matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/lift/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17
  18
  19 include "lift/defs.ma".
  20
  21 theorem lift_sort:
  22  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).(eq T (lift h d (TSort
  23 n)) (TSort n))))
  24 \def
  25  \lambda (n: nat).(\lambda (_: nat).(\lambda (_: nat).(refl_equal T (TSort
  26 n)))).
  27
  28 theorem lift_lref_lt:
  29  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((lt n d) \to (eq T
  30 (lift h d (TLRef n)) (TLRef n)))))
  31 \def
  32  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (lt n
  33 d)).(eq_ind bool true (\lambda (b: bool).(eq T (TLRef (match b with [true
  34 \Rightarrow n | false \Rightarrow (plus n h)])) (TLRef n))) (refl_equal T
  35 (TLRef n)) (blt n d) (sym_eq bool (blt n d) true (lt_blt d n H)))))).
  36
  37 theorem lift_lref_ge:
  38  \forall (n: nat).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((le d n) \to (eq T
  39 (lift h d (TLRef n)) (TLRef (plus n h))))))
  40 \def
  41  \lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (le d
  42 n)).(eq_ind bool false (\lambda (b: bool).(eq T (TLRef (match b with [true
  43 \Rightarrow n | false \Rightarrow (plus n h)])) (TLRef (plus n h))))
  44 (refl_equal T (TLRef (plus n h))) (blt n d) (sym_eq bool (blt n d) false
  45 (le_bge d n H)))))).
  46
  47 theorem lift_head:
  48  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall
  49 (d: nat).(eq T (lift h d (THead k u t)) (THead k (lift h d u) (lift h (s k d)
  50 t)))))))
  51 \def
  52  \lambda (k: K).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  53 (d: nat).(refl_equal T (THead k (lift h d u) (lift h (s k d) t))))))).
  54
  55 theorem lift_bind:
  56  \forall (b: B).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall
  57 (d: nat).(eq T (lift h d (THead (Bind b) u t)) (THead (Bind b) (lift h d u)
  58 (lift h (S d) t)))))))
  59 \def
  60  \lambda (b: B).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  61 (d: nat).(refl_equal T (THead (Bind b) (lift h d u) (lift h (S d) t))))))).
  62
  63 theorem lift_flat:
  64  \forall (f: F).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall
  65 (d: nat).(eq T (lift h d (THead (Flat f) u t)) (THead (Flat f) (lift h d u)
  66 (lift h d t)))))))
  67 \def
  68  \lambda (f: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  69 (d: nat).(refl_equal T (THead (Flat f) (lift h d u) (lift h d t))))))).
  70
  71 theorem lift_gen_sort:
  72  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).(\forall (t: T).((eq T
  73 (TSort n) (lift h d t)) \to (eq T t (TSort n))))))
  74 \def
  75  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(T_ind
  76 (\lambda (t0: T).((eq T (TSort n) (lift h d t0)) \to (eq T t0 (TSort n))))
  77 (\lambda (n0: nat).(\lambda (H: (eq T (TSort n) (lift h d (TSort
  78 n0)))).(sym_eq T (TSort n) (TSort n0) H))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H:
  79 (eq T (TSort n) (lift h d (TLRef n0)))).(lt_le_e n0 d (eq T (TLRef n0) (TSort
  80 n)) (\lambda (H0: (lt n0 d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0))
  81 (\lambda (t0: T).(eq T (TSort n) t0)) H (TLRef n0) (lift_lref_lt n0 h d H0))
  82 in (let H2 \def (match H1 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ?
  83 t0)).((eq T t0 (TLRef n0)) \to (eq T (TLRef n0) (TSort n))))) with
  84 [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H2: (eq T (TSort n) (TLRef n0))).(let H3
  85 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
  86 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False |
  87 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef n0) H2) in (False_ind (eq T
  88 (TLRef n0) (TSort n)) H3)))]) in (H2 (refl_equal T (TLRef n0)))))) (\lambda
  89 (H0: (le d n0)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0)) (\lambda (t0:
  90 T).(eq T (TSort n) t0)) H (TLRef (plus n0 h)) (lift_lref_ge n0 h d H0)) in
  91 (let H2 \def (match H1 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ?
  92 t0)).((eq T t0 (TLRef (plus n0 h))) \to (eq T (TLRef n0) (TSort n))))) with
  93 [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H2: (eq T (TSort n) (TLRef (plus n0
  94 h)))).(let H3 \def (eq_ind T (TSort n) (\lambda (e: T).(match e in T return
  95 (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _)
  96 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef (plus n0 h))
  97 H2) in (False_ind (eq T (TLRef n0) (TSort n)) H3)))]) in (H2 (refl_equal T
  98 (TLRef (plus n0 h)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
  99 (((eq T (TSort n) (lift h d t0)) \to (eq T t0 (TSort n))))).(\lambda (t1:
 100 T).(\lambda (_: (((eq T (TSort n) (lift h d t1)) \to (eq T t1 (TSort
 101 n))))).(\lambda (H1: (eq T (TSort n) (lift h d (THead k t0 t1)))).(let H2
 102 \def (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n)
 103 t2)) H1 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d))
 104 in (let H3 \def (match H2 in eq return (\lambda (t2: T).(\lambda (_: (eq ? ?
