matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/lift/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/lift/fwd.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/s/props.ma".
  20
  21 theorem thead_x_lift_y_y:
  22  \forall (k: K).(\forall (t: T).(\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall
  23 (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t)) t) \to (\forall (P: Prop).P))))))
  24 \def
  25  \lambda (k: K).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (v:
  26 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift h d t0)) t0)
  27 \to (\forall (P: Prop).P)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (v: T).(\lambda (h:
  28 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead k v (lift h d (TSort n)))
  29 (TSort n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (THead k v (lift h d
  30 (TSort n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
  31 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
  32 \Rightarrow True])) I (TSort n) H) in (False_ind P H0)))))))) (\lambda (n:
  33 nat).(\lambda (v: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T
  34 (THead k v (lift h d (TLRef n))) (TLRef n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def
  35 (eq_ind T (THead k v (lift h d (TLRef n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T
  36 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
  37 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H) in
  38 (False_ind P H0)))))))) (\lambda (k0: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (_:
  39 ((\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift
  40 h d t0)) t0) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0:
  41 ((\forall (v: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (THead k v (lift
  42 h d t1)) t1) \to (\forall (P: Prop).P))))))).(\lambda (v: T).(\lambda (h:
  43 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (THead k v (lift h d (THead k0 t0
  44 t1))) (THead k0 t0 t1))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal T K
  45 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _)
  46 \Rightarrow k | (TLRef _) \Rightarrow k | (THead k1 _ _) \Rightarrow k1]))
  47 (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1) H1) in ((let H3 \def
  48 (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with
  49 [(TSort _) \Rightarrow v | (TLRef _) \Rightarrow v | (THead _ t2 _)
  50 \Rightarrow t2])) (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1)
  51 H1) in ((let H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
  52 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow (THead k0 ((let rec lref_map
  53 (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with [(TSort
  54 n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0)
  55 with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  56 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  57 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) d t0) ((let rec lref_map (f: ((nat
  58 \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with [(TSort n)
  59 \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0) with
  60 [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  61 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  62 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) (s k0 d) t1)) | (TLRef _) \Rightarrow
  63 (THead k0 ((let rec lref_map (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T
  64 \def (match t2 with [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow
  65 (TLRef (match (blt i d0) with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f
  66 i)])) | (THead k1 u t3) \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f
  67 (s k1 d0) t3))]) in lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) d t0) ((let rec
  68 lref_map (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t2: T) on t2: T \def (match t2 with
  69 [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i
  70 d0) with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k1 u t3)
  71 \Rightarrow (THead k1 (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k1 d0) t3))]) in
  72 lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x h)) (s k0 d) t1)) | (THead _ _ t2)
  73 \Rightarrow t2])) (THead k v (lift h d (THead k0 t0 t1))) (THead k0 t0 t1)
  74 H1) in (\lambda (_: (eq T v t0)).(\lambda (H6: (eq K k k0)).(let H7 \def
  75 (eq_ind K k (\lambda (k1: K).(\forall (v0: T).(\forall (h0: nat).(\forall
  76 (d0: nat).((eq T (THead k1 v0 (lift h0 d0 t1)) t1) \to (\forall (P0:
  77 Prop).P0)))))) H0 k0 H6) in (let H8 \def (eq_ind T (lift h d (THead k0 t0
  78 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 t1)) H4 (THead k0 (lift h d t0) (lift h (s k0
  79 d) t1)) (lift_head k0 t0 t1 h d)) in (H7 (lift h d t0) h (s k0 d) H8 P))))))
  80 H3)) H2)))))))))))) t)).
  81
  82 theorem lift_r:
  83  \forall (t: T).(\forall (d: nat).(eq T (lift O d t) t))
  84 \def
  85  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d: nat).(eq T (lift O d t0)
  86 t0))) (\lambda (n: nat).(\lambda (_: nat).(refl_equal T (TSort n)))) (\lambda
  87 (n: nat).(\lambda (d: nat).(lt_le_e n d (eq T (lift O d (TLRef n)) (TLRef n))
  88 (\lambda (H: (lt n d)).(eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TLRef
  89 n))) (refl_equal T (TLRef n)) (lift O d (TLRef n)) (lift_lref_lt n O d H)))
  90 (\lambda (H: (le d n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n O)) (\lambda (t0: T).(eq T
  91 t0 (TLRef n))) (f_equal nat T TLRef (plus n O) n (sym_eq nat n (plus n O)
  92 (plus_n_O n))) (lift O d (TLRef n)) (lift_lref_ge n O d H)))))) (\lambda (k:
  93 K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (d: nat).(eq T (lift O d t0)
  94 t0)))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (d: nat).(eq T (lift O d t1)
  95 t1)))).(\lambda (d: nat).(eq_ind_r T (THead k (lift O d t0) (lift O (s k d)
  96 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (THead k t0 t1))) (f_equal3 K T T T THead k k
  97 (lift O d t0) t0 (lift O (s k d) t1) t1 (refl_equal K k) (H d) (H0 (s k d)))
  98 (lift O d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 O d)))))))) t).
