matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/pc3/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/pc3/props.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/pr3/fwd.ma".
  20
  21 theorem pc3_gen_sort:
  22  \forall (c: C).(\forall (m: nat).(\forall (n: nat).((pc3 c (TSort m) (TSort
  23 n)) \to (eq nat m n))))
  24 \def
  25  \lambda (c: C).(\lambda (m: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda (H: (pc3 c
  26 (TSort m) (TSort n))).(let H0 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c
  27 (TSort m) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (TSort n) t)) (eq nat m n) (\lambda (x:
  28 T).(\lambda (H1: (pr3 c (TSort m) x)).(\lambda (H2: (pr3 c (TSort n) x)).(let
  29 H3 \def (eq_ind T x (\lambda (t: T).(eq T t (TSort n))) (pr3_gen_sort c x n
  30 H2) (TSort m) (pr3_gen_sort c x m H1)) in (let H4 \def (f_equal T nat
  31 (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort n0)
  32 \Rightarrow n0 | (TLRef _) \Rightarrow m | (THead _ _ _) \Rightarrow m]))
  33 (TSort m) (TSort n) H3) in H4))))) H0))))).
  34
  35 theorem pc3_gen_abst:
  36  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).(\forall (t1: T).(\forall
  37 (t2: T).((pc3 c (THead (Bind Abst) u1 t1) (THead (Bind Abst) u2 t2)) \to
  38 (land (pc3 c u1 u2) (\forall (b: B).(\forall (u: T).(pc3 (CHead c (Bind b) u)
  39 t1 t2)))))))))
  40 \def
  41  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (t1: T).(\lambda
  42 (t2: T).(\lambda (H: (pc3 c (THead (Bind Abst) u1 t1) (THead (Bind Abst) u2
  43 t2))).(let H0 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c (THead (Bind Abst)
  44 u1 t1) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (THead (Bind Abst) u2 t2) t)) (land (pc3 c
  45 u1 u2) (\forall (b: B).(\forall (u: T).(pc3 (CHead c (Bind b) u) t1 t2))))
  46 (\lambda (x: T).(\lambda (H1: (pr3 c (THead (Bind Abst) u1 t1) x)).(\lambda
  47 (H2: (pr3 c (THead (Bind Abst) u2 t2) x)).(let H3 \def (pr3_gen_abst c u2 t2
  48 x H2) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead
  49 (Bind Abst) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 u3)))
  50 (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead
  51 c (Bind b) u) t2 t3))))) (land (pc3 c u1 u2) (\forall (b: B).(\forall (u:
  52 T).(pc3 (CHead c (Bind b) u) t1 t2)))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1:
  53 T).(\lambda (H4: (eq T x (THead (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (H5: (pr3 c u2
  54 x0)).(\lambda (H6: ((\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u)
  55 t2 x1))))).(let H7 \def (pr3_gen_abst c u1 t1 x H1) in (ex3_2_ind T T
  56 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind Abst) u3 t3))))
  57 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda
  58 (t3: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t1 t3)))))
  59 (land (pc3 c u1 u2) (\forall (b: B).(\forall (u: T).(pc3 (CHead c (Bind b) u)
  60 t1 t2)))) (\lambda (x2: T).(\lambda (x3: T).(\lambda (H8: (eq T x (THead
  61 (Bind Abst) x2 x3))).(\lambda (H9: (pr3 c u1 x2)).(\lambda (H10: ((\forall
  62 (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t1 x3))))).(let H11 \def
  63 (eq_ind T x (\lambda (t: T).(eq T t (THead (Bind Abst) x0 x1))) H4 (THead
  64 (Bind Abst) x2 x3) H8) in (let H12 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e
  65 in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow x2 | (TLRef _)
  66 \Rightarrow x2 | (THead _ t _) \Rightarrow t])) (THead (Bind Abst) x2 x3)
  67 (THead (Bind Abst) x0 x1) H11) in ((let H13 \def (f_equal T T (\lambda (e:
  68 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow x3 |
  69 (TLRef _) \Rightarrow x3 | (THead _ _ t) \Rightarrow t])) (THead (Bind Abst)
  70 x2 x3) (THead (Bind Abst) x0 x1) H11) in (\lambda (H14: (eq T x2 x0)).(let
  71 H15 \def (eq_ind T x3 (\lambda (t: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3
  72 (CHead c (Bind b) u) t1 t)))) H10 x1 H13) in (let H16 \def (eq_ind T x2
  73 (\lambda (t: T).(pr3 c u1 t)) H9 x0 H14) in (conj (pc3 c u1 u2) (\forall (b:
  74 B).(\forall (u: T).(pc3 (CHead c (Bind b) u) t1 t2))) (pc3_pr3_t c u1 x0 H16
  75 u2 H5) (\lambda (b: B).(\lambda (u: T).(pc3_pr3_t (CHead c (Bind b) u) t1 x1
  76 (H15 b u) t2 (H6 b u))))))))) H12)))))))) H7))))))) H3))))) H0))))))).
