matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/leq/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/leq/fwd.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/aplus/props.ma".
  20
  21 theorem ahead_inj_snd:
  22  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a3: A).(\forall
  23 (a4: A).((leq g (AHead a1 a2) (AHead a3 a4)) \to (leq g a2 a4))))))
  24 \def
  25  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a3: A).(\lambda
  26 (a4: A).(\lambda (H: (leq g (AHead a1 a2) (AHead a3 a4))).(let H_x \def
  27 (leq_gen_head1 g a1 a2 (AHead a3 a4) H) in (let H0 \def H_x in (ex3_2_ind A A
  28 (\lambda (a5: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a5))) (\lambda (_: A).(\lambda
  29 (a6: A).(leq g a2 a6))) (\lambda (a5: A).(\lambda (a6: A).(eq A (AHead a3 a4)
  30 (AHead a5 a6)))) (leq g a2 a4) (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda
  31 (H1: (leq g a1 x0)).(\lambda (H2: (leq g a2 x1)).(\lambda (H3: (eq A (AHead
  32 a3 a4) (AHead x0 x1))).(let H4 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in
  33 A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a3 | (AHead a _)
  34 \Rightarrow a])) (AHead a3 a4) (AHead x0 x1) H3) in ((let H5 \def (f_equal A
  35 A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
  36 \Rightarrow a4 | (AHead _ a) \Rightarrow a])) (AHead a3 a4) (AHead x0 x1) H3)
  37 in (\lambda (H6: (eq A a3 x0)).(let H7 \def (eq_ind_r A x1 (\lambda (a:
  38 A).(leq g a2 a)) H2 a4 H5) in (let H8 \def (eq_ind_r A x0 (\lambda (a:
  39 A).(leq g a1 a)) H1 a3 H6) in H7)))) H4))))))) H0)))))))).
  40
  41 theorem leq_refl:
  42  \forall (g: G).(\forall (a: A).(leq g a a))
  43 \def
  44  \lambda (g: G).(\lambda (a: A).(A_ind (\lambda (a0: A).(leq g a0 a0))
  45 (\lambda (n: nat).(\lambda (n0: nat).(leq_sort g n n n0 n0 O (refl_equal A
  46 (aplus g (ASort n n0) O))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (H: (leq g a0
  47 a0)).(\lambda (a1: A).(\lambda (H0: (leq g a1 a1)).(leq_head g a0 a0 H a1 a1
  48 H0))))) a)).
  49
  50 theorem leq_eq:
  51  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((eq A a1 a2) \to (leq g a1
  52 a2))))
  53 \def
  54  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (eq A a1
  55 a2)).(eq_ind A a1 (\lambda (a: A).(leq g a1 a)) (leq_refl g a1) a2 H)))).
  56
  57 theorem leq_sym:
  58  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (leq g
  59 a2 a1))))
  60 \def
  61  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  62 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(leq g a0 a))) (\lambda (h1:
  63 nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k:
  64 nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2)
  65 k))).(leq_sort g h2 h1 n2 n1 k (sym_eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
  66 (ASort h2 n2) k) H0)))))))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_:
  67 (leq g a3 a4)).(\lambda (H1: (leq g a4 a3)).(\lambda (a5: A).(\lambda (a6:
