matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/lift/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/lift/defs.ma".
  18
  19 theorem lift_sort:
  20  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(eq T (lift h d (TSort
  21 n)) (TSort n))))
  22 \def
  23  \lambda (n: nat).(\lambda (_: nat).(\lambda (_: nat).(refl_equal T (TSort
  24 n)))).
  25
  26 theorem lift_lref_lt:
  27  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((lt n d) \to (eq T
  28 (lift h d (TLRef n)) (TLRef n)))))
  29 \def
  30  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (lt n
  31 d)).(eq_ind bool true (\lambda (b: bool).(eq T (TLRef (match b with [true
  32 \Rightarrow n | false \Rightarrow (plus n h)])) (TLRef n))) (refl_equal T
  33 (TLRef n)) (blt n d) (sym_eq bool (blt n d) true (lt_blt d n H)))))).
  34
  35 theorem lift_lref_ge:
  36  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((le d n) \to (eq T
  37 (lift h d (TLRef n)) (TLRef (plus n h))))))
  38 \def
  39  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (le d
  40 n)).(eq_ind bool false (\lambda (b: bool).(eq T (TLRef (match b with [true
  41 \Rightarrow n | false \Rightarrow (plus n h)])) (TLRef (plus n h))))
  42 (refl_equal T (TLRef (plus n h))) (blt n d) (sym_eq bool (blt n d) false
  43 (le_bge d n H)))))).
  44
  45 theorem lift_head:
  46  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall
  47 (d: nat).(eq T (lift h d (THead k u t)) (THead k (lift h d u) (lift h (s k d)
  48 t)))))))
  49 \def
  50  \lambda (k: K).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  51 (d: nat).(refl_equal T (THead k (lift h d u) (lift h (s k d) t))))))).
  52
  53 theorem lift_bind:
  54  \forall (b: B).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall
  55 (d: nat).(eq T (lift h d (THead (Bind b) u t)) (THead (Bind b) (lift h d u)
  56 (lift h (S d) t)))))))
  57 \def
  58  \lambda (b: B).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  59 (d: nat).(refl_equal T (THead (Bind b) (lift h d u) (lift h (S d) t))))))).
  60
  61 theorem lift_flat:
  62  \forall (f: F).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall
  63 (d: nat).(eq T (lift h d (THead (Flat f) u t)) (THead (Flat f) (lift h d u)
  64 (lift h d t)))))))
  65 \def
  66  \lambda (f: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  67 (d: nat).(refl_equal T (THead (Flat f) (lift h d u) (lift h d t))))))).
  68
  69 theorem lift_gen_sort:
  70  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).(\forall (t: T).((eq T
  71 (TSort n) (lift h d t)) \to (eq T t (TSort n))))))
  72 \def
  73  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(T_ind
  74 (\lambda (t0: T).((eq T (TSort n) (lift h d t0)) \to (eq T t0 (TSort n))))
  75 (\lambda (n0: nat).(\lambda (H: (eq T (TSort n) (lift h d (TSort
  76 n0)))).(sym_eq T (TSort n) (TSort n0) H))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H:
  77 (eq T (TSort n) (lift h d (TLRef n0)))).(lt_le_e n0 d (eq T (TLRef n0) (TSort
  78 n)) (\lambda (_: (lt n0 d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0))
  79 (\lambda (t0: T).(eq T (TSort n) t0)) H (TLRef n0) (lift_lref_lt n0 h d (let
  80 H1 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda
  81 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
  82 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (lift h d (TLRef n0)) H) in (False_ind
  83 (lt n0 d) H1)))) in (let H2 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match
  84 ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True |
  85 (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef n0)
  86 H1) in (False_ind (eq T (TLRef n0) (TSort n)) H2)))) (\lambda (_: (le d
  87 n0)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0)) (\lambda (t0: T).(eq T
  88 (TSort n) t0)) H (TLRef (plus n0 h)) (lift_lref_ge n0 h d (let H1 \def
  89 (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
  90 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
  91 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (lift h d (TLRef n0)) H) in (False_ind
  92 (le d n0) H1)))) in (let H2 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee: T).(match
  93 ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True |
  94 (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef
  95 (plus n0 h)) H1) in (False_ind (eq T (TLRef n0) (TSort n)) H2))))))) (\lambda
  96 (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (((eq T (TSort n) (lift h d t0)) \to (eq
  97 T t0 (TSort n))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: (((eq T (TSort n) (lift h d
  98 t1)) \to (eq T t1 (TSort n))))).(\lambda (H1: (eq T (TSort n) (lift h d
  99 (THead k t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda
 100 (t2: T).(eq T (TSort n) t2)) H1 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))
 101 (lift_head k t0 t1 h d)) in (let H3 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (ee:
 102 T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 103 True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
 104 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H2) in (False_ind (eq T (THead k
 105 t0 t1) (TSort n)) H3))))))))) t)))).