  99
 100 theorem lift_lref_gt:
 101  \forall (d: nat).(\forall (n: nat).((lt d n) \to (eq T (lift (S O) d (TLRef
 102 (pred n))) (TLRef n))))
 103 \def
 104  \lambda (d: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (lt d n)).(eq_ind_r T (TLRef
 105 (plus (pred n) (S O))) (\lambda (t: T).(eq T t (TLRef n))) (eq_ind nat (plus
 106 (S O) (pred n)) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (eq_ind nat n
 107 (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (TLRef n))) (refl_equal T (TLRef n)) (S
 108 (pred n)) (S_pred n d H)) (plus (pred n) (S O)) (plus_sym (S O) (pred n)))
 109 (lift (S O) d (TLRef (pred n))) (lift_lref_ge (pred n) (S O) d (le_S_n d
 110 (pred n) (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(le (S d) n0)) H (S (pred n))
 111 (S_pred n d H))))))).
 112
 113 theorem lifts_tapp:
 114  \forall (h: nat).(\forall (d: nat).(\forall (v: T).(\forall (vs: TList).(eq
 115 TList (lifts h d (TApp vs v)) (TApp (lifts h d vs) (lift h d v))))))
 116 \def
 117  \lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (v: T).(\lambda (vs:
 118 TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(eq TList (lifts h d (TApp t v)) (TApp
 119 (lifts h d t) (lift h d v)))) (refl_equal TList (TCons (lift h d v) TNil))
 120 (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: (eq TList (lifts h d (TApp
 121 t0 v)) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v)))).(eq_ind_r TList (TApp (lifts h d
 122 t0) (lift h d v)) (\lambda (t1: TList).(eq TList (TCons (lift h d t) t1)
 123 (TCons (lift h d t) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v))))) (refl_equal TList
 124 (TCons (lift h d t) (TApp (lifts h d t0) (lift h d v)))) (lifts h d (TApp t0
 125 v)) H)))) vs)))).
 126
 127 theorem lift_inj:
 128  \forall (x: T).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T
 129 (lift h d x) (lift h d t)) \to (eq T x t)))))
 130 \def
 131  \lambda (x: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (t0: T).(\forall (h:
 132 nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to (eq T t
 133 t0)))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 134 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TSort n)) (lift h d t))).(let H0 \def
 135 (eq_ind T (lift h d (TSort n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H
 136 (TSort n) (lift_sort n h d)) in (sym_eq T t (TSort n) (lift_gen_sort h d n t
 137 H0)))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
 138 nat).(\lambda (H: (eq T (lift h d (TLRef n)) (lift h d t))).(lt_le_e n d (eq
 139 T (TLRef n) t) (\lambda (H0: (lt n d)).(let H1 \def (eq_ind T (lift h d
 140 (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef n) (lift_lref_lt
 141 n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_lt h d n (lt_le_trans n d
 142 d H0 (le_n d)) t H1)))) (\lambda (H0: (le d n)).(let H1 \def (eq_ind T (lift
 143 h d (TLRef n)) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) H (TLRef (plus n h))
 144 (lift_lref_ge n h d H0)) in (sym_eq T t (TLRef n) (lift_gen_lref_ge h d n H0
 145 t H1)))))))))) (\lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (t:
 146 T).(((\forall (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t)
 147 (lift h d t0)) \to (eq T t t0)))))) \to (\forall (t0: T).(((\forall (t1:
 148 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1))
 149 \to (eq T t0 t1)))))) \to (\forall (t1: T).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 150 nat).((eq T (lift h d (THead k0 t t0)) (lift h d t1)) \to (eq T (THead k0 t
 151 t0) t1)))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t0:
 152 T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t) (lift h d t0)) \to
 153 (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (t1: T).(\forall
 154 (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d t0) (lift h d t1)) \to (eq T t0
 155 t1))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1:
 156 (eq T (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T
 157 (lift h d (THead (Bind b) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h d t1))) H1
 158 (THead (Bind b) (lift h d t) (lift h (S d) t0)) (lift_bind b t t0 h d)) in
 159 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Bind b) y
 160 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y))))
 161 (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) z))))
 162 (eq T (THead (Bind b) t t0) t1) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda
 163 (H3: (eq T t1 (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda (H4: (eq T (lift h d t) (lift
 164 h d x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h (S d) t0) (lift h (S d) x1))).(eq_ind_r
 165 T (THead (Bind b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) t2))
 166 (f_equal3 K T T T THead (Bind b) (Bind b) t x0 t0 x1 (refl_equal K (Bind b))
 167 (H x0 h d H4) (H0 x1 h (S d) H5)) t1 H3)))))) (lift_gen_bind b (lift h d t)
 168 (lift h (S d) t0) t1 h d H2)))))))))))) (\lambda (f: F).(\lambda (t:
 169 T).(\lambda (H: ((\forall (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T
 170 (lift h d t) (lift h d t0)) \to (eq T t t0))))))).(\lambda (t0: T).(\lambda
 171 (H0: ((\forall (t1: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq T (lift h d
 172 t0) (lift h d t1)) \to (eq T t0 t1))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (h:
 173 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq T (lift h d (THead (Flat f) t t0))
 174 (lift h d t1))).(let H2 \def (eq_ind T (lift h d (THead (Flat f) t t0))
 175 (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h d t1))) H1 (THead (Flat f) (lift h d t)
 176 (lift h d t0)) (lift_flat f t t0 h d)) in (ex3_2_ind T T (\lambda (y:
 177 T).(\lambda (z: T).(eq T t1 (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda
 178 (_: T).(eq T (lift h d t) (lift h d y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq
 179 T (lift h d t0) (lift h d z)))) (eq T (THead (Flat f) t t0) t1) (\lambda (x0:
 180 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H3: (eq T t1 (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda
 181 (H4: (eq T (lift h d t) (lift h d x0))).(\lambda (H5: (eq T (lift h d t0)
 182 (lift h d x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0 x1) (\lambda (t2: T).(eq T
 183 (THead (Flat f) t t0) t2)) (f_equal3 K T T T THead (Flat f) (Flat f) t x0 t0
 184 x1 (refl_equal K (Flat f)) (H x0 h d H4) (H0 x1 h d H5)) t1 H3))))))
 185 (lift_gen_flat f (lift h d t) (lift h d t0) t1 h d H2)))))))))))) k)) x).
