matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/llt/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/llt/defs.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/leq/defs.ma".
  20
  21 theorem lweight_repl:
  22  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (eq nat
  23 (lweight a1) (lweight a2)))))
  24 \def
  25  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  26 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(eq nat (lweight a) (lweight
  27 a0)))) (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2:
  28 nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (_: (eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
  29 (ASort h2 n2) k))).(refl_equal nat O))))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (a3:
  30 A).(\lambda (_: (leq g a0 a3)).(\lambda (H1: (eq nat (lweight a0) (lweight
  31 a3))).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(\lambda (_: (leq g a4 a5)).(\lambda
  32 (H3: (eq nat (lweight a4) (lweight a5))).(f_equal nat nat S (plus (lweight
  33 a0) (lweight a4)) (plus (lweight a3) (lweight a5)) (f_equal2 nat nat nat plus
  34 (lweight a0) (lweight a3) (lweight a4) (lweight a5) H1 H3)))))))))) a1 a2
  35 H)))).
  36
  37 theorem llt_repl:
  38  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (\forall
  39 (a3: A).((llt a1 a3) \to (llt a2 a3))))))
  40 \def
  41  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  42 a2)).(\lambda (a3: A).(\lambda (H0: (lt (lweight a1) (lweight a3))).(let H1
  43 \def (eq_ind nat (lweight a1) (\lambda (n: nat).(lt n (lweight a3))) H0
  44 (lweight a2) (lweight_repl g a1 a2 H)) in H1)))))).
  45
  46 theorem llt_trans:
  47  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a3: A).((llt a1 a2) \to ((llt a2
  48 a3) \to (llt a1 a3)))))
  49 \def
  50  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (H: (lt (lweight
  51 a1) (lweight a2))).(\lambda (H0: (lt (lweight a2) (lweight a3))).(lt_trans
  52 (lweight a1) (lweight a2) (lweight a3) H H0))))).
  53
  54 theorem llt_head_sx:
  55  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).(llt a1 (AHead a1 a2)))
  56 \def
  57  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(le_n_S (lweight a1) (plus (lweight a1)
  58 (lweight a2)) (le_plus_l (lweight a1) (lweight a2)))).
  59
  60 theorem llt_head_dx:
  61  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).(llt a2 (AHead a1 a2)))
  62 \def
  63  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(le_n_S (lweight a2) (plus (lweight a1)
  64 (lweight a2)) (le_plus_r (lweight a1) (lweight a2)))).
  65
  66 theorem llt_wf__q_ind:
  67  \forall (P: ((A \to Prop))).(((\forall (n: nat).((\lambda (P0: ((A \to
  68 Prop))).(\lambda (n0: nat).(\forall (a: A).((eq nat (lweight a) n0) \to (P0
  69 a))))) P n))) \to (\forall (a: A).(P a)))
  70 \def
  71  let Q \def (\lambda (P: ((A \to Prop))).(\lambda (n: nat).(\forall (a:
  72 A).((eq nat (lweight a) n) \to (P a))))) in (\lambda (P: ((A \to
  73 Prop))).(\lambda (H: ((\forall (n: nat).(\forall (a: A).((eq nat (lweight a)
  74 n) \to (P a)))))).(\lambda (a: A).(H (lweight a) a (refl_equal nat (lweight
  75 a)))))).
  76
  77 theorem llt_wf_ind:
  78  \forall (P: ((A \to Prop))).(((\forall (a2: A).(((\forall (a1: A).((llt a1
  79 a2) \to (P a1)))) \to (P a2)))) \to (\forall (a: A).(P a)))
  80 \def
  81  let Q \def (\lambda (P: ((A \to Prop))).(\lambda (n: nat).(\forall (a:
  82 A).((eq nat (lweight a) n) \to (P a))))) in (\lambda (P: ((A \to
  83 Prop))).(\lambda (H: ((\forall (a2: A).(((\forall (a1: A).((lt (lweight a1)
  84 (lweight a2)) \to (P a1)))) \to (P a2))))).(\lambda (a: A).(llt_wf__q_ind
  85 (\lambda (a0: A).(P a0)) (\lambda (n: nat).(lt_wf_ind n (Q (\lambda (a0:
  86 A).(P a0))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: ((\forall (m: nat).((lt m n0)
  87 \to (Q (\lambda (a0: A).(P a0)) m))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H1: (eq nat
  88 (lweight a0) n0)).(let H2 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n1: nat).(\forall
  89 (m: nat).((lt m n1) \to (\forall (a1: A).((eq nat (lweight a1) m) \to (P
  90 a1)))))) H0 (lweight a0) H1) in (H a0 (\lambda (a1: A).(\lambda (H3: (lt
  91 (lweight a1) (lweight a0))).(H2 (lweight a1) H3 a1 (refl_equal nat (lweight
  92 a1))))))))))))) a)))).
  93