matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/pr2/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17
  18
  19 include "pr2/defs.ma".
  20
  21 include "pr0/props.ma".
  22
  23 include "getl/drop.ma".
  24
  25 include "getl/clear.ma".
  26
  27 theorem pr2_thin_dx:
  28  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t1 t2) \to (\forall
  29 (u: T).(\forall (f: F).(pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u
  30 t2)))))))
  31 \def
  32  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
  33 t2)).(\lambda (u: T).(\lambda (f: F).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
  34 T).(\lambda (t0: T).(pr2 c0 (THead (Flat f) u t) (THead (Flat f) u t0)))))
  35 (\lambda (c0: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (H0: (pr0 t0
  36 t3)).(pr2_free c0 (THead (Flat f) u t0) (THead (Flat f) u t3) (pr0_comp u u
  37 (pr0_refl u) t0 t3 H0 (Flat f))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d:
  38 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind
  39 Abbr) u0))).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (H1: (pr0 t0
  40 t3)).(\lambda (t: T).(\lambda (H2: (subst0 i u0 t3 t)).(pr2_delta c0 d u0 i
  41 H0 (THead (Flat f) u t0) (THead (Flat f) u t3) (pr0_comp u u (pr0_refl u) t0
  42 t3 H1 (Flat f)) (THead (Flat f) u t) (subst0_snd (Flat f) u0 t t3 i H2
  43 u)))))))))))) c t1 t2 H)))))).
  44
  45 theorem pr2_head_1:
  46  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr2 c u1 u2) \to (\forall
  47 (k: K).(\forall (t: T).(pr2 c (THead k u1 t) (THead k u2 t)))))))
  48 \def
  49  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr2 c u1
  50 u2)).(\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t0:
  51 T).(\lambda (t1: T).(pr2 c0 (THead k t0 t) (THead k t1 t))))) (\lambda (c0:
  52 C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr0 t1 t2)).(pr2_free c0
  53 (THead k t1 t) (THead k t2 t) (pr0_comp t1 t2 H0 t t (pr0_refl t) k))))))
  54 (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
  55 (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2:
  56 T).(\lambda (H1: (pr0 t1 t2)).(\lambda (t0: T).(\lambda (H2: (subst0 i u t2
  57 t0)).(pr2_delta c0 d u i H0 (THead k t1 t) (THead k t2 t) (pr0_comp t1 t2 H1
  58 t t (pr0_refl t) k) (THead k t0 t) (subst0_fst u t0 t2 i H2 t k)))))))))))) c
  59 u1 u2 H)))))).
  60
  61 theorem pr2_head_2:
  62  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall
  63 (k: K).((pr2 (CHead c k u) t1 t2) \to (pr2 c (THead k u t1) (THead k u
  64 t2)))))))
  65 \def
  66  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda
  67 (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).((pr2 (CHead c k0 u) t1 t2) \to (pr2 c (THead
  68 k0 u t1) (THead k0 u t2)))) (\lambda (b: B).(\lambda (H: (pr2 (CHead c (Bind
  69 b) u) t1 t2)).(let H0 \def (match H in pr2 return (\lambda (c0: C).(\lambda
  70 (t: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (pr2 c0 t t0)).((eq C c0 (CHead c (Bind
  71 b) u)) \to ((eq T t t1) \to ((eq T t0 t2) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1)
  72 (THead (Bind b) u t2))))))))) with [(pr2_free c0 t0 t3 H0) \Rightarrow
  73 (\lambda (H1: (eq C c0 (CHead c (Bind b) u))).(\lambda (H2: (eq T t0
  74 t1)).(\lambda (H3: (eq T t3 t2)).(eq_ind C (CHead c (Bind b) u) (\lambda (_:
  75 C).((eq T t0 t1) \to ((eq T t3 t2) \to ((pr0 t0 t3) \to (pr2 c (THead (Bind
  76 b) u t1) (THead (Bind b) u t2)))))) (\lambda (H4: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1
  77 (\lambda (t: T).((eq T t3 t2) \to ((pr0 t t3) \to (pr2 c (THead (Bind b) u
  78 t1) (THead (Bind b) u t2))))) (\lambda (H5: (eq T t3 t2)).(eq_ind T t2
  79 (\lambda (t: T).((pr0 t1 t) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind b)
  80 u t2)))) (\lambda (H6: (pr0 t1 t2)).(pr2_free c (THead (Bind b) u t1) (THead
  81 (Bind b) u t2) (pr0_comp u u (pr0_refl u) t1 t2 H6 (Bind b)))) t3 (sym_eq T
