matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/lift/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/lift/props".
  18
  19 include "tlist/defs.ma".
  20
  21 include "lift/fwd.ma".
  22
  23 include "s/props.ma".
  24
  25 theorem thead_x_lift_y_y:
  26  \forall (k: K).(\forall (t: T).(\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall
  27 (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t)) t) \to (\forall (P: Prop).P))))))
  28 \def
  29  \lambda (k: K).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (v:
  30 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t0)) t0)
  31 \to (\forall (P: Prop).P)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (v: T).(\lambda (h:
  32 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k v (lift h d (TSort n)))
  33 (TSort n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (THead k v (lift h d
  34 (TSort n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
  35 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
  36 \Rightarrow True])) I (TSort n) H) in (False_ind P H0)))))))) (\lambda (n:
  37 nat).(\lambda (v: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T
  38 (THead k v (lift h d (TLRef n))) (TLRef n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  39 (eq_ind T (THead k v (lift h d (TLRef n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T
  40 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
  41 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H) in
  42 (False_ind P H0)))))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
  43 ((\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift
  44 h d t0)) t0) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0:
  45 ((\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift
  46 h d t1)) t1) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (v: T).(\lambda (h:
  47 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (THead k v (lift h d (THead k0 t0
  48 t1))) (THead k0 t0 t1))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal T K
  49 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _)
  50 \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1]))
  51 (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1) H1) in ((let H3 \def
  52 (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with
  53 [(TSort _) \Rightarrow v | (TLRef _) \Rightarrow v | (THead _ t2 _)
  54 \Rightarrow t2])) (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1)
  55 H1) in ((let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
  56 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow (THead k0 ((let rec lref_map
  57 (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with [(TSort
  58 n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0)
  59 with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  60 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  61 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) d t0) ((let rec lref_map (f: ((nat
  62 \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with [(TSort n)
  63 \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0) with
  64 [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  65 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  66 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) (s k0 d) t1)) | (TLRef _) \Rightarrow
  67 (THead k0 ((let rec lref_map (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T
  68 \def (match t2 with [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow
  69 (TLRef (match (blt i d0) with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f
  70 i)])) | (THead k1 u t3) \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f
  71 (s k1 d0) t3))]) in lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) d t0) ((let rec
  72 lref_map (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with
  73 [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i
  74 d0) with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  75 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  76 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) (s k0 d) t1)) | (THead _ _ t2)
  77 \Rightarrow t2])) (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1)
  78 H1) in (\lambda (_: (eq T v t0)).(\lambda (H6: (eq K k k0)).(let H7 \def
  79 (eq_ind K k (\lambda (k1: K).(\forall (v0: T).(\forall (h0: nat).(\forall
  80 (d0: nat).((eq T (THead k1 v0 (lift h0 d0 t1)) t1) \to (\forall (P0:
  81 Prop).P0)))))) H0 k0 H6) in (let H8 \def (eq_ind T (lift h d (THead k0 t0
  82 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 t1)) H4 (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0
  83 d) t1)) (lift_head k0 t0 t1 h d)) in (H7 (lift h d t0) h (s k0 d) H8 P))))))
  84 H3)) H2)))))))))))) t)).
  85
  86 theorem lift_r:
  87  \forall (t: T).(\forall (d: nat).(eq T (lift O d t) t))
  88 \def
  89  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: nat).(eq T (lift O d t0)
  90 t0))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: nat).(refl_equal T (TSort n)))) (\lambda
  91 (n: nat).(\lambda (d: nat).(lt_le_e n d (eq T (lift O d (TLRef n)) (TLRef n))
  92 (\lambda (H: (lt n d)).(eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef
  93 n))) (refl_equal T (TLRef n)) (lift O d (TLRef n)) (lift_lref_lt n O d H)))
  94 (\lambda (H: (le d n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n O)) (\lambda (t0: T).(eq T
  95 t0 (TLRef n))) (f_equal nat T TLRef (plus n O) n (sym_eq nat n (plus n O)
  96 (plus_n_O n))) (lift O d (TLRef n)) (lift_lref_ge n O d H)))))) (\lambda (k:
  97 K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (d: nat).(eq T (lift O d t0)
  98 t0)))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (d: nat).(eq T (lift O d t1)
  99 t1)))).(\lambda (d: nat).(eq_ind_r T (THead k (lift O d t0) (lift O (s k d)
 100 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (THead k t0 t1))) (f_equal3 K T T T THead k k
 101 (lift O d t0) t0 (lift O (s k d) t1) t1 (refl_equal K k) (H d) (H0 (s k d)))
 102 (lift O d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 O d)))))))) t).