  68 A).(\lambda (_: (leq g a5 a6)).(\lambda (H3: (leq g a6 a5)).(leq_head g a4 a3
  69 H1 a6 a5 H3))))))))) a1 a2 H)))).
  70
  71 theorem leq_trans:
  72  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (\forall
  73 (a3: A).((leq g a2 a3) \to (leq g a1 a3))))))
  74 \def
  75  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  76 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(\forall (a3: A).((leq g a0
  77 a3) \to (leq g a a3))))) (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1:
  78 nat).(\lambda (n2: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (H0: (eq A (aplus g (ASort
  79 h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k))).(\lambda (a3: A).(\lambda (H1: (leq g
  80 (ASort h2 n2) a3)).(let H_x \def (leq_gen_sort1 g h2 n2 a3 H1) in (let H2
  81 \def H_x in (ex2_3_ind nat nat nat (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3:
  82 nat).(\lambda (k0: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) k0) (aplus g (ASort h3
  83 n3) k0))))) (\lambda (n3: nat).(\lambda (h3: nat).(\lambda (_: nat).(eq A a3
  84 (ASort h3 n3))))) (leq g (ASort h1 n1) a3) (\lambda (x0: nat).(\lambda (x1:
  85 nat).(\lambda (x2: nat).(\lambda (H3: (eq A (aplus g (ASort h2 n2) x2) (aplus
  86 g (ASort x1 x0) x2))).(\lambda (H4: (eq A a3 (ASort x1 x0))).(let H5 \def
  87 (f_equal A A (\lambda (e: A).e) a3 (ASort x1 x0) H4) in (eq_ind_r A (ASort x1
  88 x0) (\lambda (a: A).(leq g (ASort h1 n1) a)) (lt_le_e k x2 (leq g (ASort h1
  89 n1) (ASort x1 x0)) (\lambda (H6: (lt k x2)).(let H_y \def (aplus_reg_r g
  90 (ASort h1 n1) (ASort h2 n2) k k H0 (minus x2 k)) in (let H7 \def (eq_ind_r
  91 nat (plus (minus x2 k) k) (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h1 n1) n)
  92 (aplus g (ASort h2 n2) n))) H_y x2 (le_plus_minus_sym k x2 (le_trans k (S k)
  93 x2 (le_S k k (le_n k)) H6))) in (leq_sort g h1 x1 n1 x0 x2 (trans_eq A (aplus
  94 g (ASort h1 n1) x2) (aplus g (ASort h2 n2) x2) (aplus g (ASort x1 x0) x2) H7
  95 H3))))) (\lambda (H6: (le x2 k)).(let H_y \def (aplus_reg_r g (ASort h2 n2)
  96 (ASort x1 x0) x2 x2 H3 (minus k x2)) in (let H7 \def (eq_ind_r nat (plus
  97 (minus k x2) x2) (\lambda (n: nat).(eq A (aplus g (ASort h2 n2) n) (aplus g
  98 (ASort x1 x0) n))) H_y k (le_plus_minus_sym x2 k H6)) in (leq_sort g h1 x1 n1
  99 x0 k (trans_eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g (ASort h2 n2) k) (aplus g
 100 (ASort x1 x0) k) H0 H7)))))) a3 H5))))))) H2))))))))))) (\lambda (a3:
 101 A).(\lambda (a4: A).(\lambda (_: (leq g a3 a4)).(\lambda (H1: ((\forall (a5:
 102 A).((leq g a4 a5) \to (leq g a3 a5))))).(\lambda (a5: A).(\lambda (a6:
 103 A).(\lambda (_: (leq g a5 a6)).(\lambda (H3: ((\forall (a7: A).((leq g a6 a7)
 104 \to (leq g a5 a7))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H4: (leq g (AHead a4 a6)
 105 a0)).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a4 a6 a0 H4) in (let H5 \def H_x in
 106 (ex3_2_ind A A (\lambda (a7: A).(\lambda (_: A).(leq g a4 a7))) (\lambda (_:
 107 A).(\lambda (a8: A).(leq g a6 a8))) (\lambda (a7: A).(\lambda (a8: A).(eq A
 108 a0 (AHead a7 a8)))) (leq g (AHead a3 a5) a0) (\lambda (x0: A).(\lambda (x1:
 109 A).(\lambda (H6: (leq g a4 x0)).(\lambda (H7: (leq g a6 x1)).(\lambda (H8:
 110 (eq A a0 (AHead x0 x1))).(let H9 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).e) a0
 111 (AHead x0 x1) H8) in (eq_ind_r A (AHead x0 x1) (\lambda (a: A).(leq g (AHead
 112 a3 a5) a)) (leq_head g a3 x0 (H1 x0 H6) a5 x1 (H3 x1 H7)) a0 H9)))))))