 105 t2)).((eq T t2 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) \to (eq T (THead
 106 k t0 t1) (TSort n))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H3: (eq T
 107 (TSort n) (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)))).(let H4 \def (eq_ind
 108 T (TSort n) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 109 [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
 110 \Rightarrow False])) I (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H3) in
 111 (False_ind (eq T (THead k t0 t1) (TSort n)) H4)))]) in (H3 (refl_equal T
 112 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)))))))))))) t)))).
 113
 114 theorem lift_gen_lref:
 115  \forall (t: T).(\forall (d: nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T
 116 (TLRef i) (lift h d t)) \to (or (land (lt i d) (eq T t (TLRef i))) (land (le
 117 (plus d h) i) (eq T t (TLRef (minus i h)))))))))
 118 \def
 119  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: nat).(\forall (h:
 120 nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t0)) \to (or (land (lt i d)
 121 (eq T t0 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t0 (TLRef (minus i
 122 h)))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda
 123 (i: nat).(\lambda (H: (eq T (TLRef i) (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def
 124 (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef i) t0)) H (TSort
 125 n) (lift_sort n h d)) in (let H1 \def (eq_ind T (TLRef i) (\lambda (ee:
 126 T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 127 False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
 128 (TSort n) H0) in (False_ind (or (land (lt i d) (eq T (TSort n) (TLRef i)))
 129 (land (le (plus d h) i) (eq T (TSort n) (TLRef (minus i h))))) H1))))))))
 130 (\lambda (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (i:
 131 nat).(\lambda (H: (eq T (TLRef i) (lift h d (TLRef n)))).(lt_le_e n d (or
 132 (land (lt i d) (eq T (TLRef n) (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T
 133 (TLRef n) (TLRef (minus i h))))) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind
 134 T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef i) t0)) H (TLRef n)
 135 (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
 136 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow i |
 137 (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _) \Rightarrow i])) (TLRef i) (TLRef
 138 n) H1) in (eq_ind_r nat n (\lambda (n0: nat).(or (land (lt n0 d) (eq T (TLRef
 139 n) (TLRef n0))) (land (le (plus d h) n0) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n0
 140 h)))))) (or_introl (land (lt n d) (eq T (TLRef n) (TLRef n))) (land (le (plus
 141 d h) n) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n h)))) (conj (lt n d) (eq T (TLRef n)
 142 (TLRef n)) H0 (refl_equal T (TLRef n)))) i H2)))) (\lambda (H0: (le d
 143 n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef
 144 i) t0)) H (TLRef (plus n h)) (lift_lref_ge n h d H0)) in (let H2 \def
 145 (f_equal T nat (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with
 146 [(TSort _) \Rightarrow i | (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _)
 147 \Rightarrow i])) (TLRef i) (TLRef (plus n h)) H1) in (eq_ind_r nat (plus n h)
 148 (\lambda (n0: nat).(or (land (lt n0 d) (eq T (TLRef n) (TLRef n0))) (land (le
 149 (plus d h) n0) (eq T (TLRef n) (TLRef (minus n0 h)))))) (eq_ind_r nat n
 150 (\lambda (n0: nat).(or (land (lt (plus n h) d) (eq T (TLRef n) (TLRef (plus n
 151 h)))) (land (le (plus d h) (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n0)))))
 152 (or_intror (land (lt (plus n h) d) (eq T (TLRef n) (TLRef (plus n h)))) (land
 153 (le (plus d h) (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n))) (conj (le (plus d h)
 154 (plus n h)) (eq T (TLRef n) (TLRef n)) (plus_le_compat d n h h H0 (le_n h))
 155 (refl_equal T (TLRef n)))) (minus (plus n h) h) (minus_plus_r n h)) i
 156 H2)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: ((\forall (d:
 157 nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t0)) \to
 158 (or (land (lt i d) (eq T t0 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t0
 159 (TLRef (minus i h))))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: ((\forall (d:
 160 nat).(\forall (h: nat).(\forall (i: nat).((eq T (TLRef i) (lift h d t1)) \to
 161 (or (land (lt i d) (eq T t1 (TLRef i))) (land (le (plus d h) i) (eq T t1
 162 (TLRef (minus i h))))))))))).(\lambda (d: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (i:
 163 nat).(\lambda (H1: (eq T (TLRef i) (lift h d (THead k t0 t1)))).(let H2 \def
 164 (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef i) t2)) H1
 165 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in (let
 166 H3 \def (eq_ind T (TLRef i) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda
 167 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 168 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d)
 169 t1)) H2) in (False_ind (or (land (lt i d) (eq T (THead k t0 t1) (TLRef i)))
 170 (land (le (plus d h) i) (eq T (THead k t0 t1) (TLRef (minus i h)))))