 186
 187 theorem lift_gen_lift:
 188  \forall (t1: T).(\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 189 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 190 t1) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 191 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t1 (lift h2 d2 t2)))))))))))
 192 \def
 193  \lambda (t1: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (x: T).(\forall (h1:
 194 nat).(\forall (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to
 195 ((eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2:
 196 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2
 197 t2)))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda (h1: nat).(\lambda
 198 (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda (_: (le d1
 199 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TSort n)) (lift h2 (plus d2 h1)
 200 x))).(let H1 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TSort n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 201 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TSort n) (lift_sort n h1 d1)) in (eq_ind_r T
 202 (TSort n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2)))
 203 (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda
 204 (t2: T).(eq T (TSort n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TSort n)
 205 (lift h2 d2 t2))) (TSort n) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T
 206 (TSort n) t)) (refl_equal T (TSort n)) (lift h1 d1 (TSort n)) (lift_sort n h1
 207 d1)) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T (TSort n) t)) (refl_equal T
 208 (TSort n)) (lift h2 d2 (TSort n)) (lift_sort n h2 d2))) x (lift_gen_sort h2
 209 (plus d2 h1) n x H1))))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (x: T).(\lambda
 210 (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2: nat).(\lambda
 211 (H: (le d1 d2)).(\lambda (H0: (eq T (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift h2 (plus d2
 212 h1) x))).(lt_le_e n d1 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 213 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (H1: (lt n
 214 d1)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n)) (\lambda (t: T).(eq T t
 215 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef n) (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) in
 216 (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift
 217 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T
 218 (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T
 219 (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef n) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t:
 220 T).(eq T (TLRef n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h1 d1 (TLRef n))
 221 (lift_lref_lt n h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef
 222 n) t)) (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2
 223 (lt_le_trans n d1 d2 H1 H)))) x (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) n
 224 (lt_le_trans n d1 (plus d2 h1) H1 (le_plus_trans d1 d2 h1 H)) x H2))))
 225 (\lambda (H1: (le d1 n)).(let H2 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (TLRef n))
 226 (\lambda (t: T).(eq T t (lift h2 (plus d2 h1) x))) H0 (TLRef (plus n h1))
 227 (lift_lref_ge n h1 d1 H1)) in (lt_le_e n d2 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x
 228 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))
 229 (\lambda (H3: (lt n d2)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(ex2
 230 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n)
 231 (lift h2 d2 t2))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 232 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef
 233 n) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h1)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus n h1))
 234 t)) (refl_equal T (TLRef (plus n h1))) (lift h1 d1 (TLRef n)) (lift_lref_ge n
 235 h1 d1 H1)) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef n) t))
 236 (refl_equal T (TLRef n)) (lift h2 d2 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h2 d2 H3))) x
 237 (lift_gen_lref_lt h2 (plus d2 h1) (plus n h1) (lt_reg_r n d2 h1 H3) x H2)))
 238 (\lambda (H3: (le d2 n)).(lt_le_e n (plus d2 h2) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq
 239 T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))))
 240 (\lambda (H4: (lt n (plus d2 h2))).(lift_gen_lref_false h2 (plus d2 h1) (plus
 241 n h1) (le_plus_plus d2 n h1 h1 H3 (le_n h1)) (eq_ind_r nat (plus (plus d2 h2)
 242 h1) (\lambda (n0: nat).(lt (plus n h1) n0)) (lt_reg_r n (plus d2 h2) h1 H4)
 243 (plus (plus d2 h1) h2) (plus_permute_2_in_3 d2 h1 h2)) x H2 (ex2 T (\lambda
 244 (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2
 245 d2 t2)))))) (\lambda (H4: (le (plus d2 h2) n)).(let H5 \def (eq_ind nat (plus
 246 n h1) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2 (plus d2 h1) x))) H2 (plus
 247 (minus (plus n h1) h2) h2) (le_plus_minus_sym h2 (plus n h1) (le_plus_trans
 248 h2 n h1 (le_trans h2 (plus d2 h2) n (le_plus_r d2 h2) H4)))) in (eq_ind_r T
 249 (TLRef (minus (plus n h1) h2)) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 250 t (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2)))))
 251 (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef (minus (plus n h1) h2)) (lift h1