  82 t3 t2 H5))) t0 (sym_eq T t0 t1 H4))) c0 (sym_eq C c0 (CHead c (Bind b) u) H1)
  83 H2 H3 H0)))) | (pr2_delta c0 d u0 i H0 t0 t3 H1 t H2) \Rightarrow (\lambda
  84 (H3: (eq C c0 (CHead c (Bind b) u))).(\lambda (H4: (eq T t0 t1)).(\lambda
  85 (H5: (eq T t t2)).(eq_ind C (CHead c (Bind b) u) (\lambda (c1: C).((eq T t0
  86 t1) \to ((eq T t t2) \to ((getl i c1 (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0 t0
  87 t3) \to ((subst0 i u0 t3 t) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind b)
  88 u t2)))))))) (\lambda (H6: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t4: T).((eq T
  89 t t2) \to ((getl i (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0
  90 t4 t3) \to ((subst0 i u0 t3 t) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind
  91 b) u t2))))))) (\lambda (H7: (eq T t t2)).(eq_ind T t2 (\lambda (t4:
  92 T).((getl i (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0 t1 t3)
  93 \to ((subst0 i u0 t3 t4) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind b) u
  94 t2)))))) (\lambda (H8: (getl i (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr)
  95 u0))).(\lambda (H9: (pr0 t1 t3)).(\lambda (H10: (subst0 i u0 t3 t2)).(nat_ind
  96 (\lambda (n: nat).((getl n (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to
  97 ((subst0 n u0 t3 t2) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind b) u
  98 t2))))) (\lambda (H11: (getl O (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr)
  99 u0))).(\lambda (H12: (subst0 O u0 t3 t2)).(let H13 \def (f_equal C C (\lambda
 100 (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d
 101 | (CHead c1 _ _) \Rightarrow c1])) (CHead d (Bind Abbr) u0) (CHead c (Bind b)
 102 u) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u0) u (getl_gen_O (CHead c (Bind
 103 b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0) H11))) in ((let H14 \def (f_equal C B (\lambda
 104 (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).B) with [(CSort _) \Rightarrow
 105 Abbr | (CHead _ k0 _) \Rightarrow (match k0 in K return (\lambda (_: K).B)
 106 with [(Bind b0) \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow Abbr])])) (CHead d
 107 (Bind Abbr) u0) (CHead c (Bind b) u) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr)
 108 u0) u (getl_gen_O (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0) H11))) in
 109 ((let H15 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_:
 110 C).T) with [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t4) \Rightarrow t4]))
 111 (CHead d (Bind Abbr) u0) (CHead c (Bind b) u) (clear_gen_bind b c (CHead d
 112 (Bind Abbr) u0) u (getl_gen_O (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)
 113 H11))) in (\lambda (H16: (eq B Abbr b)).(\lambda (_: (eq C d c)).(let H18
 114 \def (eq_ind T u0 (\lambda (t4: T).(subst0 O t4 t3 t2)) H12 u H15) in (eq_ind
 115 B Abbr (\lambda (b0: B).(pr2 c (THead (Bind b0) u t1) (THead (Bind b0) u
 116 t2))) (pr2_free c (THead (Bind Abbr) u t1) (THead (Bind Abbr) u t2)
 117 (pr0_delta u u (pr0_refl u) t1 t3 H9 t2 H18)) b H16))))) H14)) H13))))
 118 (\lambda (i0: nat).(\lambda (_: (((getl i0 (CHead c (Bind b) u) (CHead d
 119 (Bind Abbr) u0)) \to ((subst0 i0 u0 t3 t2) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t1)
 120 (THead (Bind b) u t2)))))).(\lambda (H11: (getl (S i0) (CHead c (Bind b) u)
 121 (CHead d (Bind Abbr) u0))).(\lambda (H12: (subst0 (S i0) u0 t3
 122 t2)).(pr2_delta c d u0 (r (Bind b) i0) (getl_gen_S (Bind b) c (CHead d (Bind
 123 Abbr) u0) u i0 H11) (THead (Bind b) u t1) (THead (Bind b) u t3) (pr0_comp u u
 124 (pr0_refl u) t1 t3 H9 (Bind b)) (THead (Bind b) u t2) (subst0_snd (Bind b) u0
 125 t2 t3 (r (Bind b) i0) H12 u)))))) i H8 H10)))) t (sym_eq T t t2 H7))) t0
 126 (sym_eq T t0 t1 H6))) c0 (sym_eq C c0 (CHead c (Bind b) u) H3) H4 H5 H0 H1
 127 H2))))]) in (H0 (refl_equal C (CHead c (Bind b) u)) (refl_equal T t1)
 128 (refl_equal T t2))))) (\lambda (f: F).(\lambda (H: (pr2 (CHead c (Flat f) u)