 171 H3)))))))))))) t).
 172
 173 theorem lift_gen_lref_lt:
 174  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((lt n d) \to (\forall
 175 (t: T).((eq T (TLRef n) (lift h d t)) \to (eq T t (TLRef n)))))))
 176 \def
 177  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt n
 178 d)).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).((eq T (TLRef n) (lift h d t0))
 179 \to (eq T t0 (TLRef n)))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: (eq T (TLRef n)
 180 (lift h d (TSort n0)))).(sym_eq T (TLRef n) (TSort n0) H0))) (\lambda (n0:
 181 nat).(\lambda (H0: (eq T (TLRef n) (lift h d (TLRef n0)))).(lt_le_e n0 d (eq
 182 T (TLRef n0) (TLRef n)) (\lambda (H1: (lt n0 d)).(let H2 \def (eq_ind T (lift
 183 h d (TLRef n0)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0)) H0 (TLRef n0)
 184 (lift_lref_lt n0 h d H1)) in (sym_eq T (TLRef n) (TLRef n0) H2))) (\lambda
 185 (H1: (le d n0)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0)) (\lambda (t0:
 186 T).(eq T (TLRef n) t0)) H0 (TLRef (plus n0 h)) (lift_lref_ge n0 h d H1)) in
 187 (let H3 \def (match H2 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ?
 188 t0)).((eq T t0 (TLRef (plus n0 h))) \to (eq T (TLRef n0) (TLRef n))))) with
 189 [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H3: (eq T (TLRef n) (TLRef (plus n0
 190 h)))).(let H4 \def (f_equal T nat (\lambda (e: T).(match e in T return
 191 (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow n | (TLRef n1) \Rightarrow
 192 n1 | (THead _ _ _) \Rightarrow n])) (TLRef n) (TLRef (plus n0 h)) H3) in
 193 (eq_ind nat (plus n0 h) (\lambda (n1: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n1))) (let
 194 H5 \def (eq_ind nat n (\lambda (n1: nat).(lt n1 d)) H (plus n0 h) H4) in
 195 (le_false d n0 (eq T (TLRef n0) (TLRef (plus n0 h))) H1 (lt_le_S n0 d
 196 (lt_le_trans n0 (S (plus n0 h)) d (le_lt_n_Sm n0 (plus n0 h) (le_plus_l n0
 197 h)) (lt_le_S (plus n0 h) d H5))))) n (sym_eq nat n (plus n0 h) H4))))]) in
 198 (H3 (refl_equal T (TLRef (plus n0 h)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0:
 199 T).(\lambda (_: (((eq T (TLRef n) (lift h d t0)) \to (eq T t0 (TLRef
 200 n))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: (((eq T (TLRef n) (lift h d t1)) \to (eq
 201 T t1 (TLRef n))))).(\lambda (H2: (eq T (TLRef n) (lift h d (THead k t0
 202 t1)))).(let H3 \def (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq
 203 T (TLRef n) t2)) H2 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k
 204 t0 t1 h d)) in (let H4 \def (match H3 in eq return (\lambda (t2: T).(\lambda
 205 (_: (eq ? ? t2)).((eq T t2 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) \to
 206 (eq T (THead k t0 t1) (TLRef n))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda
 207 (H4: (eq T (TLRef n) (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)))).(let H5
 208 \def (eq_ind T (TLRef n) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
 209 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 210 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d)
 211 t1)) H4) in (False_ind (eq T (THead k t0 t1) (TLRef n)) H5)))]) in (H4
 212 (refl_equal T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)))))))))))) t))))).
 213
 214 theorem lift_gen_lref_false:
 215  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((le d n) \to ((lt n
 216 (plus d h)) \to (\forall (t: T).((eq T (TLRef n) (lift h d t)) \to (\forall
 217 (P: Prop).P)))))))
 218 \def
 219  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le d
 220 n)).(\lambda (H0: (lt n (plus d h))).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0:
 221 T).((eq T (TLRef n) (lift h d t0)) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (n0:
 222 nat).(\lambda (H1: (eq T (TLRef n) (lift h d (TSort n0)))).(\lambda (P:
 223 Prop).(let H2 \def (match H1 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ?
 224 ? t0)).((eq T t0 (lift h d (TSort n0))) \to P))) with [refl_equal \Rightarrow
 225 (\lambda (H2: (eq T (TLRef n) (lift h d (TSort n0)))).(let H3 \def (eq_ind T
 226 (TLRef n) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 227 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _)
 228 \Rightarrow False])) I (lift h d (TSort n0)) H2) in (False_ind P H3)))]) in
 229 (H2 (refl_equal T (lift h d (TSort n0)))))))) (\lambda (n0: nat).(\lambda
 230 (H1: (eq T (TLRef n) (lift h d (TLRef n0)))).(\lambda (P: Prop).(lt_le_e n0 d
 231 P (\lambda (H2: (lt n0 d)).(let H3 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0))
 232 (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0)) H1 (TLRef n0) (lift_lref_lt n0 h d H2))
 233 in (let H4 \def (match H3 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ?