 252 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (TLRef n) (lift h2 d2 t2))) (TLRef (minus n
 253 h2)) (eq_ind_r nat (plus (minus n h2) h1) (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0)
 254 (lift h1 d1 (TLRef (minus n h2))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (minus n h2)
 255 h1)) (\lambda (t: T).(eq T (TLRef (plus (minus n h2) h1)) t)) (refl_equal T
 256 (TLRef (plus (minus n h2) h1))) (lift h1 d1 (TLRef (minus n h2)))
 257 (lift_lref_ge (minus n h2) h1 d1 (le_trans d1 d2 (minus n h2) H (le_minus d2
 258 n h2 H4)))) (minus (plus n h1) h2) (le_minus_plus h2 n (le_trans h2 (plus d2
 259 h2) n (le_plus_r d2 h2) H4) h1)) (eq_ind_r nat (plus (minus n h2) h2)
 260 (\lambda (n0: nat).(eq T (TLRef n0) (lift h2 d2 (TLRef (minus n0 h2)))))
 261 (eq_ind_r T (TLRef (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2)) (\lambda (t:
 262 T).(eq T (TLRef (plus (minus n h2) h2)) t)) (f_equal nat T TLRef (plus (minus
 263 n h2) h2) (plus (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2) (f_equal2 nat nat nat
 264 plus (minus n h2) (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2 h2 (sym_eq nat (minus
 265 (plus (minus n h2) h2) h2) (minus n h2) (minus_plus_r (minus n h2) h2))
 266 (refl_equal nat h2))) (lift h2 d2 (TLRef (minus (plus (minus n h2) h2) h2)))
 267 (lift_lref_ge (minus (plus (minus n h2) h2) h2) h2 d2 (le_minus d2 (plus
 268 (minus n h2) h2) h2 (le_plus_plus d2 (minus n h2) h2 h2 (le_minus d2 n h2 H4)
 269 (le_n h2))))) n (le_plus_minus_sym h2 n (le_trans h2 (plus d2 h2) n
 270 (le_plus_r d2 h2) H4)))) x (lift_gen_lref_ge h2 (plus d2 h1) (minus (plus n
 271 h1) h2) (arith0 h2 d2 n H4 h1) x H5)))))))))))))))))) (\lambda (k:
 272 K).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall
 273 (h2: nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift
 274 h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift
 275 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda
 276 (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (x: T).(\forall (h1: nat).(\forall (h2:
 277 nat).(\forall (d1: nat).(\forall (d2: nat).((le d1 d2) \to ((eq T (lift h1 d1
 278 t0) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1
 279 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2))))))))))))).(\lambda (x:
 280 T).(\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (d1: nat).(\lambda (d2:
 281 nat).(\lambda (H1: (le d1 d2)).(\lambda (H2: (eq T (lift h1 d1 (THead k t
 282 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(K_ind (\lambda (k0: K).((eq T (lift h1 d1
 283 (THead k0 t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x)) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 284 x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k0 t t0) (lift h2 d2
 285 t2)))))) (\lambda (b: B).(\lambda (H3: (eq T (lift h1 d1 (THead (Bind b) t
 286 t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def (eq_ind T (lift h1 d1 (THead
 287 (Bind b) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift h2 (plus d2 h1) x))) H3
 288 (THead (Bind b) (lift h1 d1 t) (lift h1 (S d1) t0)) (lift_bind b t t0 h1 d1))
 289 in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x (THead (Bind b) y
 290 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2
 291 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z: T).(eq T (lift h1 (S d1) t0) (lift h2
 292 (S (plus d2 h1)) z)))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h1 d1 t2)))
 293 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0:
 294 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x (THead (Bind b) x0 x1))).(\lambda
 295 (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T
 296 (lift h1 (S d1) t0) (lift h2 (S (plus d2 h1)) x1))).(eq_ind_r T (THead (Bind
 297 b) x0 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3)))
 298 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T
 299 (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2
 300 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) x0 x1) (lift h1 d1
 301 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t2))))
 302 (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T
 303 t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T
 304 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 305 T).(eq T (THead (Bind b) t t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2
 306 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1
 307 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) t2 t0)
 308 (lift h2 d2 t3))))) (let H10 \def (refl_equal nat (plus (S d2) h1)) in (let
 309 H11 \def (eq_ind nat (S (plus d2 h1)) (\lambda (n: nat).(eq T (lift h1 (S d1)
 310 t0) (lift h2 n x1))) H7 (plus (S d2) h1) H10) in (ex2_ind T (\lambda (t2:
 311 T).(eq T x1 (lift h1 (S d1) t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 (S d2)
 312 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) x1) (lift
 313 h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) t0) (lift
 314 h2 d2 t2)))) (\lambda (x3: T).(\lambda (H12: (eq T x1 (lift h1 (S d1)
 315 x3))).(\lambda (H13: (eq T t0 (lift h2 (S d2) x3))).(eq_ind_r T (lift h1 (S
 316 d1) x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 317 h1 d1 x2) t2) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 318 h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 (S d2) x3) (\lambda
