matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/nf2/dec.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/nf2/defs.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/pr2/clen.ma".
  20
  21 include "LambdaDelta-1/pr2/fwd.ma".
  22
  23 include "LambdaDelta-1/pr0/dec.ma".
  24
  25 include "LambdaDelta-1/C/props.ma".
  26
  27 theorem nf2_dec:
  28  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(or (nf2 c t1) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq
  29 T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 c t1 t2)))))
  30 \def
  31  \lambda (c: C).(c_tail_ind (\lambda (c0: C).(\forall (t1: T).(or (\forall
  32 (t2: T).((pr2 c0 t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1
  33 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 c0 t1 t2)))))) (\lambda
  34 (n: nat).(\lambda (t1: T).(let H_x \def (nf0_dec t1) in (let H \def H_x in
  35 (or_ind (\forall (t2: T).((pr0 t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2:
  36 T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr0 t1 t2)))
  37 (or (\forall (t2: T).((pr2 (CSort n) t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T
  38 (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2:
  39 T).(pr2 (CSort n) t1 t2)))) (\lambda (H0: ((\forall (t2: T).((pr0 t1 t2) \to
  40 (eq T t1 t2))))).(or_introl (\forall (t2: T).((pr2 (CSort n) t1 t2) \to (eq T
  41 t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P)))
  42 (\lambda (t2: T).(pr2 (CSort n) t1 t2))) (\lambda (t2: T).(\lambda (H1: (pr2
  43 (CSort n) t1 t2)).(let H_y \def (pr2_gen_csort t1 t2 n H1) in (H0 t2
  44 H_y)))))) (\lambda (H0: (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall
  45 (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr0 t1 t2)))).(ex2_ind T (\lambda (t2:
  46 T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr0 t1 t2))
  47 (or (\forall (t2: T).((pr2 (CSort n) t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T
  48 (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2:
  49 T).(pr2 (CSort n) t1 t2)))) (\lambda (x: T).(\lambda (H1: (((eq T t1 x) \to
  50 (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (H2: (pr0 t1 x)).(or_intror (\forall (t2:
  51 T).((pr2 (CSort n) t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T
  52 t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 (CSort n) t1 t2)))
  53 (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P)))
  54 (\lambda (t2: T).(pr2 (CSort n) t1 t2)) x H1 (pr2_free (CSort n) t1 x
  55 H2)))))) H0)) H))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (H: ((\forall (t1: T).(or
  56 (\forall (t2: T).((pr2 c0 t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2:
  57 T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 c0 t1
  58 t2))))))).(\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (t1: T).(let H_x \def (H
  59 t1) in (let H0 \def H_x in (or_ind (\forall (t2: T).((pr2 c0 t1 t2) \to (eq T
  60 t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P)))
  61 (\lambda (t2: T).(pr2 c0 t1 t2))) (or (\forall (t2: T).((pr2 (CTail k t c0)
  62 t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall
  63 (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail k t c0) t1 t2)))) (\lambda (H1:
  64 ((\forall (t2: T).((pr2 c0 t1 t2) \to (eq T t1 t2))))).(K_ind (\lambda (k0:
  65 K).(or (\forall (t2: T).((pr2 (CTail k0 t c0) t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2
  66 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2:
  67 T).(pr2 (CTail k0 t c0) t1 t2))))) (\lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0:
  68 B).(or (\forall (t2: T).((pr2 (CTail (Bind b0) t c0) t1 t2) \to (eq T t1
  69 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P)))
  70 (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail (Bind b0) t c0) t1 t2))))) (let H_x0 \def
  71 (dnf_dec t t1 (clen c0)) in (let H2 \def H_x0 in (ex_ind T (\lambda (v:
  72 T).(or (subst0 (clen c0) t t1 (lift (S O) (clen c0) v)) (eq T t1 (lift (S O)
  73 (clen c0) v)))) (or (\forall (t2: T).((pr2 (CTail (Bind Abbr) t c0) t1 t2)
  74 \to (eq T t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P:
  75 Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail (Bind Abbr) t c0) t1 t2)))) (\lambda
  76 (x: T).(\lambda (H3: (or (subst0 (clen c0) t t1 (lift (S O) (clen c0) x)) (eq
  77 T t1 (lift (S O) (clen c0) x)))).(or_ind (subst0 (clen c0) t t1 (lift (S O)
  78 (clen c0) x)) (eq T t1 (lift (S O) (clen c0) x)) (or (\forall (t2: T).((pr2
  79 (CTail (Bind Abbr) t c0) t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2:
  80 T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail
  81 (Bind Abbr) t c0) t1 t2)))) (\lambda (H4: (subst0 (clen c0) t t1 (lift (S O)
  82 (clen c0) x))).(let H_x1 \def (getl_ctail_clen Abbr t c0) in (let H5 \def
  83 H_x1 in (ex_ind nat (\lambda (n: nat).(getl (clen c0) (CTail (Bind Abbr) t
  84 c0) (CHead (CSort n) (Bind Abbr) t))) (or (\forall (t2: T).((pr2 (CTail (Bind
  85 Abbr) t c0) t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2)
  86 \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail (Bind Abbr) t c0) t1
  87 t2)))) (\lambda (x0: nat).(\lambda (H6: (getl (clen c0) (CTail (Bind Abbr) t
  88 c0) (CHead (CSort x0) (Bind Abbr) t))).(or_intror (\forall (t2: T).((pr2
  89 (CTail (Bind Abbr) t c0) t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2:
  90 T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail
  91 (Bind Abbr) t c0) t1 t2))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to
  92 (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail (Bind Abbr) t c0) t1
  93 t2)) (lift (S O) (clen c0) x) (\lambda (H7: (eq T t1 (lift (S O) (clen c0)
  94 x))).(\lambda (P: Prop).(let H8 \def (eq_ind T t1 (\lambda (t0: T).(subst0
  95 (clen c0) t t0 (lift (S O) (clen c0) x))) H4 (lift (S O) (clen c0) x) H7) in
  96 (subst0_gen_lift_false x t (lift (S O) (clen c0) x) (S O) (clen c0) (clen c0)
  97 (le_n (clen c0)) (eq_ind_r nat (plus (S O) (clen c0)) (\lambda (n: nat).(lt
  98 (clen c0) n)) (le_n (plus (S O) (clen c0))) (plus (clen c0) (S O)) (plus_sym
  99 (clen c0) (S O))) H8 P)))) (pr2_delta (CTail (Bind Abbr) t c0) (CSort x0) t
 100 (clen c0) H6 t1 t1 (pr0_refl t1) (lift (S O) (clen c0) x) H4))))) H5))))
 101 (\lambda (H4: (eq T t1 (lift (S O) (clen c0) x))).(let H5 \def (eq_ind T t1
 102 (\lambda (t0: T).(\forall (t2: T).((pr2 c0 t0 t2) \to (eq T t0 t2)))) H1
 103 (lift (S O) (clen c0) x) H4) in (eq_ind_r T (lift (S O) (clen c0) x) (\lambda
 104 (t0: T).(or (\forall (t2: T).((pr2 (CTail (Bind Abbr) t c0) t0 t2) \to (eq T
 105 t0 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t0 t2) \to (\forall (P: Prop).P)))
 106 (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail (Bind Abbr) t c0) t0 t2))))) (or_introl (\forall
 107 (t2: T).((pr2 (CTail (Bind Abbr) t c0) (lift (S O) (clen c0) x) t2) \to (eq T
 108 (lift (S O) (clen c0) x) t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T (lift (S O)
 109 (clen c0) x) t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail
 110 (Bind Abbr) t c0) (lift (S O) (clen c0) x) t2))) (\lambda (t2: T).(\lambda
 111 (H6: (pr2 (CTail (Bind Abbr) t c0) (lift (S O) (clen c0) x) t2)).(let H_x1
 112 \def (pr2_gen_ctail (Bind Abbr) c0 t (lift (S O) (clen c0) x) t2 H6) in (let
 113 H7 \def H_x1 in (or_ind (pr2 c0 (lift (S O) (clen c0) x) t2) (ex3 T (\lambda
 114 (_: T).(eq K (Bind Abbr) (Bind Abbr))) (\lambda (t0: T).(pr0 (lift (S O)
 115 (clen c0) x) t0)) (\lambda (t0: T).(subst0 (clen c0) t t0 t2))) (eq T (lift
 116 (S O) (clen c0) x) t2) (\lambda (H8: (pr2 c0 (lift (S O) (clen c0) x)
 117 t2)).(H5 t2 H8)) (\lambda (H8: (ex3 T (\lambda (_: T).(eq K (Bind Abbr) (Bind
 118 Abbr))) (\lambda (t0: T).(pr0 (lift (S O) (clen c0) x) t0)) (\lambda (t0:
 119 T).(subst0 (clen c0) t t0 t2)))).(ex3_ind T (\lambda (_: T).(eq K (Bind Abbr)
 120 (Bind Abbr))) (\lambda (t0: T).(pr0 (lift (S O) (clen c0) x) t0)) (\lambda
 121 (t0: T).(subst0 (clen c0) t t0 t2)) (eq T (lift (S O) (clen c0) x) t2)
 122 (\lambda (x0: T).(\lambda (_: (eq K (Bind Abbr) (Bind Abbr))).(\lambda (H10:
 123 (pr0 (lift (S O) (clen c0) x) x0)).(\lambda (H11: (subst0 (clen c0) t x0
 124 t2)).(ex2_ind T (\lambda (t3: T).(eq T x0 (lift (S O) (clen c0) t3)))
 125 (\lambda (t3: T).(pr0 x t3)) (eq T (lift (S O) (clen c0) x) t2) (\lambda (x1:
 126 T).(\lambda (H12: (eq T x0 (lift (S O) (clen c0) x1))).(\lambda (_: (pr0 x
 127 x1)).(let H14 \def (eq_ind T x0 (\lambda (t0: T).(subst0 (clen c0) t t0 t2))
 128 H11 (lift (S O) (clen c0) x1) H12) in (subst0_gen_lift_false x1 t t2 (S O)
 129 (clen c0) (clen c0) (le_n (clen c0)) (eq_ind_r nat (plus (S O) (clen c0))
 130 (\lambda (n: nat).(lt (clen c0) n)) (le_n (plus (S O) (clen c0))) (plus (clen
 131 c0) (S O)) (plus_sym (clen c0) (S O))) H14 (eq T (lift (S O) (clen c0) x)
 132 t2)))))) (pr0_gen_lift x x0 (S O) (clen c0) H10)))))) H8)) H7)))))) t1 H4)))
 133 H3))) H2))) (or_introl (\forall (t2: T).((pr2 (CTail (Bind Abst) t c0) t1 t2)
 134 \to (eq T t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P:
 135 Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail (Bind Abst) t c0) t1 t2))) (\lambda
 136 (t2: T).(\lambda (H2: (pr2 (CTail (Bind Abst) t c0) t1 t2)).(let H_x0 \def
 137 (pr2_gen_ctail (Bind Abst) c0 t t1 t2 H2) in (let H3 \def H_x0 in (or_ind
 138 (pr2 c0 t1 t2) (ex3 T (\lambda (_: T).(eq K (Bind Abst) (Bind Abbr)))
 139 (\lambda (t0: T).(pr0 t1 t0)) (\lambda (t0: T).(subst0 (clen c0) t t0 t2)))
 140 (eq T t1 t2) (\lambda (H4: (pr2 c0 t1 t2)).(H1 t2 H4)) (\lambda (H4: (ex3 T
 141 (\lambda (_: T).(eq K (Bind Abst) (Bind Abbr))) (\lambda (t0: T).(pr0 t1 t0))
 142 (\lambda (t0: T).(subst0 (clen c0) t t0 t2)))).(ex3_ind T (\lambda (_: T).(eq
 143 K (Bind Abst) (Bind Abbr))) (\lambda (t0: T).(pr0 t1 t0)) (\lambda (t0:
 144 T).(subst0 (clen c0) t t0 t2)) (eq T t1 t2) (\lambda (x0: T).(\lambda (H5:
 145 (eq K (Bind Abst) (Bind Abbr))).(\lambda (_: (pr0 t1 x0)).(\lambda (_:
 146 (subst0 (clen c0) t x0 t2)).(let H8 \def (eq_ind K (Bind Abst) (\lambda (ee:
 147 K).(match ee in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind b0) \Rightarrow
 148 (match b0 in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False |
 149 Abst \Rightarrow True | Void \Rightarrow False]) | (Flat _) \Rightarrow
 150 False])) I (Bind Abbr) H5) in (False_ind (eq T t1 t2) H8)))))) H4)) H3))))))
 151 (or_introl (\forall (t2: T).((pr2 (CTail (Bind Void) t c0) t1 t2) \to (eq T
 152 t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P)))
 153 (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail (Bind Void) t c0) t1 t2))) (\lambda (t2:
 154 T).(\lambda (H2: (pr2 (CTail (Bind Void) t c0) t1 t2)).(let H_x0 \def
 155 (pr2_gen_ctail (Bind Void) c0 t t1 t2 H2) in (let H3 \def H_x0 in (or_ind
 156 (pr2 c0 t1 t2) (ex3 T (\lambda (_: T).(eq K (Bind Void) (Bind Abbr)))
 157 (\lambda (t0: T).(pr0 t1 t0)) (\lambda (t0: T).(subst0 (clen c0) t t0 t2)))
 158 (eq T t1 t2) (\lambda (H4: (pr2 c0 t1 t2)).(H1 t2 H4)) (\lambda (H4: (ex3 T
 159 (\lambda (_: T).(eq K (Bind Void) (Bind Abbr))) (\lambda (t0: T).(pr0 t1 t0))
 160 (\lambda (t0: T).(subst0 (clen c0) t t0 t2)))).(ex3_ind T (\lambda (_: T).(eq
 161 K (Bind Void) (Bind Abbr))) (\lambda (t0: T).(pr0 t1 t0)) (\lambda (t0:
 162 T).(subst0 (clen c0) t t0 t2)) (eq T t1 t2) (\lambda (x0: T).(\lambda (H5:
 163 (eq K (Bind Void) (Bind Abbr))).(\lambda (_: (pr0 t1 x0)).(\lambda (_:
 164 (subst0 (clen c0) t x0 t2)).(let H8 \def (eq_ind K (Bind Void) (\lambda (ee:
 165 K).(match ee in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind b0) \Rightarrow
 166 (match b0 in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr \Rightarrow False |
 167 Abst \Rightarrow False | Void \Rightarrow True]) | (Flat _) \Rightarrow
 168 False])) I (Bind Abbr) H5) in (False_ind (eq T t1 t2) H8)))))) H4)) H3))))))
 169 b)) (\lambda (f: F).(or_introl (\forall (t2: T).((pr2 (CTail (Flat f) t c0)
 170 t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall
 171 (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail (Flat f) t c0) t1 t2))) (\lambda
 172 (t2: T).(\lambda (H2: (pr2 (CTail (Flat f) t c0) t1 t2)).(let H_x0 \def
 173 (pr2_gen_ctail (Flat f) c0 t t1 t2 H2) in (let H3 \def H_x0 in (or_ind (pr2
 174 c0 t1 t2) (ex3 T (\lambda (_: T).(eq K (Flat f) (Bind Abbr))) (\lambda (t0:
 175 T).(pr0 t1 t0)) (\lambda (t0: T).(subst0 (clen c0) t t0 t2))) (eq T t1 t2)
 176 (\lambda (H4: (pr2 c0 t1 t2)).(H1 t2 H4)) (\lambda (H4: (ex3 T (\lambda (_:
 177 T).(eq K (Flat f) (Bind Abbr))) (\lambda (t0: T).(pr0 t1 t0)) (\lambda (t0:
 178 T).(subst0 (clen c0) t t0 t2)))).(ex3_ind T (\lambda (_: T).(eq K (Flat f)
 179 (Bind Abbr))) (\lambda (t0: T).(pr0 t1 t0)) (\lambda (t0: T).(subst0 (clen
 180 c0) t t0 t2)) (eq T t1 t2) (\lambda (x0: T).(\lambda (H5: (eq K (Flat f)
 181 (Bind Abbr))).(\lambda (_: (pr0 t1 x0)).(\lambda (_: (subst0 (clen c0) t x0
 182 t2)).(let H8 \def (eq_ind K (Flat f) (\lambda (ee: K).(match ee in K return
 183 (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False | (Flat _) \Rightarrow
 184 True])) I (Bind Abbr) H5) in (False_ind (eq T t1 t2) H8)))))) H4)) H3)))))))
 185 k)) (\lambda (H1: (ex2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P:
 186 Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 c0 t1 t2)))).(ex2_ind T (\lambda (t2:
 187 T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 c0 t1 t2))
 188 (or (\forall (t2: T).((pr2 (CTail k t c0) t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T
 189 (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2:
 190 T).(pr2 (CTail k t c0) t1 t2)))) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (((eq T t1 x)
 191 \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (H3: (pr2 c0 t1 x)).(or_intror (\forall
 192 (t2: T).((pr2 (CTail k t c0) t1 t2) \to (eq T t1 t2))) (ex2 T (\lambda (t2:
 193 T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail k t
 194 c0) t1 t2))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).((eq T t1 t2) \to (\forall (P:
 195 Prop).P))) (\lambda (t2: T).(pr2 (CTail k t c0) t1 t2)) x H2 (pr2_ctail c0 t1
 196 x H3 k t)))))) H1)) H0)))))))) c).
 197