 106
 107 theorem lift_gen_lref:
 108  \forall (t: T).(\forall (d: nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T
 109 (TLRef i) (lift h d t)) \to (or (land (lt i d) (eq T t (TLRef i))) (land (le
 110 (plus d h) i) (eq T t (TLRef (minus i h)))))))))
 111 \def
 112  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: nat).(\forall (h:
 113 nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t0)) \to (or (land (lt i d)
 114 (eq T t0 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t0 (TLRef (minus i
 115 h)))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda
 116 (i: nat).(\lambda (H: (eq T (TLRef i) (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def
 117 (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef i) t0)) H (TSort
 118 n) (lift_sort n h d)) in (let H1 \def (eq_ind T (TLRef i) (\lambda (ee:
 119 T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 120 False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
 121 (TSort n) H0) in (False_ind (or (land (lt i d) (eq T (TSort n) (TLRef i)))
 122 (land (le (plus d h) i) (eq T (TSort n) (TLRef (minus i h))))) H1))))))))
 123 (\lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (i:
 124 nat).(\lambda (H: (eq T (TLRef i) (lift h d (TLRef n)))).(lt_le_e n d (or
 125 (land (lt i d) (eq T (TLRef n) (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T
 126 (TLRef n) (TLRef (minus i h))))) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind
 127 T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef i) t0)) H (TLRef n)
 128 (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
 129 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow i |
 130 (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _) \Rightarrow i])) (TLRef i) (TLRef
 131 n) H1) in (eq_ind_r nat n (\lambda (n0: nat).(or (land (lt n0 d) (eq T (TLRef
 132 n) (TLRef n0))) (land (le (plus d h) n0) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n0
 133 h)))))) (or_introl (land (lt n d) (eq T (TLRef n) (TLRef n))) (land (le (plus
 134 d h) n) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n h)))) (conj (lt n d) (eq T (TLRef n)
 135 (TLRef n)) H0 (refl_equal T (TLRef n)))) i H2)))) (\lambda (H0: (le d
 136 n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef
 137 i) t0)) H (TLRef (plus n h)) (lift_lref_ge n h d H0)) in (let H2 \def
 138 (f_equal T nat (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with
 139 [(TSort _) \Rightarrow i | (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _)
 140 \Rightarrow i])) (TLRef i) (TLRef (plus n h)) H1) in (eq_ind_r nat (plus n h)
 141 (\lambda (n0: nat).(or (land (lt n0 d) (eq T (TLRef n) (TLRef n0))) (land (le
 142 (plus d h) n0) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n0 h)))))) (eq_ind_r nat n
 143 (\lambda (n0: nat).(or (land (lt (plus n h) d) (eq T (TLRef n) (TLRef (plus n
 144 h)))) (land (le (plus d h) (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n0)))))
 145 (or_intror (land (lt (plus n h) d) (eq T (TLRef n) (TLRef (plus n h)))) (land
 146 (le (plus d h) (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n))) (conj (le (plus d h)
 147 (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n)) (le_plus_plus d n h h H0 (le_n h))
 148 (refl_equal T (TLRef n)))) (minus (plus n h) h) (minus_plus_r n h)) i
 149 H2)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: ((\forall (d:
 150 nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t0)) \to
 151 (or (land (lt i d) (eq T t0 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t0
 152 (TLRef (minus i h))))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: ((\forall (d:
 153 nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t1)) \to
 154 (or (land (lt i d) (eq T t1 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t1
 155 (TLRef (minus i h))))))))))).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (i:
 156 nat).(\lambda (H1: (eq T (TLRef i) (lift h d (THead k t0 t1)))).(let H2 \def
 157 (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef i) t2)) H1
 158 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in (let
 159 H3 \def (eq_ind T (TLRef i) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda
 160 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 161 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d)
 162 t1)) H2) in (False_ind (or (land (lt i d) (eq T (THead k t0 t1) (TLRef i)))
 163 (land (le (plus d h) i) (eq T (THead k t0 t1) (TLRef (minus i h)))))