 319 (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift
 320 h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Bind b) (lift
 321 h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead
 322 (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift h1 (S d1) x3)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2:
 323 T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)) (lift h2 d2
 324 t2))) (THead (Bind b) x2 x3) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 325 (lift h1 (S d1) x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2)
 326 (lift h1 (S d1) x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h1 d1 x2) (lift
 327 h1 (S d1) x3))) (lift h1 d1 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h1
 328 d1)) (eq_ind_r T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))
 329 (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3))
 330 t2)) (refl_equal T (THead (Bind b) (lift h2 d2 x2) (lift h2 (S d2) x3)))
 331 (lift h2 d2 (THead (Bind b) x2 x3)) (lift_bind b x2 x3 h2 d2))) t0 H13) x1
 332 H12)))) (H0 x1 h1 h2 (S d1) (S d2) (le_n_S d1 d2 H1) H11)))) t H9) x0 H8))))
 333 (H x0 h1 h2 d1 d2 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_bind b (lift h1 d1 t) (lift h1
 334 (S d1) t0) x h2 (plus d2 h1) H4))))) (\lambda (f: F).(\lambda (H3: (eq T
 335 (lift h1 d1 (THead (Flat f) t t0)) (lift h2 (plus d2 h1) x))).(let H4 \def
 336 (eq_ind T (lift h1 d1 (THead (Flat f) t t0)) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift
 337 h2 (plus d2 h1) x))) H3 (THead (Flat f) (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0))
 338 (lift_flat f t t0 h1 d1)) in (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z:
 339 T).(eq T x (THead (Flat f) y z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T
 340 (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2 h1) y)))) (\lambda (_: T).(\lambda (z:
 341 T).(eq T (lift h1 d1 t0) (lift h2 (plus d2 h1) z)))) (ex2 T (\lambda (t2:
 342 T).(eq T x (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) t t0)
 343 (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H5: (eq T x
 344 (THead (Flat f) x0 x1))).(\lambda (H6: (eq T (lift h1 d1 t) (lift h2 (plus d2
 345 h1) x0))).(\lambda (H7: (eq T (lift h1 d1 t0) (lift h2 (plus d2 h1)
 346 x1))).(eq_ind_r T (THead (Flat f) x0 x1) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda
 347 (t3: T).(eq T t2 (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t
 348 t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T x0 (lift h1 d1
 349 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h2 d2 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq
 350 T (THead (Flat f) x0 x1) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead
 351 (Flat f) t t0) (lift h2 d2 t2)))) (\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x0
 352 (lift h1 d1 x2))).(\lambda (H9: (eq T t (lift h2 d2 x2))).(eq_ind_r T (lift
 353 h1 d1 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t2
 354 x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) t t0) (lift h2
 355 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2 x2) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3:
 356 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1 t3))) (\lambda (t3:
 357 T).(eq T (THead (Flat f) t2 t0) (lift h2 d2 t3))))) (ex2_ind T (\lambda (t2:
 358 T).(eq T x1 (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T t0 (lift h2 d2 t2)))
 359 (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) x1) (lift h1 d1
 360 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2 d2
 361 t2)))) (\lambda (x3: T).(\lambda (H10: (eq T x1 (lift h1 d1 x3))).(\lambda
 362 (H11: (eq T t0 (lift h2 d2 x3))).(eq_ind_r T (lift h1 d1 x3) (\lambda (t2:
 363 T).(ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) t2) (lift h1
 364 d1 t3))) (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t0) (lift h2
 365 d2 t3))))) (eq_ind_r T (lift h2 d2 x3) (\lambda (t2: T).(ex2 T (\lambda (t3:
 366 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1 t3)))
 367 (\lambda (t3: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) t2) (lift h2 d2
 368 t3))))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2)
 369 (lift h1 d1 x3)) (lift h1 d1 t2))) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f)
 370 (lift h2 d2 x2) (lift h2 d2 x3)) (lift h2 d2 t2))) (THead (Flat f) x2 x3)
 371 (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) (\lambda (t2:
 372 T).(eq T (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3)) t2)) (refl_equal T
 373 (THead (Flat f) (lift h1 d1 x2) (lift h1 d1 x3))) (lift h1 d1 (THead (Flat f)
 374 x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h1 d1)) (eq_ind_r T (THead (Flat f) (lift h2 d2
 375 x2) (lift h2 d2 x3)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2)
 376 (lift h2 d2 x3)) t2)) (refl_equal T (THead (Flat f) (lift h2 d2 x2) (lift h2
 377 d2 x3))) (lift h2 d2 (THead (Flat f) x2 x3)) (lift_flat f x2 x3 h2 d2))) t0
 378 H11) x1 H10)))) (H0 x1 h1 h2 d1 d2 H1 H7)) t H9) x0 H8)))) (H x0 h1 h2 d1 d2
 379 H1 H6)) x H5)))))) (lift_gen_flat f (lift h1 d1 t) (lift h1 d1 t0) x h2 (plus
 380 d2 h1) H4))))) k H2))))))))))))) t1).