 234 t0)).((eq T t0 (TLRef n0)) \to P))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda
 235 (H4: (eq T (TLRef n) (TLRef n0))).(let H5 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
 236 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow n |
 237 (TLRef n1) \Rightarrow n1 | (THead _ _ _) \Rightarrow n])) (TLRef n) (TLRef
 238 n0) H4) in (eq_ind nat n0 (\lambda (_: nat).P) (let H6 \def (eq_ind_r nat n0
 239 (\lambda (n1: nat).(lt n1 d)) H2 n H5) in (le_false d n P H H6)) n (sym_eq
 240 nat n n0 H5))))]) in (H4 (refl_equal T (TLRef n0)))))) (\lambda (H2: (le d
 241 n0)).(let H3 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0)) (\lambda (t0: T).(eq T
 242 (TLRef n) t0)) H1 (TLRef (plus n0 h)) (lift_lref_ge n0 h d H2)) in (let H4
 243 \def (match H3 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T
 244 t0 (TLRef (plus n0 h))) \to P))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H4:
 245 (eq T (TLRef n) (TLRef (plus n0 h)))).(let H5 \def (f_equal T nat (\lambda
 246 (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow
 247 n | (TLRef n1) \Rightarrow n1 | (THead _ _ _) \Rightarrow n])) (TLRef n)
 248 (TLRef (plus n0 h)) H4) in (eq_ind nat (plus n0 h) (\lambda (_: nat).P) (let
 249 H6 \def (eq_ind nat n (\lambda (n1: nat).(lt n1 (plus d h))) H0 (plus n0 h)
 250 H5) in (le_false d n0 P H2 (lt_le_S n0 d (simpl_lt_plus_r h n0 d H6)))) n
 251 (sym_eq nat n (plus n0 h) H5))))]) in (H4 (refl_equal T (TLRef (plus n0
 252 h))))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (((eq T (TLRef n)
 253 (lift h d t0)) \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_:
 254 (((eq T (TLRef n) (lift h d t1)) \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (H3:
 255 (eq T (TLRef n) (lift h d (THead k t0 t1)))).(\lambda (P: Prop).(let H4 \def
 256 (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) t2)) H3
 257 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in (let
 258 H5 \def (match H4 in eq return (\lambda (t2: T).(\lambda (_: (eq ? ?
 259 t2)).((eq T t2 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) \to P))) with
 260 [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H5: (eq T (TLRef n) (THead k (lift h d t0)
 261 (lift h (s k d) t1)))).(let H6 \def (eq_ind T (TLRef n) (\lambda (e:
 262 T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 263 False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I
 264 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H5) in (False_ind P H6)))]) in
 265 (H5 (refl_equal T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)))))))))))))
 266 t)))))).
 267
 268 theorem lift_gen_lref_ge:
 269  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (n: nat).((le d n) \to (\forall
 270 (t: T).((eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d t)) \to (eq T t (TLRef n)))))))
 271 \def
 272  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (le d
 273 n)).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).((eq T (TLRef (plus n h)) (lift h
 274 d t0)) \to (eq T t0 (TLRef n)))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: (eq T
 275 (TLRef (plus n h)) (lift h d (TSort n0)))).(let H1 \def (match H0 in eq
 276 return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (lift h d (TSort
 277 n0))) \to (eq T (TSort n0) (TLRef n))))) with [refl_equal \Rightarrow
 278 (\lambda (H1: (eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d (TSort n0)))).(let H2 \def
 279 (eq_ind T (TLRef (plus n h)) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
 280 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True |
 281 (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (lift h d (TSort n0)) H1) in (False_ind
 282 (eq T (TSort n0) (TLRef n)) H2)))]) in (H1 (refl_equal T (lift h d (TSort
 283 n0))))))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: (eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d
 284 (TLRef n0)))).(lt_le_e n0 d (eq T (TLRef n0) (TLRef n)) (\lambda (H1: (lt n0
 285 d)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n0)) (\lambda (t0: T).(eq T
 286 (TLRef (plus n h)) t0)) H0 (TLRef n0) (lift_lref_lt n0 h d H1)) in (let H3
 287 \def (match H2 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T
 288 t0 (TLRef n0)) \to (eq T (TLRef n0) (TLRef n))))) with [refl_equal
 289 \Rightarrow (\lambda (H3: (eq T (TLRef (plus n h)) (TLRef n0))).(let H4 \def
 290 (f_equal T nat (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with
 291 [(TSort _) \Rightarrow ((let rec plus (n1: nat) on n1: (nat \to nat) \def
 292 (\lambda (m: nat).(match n1 with [O \Rightarrow m | (S p) \Rightarrow (S
 293 (plus p m))])) in plus) n h) | (TLRef n1) \Rightarrow n1 | (THead _ _ _)
 294 \Rightarrow ((let rec plus (n1: nat) on n1: (nat \to nat) \def (\lambda (m:
 295 nat).(match n1 with [O \Rightarrow m | (S p) \Rightarrow (S (plus p m))])) in
 296 plus) n h)])) (TLRef (plus n h)) (TLRef n0) H3) in (eq_ind nat (plus n h)
 297 (\lambda (n1: nat).(eq T (TLRef n1) (TLRef n))) (let H5 \def (eq_ind_r nat n0
 298 (\lambda (n1: nat).(lt n1 d)) H1 (plus n h) H4) in (le_false d n (eq T (TLRef
 299 (plus n h)) (TLRef n)) H (lt_le_S n d (simpl_lt_plus_r h n d (lt_le_trans
 300 (plus n h) d (plus d h) H5 (le_plus_l d h)))))) n0 H4)))]) in (H3 (refl_equal
 301 T (TLRef n0)))))) (\lambda (H1: (le d n0)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d
 302 (TLRef n0)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n h)) t0)) H0 (TLRef (plus n0
 303 h)) (lift_lref_ge n0 h d H1)) in (let H3 \def (match H2 in eq return (\lambda
 304 (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef (plus n0 h))) \to (eq T
 305 (TLRef n0) (TLRef n))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H3: (eq T
 306 (TLRef (plus n h)) (TLRef (plus n0 h)))).(let H4 \def (f_equal T nat (\lambda
 307 (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow
 308 ((let rec plus (n1: nat) on n1: (nat \to nat) \def (\lambda (m: nat).(match
 309 n1 with [O \Rightarrow m | (S p) \Rightarrow (S (plus p m))])) in plus) n h)
 310 | (TLRef n1) \Rightarrow n1 | (THead _ _ _) \Rightarrow ((let rec plus (n1:
 311 nat) on n1: (nat \to nat) \def (\lambda (m: nat).(match n1 with [O
 312 \Rightarrow m | (S p) \Rightarrow (S (plus p m))])) in plus) n h)])) (TLRef
 313 (plus n h)) (TLRef (plus n0 h)) H3) in (eq_ind nat (plus n h) (\lambda (_:
 314 nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (f_equal nat T TLRef n0 n (simpl_plus_r h
 315 n0 n (sym_eq nat (plus n h) (plus n0 h) H4))) (plus n0 h) H4)))]) in (H3
 316 (refl_equal T (TLRef (plus n0 h)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0:
 317 T).(\lambda (_: (((eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d t0)) \to (eq T t0 (TLRef
 318 n))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: (((eq T (TLRef (plus n h)) (lift h d
 319 t1)) \to (eq T t1 (TLRef n))))).(\lambda (H2: (eq T (TLRef (plus n h)) (lift
 320 h d (THead k t0 t1)))).(let H3 \def (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1))
 321 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (plus n h)) t2)) H2 (THead k (lift h d t0)