  77
  78 theorem pc3_gen_abst_shift:
  79  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 c
  80 (THead (Bind Abst) u t1) (THead (Bind Abst) u t2)) \to (pc3 (CHead c (Bind
  81 Abst) u) t1 t2)))))
  82 \def
  83  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda
  84 (H: (pc3 c (THead (Bind Abst) u t1) (THead (Bind Abst) u t2))).(let H_x \def
  85 (pc3_gen_abst c u u t1 t2 H) in (let H0 \def H_x in (land_ind (pc3 c u u)
  86 (\forall (b: B).(\forall (u0: T).(pc3 (CHead c (Bind b) u0) t1 t2))) (pc3
  87 (CHead c (Bind Abst) u) t1 t2) (\lambda (_: (pc3 c u u)).(\lambda (H2:
  88 ((\forall (b: B).(\forall (u0: T).(pc3 (CHead c (Bind b) u0) t1 t2))))).(H2
  89 Abst u))) H0))))))).
  90
  91 theorem pc3_gen_lift:
  92  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (h: nat).(\forall
  93 (d: nat).((pc3 c (lift h d t1) (lift h d t2)) \to (\forall (e: C).((drop h d
  94 c e) \to (pc3 e t1 t2))))))))
  95 \def
  96  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
  97 (d: nat).(\lambda (H: (pc3 c (lift h d t1) (lift h d t2))).(\lambda (e:
  98 C).(\lambda (H0: (drop h d c e)).(let H1 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t:
  99 T).(pr3 c (lift h d t1) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (lift h d t2) t)) (pc3 e
 100 t1 t2) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c (lift h d t1) x)).(\lambda (H3:
 101 (pr3 c (lift h d t2) x)).(let H4 \def (pr3_gen_lift c t2 x h d H3 e H0) in
 102 (ex2_ind T (\lambda (t3: T).(eq T x (lift h d t3))) (\lambda (t3: T).(pr3 e
 103 t2 t3)) (pc3 e t1 t2) (\lambda (x0: T).(\lambda (H5: (eq T x (lift h d
 104 x0))).(\lambda (H6: (pr3 e t2 x0)).(let H7 \def (pr3_gen_lift c t1 x h d H2 e
 105 H0) in (ex2_ind T (\lambda (t3: T).(eq T x (lift h d t3))) (\lambda (t3:
 106 T).(pr3 e t1 t3)) (pc3 e t1 t2) (\lambda (x1: T).(\lambda (H8: (eq T x (lift
 107 h d x1))).(\lambda (H9: (pr3 e t1 x1)).(let H10 \def (eq_ind T x (\lambda (t:
 108 T).(eq T t (lift h d x0))) H5 (lift h d x1) H8) in (let H11 \def (eq_ind T x1
 109 (\lambda (t: T).(pr3 e t1 t)) H9 x0 (lift_inj x1 x0 h d H10)) in (pc3_pr3_t e
 110 t1 x0 H11 t2 H6)))))) H7))))) H4))))) H1))))))))).