 103
 104 theorem lift_lref_gt:
 105  \forall (d: nat).(\forall (n: nat).((lt d n) \to (eq T (lift (S O) d (TLRef
 106 (pred n))) (TLRef n))))
 107 \def
 108  \lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt d n)).(eq_ind_r T (TLRef
 109 (plus (pred n) (S O))) (\lambda (t: T).(eq T t (TLRef n))) (eq_ind nat (plus
 110 (S O) (pred n)) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (eq_ind nat n
 111 (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (refl_equal T (TLRef n)) (S
 112 (pred n)) (S_pred n d H)) (plus (pred n) (S O)) (plus_comm (S O) (pred n)))
 113 (lift (S O) d (TLRef (pred n))) (lift_lref_ge (pred n) (S O) d (le_S_n d
 114 (pred n) (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(le (S d) n0)) H (S (pred n))
 115 (S_pred n d H))))))).
 116
 117 theorem lifts_tapp:
 118  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (v: T).(\forall (vs: TList).(eq
 119 TList (lifts h d (TApp vs v)) (TApp (lifts h d vs) (lift h d v))))))
 120 \def
 121  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (v: T).(\lambda (vs:
 122 TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(eq TList (lifts h d (TApp t v)) (TApp
 123 (lifts h d t) (lift h d v)))) (refl_equal TList (TCons (lift h d v) TNil))
 124 (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: (eq TList (lifts h d (TApp
 125 t0 v)) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v)))).(eq_ind_r TList (TApp (lifts h d
 126 t0) (lift h d v)) (\lambda (t1: TList).(eq TList (TCons (lift h d t) t1)
 127 (TCons (lift h d t) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v))))) (refl_equal TList
 128 (TCons (lift h d t) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v)))) (lifts h d (TApp t0
 129 v)) H)))) vs)))).
 130
 131 theorem lift_inj:
 132  \forall (x: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T
 133 (lift h d x) (lift h d t)) \to (eq T x t)))))
 134 \def
 135  \lambda (x: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (t0: T).(\forall (h:
 136 nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to (eq T t
 137 t0)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 138 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TSort n)) (lift h d t))).(let H0 \def
 139 (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H
 140 (TSort n) (lift_sort n h d)) in (sym_eq T t (TSort n) (lift_gen_sort h d n t
 141 H0)))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 142 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TLRef n)) (lift h d t))).(lt_le_e n d (eq
 143 T (TLRef n) t) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d
 144 (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef n) (lift_lref_lt
 145 n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_lt h d n (lt_le_trans n d
 146 d H0 (le_n d)) t H1)))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift
 147 h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef (plus n h))
 148 (lift_lref_ge n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_ge h d n H0
 149 t H1)))))))))) (\lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t:
 150 T).(((\forall (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t)
 151 (lift h d t0)) \to (eq T t t0)))))) \to (\forall (t0: T).(((\forall (t1:
 152 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1))
 153 \to (eq T t0 t1)))))) \to (\forall (t1: T).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 154 nat).((eq T (lift h d (THead k0 t t0)) (lift h d t1)) \to (eq T (THead k0 t
 155 t0) t1)))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t0:
 156 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to
 157 (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (t1: T).(\forall
 158 (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1)) \to (eq T t0
 159 t1))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1:
 160 (eq T (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T
 161 (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h d t1))) H1
 162 (THead (Bind b) (lift h d t) (lift h (S d) t0)) (lift_bind b t t0 h d)) in
 163 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Bind b) y
 164 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y))))
 165 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) z))))
 166 (eq T (THead (Bind b) t t0) t1) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda
 167 (H3: (eq T t1 (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda (H4: (eq T (lift h d t) (lift
 168 h d x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) x1))).(eq_ind_r
 169 T (THead (Bind b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) t2))
 170 (f_equal3 K T T T THead (Bind b) (Bind b) t x0 t0 x1 (refl_equal K (Bind b))
 171 (H x0 h d H4) (H0 x1 h (S d) H5)) t1 H3)))))) (lift_gen_bind b (lift h d t)
 172 (lift h (S d) t0) t1 h d H2)))))))))))) (\lambda (f: F).(\lambda (t:
 173 T).(\lambda (H: ((\forall (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T
 174 (lift h d t) (lift h d t0)) \to (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda
 175 (H0: ((\forall (t1: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d
 176 t0) (lift h d t1)) \to (eq T t0 t1))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h:
