matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/nf2/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/nf2/defs.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/pr2/clen.ma".
  20
  21 include "LambdaDelta-1/subst0/dec.ma".
  22
  23 include "LambdaDelta-1/T/props.ma".
  24
  25 theorem nf2_gen_lref:
  26  \forall (c: C).(\forall (d: C).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((getl i c
  27 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to (\forall (P: Prop).P))))))
  28 \def
  29  \lambda (c: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
  30 (H: (getl i c (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (H0: ((\forall (t2: T).((pr2
  31 c (TLRef i) t2) \to (eq T (TLRef i) t2))))).(\lambda (P:
  32 Prop).(lift_gen_lref_false (S i) O i (le_O_n i) (le_n (plus O (S i))) u (H0
  33 (lift (S i) O u) (pr2_delta c d u i H (TLRef i) (TLRef i) (pr0_refl (TLRef
  34 i)) (lift (S i) O u) (subst0_lref u i))) P))))))).
  35
  36 theorem nf2_gen_abst:
  37  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((nf2 c (THead (Bind Abst) u
  38 t)) \to (land (nf2 c u) (nf2 (CHead c (Bind Abst) u) t)))))
  39 \def
  40  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t2:
  41 T).((pr2 c (THead (Bind Abst) u t) t2) \to (eq T (THead (Bind Abst) u t)
  42 t2))))).(conj (\forall (t2: T).((pr2 c u t2) \to (eq T u t2))) (\forall (t2:
  43 T).((pr2 (CHead c (Bind Abst) u) t t2) \to (eq T t t2))) (\lambda (t2:
  44 T).(\lambda (H0: (pr2 c u t2)).(let H1 \def (f_equal T T (\lambda (e:
  45 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow u |
  46 (TLRef _) \Rightarrow u | (THead _ t0 _) \Rightarrow t0])) (THead (Bind Abst)
  47 u t) (THead (Bind Abst) t2 t) (H (THead (Bind Abst) t2 t) (pr2_head_1 c u t2
  48 H0 (Bind Abst) t))) in (let H2 \def (eq_ind_r T t2 (\lambda (t0: T).(pr2 c u
  49 t0)) H0 u H1) in (eq_ind T u (\lambda (t0: T).(eq T u t0)) (refl_equal T u)
  50 t2 H1))))) (\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr2 (CHead c (Bind Abst) u) t
  51 t2)).(let H1 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
  52 (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _
  53 _ t0) \Rightarrow t0])) (THead (Bind Abst) u t) (THead (Bind Abst) u t2) (H
  54 (THead (Bind Abst) u t2) (let H_y \def (pr2_gen_cbind Abst c u t t2 H0) in
  55 H_y))) in (let H2 \def (eq_ind_r T t2 (\lambda (t0: T).(pr2 (CHead c (Bind
  56 Abst) u) t t0)) H0 t H1) in (eq_ind T t (\lambda (t0: T).(eq T t t0))
  57 (refl_equal T t) t2 H1))))))))).
  58
  59 theorem nf2_gen_cast:
  60  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((nf2 c (THead (Flat Cast) u
  61 t)) \to (\forall (P: Prop).P))))
  62 \def
  63  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H: (nf2 c (THead
  64 (Flat Cast) u t))).(\lambda (P: Prop).(thead_x_y_y (Flat Cast) u t (H t
  65 (pr2_free c (THead (Flat Cast) u t) t (pr0_tau t t (pr0_refl t) u))) P))))).
  66
  67 theorem nf2_gen_beta:
  68  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (v: T).(\forall (t: T).((nf2 c
  69 (THead (Flat Appl) u (THead (Bind Abst) v t))) \to (\forall (P: Prop).P)))))
  70 \def
  71  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (v: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H:
  72 ((\forall (t2: T).((pr2 c (THead (Flat Appl) u (THead (Bind Abst) v t)) t2)
  73 \to (eq T (THead (Flat Appl) u (THead (Bind Abst) v t)) t2))))).(\lambda (P:
  74 Prop).(let H0 \def (eq_ind T (THead (Flat Appl) u (THead (Bind Abst) v t))
  75 (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _)
  76 \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead k _ _) \Rightarrow
  77 (match k in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind _) \Rightarrow False |
  78 (Flat _) \Rightarrow True])])) I (THead (Bind Abbr) u t) (H (THead (Bind
  79 Abbr) u t) (pr2_free c (THead (Flat Appl) u (THead (Bind Abst) v t)) (THead
  80 (Bind Abbr) u t) (pr0_beta v u u (pr0_refl u) t t (pr0_refl t))))) in
  81 (False_ind P H0))))))).