 111
 112 theorem pc3_gen_not_abst:
 113  \forall (b: B).((not (eq B b Abst)) \to (\forall (c: C).(\forall (t1:
 114 T).(\forall (t2: T).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pc3 c (THead (Bind b)
 115 u1 t1) (THead (Bind Abst) u2 t2)) \to (pc3 (CHead c (Bind b) u1) t1 (lift (S
 116 O) O (THead (Bind Abst) u2 t2))))))))))
 117 \def
 118  \lambda (b: B).(B_ind (\lambda (b0: B).((not (eq B b0 Abst)) \to (\forall
 119 (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u1: T).(\forall (u2:
 120 T).((pc3 c (THead (Bind b0) u1 t1) (THead (Bind Abst) u2 t2)) \to (pc3 (CHead
 121 c (Bind b0) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2))))))))))) (\lambda
 122 (_: (not (eq B Abbr Abst))).(\lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2:
 123 T).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H0: (pc3 c (THead (Bind Abbr)
 124 u1 t1) (THead (Bind Abst) u2 t2))).(let H1 \def H0 in (ex2_ind T (\lambda (t:
 125 T).(pr3 c (THead (Bind Abbr) u1 t1) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (THead (Bind
 126 Abst) u2 t2) t)) (pc3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind
 127 Abst) u2 t2))) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c (THead (Bind Abbr) u1 t1)
 128 x)).(\lambda (H3: (pr3 c (THead (Bind Abst) u2 t2) x)).(let H4 \def
 129 (pr3_gen_abbr c u1 t1 x H2) in (or_ind (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda
 130 (t3: T).(eq T x (THead (Bind Abbr) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_:
 131 T).(pr3 c u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(pr3 (CHead c (Bind Abbr)
 132 u1) t1 t3)))) (pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 (lift (S O) O x)) (pc3 (CHead
 133 c (Bind Abbr) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2))) (\lambda (H5:
 134 (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind Abbr) u3
 135 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u1 u3))) (\lambda (_:
 136 T).(\lambda (t3: T).(pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 t3))))).(ex3_2_ind T T
 137 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind Abbr) u3 t3))))
 138 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda
 139 (t3: T).(pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 t3))) (pc3 (CHead c (Bind Abbr) u1)
 140 t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1:
 141 T).(\lambda (H6: (eq T x (THead (Bind Abbr) x0 x1))).(\lambda (_: (pr3 c u1
 142 x0)).(\lambda (_: (pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 x1)).(let H9 \def
 143 (pr3_gen_abst c u2 t2 x H3) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3:
 144 T).(eq T x (THead (Bind Abst) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3
 145 c u2 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b0: B).(\forall (u:
 146 T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t2 t3))))) (pc3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1
 147 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2))) (\lambda (x2: T).(\lambda (x3:
 148 T).(\lambda (H10: (eq T x (THead (Bind Abst) x2 x3))).(\lambda (_: (pr3 c u2
 149 x2)).(\lambda (_: ((\forall (b0: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0)
 150 u) t2 x3))))).(let H13 \def (eq_ind T x (\lambda (t: T).(eq T t (THead (Bind
 151 Abbr) x0 x1))) H6 (THead (Bind Abst) x2 x3) H10) in (let H14 \def (eq_ind T
 152 (THead (Bind Abst) x2 x3) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 153 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False |
 154 (THead k _ _) \Rightarrow (match k in K return (\lambda (_: K).Prop) with
 155 [(Bind b0) \Rightarrow (match b0 in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr
 156 \Rightarrow False | Abst \Rightarrow True | Void \Rightarrow False]) | (Flat
 157 _) \Rightarrow False])])) I (THead (Bind Abbr) x0 x1) H13) in (False_ind (pc3
 158 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2)))
 159 H14)))))))) H9))))))) H5)) (\lambda (H5: (pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1
 160 (lift (S O) O x))).(let H6 \def (pr3_gen_abst c u2 t2 x H3) in (ex3_2_ind T T
 161 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind Abst) u3 t3))))
 162 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda
 163 (t3: T).(\forall (b0: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t2
 164 t3))))) (pc3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2
 165 t2))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H7: (eq T x (THead (Bind
 166 Abst) x0 x1))).(\lambda (H8: (pr3 c u2 x0)).(\lambda (H9: ((\forall (b0:
 167 B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t2 x1))))).(let H10 \def
 168 (eq_ind T x (\lambda (t: T).(pr3 (CHead c (Bind Abbr) u1) t1 (lift (S O) O
 169 t))) H5 (THead (Bind Abst) x0 x1) H7) in (pc3_pr3_t (CHead c (Bind Abbr) u1)
 170 t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) x0 x1)) H10 (lift (S O) O (THead (Bind
 171 Abst) u2 t2)) (pr3_lift (CHead c (Bind Abbr) u1) c (S O) O (drop_drop (Bind
 172 Abbr) O c c (drop_refl c) u1) (THead (Bind Abst) u2 t2) (THead (Bind Abst) x0