 322 (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in (let H4 \def (match H3 in eq
 323 return (\lambda (t2: T).(\lambda (_: (eq ? ? t2)).((eq T t2 (THead k (lift h
 324 d t0) (lift h (s k d) t1))) \to (eq T (THead k t0 t1) (TLRef n))))) with
 325 [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H4: (eq T (TLRef (plus n h)) (THead k (lift
 326 h d t0) (lift h (s k d) t1)))).(let H5 \def (eq_ind T (TLRef (plus n h))
 327 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
 328 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow True | (THead _ _ _) \Rightarrow
 329 False])) I (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H4) in (False_ind (eq
 330 T (THead k t0 t1) (TLRef n)) H5)))]) in (H4 (refl_equal T (THead k (lift h d
 331 t0) (lift h (s k d) t1)))))))))))) t))))).
 332
 333 theorem lift_gen_head:
 334  \forall (k: K).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 335 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T T
 336 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead k y z)))) (\lambda (y:
 337 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 338 T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))))))
 339 \def
 340  \lambda (k: K).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(T_ind
 341 (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k u t)
 342 (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead
 343 k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 344 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z))))))))) (\lambda (n:
 345 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k u t)
 346 (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def (match H in eq return (\lambda (t0:
 347 T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (lift h d (TSort n))) \to (ex3_2 T T
 348 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TSort n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 349 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 350 T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda
 351 (H0: (eq T (THead k u t) (lift h d (TSort n)))).(let H1 \def (eq_ind T (THead
 352 k u t) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 353 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
 354 \Rightarrow True])) I (lift h d (TSort n)) H0) in (False_ind (ex3_2 T T
 355 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TSort n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 356 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 357 T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) H1)))]) in (H0 (refl_equal T (lift h d
 358 (TSort n))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 359 nat).(\lambda (H: (eq T (THead k u t) (lift h d (TLRef n)))).(lt_le_e n d
 360 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z))))
 361 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 362 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) (\lambda (H0: (lt n
 363 d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead
 364 k u t) t0)) H (TLRef n) (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def (match H1 in
 365 eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef n)) \to
 366 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z))))
 367 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 368 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))) with [refl_equal
 369 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq T (THead k u t) (TLRef n))).(let H3 \def
 370 (eq_ind T (THead k u t) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
 371 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False |
 372 (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H2) in (False_ind (ex3_2 T T
 373 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 374 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 375 T).(eq T t (lift h (s k d) z))))) H3)))]) in (H2 (refl_equal T (TLRef n))))))
 376 (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda
 377 (t0: T).(eq T (THead k u t) t0)) H (TLRef (plus n h)) (lift_lref_ge n h d
 378 H0)) in (let H2 \def (match H1 in eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq
 379 ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef (plus n h))) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 380 T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 381 (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift
 382 h (s k d) z)))))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H2: (eq T (THead k
 383 u t) (TLRef (plus n h)))).(let H3 \def (eq_ind T (THead k u t) (\lambda (e:
 384 T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 385 False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I
 386 (TLRef (plus n h)) H2) in (False_ind (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z:
 387 T).(eq T (TLRef n) (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u
 388 (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k d)
 389 z))))) H3)))]) in (H2 (refl_equal T (TLRef (plus n h)))))))))))) (\lambda
 390 (k0: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d:
 391 nat).((eq T (THead k u t) (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 392 T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 393 T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s
 394 k d) z)))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall
 395 (d: nat).((eq T (THead k u t) (lift h d t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 396 T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead k y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 397 T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s
 398 k d) z)))))))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T
 399 (THead k u t) (lift h d (THead k0 t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d
 400 (THead k0 t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k u t) t2)) H1 (THead k0
 401 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1)) (lift_head k0 t0 t1 h d)) in (let H3 \def
 402 (match H2 in eq return (\lambda (t2: T).(\lambda (_: (eq ? ? t2)).((eq T t2
 403 (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1))) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 404 T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead k y z)))) (\lambda (y:
 405 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 406 T).(eq T t (lift h (s k d) z)))))))) with [refl_equal \Rightarrow (\lambda
 407 (H3: (eq T (THead k u t) (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1)))).(let
 408 H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T)
 409 with [(TSort _) \Rightarrow t | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ _ t2)
 410 \Rightarrow t2])) (THead k u t) (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1))
 411 H3) in ((let H5 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
 412 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u |
 413 (THead _ t2 _) \Rightarrow t2])) (THead k u t) (THead k0 (lift h d t0) (lift
 414 h (s k0 d) t1)) H3) in ((let H6 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e in
 415 T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _) \Rightarrow k | (TLRef _)