 177 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (lift h d (THead (Flat f) t t0))
 178 (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead (Flat f) t t0))
 179 (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h d t1))) H1 (THead (Flat f) (lift h d t)
 180 (lift h d t0)) (lift_flat f t t0 h d)) in (ex3_2_ind T T (\lambda (y:
 181 T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 182 (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq
 183 T (lift h d t0) (lift h d z)))) (eq T (THead (Flat f) t t0) t1) (\lambda (x0:
 184 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H3: (eq T t1 (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda
 185 (H4: (eq T (lift h d t) (lift h d x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h d t0)
 186 (lift h d x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T
 187 (THead (Flat f) t t0) t2)) (f_equal3 K T T T THead (Flat f) (Flat f) t x0 t0
 188 x1 (refl_equal K (Flat f)) (H x0 h d H4) (H0 x1 h d H5)) t1 H3))))))
 189 (lift_gen_flat f (lift h d t) (lift h d t0) t1 h d H2)))))))))))) k)) x).
 190
 191 theorem lift_gen_lift:
 192  \forall (t1: T).(\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 193 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 194 t1) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 195 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t1 (lift h2 d2 t2)))))))))))
 196 \def
 197  \lambda (t1: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h1:
 198 nat).(\forall (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to
 199 ((eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2:
 200 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2
 201 t2)))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda (h1: nat).(\lambda
 202 (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda (_: (le d1
 203 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TSort n)) (lift h2 (plus d2 h1)
 204 x))).(let H1 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TSort n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 205 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TSort n) (lift_sort n h1 d1)) in (eq_ind_r T
 206 (TSort n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2)))
 207 (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda
 208 (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n)
 209 (lift h2 d2 t2))) (TSort n) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T
 210 (TSort n) t)) (refl_equal T (TSort n)) (lift h1 d1 (TSort n)) (lift_sort n h1
 211 d1)) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T (TSort n) t)) (refl_equal T
 212 (TSort n)) (lift h2 d2 (TSort n)) (lift_sort n h2 d2))) x (lift_gen_sort h2
 213 (plus d2 h1) n x H1))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda
 214 (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda
 215 (H: (le d1 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift h2 (plus d2
 216 h1) x))).(lt_le_e n d1 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 217 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (H1: (lt n
 218 d1)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 219 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef n) (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) in
 220 (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift
 221 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T
 222 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 223 (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef n) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t:
 224 T).(eq T (TLRef n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h1 d1 (TLRef n))
 225 (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef
 226 n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2
 227 (lt_le_trans n d1 d2 H1 H)))) x (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) n
 228 (lt_le_trans n d1 (plus d2 h1) H1 (le_plus_trans d1 d2 h1 H)) x H2))))
 229 (\lambda (H1: (le d1 n)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n))
 230 (\lambda (t: T).(eq T t (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef (plus n h1))
 231 (lift_lref_ge n h1 d1 H1)) in (lt_le_e n d2 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x
 232 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))
 233 (\lambda (H3: (lt n d2)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(ex2
 234 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n)
 235 (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 236 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef
 237 n) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 238 t)) (refl_equal T (TLRef (plus n h1))) (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift_lref_ge n
 239 h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef n) t))
 240 (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2 H3))) x
 241 (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) (plus n h1) (plus_lt_compat_r n d2 h1 H3) x
 242 H2))) (\lambda (H3: (le d2 n)).(lt_le_e n (plus d2 h2) (ex2 T (\lambda (t2:
 243 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2
 244 t2)))) (\lambda (H4: (lt n (plus d2 h2))).(lift_gen_lref_false h2 (plus d2
 245 h1) (plus n h1) (plus_le_compat d2 n h1 h1 H3 (le_n h1)) (eq_ind_r nat (plus