 173 x1) (pr3_head_12 c u2 x0 H8 (Bind Abst) t2 x1 (H9 Abst x0)))))))))) H6)))
 174 H4))))) H1))))))))) (\lambda (H: (not (eq B Abst Abst))).(\lambda (c:
 175 C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2:
 176 T).(\lambda (_: (pc3 c (THead (Bind Abst) u1 t1) (THead (Bind Abst) u2
 177 t2))).(let H1 \def (match (H (refl_equal B Abst)) in False return (\lambda
 178 (_: False).(pc3 (CHead c (Bind Abst) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst)
 179 u2 t2)))) with []) in H1)))))))) (\lambda (_: (not (eq B Void
 180 Abst))).(\lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u1:
 181 T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H0: (pc3 c (THead (Bind Void) u1 t1) (THead
 182 (Bind Abst) u2 t2))).(let H1 \def H0 in (ex2_ind T (\lambda (t: T).(pr3 c
 183 (THead (Bind Void) u1 t1) t)) (\lambda (t: T).(pr3 c (THead (Bind Abst) u2
 184 t2) t)) (pc3 (CHead c (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2
 185 t2))) (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c (THead (Bind Void) u1 t1)
 186 x)).(\lambda (H3: (pr3 c (THead (Bind Abst) u2 t2) x)).(let H4 \def
 187 (pr3_gen_void c u1 t1 x H2) in (or_ind (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda
 188 (t3: T).(eq T x (THead (Bind Void) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_:
 189 T).(pr3 c u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b0: B).(\forall
 190 (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t1 t3)))))) (pr3 (CHead c (Bind Void) u1)
 191 t1 (lift (S O) O x)) (pc3 (CHead c (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O (THead
 192 (Bind Abst) u2 t2))) (\lambda (H5: (ex3_2 T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3:
 193 T).(eq T x (THead (Bind Void) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3
 194 c u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b0: B).(\forall (u:
 195 T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t1 t3))))))).(ex3_2_ind T T (\lambda (u3:
 196 T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind Void) u3 t3)))) (\lambda (u3:
 197 T).(\lambda (_: T).(pr3 c u1 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall
 198 (b0: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t1 t3))))) (pc3 (CHead c
 199 (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2))) (\lambda (x0:
 200 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H6: (eq T x (THead (Bind Void) x0
 201 x1))).(\lambda (_: (pr3 c u1 x0)).(\lambda (_: ((\forall (b0: B).(\forall (u:
 202 T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t1 x1))))).(let H9 \def (pr3_gen_abst c u2 t2 x
 203 H3) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind
 204 Abst) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 u3))) (\lambda (_:
 205 T).(\lambda (t3: T).(\forall (b0: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0)
 206 u) t2 t3))))) (pc3 (CHead c (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind
 207 Abst) u2 t2))) (\lambda (x2: T).(\lambda (x3: T).(\lambda (H10: (eq T x
 208 (THead (Bind Abst) x2 x3))).(\lambda (_: (pr3 c u2 x2)).(\lambda (_:
 209 ((\forall (b0: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t2 x3))))).(let
 210 H13 \def (eq_ind T x (\lambda (t: T).(eq T t (THead (Bind Void) x0 x1))) H6
 211 (THead (Bind Abst) x2 x3) H10) in (let H14 \def (eq_ind T (THead (Bind Abst)
 212 x2 x3) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with
 213 [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead k _ _)
 214 \Rightarrow (match k in K return (\lambda (_: K).Prop) with [(Bind b0)
 215 \Rightarrow (match b0 in B return (\lambda (_: B).Prop) with [Abbr
 216 \Rightarrow False | Abst \Rightarrow True | Void \Rightarrow False]) | (Flat
 217 _) \Rightarrow False])])) I (THead (Bind Void) x0 x1) H13) in (False_ind (pc3
 218 (CHead c (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2 t2)))
 219 H14)))))))) H9))))))) H5)) (\lambda (H5: (pr3 (CHead c (Bind Void) u1) t1
 220 (lift (S O) O x))).(let H6 \def (pr3_gen_abst c u2 t2 x H3) in (ex3_2_ind T T
 221 (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead (Bind Abst) u3 t3))))
 222 (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 u3))) (\lambda (_: T).(\lambda
 223 (t3: T).(\forall (b0: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t2
 224 t3))))) (pc3 (CHead c (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) u2
 225 t2))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H7: (eq T x (THead (Bind
 226 Abst) x0 x1))).(\lambda (H8: (pr3 c u2 x0)).(\lambda (H9: ((\forall (b0:
 227 B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b0) u) t2 x1))))).(let H10 \def
 228 (eq_ind T x (\lambda (t: T).(pr3 (CHead c (Bind Void) u1) t1 (lift (S O) O
 229 t))) H5 (THead (Bind Abst) x0 x1) H7) in (pc3_pr3_t (CHead c (Bind Void) u1)
 230 t1 (lift (S O) O (THead (Bind Abst) x0 x1)) H10 (lift (S O) O (THead (Bind
 231 Abst) u2 t2)) (pr3_lift (CHead c (Bind Void) u1) c (S O) O (drop_drop (Bind
 232 Void) O c c (drop_refl c) u1) (THead (Bind Abst) u2 t2) (THead (Bind Abst) x0
 233 x1) (pr3_head_12 c u2 x0 H8 (Bind Abst) t2 x1 (H9 Abst x0)))))))))) H6)))