  82
  83 theorem nf2_gen_flat:
  84  \forall (f: F).(\forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((nf2 c
  85 (THead (Flat f) u t)) \to (land (nf2 c u) (nf2 c t))))))
  86 \def
  87  \lambda (f: F).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H:
  88 ((\forall (t2: T).((pr2 c (THead (Flat f) u t) t2) \to (eq T (THead (Flat f)
  89 u t) t2))))).(conj (\forall (t2: T).((pr2 c u t2) \to (eq T u t2))) (\forall
  90 (t2: T).((pr2 c t t2) \to (eq T t t2))) (\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr2 c
  91 u t2)).(let H1 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return
  92 (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u |
  93 (THead _ t0 _) \Rightarrow t0])) (THead (Flat f) u t) (THead (Flat f) t2 t)
  94 (H (THead (Flat f) t2 t) (pr2_head_1 c u t2 H0 (Flat f) t))) in H1)))
  95 (\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr2 c t t2)).(let H1 \def (f_equal T T
  96 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _)
  97 \Rightarrow t | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _ _ t0) \Rightarrow t0]))
  98 (THead (Flat f) u t) (THead (Flat f) u t2) (H (THead (Flat f) u t2)
  99 (pr2_head_2 c u t t2 (Flat f) (pr2_cflat c t t2 H0 f u)))) in H1)))))))).
 100
 101 theorem nf2_gen__nf2_gen_aux:
 102  \forall (b: B).(\forall (x: T).(\forall (u: T).(\forall (d: nat).((eq T
 103 (THead (Bind b) u (lift (S O) d x)) x) \to (\forall (P: Prop).P)))))
 104 \def
 105  \lambda (b: B).(\lambda (x: T).(T_ind (\lambda (t: T).(\forall (u:
 106 T).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Bind b) u (lift (S O) d t)) t) \to
 107 (\forall (P: Prop).P))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (u: T).(\lambda (d:
 108 nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Bind b) u (lift (S O) d (TSort n))) (TSort
 109 n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind T (THead (Bind b) u (lift (S O)
 110 d (TSort n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop)
 111 with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _
 112 _) \Rightarrow True])) I (TSort n) H) in (False_ind P H0))))))) (\lambda (n:
 113 nat).(\lambda (u: T).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (eq T (THead (Bind b) u
 114 (lift (S O) d (TLRef n))) (TLRef n))).(\lambda (P: Prop).(let H0 \def (eq_ind
 115 T (THead (Bind b) u (lift (S O) d (TLRef n))) (\lambda (ee: T).(match ee in T
 116 return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _)
 117 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef n) H) in
 118 (False_ind P H0))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(\lambda (_: ((\forall
 119 (u: T).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Bind b) u (lift (S O) d t)) t) \to
 120 (\forall (P: Prop).P)))))).(\lambda (t0: T).(\lambda (H0: ((\forall (u:
 121 T).(\forall (d: nat).((eq T (THead (Bind b) u (lift (S O) d t0)) t0) \to
 122 (\forall (P: Prop).P)))))).(\lambda (u: T).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1:
 123 (eq T (THead (Bind b) u (lift (S O) d (THead k t t0))) (THead k t
 124 t0))).(\lambda (P: Prop).(let H2 \def (f_equal T K (\lambda (e: T).(match e
 125 in T return (\lambda (_: T).K) with [(TSort _) \Rightarrow (Bind b) | (TLRef
 126 _) \Rightarrow (Bind b) | (THead k0 _ _) \Rightarrow k0])) (THead (Bind b) u
 127 (lift (S O) d (THead k t t0))) (THead k t t0) H1) in ((let H3 \def (f_equal T
 128 T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _)
 129 \Rightarrow u | (TLRef _) \Rightarrow u | (THead _ t1 _) \Rightarrow t1]))
 130 (THead (Bind b) u (lift (S O) d (THead k t t0))) (THead k t t0) H1) in ((let
 131 H4 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T)
 132 with [(TSort _) \Rightarrow (THead k ((let rec lref_map (f: ((nat \to nat)))
 133 (d0: nat) (t1: T) on t1: T \def (match t1 with [(TSort n) \Rightarrow (TSort
 134 n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0) with [true \Rightarrow i
 135 | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k0 u0 t2) \Rightarrow (THead k0
 136 (lref_map f d0 u0) (lref_map f (s k0 d0) t2))]) in lref_map) (\lambda (x0:
 137 nat).(plus x0 (S O))) d t) ((let rec lref_map (f: ((nat \to nat))) (d0: nat)
 138 (t1: T) on t1: T \def (match t1 with [(TSort n) \Rightarrow (TSort n) |
 139 (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0) with [true \Rightarrow i |
 140 false \Rightarrow (f i)])) | (THead k0 u0 t2) \Rightarrow (THead k0 (lref_map
 141 f d0 u0) (lref_map f (s k0 d0) t2))]) in lref_map) (\lambda (x0: nat).(plus
 142 x0 (S O))) (s k d) t0)) | (TLRef _) \Rightarrow (THead k ((let rec lref_map
 143 (f: ((nat \to nat))) (d0: nat) (t1: T) on t1: T \def (match t1 with [(TSort
 144 n) \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0)
 145 with [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k0 u0 t2)
 146 \Rightarrow (THead k0 (lref_map f d0 u0) (lref_map f (s k0 d0) t2))]) in
 147 lref_map) (\lambda (x0: nat).(plus x0 (S O))) d t) ((let rec lref_map (f:
 148 ((nat \to nat))) (d0: nat) (t1: T) on t1: T \def (match t1 with [(TSort n)
 149 \Rightarrow (TSort n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0) with
 150 [true \Rightarrow i | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k0 u0 t2)
 151 \Rightarrow (THead k0 (lref_map f d0 u0) (lref_map f (s k0 d0) t2))]) in
 152 lref_map) (\lambda (x0: nat).(plus x0 (S O))) (s k d) t0)) | (THead _ _ t1)
 153 \Rightarrow t1])) (THead (Bind b) u (lift (S O) d (THead k t t0))) (THead k t
 154 t0) H1) in (\lambda (_: (eq T u t)).(\lambda (H6: (eq K (Bind b) k)).(let H7
 155 \def (eq_ind_r K k (\lambda (k0: K).(eq T (lift (S O) d (THead k0 t t0)) t0))
 156 H4 (Bind b) H6) in (let H8 \def (eq_ind T (lift (S O) d (THead (Bind b) t
 157 t0)) (\lambda (t1: T).(eq T t1 t0)) H7 (THead (Bind b) (lift (S O) d t) (lift
 158 (S O) (S d) t0)) (lift_bind b t t0 (S O) d)) in (H0 (lift (S O) d t) (S d) H8
 159 P)))))) H3)) H2))))))))))) x)).
 160
 161 theorem nf2_gen_abbr:
 162  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((nf2 c (THead (Bind Abbr) u
 163 t)) \to (\forall (P: Prop).P))))
 164 \def
 165  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t2:
 166 T).((pr2 c (THead (Bind Abbr) u t) t2) \to (eq T (THead (Bind Abbr) u t)
 167 t2))))).(\lambda (P: Prop).(let H_x \def (dnf_dec u t O) in (let H0 \def H_x
 168 in (ex_ind T (\lambda (v: T).(or (subst0 O u t (lift (S O) O v)) (eq T t
 169 (lift (S O) O v)))) P (\lambda (x: T).(\lambda (H1: (or (subst0 O u t (lift
 170 (S O) O x)) (eq T t (lift (S O) O x)))).(or_ind (subst0 O u t (lift (S O) O
 171 x)) (eq T t (lift (S O) O x)) P (\lambda (H2: (subst0 O u t (lift (S O) O
 172 x))).(let H3 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
 173 (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t | (TLRef _) \Rightarrow t | (THead _
 174 _ t0) \Rightarrow t0])) (THead (Bind Abbr) u t) (THead (Bind Abbr) u (lift (S
 175 O) O x)) (H (THead (Bind Abbr) u (lift (S O) O x)) (pr2_free c (THead (Bind
 176 Abbr) u t) (THead (Bind Abbr) u (lift (S O) O x)) (pr0_delta u u (pr0_refl u)
 177 t t (pr0_refl t) (lift (S O) O x) H2)))) in (let H4 \def (eq_ind T t (\lambda
 178 (t0: T).(subst0 O u t0 (lift (S O) O x))) H2 (lift (S O) O x) H3) in
 179 (subst0_refl u (lift (S O) O x) O H4 P)))) (\lambda (H2: (eq T t (lift (S O)
 180 O x))).(let H3 \def (eq_ind T t (\lambda (t0: T).(\forall (t2: T).((pr2 c
 181 (THead (Bind Abbr) u t0) t2) \to (eq T (THead (Bind Abbr) u t0) t2)))) H
 182 (lift (S O) O x) H2) in (nf2_gen__nf2_gen_aux Abbr x u O (H3 x (pr2_free c
 183 (THead (Bind Abbr) u (lift (S O) O x)) x (pr0_zeta Abbr not_abbr_abst x x
 184 (pr0_refl x) u))) P))) H1))) H0))))))).
 185
 186 theorem nf2_gen_void:
 187  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((nf2 c (THead (Bind Void) u
 188 (lift (S O) O t))) \to (\forall (P: Prop).P))))
 189 \def
 190  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H: ((\forall (t2:
 191 T).((pr2 c (THead (Bind Void) u (lift (S O) O t)) t2) \to (eq T (THead (Bind
 192 Void) u (lift (S O) O t)) t2))))).(\lambda (P: Prop).(nf2_gen__nf2_gen_aux
 193 Void t u O (H t (pr2_free c (THead (Bind Void) u (lift (S O) O t)) t
 194 (pr0_zeta Void not_void_abst t t (pr0_refl t) u))) P))))).
 195