 416 \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1])) (THead k u t) (THead k0
 417 (lift h d t0) (lift h (s k0 d) t1)) H3) in (eq_ind K k0 (\lambda (k1: K).((eq
 418 T u (lift h d t0)) \to ((eq T t (lift h (s k0 d) t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda
 419 (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead k1 y z)))) (\lambda (y:
 420 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 421 T).(eq T t (lift h (s k1 d) z)))))))) (\lambda (H7: (eq T u (lift h d
 422 t0))).(eq_ind T (lift h d t0) (\lambda (t2: T).((eq T t (lift h (s k0 d) t1))
 423 \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead
 424 k0 y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift h d y)))) (\lambda
 425 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (s k0 d) z))))))) (\lambda (H8: (eq T
 426 t (lift h (s k0 d) t1))).(eq_ind T (lift h (s k0 d) t1) (\lambda (t2:
 427 T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead
 428 k0 y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t0) (lift h d
 429 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t2 (lift h (s k0 d) z))))))
 430 (ex3_2_intro T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1)
 431 (THead k0 y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t0) (lift h
 432 d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (s k0 d) t1) (lift h (s
 433 k0 d) z)))) t0 t1 (refl_equal T (THead k0 t0 t1)) (refl_equal T (lift h d
 434 t0)) (refl_equal T (lift h (s k0 d) t1))) t (sym_eq T t (lift h (s k0 d) t1)
 435 H8))) u (sym_eq T u (lift h d t0) H7))) k (sym_eq K k k0 H6))) H5)) H4)))])
 436 in (H3 (refl_equal T (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0 d)
 437 t1)))))))))))))) x)))).
 438
 439 theorem lift_gen_bind:
 440  \forall (b: B).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 441 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Bind b) u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T
 442 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y z)))) (\lambda
 443 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 444 T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))))))
 445 \def
 446  \lambda (b: B).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(T_ind
 447 (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Bind b) u
 448 t) (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0
 449 (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d
 450 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))))
 451 (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T
 452 (THead (Bind b) u t) (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def (match H in eq
 453 return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (lift h d (TSort
 454 n))) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TSort n) (THead
 455 (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y))))
 456 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))) with
 457 [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H0: (eq T (THead (Bind b) u t) (lift h d
 458 (TSort n)))).(let H1 \def (eq_ind T (THead (Bind b) u t) (\lambda (e:
 459 T).(match e in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow
 460 False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I
 461 (lift h d (TSort n)) H0) in (False_ind (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda
 462 (z: T).(eq T (TSort n) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 463 T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S
 464 d) z))))) H1)))]) in (H0 (refl_equal T (lift h d (TSort n))))))))) (\lambda
 465 (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Bind
 466 b) u t) (lift h d (TLRef n)))).(lt_le_e n d (ex3_2 T T (\lambda (y:
 467 T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y:
 468 T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 469 T).(eq T t (lift h (S d) z))))) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind
 470 T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead (Bind b) u t) t0)) H
 471 (TLRef n) (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def (match H1 in eq return
 472 (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef n)) \to (ex3_2 T
 473 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Bind b) y z))))
 474 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 475 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))) with [refl_equal
 476 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq T (THead (Bind b) u t) (TLRef n))).(let H3 \def
 477 (eq_ind T (THead (Bind b) u t) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
 478 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False
 479 | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H2) in (False_ind (ex3_2 T T
 480 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Bind b) y z))))
 481 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 482 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z))))) H3)))]) in (H2 (refl_equal T
 483 (TLRef n)))))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d
 484 (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead (Bind b) u t) t0)) H (TLRef (plus n
 485 h)) (lift_lref_ge n h d H0)) in (let H2 \def (match H1 in eq return (\lambda
 486 (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef (plus n h))) \to (ex3_2 T
 487 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Bind b) y z))))
 488 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 489 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))) with [refl_equal
 490 \Rightarrow (\lambda (H2: (eq T (THead (Bind b) u t) (TLRef (plus n
 491 h)))).(let H3 \def (eq_ind T (THead (Bind b) u t) (\lambda (e: T).(match e in
 492 T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 493 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef (plus n h))
 494 H2) in (False_ind (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n)
 495 (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d
 496 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z))))) H3)))]) in
 497 (H2 (refl_equal T (TLRef (plus n h)))))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0:
 498 T).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Bind b) u
 499 t) (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0
 500 (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d
 501 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d)
 502 z)))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d:
 503 nat).((eq T (THead (Bind b) u t) (lift h d t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 504 T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 505 (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift
 506 h (S d) z)))))))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T
 507 (THead (Bind b) u t) (lift h d (THead k t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T
 508 (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) u t) t2))
 509 H1 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in
 510 (let H3 \def (match H2 in eq return (\lambda (t2: T).(\lambda (_: (eq ? ?