 381
 382 theorem lifts_inj:
 383  \forall (xs: TList).(\forall (ts: TList).(\forall (h: nat).(\forall (d:
 384 nat).((eq TList (lifts h d xs) (lifts h d ts)) \to (eq TList xs ts)))))
 385 \def
 386  \lambda (xs: TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(\forall (ts:
 387 TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d t) (lifts h
 388 d ts)) \to (eq TList t ts)))))) (\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t:
 389 TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d TNil) (lifts
 390 h d t)) \to (eq TList TNil t))))) (\lambda (_: nat).(\lambda (_:
 391 nat).(\lambda (_: (eq TList TNil TNil)).(refl_equal TList TNil)))) (\lambda
 392 (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d:
 393 nat).((eq TList TNil (lifts h d t0)) \to (eq TList TNil t0)))))).(\lambda (h:
 394 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (eq TList TNil (TCons (lift h d t)
 395 (lifts h d t0)))).(let H1 \def (eq_ind TList TNil (\lambda (ee: TList).(match
 396 ee in TList return (\lambda (_: TList).Prop) with [TNil \Rightarrow True |
 397 (TCons _ _) \Rightarrow False])) I (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) H0) in
 398 (False_ind (eq TList TNil (TCons t t0)) H1)))))))) ts)) (\lambda (t:
 399 T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: ((\forall (ts: TList).(\forall (h:
 400 nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d t0) (lifts h d ts)) \to (eq
 401 TList t0 ts))))))).(\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t1:
 402 TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d (TCons t
 403 t0)) (lifts h d t1)) \to (eq TList (TCons t t0) t1))))) (\lambda (h:
 404 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (eq TList (TCons (lift h d t) (lifts h d
 405 t0)) TNil)).(let H1 \def (eq_ind TList (TCons (lift h d t) (lifts h d t0))
 406 (\lambda (ee: TList).(match ee in TList return (\lambda (_: TList).Prop) with
 407 [TNil \Rightarrow False | (TCons _ _) \Rightarrow True])) I TNil H0) in
 408 (False_ind (eq TList (TCons t t0) TNil) H1))))) (\lambda (t1: T).(\lambda
 409 (t2: TList).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList
 410 (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) (lifts h d t2)) \to (eq TList (TCons t
 411 t0) t2)))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq TList
 412 (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) (TCons (lift h d t1) (lifts h d
 413 t2)))).(let H2 \def (f_equal TList T (\lambda (e: TList).(match e in TList
 414 return (\lambda (_: TList).T) with [TNil \Rightarrow ((let rec lref_map (f:
 415 ((nat \to nat))) (d0: nat) (t3: T) on t3: T \def (match t3 with [(TSort n)
 416 \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0) with
 417 [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k u t4) \Rightarrow
 418 (THead k (lref_map f d0 u) (lref_map f (s k d0) t4))]) in lref_map) (\lambda
 419 (x: nat).(plus x h)) d t) | (TCons t3 _) \Rightarrow t3])) (TCons (lift h d
 420 t) (lifts h d t0)) (TCons (lift h d t1) (lifts h d t2)) H1) in ((let H3 \def
 421 (f_equal TList TList (\lambda (e: TList).(match e in TList return (\lambda
 422 (_: TList).TList) with [TNil \Rightarrow ((let rec lifts (h0: nat) (d0: nat)
 423 (ts0: TList) on ts0: TList \def (match ts0 with [TNil \Rightarrow TNil |
 424 (TCons t3 ts1) \Rightarrow (TCons (lift h0 d0 t3) (lifts h0 d0 ts1))]) in
 425 lifts) h d t0) | (TCons _ t3) \Rightarrow t3])) (TCons (lift h d t) (lifts h
 426 d t0)) (TCons (lift h d t1) (lifts h d t2)) H1) in (\lambda (H4: (eq T (lift
 427 h d t) (lift h d t1))).(eq_ind T t (\lambda (t3: T).(eq TList (TCons t t0)
 428 (TCons t3 t2))) (f_equal2 T TList TList TCons t t t0 t2 (refl_equal T t) (H
 429 t2 h d H3)) t1 (lift_inj t t1 h d H4)))) H2)))))))) ts))))) xs).