 129 t1 t2)).(let H0 \def (match H in pr2 return (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 130 T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (pr2 c0 t t0)).((eq C c0 (CHead c (Flat f)
 131 u)) \to ((eq T t t1) \to ((eq T t0 t2) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1)
 132 (THead (Flat f) u t2))))))))) with [(pr2_free c0 t0 t3 H0) \Rightarrow
 133 (\lambda (H1: (eq C c0 (CHead c (Flat f) u))).(\lambda (H2: (eq T t0
 134 t1)).(\lambda (H3: (eq T t3 t2)).(eq_ind C (CHead c (Flat f) u) (\lambda (_:
 135 C).((eq T t0 t1) \to ((eq T t3 t2) \to ((pr0 t0 t3) \to (pr2 c (THead (Flat
 136 f) u t1) (THead (Flat f) u t2)))))) (\lambda (H4: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1
 137 (\lambda (t: T).((eq T t3 t2) \to ((pr0 t t3) \to (pr2 c (THead (Flat f) u
 138 t1) (THead (Flat f) u t2))))) (\lambda (H5: (eq T t3 t2)).(eq_ind T t2
 139 (\lambda (t: T).((pr0 t1 t) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f)
 140 u t2)))) (\lambda (H6: (pr0 t1 t2)).(pr2_free c (THead (Flat f) u t1) (THead
 141 (Flat f) u t2) (pr0_comp u u (pr0_refl u) t1 t2 H6 (Flat f)))) t3 (sym_eq T
 142 t3 t2 H5))) t0 (sym_eq T t0 t1 H4))) c0 (sym_eq C c0 (CHead c (Flat f) u) H1)
 143 H2 H3 H0)))) | (pr2_delta c0 d u0 i H0 t0 t3 H1 t H2) \Rightarrow (\lambda
 144 (H3: (eq C c0 (CHead c (Flat f) u))).(\lambda (H4: (eq T t0 t1)).(\lambda
 145 (H5: (eq T t t2)).(eq_ind C (CHead c (Flat f) u) (\lambda (c1: C).((eq T t0
 146 t1) \to ((eq T t t2) \to ((getl i c1 (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0 t0
 147 t3) \to ((subst0 i u0 t3 t) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f)
 148 u t2)))))))) (\lambda (H6: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t4: T).((eq T
 149 t t2) \to ((getl i (CHead c (Flat f) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0
 150 t4 t3) \to ((subst0 i u0 t3 t) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat
 151 f) u t2))))))) (\lambda (H7: (eq T t t2)).(eq_ind T t2 (\lambda (t4:
 152 T).((getl i (CHead c (Flat f) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to ((pr0 t1 t3)
 153 \to ((subst0 i u0 t3 t4) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u
 154 t2)))))) (\lambda (H8: (getl i (CHead c (Flat f) u) (CHead d (Bind Abbr)
 155 u0))).(\lambda (H9: (pr0 t1 t3)).(\lambda (H10: (subst0 i u0 t3 t2)).(nat_ind
 156 (\lambda (n: nat).((getl n (CHead c (Flat f) u) (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to
 157 ((subst0 n u0 t3 t2) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u
 158 t2))))) (\lambda (H11: (getl O (CHead c (Flat f) u) (CHead d (Bind Abbr)
 159 u0))).(\lambda (H12: (subst0 O u0 t3 t2)).(pr2_delta c d u0 O (getl_intro O c
 160 (CHead d (Bind Abbr) u0) c (drop_refl c) (clear_gen_flat f c (CHead d (Bind
 161 Abbr) u0) u (getl_gen_O (CHead c (Flat f) u) (CHead d (Bind Abbr) u0) H11)))
 162 (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u t3) (pr0_comp u u (pr0_refl u) t1 t3
 163 H9 (Flat f)) (THead (Flat f) u t2) (subst0_snd (Flat f) u0 t2 t3 O H12 u))))
 164 (\lambda (i0: nat).(\lambda (_: (((getl i0 (CHead c (Flat f) u) (CHead d
 165 (Bind Abbr) u0)) \to ((subst0 i0 u0 t3 t2) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t1)
 166 (THead (Flat f) u t2)))))).(\lambda (H11: (getl (S i0) (CHead c (Flat f) u)
 167 (CHead d (Bind Abbr) u0))).(\lambda (H12: (subst0 (S i0) u0 t3
 168 t2)).(pr2_delta c d u0 (r (Flat f) i0) (getl_gen_S (Flat f) c (CHead d (Bind
 169 Abbr) u0) u i0 H11) (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u t3) (pr0_comp u u
 170 (pr0_refl u) t1 t3 H9 (Flat f)) (THead (Flat f) u t2) (subst0_snd (Flat f) u0
 171 t2 t3 (r (Flat f) i0) H12 u)))))) i H8 H10)))) t (sym_eq T t t2 H7))) t0
 172 (sym_eq T t0 t1 H6))) c0 (sym_eq C c0 (CHead c (Flat f) u) H3) H4 H5 H0 H1
 173 H2))))]) in (H0 (refl_equal C (CHead c (Flat f) u)) (refl_equal T t1)
 174 (refl_equal T t2))))) k))))).