 511 t2)).((eq T t2 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) \to (ex3_2 T T
 512 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead (Bind b) y z))))
 513 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 514 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))) with [refl_equal
 515 \Rightarrow (\lambda (H3: (eq T (THead (Bind b) u t) (THead k (lift h d t0)
 516 (lift h (s k d) t1)))).(let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in
 517 T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t | (TLRef _)
 518 \Rightarrow t | (THead _ _ t2) \Rightarrow t2])) (THead (Bind b) u t) (THead
 519 k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H3) in ((let H5 \def (f_equal T T
 520 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _)
 521 \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u | (THead _ t2 _) \Rightarrow t2]))
 522 (THead (Bind b) u t) (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H3) in ((let
 523 H6 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K)
 524 with [(TSort _) \Rightarrow (Bind b) | (TLRef _) \Rightarrow (Bind b) |
 525 (THead k0 _ _) \Rightarrow k0])) (THead (Bind b) u t) (THead k (lift h d t0)
 526 (lift h (s k d) t1)) H3) in (eq_ind K (Bind b) (\lambda (k0: K).((eq T u
 527 (lift h d t0)) \to ((eq T t (lift h (s k0 d) t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 528 T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda
 529 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 530 T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))) (\lambda (H7: (eq T u (lift h d
 531 t0))).(eq_ind T (lift h d t0) (\lambda (t2: T).((eq T t (lift h (s (Bind b)
 532 d) t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Bind b)
 533 t0 t1) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift
 534 h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h (S d) z)))))))
 535 (\lambda (H8: (eq T t (lift h (s (Bind b) d) t1))).(eq_ind T (lift h (s (Bind
 536 b) d) t1) (\lambda (t2: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T
 537 (THead (Bind b) t0 t1) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 538 T).(eq T (lift h d t0) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T
 539 t2 (lift h (S d) z)))))) (ex3_2_intro T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq
 540 T (THead (Bind b) t0 t1) (THead (Bind b) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_:
 541 T).(eq T (lift h d t0) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T
 542 (lift h (s (Bind b) d) t1) (lift h (S d) z)))) t0 t1 (refl_equal T (THead
 543 (Bind b) t0 t1)) (refl_equal T (lift h d t0)) (refl_equal T (lift h (S d)
 544 t1))) t (sym_eq T t (lift h (s (Bind b) d) t1) H8))) u (sym_eq T u (lift h d
 545 t0) H7))) k H6)) H5)) H4)))]) in (H3 (refl_equal T (THead k (lift h d t0)
 546 (lift h (s k d) t1)))))))))))))) x)))).
