3 (sym_eq A a3 a1
 371 H7))) H6)) H5 H2 H3)))]) in (H2 (refl_equal A (AHead a1 (AHead a a0)))
 372 (refl_equal A (AHead a a0))))))))))) a2)).
 373