 164 H3)))))))))))) t).
 165
 166 theorem lift_gen_lref_lt:
 167  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((lt n d) \to (\forall
 168 (t: T).((eq T (TLRef n) (lift h d t)) \to (eq T t (TLRef n)))))))
 169 \def
 170  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt n
 171 d)).(\lambda (t: T).(\lambda (H0: (eq T (TLRef n) (lift h d t))).(let H_x
 172 \def (lift_gen_lref t d h n H0) in (let H1 \def H_x in (or_ind (land (lt n d)
 173 (eq T t (TLRef n))) (land (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n h)))) (eq
 174 T t (TLRef n)) (\lambda (H2: (land (lt n d) (eq T t (TLRef n)))).(land_ind
 175 (lt n d) (eq T t (TLRef n)) (eq T t (TLRef n)) (\lambda (_: (lt n
 176 d)).(\lambda (H4: (eq T t (TLRef n))).(eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0:
 177 T).(eq T t0 (TLRef n))) (refl_equal T (TLRef n)) t H4))) H2)) (\lambda (H2:
 178 (land (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n h))))).(land_ind (le (plus d
 179 h) n) (eq T t (TLRef (minus n h))) (eq T t (TLRef n)) (\lambda (H3: (le (plus
 180 d h) n)).(\lambda (H4: (eq T t (TLRef (minus n h)))).(eq_ind_r T (TLRef
 181 (minus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef n))) (le_false (plus d h) n (eq
 182 T (TLRef (minus n h)) (TLRef n)) H3 (lt_le_S n (plus d h) (le_plus_trans (S
 183 n) d h H))) t H4))) H2)) H1)))))))).
 184
 185 theorem lift_gen_lref_false:
 186  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((le d n) \to ((lt n
 187 (plus d h)) \to (\forall (t: T).((eq T (TLRef n) (lift h d t)) \to (\forall
 188 (P: Prop).P)))))))
 189 \def
 190  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le d
 191 n)).(\lambda (H0: (lt n (plus d h))).(\lambda (t: T).(\lambda (H1: (eq T
 192 (TLRef n) (lift h d t))).(\lambda (P: Prop).(let H_x \def (lift_gen_lref t d
 193 h n H1) in (let H2 \def H_x in (or_ind (land (lt n d) (eq T t (TLRef n)))
 194 (land (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n h)))) P (\lambda (H3: (land
 195 (lt n d) (eq T t (TLRef n)))).(land_ind (lt n d) (eq T t (TLRef n)) P
 196 (\lambda (H4: (lt n d)).(\lambda (_: (eq T t (TLRef n))).(le_false d n P H
 197 H4))) H3)) (\lambda (H3: (land (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n
 198 h))))).(land_ind (le (plus d h) n) (eq T t (TLRef (minus n h))) P (\lambda
 199 (H4: (le (plus d h) n)).(\lambda (_: (eq T t (TLRef (minus n h)))).(le_false
 200 (plus d h) n P H4 H0))) H3)) H2)))))))))).
 201
 202 theorem lift_gen_lref_ge:
 203  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((le d n) \to (\forall
 204 (t: T).((eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d t)) \to (eq T t (TLRef n)))))))
 205 \def
 206  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le d
 207 n)).(\lambda (t: T).(\lambda (H0: (eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d
 208 t))).(let H_x \def (lift_gen_lref t d h (plus n h) H0) in (let H1 \def H_x in
 209 (or_ind (land (lt (plus n h) d) (eq T t (TLRef (plus n h)))) (land (le (plus
 210 d h) (plus n h)) (eq T t (TLRef (minus (plus n h) h)))) (eq T t (TLRef n))
 211 (\lambda (H2: (land (lt (plus n h) d) (eq T t (TLRef (plus n h))))).(land_ind
 212 (lt (plus n h) d) (eq T t (TLRef (plus n h))) (eq T t (TLRef n)) (\lambda
 213 (H3: (lt (plus n h) d)).(\lambda (H4: (eq T t (TLRef (plus n h)))).(eq_ind_r
 214 T (TLRef (plus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef n))) (le_false d n (eq
 215 T (TLRef (plus n h)) (TLRef n)) H (lt_le_S n d (simpl_lt_plus_r h n d
 216 (lt_le_trans (plus n h) d (plus d h) H3 (le_plus_l d h))))) t H4))) H2))
 217 (\lambda (H2: (land (le (plus d h) (plus n h)) (eq T t (TLRef (minus (plus n
 218 h) h))))).(land_ind (le (plus d h) (plus n h)) (eq T t (TLRef (minus (plus n
 219 h) h))) (eq T t (TLRef n)) (\lambda (_: (le (plus d h) (plus n h))).(\lambda
 220 (H4: (eq T t (TLRef (minus (plus n h) h)))).(eq_ind_r T (TLRef (minus (plus n
 221 h) h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef n))) (f_equal nat T TLRef (minus
 222 (plus n h) h) n (minus_plus_r n h)) t H4))) H2)) H1)))))))).