 113 H5))))))))))))) a1 a2 H)))).
 114
 115 theorem leq_ahead_false_1:
 116  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g (AHead a1 a2) a1)
 117 \to (\forall (P: Prop).P))))
 118 \def
 119  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a2:
 120 A).((leq g (AHead a a2) a) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 121 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g (AHead (ASort n
 122 n0) a2) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((leq g
 123 (AHead (ASort n1 n0) a2) (ASort n1 n0)) \to P)) (\lambda (H0: (leq g (AHead
 124 (ASort O n0) a2) (ASort O n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g (ASort O n0)
 125 a2 (ASort O n0) H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3:
 126 A).(\lambda (_: A).(leq g (ASort O n0) a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4:
 127 A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort O n0)
 128 (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g
 129 (ASort O n0) x0)).(\lambda (_: (leq g a2 x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort O
 130 n0) (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort O n0) (\lambda (ee:
 131 A).(match ee in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow
 132 True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead x0 x1) H4) in (False_ind P
 133 H5))))))) H1)))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((leq g (AHead (ASort n1
 134 n0) a2) (ASort n1 n0)) \to P))).(\lambda (H0: (leq g (AHead (ASort (S n1) n0)
 135 a2) (ASort (S n1) n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g (ASort (S n1) n0) a2
 136 (ASort (S n1) n0) H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3:
 137 A).(\lambda (_: A).(leq g (ASort (S n1) n0) a3))) (\lambda (_: A).(\lambda
 138 (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort (S n1)
 139 n0) (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g
 140 (ASort (S n1) n0) x0)).(\lambda (_: (leq g a2 x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort
 141 (S n1) n0) (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort (S n1) n0) (\lambda
 142 (ee: A).(match ee in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _)
 143 \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead x0 x1) H4) in
 144 (False_ind P H5))))))) H1)))))) n H)))))) (\lambda (a: A).(\lambda (H:
 145 ((\forall (a2: A).((leq g (AHead a a2) a) \to (\forall (P:
 146 Prop).P))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (_: ((\forall (a2: A).((leq g (AHead
 147 a0 a2) a0) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a2: A).(\lambda (H1: (leq
 148 g (AHead (AHead a a0) a2) (AHead a a0))).(\lambda (P: Prop).(let H_x \def
 149 (leq_gen_head1 g (AHead a a0) a2 (AHead a a0) H1) in (let H2 \def H_x in
 150 (ex3_2_ind A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g (AHead a a0) a3)))
 151 (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g a2 a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda
 152 (a4: A).(eq A (AHead a a0) (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1:
 153 A).(\lambda (H3: (leq g (AHead a a0) x0)).(\lambda (H4: (leq g a2
 154 x1)).(\lambda (H5: (eq A (AHead a a0) (AHead x0 x1))).(let H6 \def (f_equal A
 155 A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 156 \Rightarrow a | (AHead a3 _) \Rightarrow a3])) (AHead a a0) (AHead x0 x1) H5)
 157 in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 158 (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead _ a3) \Rightarrow a3]))