 246 (plus d2 h2) h1) (\lambda (n0: nat).(lt (plus n h1) n0)) (plus_lt_compat_r n
 247 (plus d2 h2) h1 H4) (plus (plus d2 h1) h2) (plus_permute_2_in_3 d2 h1 h2)) x
 248 H2 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 249 (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))))) (\lambda (H4: (le (plus d2 h2) n)).(let H5
 250 \def (eq_ind nat (plus n h1) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2
 251 (plus d2 h1) x))) H2 (plus (minus (plus n h1) h2) h2) (le_plus_minus_sym h2
 252 (plus n h1) (le_plus_trans h2 n h1 (le_trans h2 (plus d2 h2) n (le_plus_r d2
 253 h2) H4)))) in (eq_ind_r T (TLRef (minus (plus n h1) h2)) (\lambda (t: T).(ex2
 254 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n)
 255 (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (minus (plus n
 256 h1) h2)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))
 257 (TLRef (minus n h2)) (eq_ind_r nat (plus (minus n h2) h1) (\lambda (n0:
 258 nat).(eq T (TLRef n0) (lift h1 d1 (TLRef (minus n h2))))) (eq_ind_r T (TLRef
 259 (plus (minus n h2) h1)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus (minus n h2) h1))
 260 t)) (refl_equal T (TLRef (plus (minus n h2) h1))) (lift h1 d1 (TLRef (minus n
 261 h2))) (lift_lref_ge (minus n h2) h1 d1 (le_trans d1 d2 (minus n h2) H
 262 (le_minus d2 n h2 H4)))) (minus (plus n h1) h2) (le_minus_plus h2 n (le_trans
 263 h2 (plus d2 h2) n (le_plus_r d2 h2) H4) h1)) (eq_ind_r nat (plus (minus n h2)
 264 h2) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2 d2 (TLRef (minus n0 h2)))))
 265 (eq_ind_r T (TLRef (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2)) (\lambda (t:
 266 T).(eq T (TLRef (plus (minus n h2) h2)) t)) (f_equal nat T TLRef (plus (minus
 267 n h2) h2) (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2) (f_equal2 nat nat nat
 268 plus (minus n h2) (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2 h2 (sym_eq nat (minus
 269 (plus (minus n h2) h2) h2) (minus n h2) (minus_plus_r (minus n h2) h2))
 270 (refl_equal nat h2))) (lift h2 d2 (TLRef (minus (plus (minus n h2) h2) h2)))
 271 (lift_lref_ge (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2 d2 (le_minus d2 (plus
 272 (minus n h2) h2) h2 (plus_le_compat d2 (minus n h2) h2 h2 (le_minus d2 n h2
 273 H4) (le_n h2))))) n (le_plus_minus_sym h2 n (le_trans h2 (plus d2 h2) n
 274 (le_plus_r d2 h2) H4)))) x (lift_gen_lref_ge h2 (plus d2 h1) (minus (plus n
 275 h1) h2) (arith0 h2 d2 n H4 h1) x H5)))))))))))))))))) (\lambda (k:
 276 K).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall
 277 (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift
 278 h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift
 279 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda
 280 (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 281 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 282 t0) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 283 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda (x:
 284 T).(\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2:
 285 nat).(\lambda (H1: (le d1 d2)).(\lambda (H2: (eq T (lift h1 d1 (THead k t
 286 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(K_ind (\lambda (k0: K).((eq T (lift h1 d1
 287 (THead k0 t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 288 x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k0 t t0) (lift h2 d2
 289 t2)))))) (\lambda (b: B).(\lambda (H3: (eq T (lift h1 d1 (THead (Bind b) t
 290 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (THead
 291 (Bind b) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H3
 292 (THead (Bind b) (lift h1 d1 t) (lift h1 (S d1) t0)) (lift_bind b t t0 h1 d1))
 293 in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y
 294 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2
 295 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h1 (S d1) t0) (lift h2
 296 (S (plus d2 h1)) z)))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 297 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0:
 298 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda
 299 (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T
 300 (lift h1 (S d1) t0) (lift h2 (S (plus d2 h1)) x1))).(eq_ind_r T (THead (Bind
 301 b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3)))
 302 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T
 303 (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2
 304 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (lift h1 d1
 305 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2))))
 306 (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T
 307 t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T
 308 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 309 T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2
 310 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1
 311 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 t0)
 312 (lift h2 d2 t3))))) (let H10 \def (refl_equal nat (plus (S d2) h1)) in (let
 313 H11 \def (eq_ind nat (S (plus d2 h1)) (\lambda (n: nat).(eq T (lift h1 (S d1)
 314 t0) (lift h2 n x1))) H7 (plus (S d2) h1) H10) in (ex2_ind T (\lambda (t2:
 315 T).(eq T x1 (lift h1 (S d1) t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 (S d2)