 430
 431 theorem lift_free:
 432  \forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 433 nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to (eq T (lift k e
 434 (lift h d t)) (lift (plus k h) d t))))))))
 435 \def
 436  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (k:
 437 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to
 438 (eq T (lift k e (lift h d t0)) (lift (plus k h) d t0))))))))) (\lambda (n:
 439 nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e:
 440 nat).(\lambda (_: (le e (plus d h))).(\lambda (_: (le d e)).(eq_ind_r T
 441 (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift (plus k h) d (TSort
 442 n)))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d
 443 (TSort n)))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (TSort n) t0))
 444 (refl_equal T (TSort n)) (lift (plus k h) d (TSort n)) (lift_sort n (plus k
 445 h) d)) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k e)) (lift h d (TSort n))
 446 (lift_sort n h d))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k:
 447 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H: (le e (plus d
 448 h))).(\lambda (H0: (le d e)).(lt_le_e n d (eq T (lift k e (lift h d (TLRef
 449 n))) (lift (plus k h) d (TLRef n))) (\lambda (H1: (lt n d)).(eq_ind_r T
 450 (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift (plus k h) d (TLRef
 451 n)))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d
 452 (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0))
 453 (refl_equal T (TLRef n)) (lift (plus k h) d (TLRef n)) (lift_lref_lt n (plus
 454 k h) d H1)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e (lt_le_trans n d e H1
 455 H0))) (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1))) (\lambda (H1: (le d
 456 n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n h)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift k e t0) (lift
 457 (plus k h) d (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef (plus (plus n h) k)) (\lambda
 458 (t0: T).(eq T t0 (lift (plus k h) d (TLRef n)))) (eq_ind_r T (TLRef (plus n
 459 (plus k h))) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n h) k)) t0)) (f_equal
 460 nat T TLRef (plus (plus n h) k) (plus n (plus k h))
 461 (plus_permute_2_in_3_assoc n h k)) (lift (plus k h) d (TLRef n))
 462 (lift_lref_ge n (plus k h) d H1)) (lift k e (TLRef (plus n h))) (lift_lref_ge
 463 (plus n h) k e (le_trans e (plus d h) (plus n h) H (le_plus_plus d n h h H1
 464 (le_n h))))) (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_ge n h d H1))))))))))) (\lambda
 465 (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (h: nat).(\forall (k0:
 466 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to
 467 (eq T (lift k0 e (lift h d t0)) (lift (plus k0 h) d t0)))))))))).(\lambda
 468 (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (k0: nat).(\forall (d:
 469 nat).(\forall (e: nat).((le e (plus d h)) \to ((le d e) \to (eq T (lift k0 e
 470 (lift h d t1)) (lift (plus k0 h) d t1)))))))))).(\lambda (h: nat).(\lambda
 471 (k0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H1: (le e (plus d
 472 h))).(\lambda (H2: (le d e)).(eq_ind_r T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k
 473 d) t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (lift k0 e t2) (lift (plus k0 h) d (THead k t0
 474 t1)))) (eq_ind_r T (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift
 475 h (s k d) t1))) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift (plus k0 h) d (THead k t0
 476 t1)))) (eq_ind_r T (THead k (lift (plus k0 h) d t0) (lift (plus k0 h) (s k d)
 477 t1)) (\lambda (t2: T).(eq T (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k
 478 e) (lift h (s k d) t1))) t2)) (f_equal3 K T T T THead k k (lift k0 e (lift h
 479 d t0)) (lift (plus k0 h) d t0) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1)) (lift
 480 (plus k0 h) (s k d) t1) (refl_equal K k) (H h k0 d e H1 H2) (H0 h k0 (s k d)
 481 (s k e) (eq_ind nat (s k (plus d h)) (\lambda (n: nat).(le (s k e) n)) (s_le
 482 k e (plus d h) H1) (plus (s k d) h) (s_plus k d h)) (s_le k d e H2))) (lift
 483 (plus k0 h) d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 (plus k0 h) d)) (lift k0 e
 484 (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) (lift_head k (lift h d t0) (lift
 485 h (s k d) t1) k0 e)) (lift h d (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 h
 486 d))))))))))))) t).
 487
 488 theorem lift_d:
 489  \forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (k: nat).(\forall (d:
 490 nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k d) (lift k e t))
 491 (lift k e (lift h d t))))))))
 492 \def
 493  \lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (h: nat).(\forall (k:
 494 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k
 495 d) (lift k e t0)) (lift k e (lift h d t0))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda
 496 (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (_:
 497 (le e d)).(eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d) t0)
 498 (lift k e (lift h d (TSort n))))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq
 499 T t0 (lift k e (lift h d (TSort n))))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0:
 500 T).(eq T (TSort n) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TSort n) (\lambda (t0: T).(eq
 501 T (TSort n) t0)) (refl_equal T (TSort n)) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k