 223
 224 theorem lift_gen_head:
 225  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 226 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T T
 227 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead k y z)))) (\lambda (y:
 228 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 229 T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))))))
 230 \def
 231  \lambda (k: K).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(T_ind
 232 (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t)
 233 (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead
 234 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 235 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z))))))))) (\lambda (n:
 236 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k u t)
 237 (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda
 238 (t0: T).(eq T (THead k u t) t0)) H (TSort n) (lift_sort n h d)) in (let H1
 239 \def (eq_ind T (THead k u t) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda
 240 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False
 241 | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TSort n) H0) in (False_ind (ex3_2 T T
 242 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TSort n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 243 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 244 T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) H1))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h:
 245 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k u t) (lift h d (TLRef
 246 n)))).(lt_le_e n d (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n)
 247 (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y))))
 248 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) (\lambda (H0:
 249 (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T
 250 (THead k u t) t0)) H (TLRef n) (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def
 251 (eq_ind T (THead k u t) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 252 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False |
 253 (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H1) in (False_ind (ex3_2 T T
 254 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 255 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 256 T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) H2)))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def
 257 (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead k u t) t0)) H
 258 (TLRef (plus n h)) (lift_lref_ge n h d H0)) in (let H2 \def (eq_ind T (THead
 259 k u t) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 260 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
 261 \Rightarrow True])) I (TLRef (plus n h)) H1) in (False_ind (ex3_2 T T
 262 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 263 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 264 T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) H2))))))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (t0:
 265 T).(\lambda (H: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t)
 266 (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead
 267 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 268 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))))).(\lambda (t1:
 269 T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t)
 270 (lift h d t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead
 271 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 272 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))))).(\lambda (h:
 273 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (THead k u t) (lift h d (THead k0
 274 t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead k0 t0 t1)) (\lambda (t2:
 275 T).(eq T (THead k u t) t2)) H1 (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1))
 276 (lift_head k0 t0 t1 h d)) in (let H3 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match
 277 e in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _)
 278 \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1])) (THead k u t) (THead k0
 279 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1)) H2) in ((let H4 \def (f_equal T T
 280 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _)
 281 \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u | (THead _ t2 _) \Rightarrow t2]))
 282 (THead k u t) (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1)) H2) in ((let H5
 283 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T)
 284 with [(TSort _) \Rightarrow t | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ _ t2)
 285 \Rightarrow t2])) (THead k u t) (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1))
 286 H2) in (\lambda (H6: (eq T u (lift h d t0))).(\lambda (H7: (eq K k k0)).(let
 287 H8 \def (eq_ind_r K k0 (\lambda (k1: K).(eq T t (lift h (s k1 d) t1))) H5 k
 288 H7) in (eq_ind K k (\lambda (k1: K).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z:
 289 T).(eq T (THead k1 t0 t1) (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 290 T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s
 291 k d) z)))))) (let H9 \def (eq_ind T t (\lambda (t2: T).(\forall (h0:
 292 nat).(\forall (d0: nat).((eq T (THead k u t2) (lift h0 d0 t1)) \to (ex3_2 T T
 293 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead k y z)))) (\lambda (y:
 294 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h0 d0 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 295 T).(eq T t2 (lift h0 (s k d0) z))))))))) H0 (lift h (s k d) t1) H8) in (let
 296 H10 \def (eq_ind T t (\lambda (t2: T).(\forall (h0: nat).(\forall (d0:
 297 nat).((eq T (THead k u t2) (lift h0 d0 t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 298 T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 299 T).(eq T u (lift h0 d0 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t2 (lift
 300 h0 (s k d0) z))))))))) H (lift h (s k d) t1) H8) in (eq_ind_r T (lift h (s k
 301 d) t1) (\lambda (t2: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T
 302 (THead k t0 t1) (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u
 303 (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t2 (lift h (s k d)
 304 z)))))) (let H11 \def (eq_ind T u (\lambda (t2: T).(\forall (h0:
 305 nat).(\forall (d0: nat).((eq T (THead k t2 (lift h (s k d) t1)) (lift h0 d0
 306 t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead k y z))))
 307 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift h0 d0 y)))) (\lambda (_:
 308 T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k d) t1) (lift h0 (s k d0) z))))))))) H10
 309 (lift h d t0) H6) in (let H12 \def (eq_ind T u (\lambda (t2: T).(\forall (h0:
 310 nat).(\forall (d0: nat).((eq T (THead k t2 (lift h (s k d) t1)) (lift h0 d0
 311 t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead k y z))))
 312 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift h0 d0 y)))) (\lambda (_:
 313 T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k d) t1) (lift h0 (s k d0) z))))))))) H9
 314 (lift h d t0) H6) in (eq_ind_r T (lift h d t0) (\lambda (t2: T).(ex3_2 T T
 315 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k y z))))
 316 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift h d y)))) (\lambda (_:
 317 T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k d) t1) (lift h (s k d) z))))))
 318 (ex3_2_intro T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead
 319 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t0) (lift h d y))))
 320 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k d) t1) (lift h (s k d)
 321 z)))) t0 t1 (refl_equal T (THead k t0 t1)) (refl_equal T (lift h d t0))
 322 (refl_equal T (lift h (s k d) t1))) u H6))) t H8))) k0 H7))))) H4))