 316 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) x1) (lift
 317 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) t0) (lift
 318 h2 d2 t2)))) (\lambda (x3: T).(\lambda (H12: (eq T x1 (lift h1 (S d1)
 319 x3))).(\lambda (H13: (eq T t0 (lift h2 (S d2) x3))).(eq_ind_r T (lift h1 (S
 320 d1) x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 321 h1 d1 x2) t2) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 322 h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 (S d2) x3) (\lambda
 323 (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift
 324 h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 325 h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead
 326 (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2:
 327 T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)) (lift h2 d2
 328 t2))) (THead (Bind b) x2 x3) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 329 (lift h1 (S d1) x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 330 (lift h1 (S d1) x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift
 331 h1 (S d1) x3))) (lift h1 d1 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h1
 332 d1)) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))
 333 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))
 334 t2)) (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)))
 335 (lift h2 d2 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h2 d2))) t0 H13) x1
 336 H12)))) (H0 x1 h1 h2 (S d1) (S d2) (le_n_S d1 d2 H1) H11)))) t H9) x0 H8))))
 337 (H x0 h1 h2 d1 d2 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_bind b (lift h1 d1 t) (lift h1
 338 (S d1) t0) x h2 (plus d2 h1) H4))))) (\lambda (f: F).(\lambda (H3: (eq T
 339 (lift h1 d1 (THead (Flat f) t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def
 340 (eq_ind T (lift h1 d1 (THead (Flat f) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift
 341 h2 (plus d2 h1) x))) H3 (THead (Flat f) (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0))
 342 (lift_flat f t t0 h1 d1)) in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z:
 343 T).(eq T x (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 344 (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 345 T).(eq T (lift h1 d1 t0) (lift h2 (plus d2 h1) z)))) (ex2 T (\lambda (t2:
 346 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) t t0)
 347 (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x
 348 (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2
 349 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T (lift h1 d1 t0) (lift h2 (plus d2 h1)
 350 x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda
 351 (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t
 352 t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1
 353 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq
 354 T (THead (Flat f) x0 x1) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead
 355 (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0
 356 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift
 357 h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t2
 358 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2
 359 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3:
 360 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 361 T).(eq T (THead (Flat f) t2 t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T (\lambda (t2:
 362 T).(eq T x1 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2)))
 363 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1
 364 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2
 365 t2)))) (\lambda (x3: T).(\lambda (H10: (eq T x1 (lift h1 d1 x3))).(\lambda
 366 (H11: (eq T t0 (lift h2 d2 x3))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x3) (\lambda (t2:
 367 T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) t2) (lift h1
 368 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2
 369 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2 x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3:
 370 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1 t3)))
 371 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2
 372 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2)
 373 (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f)
 374 (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3)) (lift h2 d2 t2))) (THead (Flat f) x2 x3)
 375 (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (\lambda (t2:
 376 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) t2)) (refl_equal T
 377 (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3))) (lift h1 d1 (THead (Flat f)
 378 x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h1 d1)) (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h2 d2
 379 x2) (lift h2 d2 x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2)
 380 (lift h2 d2 x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2
 381 d2 x3))) (lift h2 d2 (THead (Flat f) x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h2 d2))) t0
 382 H11) x1 H10)))) (H0 x1 h1 h2 d1 d2 H1 H7)) t H9) x0 H8)))) (H x0 h1 h2 d1 d2
 383 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_flat f (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0) x h2 (plus
 384 d2 h1) H4))))) k H2))))))))))))) t1).