 502 e)) (lift h d (TSort n)) (lift_sort n h d)) (lift h (plus k d) (TSort n))
 503 (lift_sort n h (plus k d))) (lift k e (TSort n)) (lift_sort n k e))))))))
 504 (\lambda (n: nat).(\lambda (h: nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (d:
 505 nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H: (le e d)).(lt_le_e n e (eq T (lift h
 506 (plus k d) (lift k e (TLRef n))) (lift k e (lift h d (TLRef n)))) (\lambda
 507 (H0: (lt n e)).(let H1 \def (lt_le_trans n e d H0 H) in (eq_ind_r T (TLRef n)
 508 (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d) t0) (lift k e (lift h d (TLRef
 509 n))))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d
 510 (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) (lift k
 511 e t0))) (eq_ind_r T (TLRef n) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef n) t0))
 512 (refl_equal T (TLRef n)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e H0)) (lift
 513 h d (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1)) (lift h (plus k d) (TLRef n))
 514 (lift_lref_lt n h (plus k d) (lt_le_trans n d (plus k d) H1 (le_plus_r k
 515 d)))) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_lt n k e H0)))) (\lambda (H0: (le e
 516 n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n k)) (\lambda (t0: T).(eq T (lift h (plus k d)
 517 t0) (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r nat (plus d k) (\lambda (n0:
 518 nat).(eq T (lift h n0 (TLRef (plus n k))) (lift k e (lift h d (TLRef n)))))
 519 (lt_le_e n d (eq T (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k))) (lift k e (lift h d
 520 (TLRef n)))) (\lambda (H1: (lt n d)).(eq_ind_r T (TLRef (plus n k)) (\lambda
 521 (t0: T).(eq T t0 (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef n)
 522 (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n k)) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TLRef
 523 (plus n k)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus n k)) t0)) (refl_equal T
 524 (TLRef (plus n k))) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_ge n k e H0)) (lift h d
 525 (TLRef n)) (lift_lref_lt n h d H1)) (lift h (plus d k) (TLRef (plus n k)))
 526 (lift_lref_lt (plus n k) h (plus d k) (lt_reg_r n d k H1)))) (\lambda (H1:
 527 (le d n)).(eq_ind_r T (TLRef (plus (plus n k) h)) (\lambda (t0: T).(eq T t0
 528 (lift k e (lift h d (TLRef n))))) (eq_ind_r T (TLRef (plus n h)) (\lambda
 529 (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n k) h)) (lift k e t0))) (eq_ind_r T (TLRef
 530 (plus (plus n h) k)) (\lambda (t0: T).(eq T (TLRef (plus (plus n k) h)) t0))
 531 (f_equal nat T TLRef (plus (plus n k) h) (plus (plus n h) k) (sym_eq nat
 532 (plus (plus n h) k) (plus (plus n k) h) (plus_permute_2_in_3 n h k))) (lift k
 533 e (TLRef (plus n h))) (lift_lref_ge (plus n h) k e (le_plus_trans e n h H0)))
 534 (lift h d (TLRef n)) (lift_lref_ge n h d H1)) (lift h (plus d k) (TLRef (plus
 535 n k))) (lift_lref_ge (plus n k) h (plus d k) (le_plus_plus d n k k H1 (le_n
 536 k)))))) (plus k d) (plus_sym k d)) (lift k e (TLRef n)) (lift_lref_ge n k e
 537 H0)))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda (H: ((\forall (h:
 538 nat).(\forall (k0: nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq
 539 T (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift k0 e (lift h d
 540 t0)))))))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (h: nat).(\forall (k0:
 541 nat).(\forall (d: nat).(\forall (e: nat).((le e d) \to (eq T (lift h (plus k0
 542 d) (lift k0 e t1)) (lift k0 e (lift h d t1)))))))))).(\lambda (h:
 543 nat).(\lambda (k0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (e: nat).(\lambda (H1: (le
 544 e d)).(eq_ind_r T (THead k (lift k0 e t0) (lift k0 (s k e) t1)) (\lambda (t2:
 545 T).(eq T (lift h (plus k0 d) t2) (lift k0 e (lift h d (THead k t0 t1)))))
 546 (eq_ind_r T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h (s k (plus
 547 k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) (\lambda (t2: T).(eq T t2 (lift k0 e (lift h d
 548 (THead k t0 t1))))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))
 549 (\lambda (t2: T).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h
 550 (s k (plus k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) (lift k0 e t2))) (eq_ind_r T (THead
 551 k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1))) (\lambda
 552 (t2: T).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h (s k (plus
 553 k0 d)) (lift k0 (s k e) t1))) t2)) (eq_ind_r nat (plus k0 (s k d)) (\lambda
 554 (n: nat).(eq T (THead k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e t0)) (lift h n (lift
 555 k0 (s k e) t1))) (THead k (lift k0 e (lift h d t0)) (lift k0 (s k e) (lift h
 556 (s k d) t1))))) (f_equal3 K T T T THead k k (lift h (plus k0 d) (lift k0 e
 557 t0)) (lift k0 e (lift h d t0)) (lift h (plus k0 (s k d)) (lift k0 (s k e)
 558 t1)) (lift k0 (s k e) (lift h (s k d) t1)) (refl_equal K k) (H h k0 d e H1)
 559 (H0 h k0 (s k d) (s k e) (s_le k e d H1))) (s k (plus k0 d)) (s_plus_sym k k0
 560 d)) (lift k0 e (THead k (lift h d t0) (lift h (s k d) t1))) (lift_head k
 561 (lift h d t0) (lift h (s k d) t1) k0 e)) (lift h d (THead k t0 t1))
 562 (lift_head k t0 t1 h d)) (lift h (plus k0 d) (THead k (lift k0 e t0) (lift k0
 563 (s k e) t1))) (lift_head k (lift k0 e t0) (lift k0 (s k e) t1) h (plus k0
 564 d))) (lift k0 e (THead k t0 t1)) (lift_head k t0 t1 k0 e)))))))))))) t).
 565