matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/llt/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/llt/props".
  18
  19 include "llt/defs.ma".
  20
  21 include "leq/defs.ma".
  22
  23 theorem lweight_repl:
  24  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (eq nat
  25 (lweight a1) (lweight a2)))))
  26 \def
  27  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  28 a2)).(leq_ind g (\lambda (a: A).(\lambda (a0: A).(eq nat (lweight a) (lweight
  29 a0)))) (\lambda (h1: nat).(\lambda (h2: nat).(\lambda (n1: nat).(\lambda (n2:
  30 nat).(\lambda (k: nat).(\lambda (_: (eq A (aplus g (ASort h1 n1) k) (aplus g
  31 (ASort h2 n2) k))).(refl_equal nat O))))))) (\lambda (a0: A).(\lambda (a3:
  32 A).(\lambda (_: (leq g a0 a3)).(\lambda (H1: (eq nat (lweight a0) (lweight
  33 a3))).(\lambda (a4: A).(\lambda (a5: A).(\lambda (_: (leq g a4 a5)).(\lambda
  34 (H3: (eq nat (lweight a4) (lweight a5))).(f_equal nat nat S (plus (lweight
  35 a0) (lweight a4)) (plus (lweight a3) (lweight a5)) (f_equal2 nat nat nat plus
  36 (lweight a0) (lweight a3) (lweight a4) (lweight a5) H1 H3)))))))))) a1 a2
  37 H)))).
  38
  39 theorem llt_repl:
  40  \forall (g: G).(\forall (a1: A).(\forall (a2: A).((leq g a1 a2) \to (\forall
  41 (a3: A).((llt a1 a3) \to (llt a2 a3))))))
  42 \def
  43  \lambda (g: G).(\lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (H: (leq g a1
  44 a2)).(\lambda (a3: A).(\lambda (H0: (lt (lweight a1) (lweight a3))).(let H1
  45 \def (eq_ind nat (lweight a1) (\lambda (n: nat).(lt n (lweight a3))) H0
  46 (lweight a2) (lweight_repl g a1 a2 H)) in H1)))))).
  47
  48 theorem llt_trans:
  49  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).(\forall (a3: A).((llt a1 a2) \to ((llt a2
  50 a3) \to (llt a1 a3)))))
  51 \def
  52  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(\lambda (a3: A).(\lambda (H: (lt (lweight
  53 a1) (lweight a2))).(\lambda (H0: (lt (lweight a2) (lweight a3))).(lt_trans
  54 (lweight a1) (lweight a2) (lweight a3) H H0))))).
  55
  56 theorem llt_head_sx:
  57  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).(llt a1 (AHead a1 a2)))
  58 \def
  59  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(le_n_S (lweight a1) (plus (lweight a1)
  60 (lweight a2)) (le_plus_l (lweight a1) (lweight a2)))).
  61
  62 theorem llt_head_dx:
  63  \forall (a1: A).(\forall (a2: A).(llt a2 (AHead a1 a2)))
  64 \def
  65  \lambda (a1: A).(\lambda (a2: A).(le_n_S (lweight a2) (plus (lweight a1)
  66 (lweight a2)) (le_plus_r (lweight a1) (lweight a2)))).
  67
  68 theorem llt_wf__q_ind:
  69  \forall (P: ((A \to Prop))).(((\forall (n: nat).((\lambda (P0: ((A \to
  70 Prop))).(\lambda (n0: nat).(\forall (a: A).((eq nat (lweight a) n0) \to (P0
  71 a))))) P n))) \to (\forall (a: A).(P a)))
  72 \def
  73  let Q \def (\lambda (P: ((A \to Prop))).(\lambda (n: nat).(\forall (a:
  74 A).((eq nat (lweight a) n) \to (P a))))) in (\lambda (P: ((A \to
  75 Prop))).(\lambda (H: ((\forall (n: nat).(\forall (a: A).((eq nat (lweight a)
  76 n) \to (P a)))))).(\lambda (a: A).(H (lweight a) a (refl_equal nat (lweight
  77 a)))))).
  78
  79 theorem llt_wf_ind:
  80  \forall (P: ((A \to Prop))).(((\forall (a2: A).(((\forall (a1: A).((llt a1
  81 a2) \to (P a1)))) \to (P a2)))) \to (\forall (a: A).(P a)))
  82 \def
  83  let Q \def (\lambda (P: ((A \to Prop))).(\lambda (n: nat).(\forall (a:
  84 A).((eq nat (lweight a) n) \to (P a))))) in (\lambda (P: ((A \to
  85 Prop))).(\lambda (H: ((\forall (a2: A).(((\forall (a1: A).((lt (lweight a1)
  86 (lweight a2)) \to (P a1)))) \to (P a2))))).(\lambda (a: A).(llt_wf__q_ind
  87 (\lambda (a0: A).(P a0)) (\lambda (n: nat).(lt_wf_ind n (Q (\lambda (a0:
  88 A).(P a0))) (\lambda (n0: nat).(\lambda (H0: ((\forall (m: nat).((lt m n0)
  89 \to (Q (\lambda (a0: A).(P a0)) m))))).(\lambda (a0: A).(\lambda (H1: (eq nat
  90 (lweight a0) n0)).(let H2 \def (eq_ind_r nat n0 (\lambda (n1: nat).(\forall
  91 (m: nat).((lt m n1) \to (\forall (a1: A).((eq nat (lweight a1) m) \to (P
  92 a1)))))) H0 (lweight a0) H1) in (H a0 (\lambda (a1: A).(\lambda (H3: (lt
  93 (lweight a1) (lweight a0))).(H2 (lweight a1) H3 a1 (refl_equal nat (lweight
  94 a1))))))))))))) a)))).
  95