 547
 548 theorem lift_gen_flat:
 549  \forall (f: F).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h:
 550 nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d x)) \to (ex3_2 T
 551 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Flat f) y z)))) (\lambda
 552 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 553 T).(eq T t (lift h d z)))))))))))
 554 \def
 555  \lambda (f: F).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (x: T).(T_ind
 556 (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Flat f) u
 557 t) (lift h d t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0
 558 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d
 559 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))))))) (\lambda
 560 (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Flat
 561 f) u t) (lift h d (TSort n)))).(let H0 \def (match H in eq return (\lambda
 562 (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (lift h d (TSort n))) \to (ex3_2
 563 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TSort n) (THead (Flat f) y z))))
 564 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 565 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))))))) with [refl_equal \Rightarrow
 566 (\lambda (H0: (eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d (TSort n)))).(let H1 \def
 567 (eq_ind T (THead (Flat f) u t) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
 568 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False
 569 | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (lift h d (TSort n)) H0) in (False_ind
 570 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TSort n) (THead (Flat f) y
 571 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 572 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))) H1)))]) in (H0 (refl_equal T
 573 (lift h d (TSort n))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 574 nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d (TLRef n)))).(lt_le_e
 575 n d (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Flat
 576 f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 577 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))) (\lambda (H0: (lt n d)).(let
 578 H1 \def (eq_ind T (lift h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead (Flat f)
 579 u t) t0)) H (TLRef n) (lift_lref_lt n h d H0)) in (let H2 \def (match H1 in
 580 eq return (\lambda (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef n)) \to
 581 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Flat f) y
 582 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 583 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))))))) with [refl_equal \Rightarrow
 584 (\lambda (H2: (eq T (THead (Flat f) u t) (TLRef n))).(let H3 \def (eq_ind T
 585 (THead (Flat f) u t) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_:
 586 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False |
 587 (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H2) in (False_ind (ex3_2 T T
 588 (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Flat f) y z))))
 589 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 590 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))) H3)))]) in (H2 (refl_equal T
 591 (TLRef n)))))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d
 592 (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T (THead (Flat f) u t) t0)) H (TLRef (plus n
 593 h)) (lift_lref_ge n h d H0)) in (let H2 \def (match H1 in eq return (\lambda
 594 (t0: T).(\lambda (_: (eq ? ? t0)).((eq T t0 (TLRef (plus n h))) \to (ex3_2 T
 595 T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Flat f) y z))))
 596 (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 597 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))))))) with [refl_equal \Rightarrow
 598 (\lambda (H2: (eq T (THead (Flat f) u t) (TLRef (plus n h)))).(let H3 \def
 599 (eq_ind T (THead (Flat f) u t) (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
 600 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False
 601 | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef (plus n h)) H2) in (False_ind
 602 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (TLRef n) (THead (Flat f) y
 603 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 604 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))) H3)))]) in (H2 (refl_equal T
 605 (TLRef (plus n h)))))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
 606 ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d
 607 t0)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t0 (THead (Flat f)
 608 y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_:
 609 T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda
 610 (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Flat f) u t) (lift h
 611 d t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Flat
 612 f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda
 613 (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z)))))))))).(\lambda (h:
 614 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (THead (Flat f) u t) (lift h d
 615 (THead k t0 t1)))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead k t0 t1)) (\lambda
 616 (t2: T).(eq T (THead (Flat f) u t) t2)) H1 (THead k (lift h d t0) (lift h (s
 617 k d) t1)) (lift_head k t0 t1 h d)) in (let H3 \def (match H2 in eq return
 618 (\lambda (t2: T).(\lambda (_: (eq ? ? t2)).((eq T t2 (THead k (lift h d t0)
 619 (lift h (s k d) t1))) \to (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T
 620 (THead k t0 t1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 621 u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))))))
 622 with [refl_equal \Rightarrow (\lambda (H3: (eq T (THead (Flat f) u t) (THead
 623 k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)))).(let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e:
 624 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t |
 625 (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ _ t2) \Rightarrow t2])) (THead (Flat f) u
 626 t) (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H3) in ((let H5 \def (f_equal
 627 T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _)
 628 \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u | (THead _ t2 _) \Rightarrow t2]))
 629 (THead (Flat f) u t) (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1)) H3) in ((let
 630 H6 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K)
 631 with [(TSort _) \Rightarrow (Flat f) | (TLRef _) \Rightarrow (Flat f) |
 632 (THead k0 _ _) \Rightarrow k0])) (THead (Flat f) u t) (THead k (lift h d t0)
 633 (lift h (s k d) t1)) H3) in (eq_ind K (Flat f) (\lambda (k0: K).((eq T u
 634 (lift h d t0)) \to ((eq T t (lift h (s k0 d) t1)) \to (ex3_2 T T (\lambda (y:
 635 T).(\lambda (z: T).(eq T (THead k0 t0 t1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda
 636 (y: T).(\lambda (_: T).(eq T u (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 637 T).(eq T t (lift h d z)))))))) (\lambda (H7: (eq T u (lift h d t0))).(eq_ind
 638 T (lift h d t0) (\lambda (t2: T).((eq T t (lift h (s (Flat f) d) t1)) \to
 639 (ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead (Flat f) t0 t1)
 640 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T t2 (lift h d
 641 y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t (lift h d z))))))) (\lambda
 642 (H8: (eq T t (lift h (s (Flat f) d) t1))).(eq_ind T (lift h (s (Flat f) d)
 643 t1) (\lambda (t2: T).(ex3_2 T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead
 644 (Flat f) t0 t1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 645 (lift h d t0) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T t2 (lift
 646 h d z)))))) (ex3_2_intro T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T (THead
 647 (Flat f) t0 t1) (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 648 (lift h d t0) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h
 649 (s (Flat f) d) t1) (lift h d z)))) t0 t1 (refl_equal T (THead (Flat f) t0
 650 t1)) (refl_equal T (lift h d t0)) (refl_equal T (lift h d t1))) t (sym_eq T t
 651 (lift h (s (Flat f) d) t1) H8))) u (sym_eq T u (lift h d t0) H7))) k H6))
 652 H5)) H4)))]) in (H3 (refl_equal T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d)
 653 t1)))))))))))))) x)))).
 654