 323 H3))))))))))) x)))).
 324
 325 theorem lift_gen_bind:
 326  \forall (b: B).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 327 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Bind b) u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T
 328 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y z)))) (\lambda
 329 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 330 T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))))))
 331 \def
 332  \lambda (b: B).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(\lambda (h:
 333 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Bind b) u t) (lift h d
 334 x))).(let H_x \def (lift_gen_head (Bind b) u t x h d H) in (let H0 \def H_x
 335 in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y
 336 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 337 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))) (ex3_2 T T (\lambda (y:
 338 T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 339 (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift
 340 h (S d) z))))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H1: (eq T x (THead
 341 (Bind b) x0 x1))).(\lambda (H2: (eq T u (lift h d x0))).(\lambda (H3: (eq T t
 342 (lift h (S d) x1))).(eq_ind_r T (THead (Bind b) x0 x1) (\lambda (t0:
 343 T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead (Bind b) y
 344 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 345 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))) (eq_ind_r T (lift h (S d)
 346 x1) (\lambda (t0: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead
 347 (Bind b) x0 x1) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 348 u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (lift h (S d)
 349 z)))))) (eq_ind_r T (lift h d x0) (\lambda (t0: T).(ex3_2 T T (\lambda (y:
 350 T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (THead (Bind b) y z))))
 351 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t0 (lift h d y)))) (\lambda (_:
 352 T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) x1) (lift h (S d) z)))))) (ex3_2_intro
 353 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (THead (Bind
 354 b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d x0) (lift h d
 355 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) x1) (lift h (S d)
 356 z)))) x0 x1 (refl_equal T (THead (Bind b) x0 x1)) (refl_equal T (lift h d
 357 x0)) (refl_equal T (lift h (S d) x1))) u H2) t H3) x H1)))))) H0))))))))).
 358
 359 theorem lift_gen_flat:
 360  \forall (f: F).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 361 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T
 362 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Flat f) y z)))) (\lambda
 363 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 364 T).(eq T t (lift h d z)))))))))))
 365 \def
 366  \lambda (f: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(\lambda (h:
 367 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d
 368 x))).(let H_x \def (lift_gen_head (Flat f) u t x h d H) in (let H0 \def H_x
 369 in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Flat f) y
 370 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 371 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))) (ex3_2 T T (\lambda (y:
 372 T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 373 (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift
 374 h d z))))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H1: (eq T x (THead
 375 (Flat f) x0 x1))).(\lambda (H2: (eq T u (lift h d x0))).(\lambda (H3: (eq T t
 376 (lift h d x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0 x1) (\lambda (t0: T).(ex3_2 T
 377 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda
 378 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 379 T).(eq T t (lift h d z)))))) (eq_ind_r T (lift h d x1) (\lambda (t0:
 380 T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Flat f) x0 x1)
 381 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d
 382 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (lift h d z)))))) (eq_ind_r T
 383 (lift h d x0) (\lambda (t0: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq
 384 T (THead (Flat f) x0 x1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 385 T).(eq T t0 (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h d
 386 x1) (lift h d z)))))) (ex3_2_intro T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T
 387 (THead (Flat f) x0 x1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 388 T).(eq T (lift h d x0) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T
 389 (lift h d x1) (lift h d z)))) x0 x1 (refl_equal T (THead (Flat f) x0 x1))
 390 (refl_equal T (lift h d x0)) (refl_equal T (lift h d x1))) u H2) t H3) x
 391 H1)))))) H0))))))))).
 392