 234 H4))))) H1))))))))) b).
 235
 236 theorem pc3_gen_lift_abst:
 237  \forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (t2: T).(\forall (u2: T).(\forall
 238 (h: nat).(\forall (d: nat).((pc3 c (lift h d t) (THead (Bind Abst) u2 t2))
 239 \to (\forall (e: C).((drop h d c e) \to (ex3_2 T T (\lambda (u1: T).(\lambda
 240 (t1: T).(pr3 e t (THead (Bind Abst) u1 t1)))) (\lambda (u1: T).(\lambda (_:
 241 T).(pr3 c u2 (lift h d u1)))) (\lambda (_: T).(\lambda (t1: T).(\forall (b:
 242 B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t2 (lift h (S d)
 243 t1)))))))))))))))
 244 \def
 245  \lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u2: T).(\lambda
 246 (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (pc3 c (lift h d t) (THead (Bind
 247 Abst) u2 t2))).(\lambda (e: C).(\lambda (H0: (drop h d c e)).(let H1 \def H
 248 in (ex2_ind T (\lambda (t0: T).(pr3 c (lift h d t) t0)) (\lambda (t0: T).(pr3
 249 c (THead (Bind Abst) u2 t2) t0)) (ex3_2 T T (\lambda (u1: T).(\lambda (t1:
 250 T).(pr3 e t (THead (Bind Abst) u1 t1)))) (\lambda (u1: T).(\lambda (_:
 251 T).(pr3 c u2 (lift h d u1)))) (\lambda (_: T).(\lambda (t1: T).(\forall (b:
 252 B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t2 (lift h (S d) t1)))))))
 253 (\lambda (x: T).(\lambda (H2: (pr3 c (lift h d t) x)).(\lambda (H3: (pr3 c
 254 (THead (Bind Abst) u2 t2) x)).(let H4 \def (pr3_gen_lift c t x h d H2 e H0)
 255 in (ex2_ind T (\lambda (t3: T).(eq T x (lift h d t3))) (\lambda (t3: T).(pr3
 256 e t t3)) (ex3_2 T T (\lambda (u1: T).(\lambda (t1: T).(pr3 e t (THead (Bind
 257 Abst) u1 t1)))) (\lambda (u1: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 (lift h d u1))))
 258 (\lambda (_: T).(\lambda (t1: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead
 259 c (Bind b) u) t2 (lift h (S d) t1))))))) (\lambda (x0: T).(\lambda (H5: (eq T
 260 x (lift h d x0))).(\lambda (H6: (pr3 e t x0)).(let H7 \def (pr3_gen_abst c u2
 261 t2 x H3) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u3: T).(\lambda (t3: T).(eq T x (THead
 262 (Bind Abst) u3 t3)))) (\lambda (u3: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 u3)))
 263 (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead
 264 c (Bind b) u) t2 t3))))) (ex3_2 T T (\lambda (u1: T).(\lambda (t1: T).(pr3 e
 265 t (THead (Bind Abst) u1 t1)))) (\lambda (u1: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2
 266 (lift h d u1)))) (\lambda (_: T).(\lambda (t1: T).(\forall (b: B).(\forall
 267 (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t2 (lift h (S d) t1))))))) (\lambda (x1:
 268 T).(\lambda (x2: T).(\lambda (H8: (eq T x (THead (Bind Abst) x1
 269 x2))).(\lambda (H9: (pr3 c u2 x1)).(\lambda (H10: ((\forall (b: B).(\forall
 270 (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t2 x2))))).(let H11 \def (eq_ind T x
 271 (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d x0))) H5 (THead (Bind Abst) x1 x2) H8) in
 272 (ex3_2_ind T T (\lambda (y: T).(\lambda (z: T).(eq T x0 (THead (Bind Abst) y