 159 (AHead a a0) (AHead x0 x1) H5) in (\lambda (H8: (eq A a x0)).(let H9 \def
 160 (eq_ind_r A x1 (\lambda (a3: A).(leq g a2 a3)) H4 a0 H7) in (let H10 \def
 161 (eq_ind_r A x0 (\lambda (a3: A).(leq g (AHead a a0) a3)) H3 a H8) in (H a0
 162 H10 P))))) H6))))))) H2)))))))))) a1)).
 163
 164 theorem leq_ahead_false_2:
 165  \forall (g: G).(\forall (a2: A).(\forall (a1: A).((leq g (AHead a1 a2) a2)
 166 \to (\forall (P: Prop).P))))
 167 \def
 168  \lambda (g: G).(\lambda (a2: A).(A_ind (\lambda (a: A).(\forall (a1:
 169 A).((leq g (AHead a1 a) a) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
 170 nat).(\lambda (n0: nat).(\lambda (a1: A).(\lambda (H: (leq g (AHead a1 (ASort
 171 n n0)) (ASort n n0))).(\lambda (P: Prop).(nat_ind (\lambda (n1: nat).((leq g
 172 (AHead a1 (ASort n1 n0)) (ASort n1 n0)) \to P)) (\lambda (H0: (leq g (AHead
 173 a1 (ASort O n0)) (ASort O n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a1 (ASort O
 174 n0) (ASort O n0) H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3:
 175 A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g
 176 (ASort O n0) a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort O n0)
 177 (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g a1
 178 x0)).(\lambda (_: (leq g (ASort O n0) x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort O n0)
 179 (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort O n0) (\lambda (ee: A).(match
 180 ee in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _) \Rightarrow True |
 181 (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead x0 x1) H4) in (False_ind P
 182 H5))))))) H1)))) (\lambda (n1: nat).(\lambda (_: (((leq g (AHead a1 (ASort n1
 183 n0)) (ASort n1 n0)) \to P))).(\lambda (H0: (leq g (AHead a1 (ASort (S n1)
 184 n0)) (ASort (S n1) n0))).(let H_x \def (leq_gen_head1 g a1 (ASort (S n1) n0)
 185 (ASort (S n1) n0) H0) in (let H1 \def H_x in (ex3_2_ind A A (\lambda (a3:
 186 A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3))) (\lambda (_: A).(\lambda (a4: A).(leq g
 187 (ASort (S n1) n0) a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4: A).(eq A (ASort (S n1)
 188 n0) (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1: A).(\lambda (_: (leq g
 189 a1 x0)).(\lambda (_: (leq g (ASort (S n1) n0) x1)).(\lambda (H4: (eq A (ASort
 190 (S n1) n0) (AHead x0 x1))).(let H5 \def (eq_ind A (ASort (S n1) n0) (\lambda
 191 (ee: A).(match ee in A return (\lambda (_: A).Prop) with [(ASort _ _)
 192 \Rightarrow True | (AHead _ _) \Rightarrow False])) I (AHead x0 x1) H4) in
 193 (False_ind P H5))))))) H1)))))) n H)))))) (\lambda (a: A).(\lambda (_:
 194 ((\forall (a1: A).((leq g (AHead a1 a) a) \to (\forall (P:
 195 Prop).P))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H0: ((\forall (a1: A).((leq g (AHead
 196 a1 a0) a0) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (a1: A).(\lambda (H1: (leq
 197 g (AHead a1 (AHead a a0)) (AHead a a0))).(\lambda (P: Prop).(let H_x \def
 198 (leq_gen_head1 g a1 (AHead a a0) (AHead a a0) H1) in (let H2 \def H_x in
 199 (ex3_2_ind A A (\lambda (a3: A).(\lambda (_: A).(leq g a1 a3))) (\lambda (_:
 200 A).(\lambda (a4: A).(leq g (AHead a a0) a4))) (\lambda (a3: A).(\lambda (a4:
 201 A).(eq A (AHead a a0) (AHead a3 a4)))) P (\lambda (x0: A).(\lambda (x1:
 202 A).(\lambda (H3: (leq g a1 x0)).(\lambda (H4: (leq g (AHead a a0)
 203 x1)).(\lambda (H5: (eq A (AHead a a0) (AHead x0 x1))).(let H6 \def (f_equal A
 204 A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda (_: A).A) with [(ASort _ _)
 205 \Rightarrow a | (AHead a3 _) \Rightarrow a3])) (AHead a a0) (AHead x0 x1) H5)
 206 in ((let H7 \def (f_equal A A (\lambda (e: A).(match e in A return (\lambda
 207 (_: A).A) with [(ASort _ _) \Rightarrow a0 | (AHead _ a3) \Rightarrow a3]))
 208 (AHead a a0) (AHead x0 x1) H5) in (\lambda (H8: (eq A a x0)).(let H9 \def
 209 (eq_ind_r A x1 (\lambda (a3: A).(leq g (AHead a a0) a3)) H4 a0 H7) in (let
 210 H10 \def (eq_ind_r A x0 (\lambda (a3: A).(leq g a1 a3)) H3 a H8) in (H0 a H9
 211 P))))) H6))))))) H2)))))))))) a2)).
 212