 385
 386 theorem lift_free:
 387  \forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 388 nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to (eq T (lift k e
 389 (lift h d t)) (lift (plus k h) d t))))))))
 390 \def
 391  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (k:
 392 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to
 393 (eq T (lift k e (lift h d t0)) (lift (plus k h) d t0))))))))) (\lambda (n:
 394 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e:
 395 nat).(\lambda (_: (le e (plus d h))).(\lambda (_: (le d e)).(eq_ind_r T
 396 (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift (plus k h) d (TSort
 397 n)))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d
 398 (TSort n)))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (TSort n) t0))
 399 (refl_equal T (TSort n)) (lift (plus k h) d (TSort n)) (lift_sort n (plus k
 400 h) d)) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k e)) (lift h d (TSort n))
 401 (lift_sort n h d))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k:
 402 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H: (le e (plus d
 403 h))).(\lambda (H0: (le d e)).(lt_le_e n d (eq T (lift k e (lift h d (TLRef
 404 n))) (lift (plus k h) d (TLRef n))) (\lambda (H1: (lt n d)).(eq_ind_r T
 405 (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift (plus k h) d (TLRef
 406 n)))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d
 407 (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0))
 408 (refl_equal T (TLRef n)) (lift (plus k h) d (TLRef n)) (lift_lref_lt n (plus
 409 k h) d H1)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e (lt_le_trans n d e H1
 410 H0))) (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1))) (\lambda (H1: (le d
 411 n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift
 412 (plus k h) d (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (plus n h) k)) (\lambda
 413 (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef (plus n
 414 (plus k h))) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n h) k)) t0)) (f_equal
 415 nat T TLRef (plus (plus n h) k) (plus n (plus k h))
 416 (plus_permute_2_in_3_assoc n h k)) (lift (plus k h) d (TLRef n))
 417 (lift_lref_ge n (plus k h) d H1)) (lift k e (TLRef (plus n h))) (lift_lref_ge
 418 (plus n h) k e (le_trans e (plus d h) (plus n h) H (plus_le_compat d n h h H1
 419 (le_n h))))) (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_ge n h d H1))))))))))) (\lambda
 420 (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (h: nat).(\forall (k0:
 421 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to
 422 (eq T (lift k0 e (lift h d t0)) (lift (plus k0 h) d t0)))))))))).(\lambda
 423 (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (k0: nat).(\forall (d:
 424 nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to (eq T (lift k0 e
 425 (lift h d t1)) (lift (plus k0 h) d t1)))))))))).(\lambda (h: nat).(\lambda
 426 (k0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H1: (le e (plus d
 427 h))).(\lambda (H2: (le d e)).(eq_ind_r T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k
 428 d) t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (lift k0 e t2) (lift (plus k0 h) d (THead k t0
 429 t1)))) (eq_ind_r T (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift
 430 h (s k d) t1))) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift (plus k0 h) d (THead k t0
 431 t1)))) (eq_ind_r T (THead k (lift (plus k0 h) d t0) (lift (plus k0 h) (s k d)
 432 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k
 433 e) (lift h (s k d) t1))) t2)) (f_equal3 K T T T THead k k (lift k0 e (lift h
 434 d t0)) (lift (plus k0 h) d t0) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1)) (lift
 435 (plus k0 h) (s k d) t1) (refl_equal K k) (H h k0 d e H1 H2) (H0 h k0 (s k d)
 436 (s k e) (eq_ind nat (s k (plus d h)) (\lambda (n: nat).(le (s k e) n)) (s_le
 437 k e (plus d h) H1) (plus (s k d) h) (s_plus k d h)) (s_le k d e H2))) (lift
 438 (plus k0 h) d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 (plus k0 h) d)) (lift k0 e
 439 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) (lift_head k (lift h d t0) (lift
 440 h (s k d) t1) k0 e)) (lift h d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 h
 441 d))))))))))))) t).