 273 z)))) (\lambda (y: T).(\lambda (_: T).(eq T x1 (lift h d y)))) (\lambda (_:
 274 T).(\lambda (z: T).(eq T x2 (lift h (S d) z)))) (ex3_2 T T (\lambda (u1:
 275 T).(\lambda (t1: T).(pr3 e t (THead (Bind Abst) u1 t1)))) (\lambda (u1:
 276 T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 (lift h d u1)))) (\lambda (_: T).(\lambda (t1:
 277 T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t2 (lift h (S d)
 278 t1))))))) (\lambda (x3: T).(\lambda (x4: T).(\lambda (H12: (eq T x0 (THead
 279 (Bind Abst) x3 x4))).(\lambda (H13: (eq T x1 (lift h d x3))).(\lambda (H14:
 280 (eq T x2 (lift h (S d) x4))).(let H15 \def (eq_ind T x2 (\lambda (t0:
 281 T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) t2 t0)))) H10
 282 (lift h (S d) x4) H14) in (let H16 \def (eq_ind T x1 (\lambda (t0: T).(pr3 c
 283 u2 t0)) H9 (lift h d x3) H13) in (let H17 \def (eq_ind T x0 (\lambda (t0:
 284 T).(pr3 e t t0)) H6 (THead (Bind Abst) x3 x4) H12) in (ex3_2_intro T T
 285 (\lambda (u1: T).(\lambda (t1: T).(pr3 e t (THead (Bind Abst) u1 t1))))
 286 (\lambda (u1: T).(\lambda (_: T).(pr3 c u2 (lift h d u1)))) (\lambda (_:
 287 T).(\lambda (t1: T).(\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u)
 288 t2 (lift h (S d) t1)))))) x3 x4 H17 H16 H15))))))))) (lift_gen_bind Abst x1
 289 x2 x0 h d H11)))))))) H7))))) H4))))) H1)))))))))).
 290
 291 theorem pc3_gen_sort_abst:
 292  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (n: nat).((pc3 c
 293 (TSort n) (THead (Bind Abst) u t)) \to (\forall (P: Prop).P)))))
 294 \def
 295  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (n: nat).(\lambda
 296 (H: (pc3 c (TSort n) (THead (Bind Abst) u t))).(\lambda (P: Prop).(let H0
 297 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t0: T).(pr3 c (TSort n) t0)) (\lambda (t0:
 298 T).(pr3 c (THead (Bind Abst) u t) t0)) P (\lambda (x: T).(\lambda (H1: (pr3 c
 299 (TSort n) x)).(\lambda (H2: (pr3 c (THead (Bind Abst) u t) x)).(let H3 \def
 300 (pr3_gen_abst c u t x H2) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2:
 301 T).(eq T x (THead (Bind Abst) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(pr3
 302 c u u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(\forall (b: B).(\forall (u0:
 303 T).(pr3 (CHead c (Bind b) u0) t t2))))) P (\lambda (x0: T).(\lambda (x1:
 304 T).(\lambda (H4: (eq T x (THead (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (_: (pr3 c u
 305 x0)).(\lambda (_: ((\forall (b: B).(\forall (u0: T).(pr3 (CHead c (Bind b)
 306 u0) t x1))))).(let H7 \def (eq_ind T x (\lambda (t0: T).(eq T t0 (TSort n)))
 307 (pr3_gen_sort c x n H1) (THead (Bind Abst) x0 x1) H4) in (let H8 \def (eq_ind
 308 T (THead (Bind Abst) x0 x1) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda
 309 (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False
 310 | (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TSort n) H7) in (False_ind P
 311 H8)))))))) H3))))) H0))))))).
 312