 442
 443 theorem lift_d:
 444  \forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 445 nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k d) (lift k e t))
 446 (lift k e (lift h d t))))))))
 447 \def
 448  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (k:
 449 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k
 450 d) (lift k e t0)) (lift k e (lift h d t0))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 451 (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (_:
 452 (le e d)).(eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d) t0)
 453 (lift k e (lift h d (TSort n))))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq
 454 T t0 (lift k e (lift h d (TSort n))))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0:
 455 T).(eq T (TSort n) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq
 456 T (TSort n) t0)) (refl_equal T (TSort n)) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k
 457 e)) (lift h d (TSort n)) (lift_sort n h d)) (lift h (plus k d) (TSort n))
 458 (lift_sort n h (plus k d))) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k e))))))))
 459 (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d:
 460 nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H: (le e d)).(lt_le_e n e (eq T (lift h
 461 (plus k d) (lift k e (TLRef n))) (lift k e (lift h d (TLRef n)))) (\lambda
 462 (H0: (lt n e)).(let H1 \def (lt_le_trans n e d H0 H) in (eq_ind_r T (TLRef n)
 463 (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d) t0) (lift k e (lift h d (TLRef
 464 n))))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d
 465 (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) (lift k
 466 e t0))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0))
 467 (refl_equal T (TLRef n)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e H0)) (lift
 468 h d (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1)) (lift h (plus k d) (TLRef n))
 469 (lift_lref_lt n h (plus k d) (lt_le_trans n d (plus k d) H1 (le_plus_r k
 470 d)))) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e H0)))) (\lambda (H0: (le e
 471 n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n k)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d)
 472 t0) (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r nat (plus d k) (\lambda (n0:
 473 nat).(eq T (lift h n0 (TLRef (plus n k))) (lift k e (lift h d (TLRef n)))))
 474 (lt_le_e n d (eq T (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k))) (lift k e (lift h d
 475 (TLRef n)))) (\lambda (H1: (lt n d)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n k)) (\lambda
 476 (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef n)
 477 (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n k)) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TLRef
 478 (plus n k)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n k)) t0)) (refl_equal T
 479 (TLRef (plus n k))) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_ge n k e H0)) (lift h d
 480 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1)) (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k)))
 481 (lift_lref_lt (plus n k) h (plus d k) (plus_lt_compat_r n d k H1)))) (\lambda
 482 (H1: (le d n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus (plus n k) h)) (\lambda (t0: T).(eq T
 483 t0 (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h)) (\lambda
 484 (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n k) h)) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TLRef
 485 (plus (plus n h) k)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n k) h)) t0))
 486 (f_equal nat T TLRef (plus (plus n k) h) (plus (plus n h) k) (sym_eq nat
 487 (plus (plus n h) k) (plus (plus n k) h) (plus_permute_2_in_3 n h k))) (lift k
 488 e (TLRef (plus n h))) (lift_lref_ge (plus n h) k e (le_plus_trans e n h H0)))
 489 (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_ge n h d H1)) (lift h (plus d k) (TLRef (plus
 490 n k))) (lift_lref_ge (plus n k) h (plus d k) (plus_le_compat d n k k H1 (le_n
 491 k)))))) (plus k d) (plus_comm k d)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_ge n k e
 492 H0)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (h:
 493 nat).(\forall (k0: nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq
 494 T (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift k0 e (lift h d
 495 t0)))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (k0:
 496 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k0
 497 d) (lift k0 e t1)) (lift k0 e (lift h d t1)))))))))).(\lambda (h:
 498 nat).(\lambda (k0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H1: (le
 499 e d)).(eq_ind_r T (THead k (lift k0 e t0) (lift k0 (s k e) t1)) (\lambda (t2:
 500 T).(eq T (lift h (plus k0 d) t2) (lift k0 e (lift h d (THead k t0 t1)))))
 501 (eq_ind_r T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h (s k (plus
 502 k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift k0 e (lift h d
 503 (THead k t0 t1))))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))
 504 (\lambda (t2: T).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h
 505 (s k (plus k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) (lift k0 e t2))) (eq_ind_r T (THead
 506 k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1))) (\lambda
 507 (t2: T).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h (s k (plus
 508 k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) t2)) (eq_ind_r nat (plus k0 (s k d)) (\lambda
 509 (n: nat).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h n (lift
 510 k0 (s k e) t1))) (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift h
 511 (s k d) t1))))) (f_equal3 K T T T THead k k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e
 512 t0)) (lift k0 e (lift h d t0)) (lift h (plus k0 (s k d)) (lift k0 (s k e)
 513 t1)) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1)) (refl_equal K k) (H h k0 d e H1)
 514 (H0 h k0 (s k d) (s k e) (s_le k e d H1))) (s k (plus k0 d)) (s_plus_sym k k0
 515 d)) (lift k0 e (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) (lift_head k
 516 (lift h d t0) (lift h (s k d) t1) k0 e)) (lift h d (THead k t0 t1))
 517 (lift_head k t0 t1 h d)) (lift h (plus k0 d) (THead k (lift k0 e t0) (lift k0
 518 (s k e) t1))) (lift_head k (lift k0 e t0) (lift k0 (s k e) t1) h (plus k0
 519 d))) (lift k0 e (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 k0 e)))))))))))) t).
 520