 175
 176 theorem clear_pr2_trans:
 177  \forall (c2: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c2 t1 t2) \to
 178 (\forall (c1: C).((clear c1 c2) \to (pr2 c1 t1 t2))))))
 179 \def
 180  \lambda (c2: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c2 t1
 181 t2)).(\lambda (c1: C).(\lambda (H0: (clear c1 c2)).(let H1 \def (match H in
 182 pr2 return (\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (pr2
 183 c t t0)).((eq C c c2) \to ((eq T t t1) \to ((eq T t0 t2) \to (pr2 c1 t1
 184 t2)))))))) with [(pr2_free c t0 t3 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq C c
 185 c2)).(\lambda (H3: (eq T t0 t1)).(\lambda (H4: (eq T t3 t2)).(eq_ind C c2
 186 (\lambda (_: C).((eq T t0 t1) \to ((eq T t3 t2) \to ((pr0 t0 t3) \to (pr2 c1
 187 t1 t2))))) (\lambda (H5: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t: T).((eq T t3
 188 t2) \to ((pr0 t t3) \to (pr2 c1 t1 t2)))) (\lambda (H6: (eq T t3 t2)).(eq_ind
 189 T t2 (\lambda (t: T).((pr0 t1 t) \to (pr2 c1 t1 t2))) (\lambda (H7: (pr0 t1
 190 t2)).(pr2_free c1 t1 t2 H7)) t3 (sym_eq T t3 t2 H6))) t0 (sym_eq T t0 t1
 191 H5))) c (sym_eq C c c2 H2) H3 H4 H1)))) | (pr2_delta c d u i H1 t0 t3 H2 t
 192 H3) \Rightarrow (\lambda (H4: (eq C c c2)).(\lambda (H5: (eq T t0
 193 t1)).(\lambda (H6: (eq T t t2)).(eq_ind C c2 (\lambda (c0: C).((eq T t0 t1)
 194 \to ((eq T t t2) \to ((getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t0 t3)
 195 \to ((subst0 i u t3 t) \to (pr2 c1 t1 t2))))))) (\lambda (H7: (eq T t0
 196 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t4: T).((eq T t t2) \to ((getl i c2 (CHead d
 197 (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t4 t3) \to ((subst0 i u t3 t) \to (pr2 c1 t1
 198 t2)))))) (\lambda (H8: (eq T t t2)).(eq_ind T t2 (\lambda (t4: T).((getl i c2
 199 (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t1 t3) \to ((subst0 i u t3 t4) \to (pr2 c1
 200 t1 t2))))) (\lambda (H9: (getl i c2 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (H10:
 201 (pr0 t1 t3)).(\lambda (H11: (subst0 i u t3 t2)).(pr2_delta c1 d u i
 202 (clear_getl_trans i c2 (CHead d (Bind Abbr) u) H9 c1 H0) t1 t3 H10 t2 H11))))
 203 t (sym_eq T t t2 H8))) t0 (sym_eq T t0 t1 H7))) c (sym_eq C c c2 H4) H5 H6 H1
 204 H2 H3))))]) in (H1 (refl_equal C c2) (refl_equal T t1) (refl_equal T
 205 t2)))))))).
 206
 207 theorem pr2_cflat:
 208  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t1 t2) \to (\forall
 209 (f: F).(\forall (v: T).(pr2 (CHead c (Flat f) v) t1 t2))))))
 210 \def
 211  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
 212 t2)).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (f:
 213 F).(\forall (v: T).(pr2 (CHead c0 (Flat f) v) t t0)))))) (\lambda (c0:
 214 C).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H0: (pr0 t3 t4)).(\lambda (f:
 215 F).(\lambda (v: T).(pr2_free (CHead c0 (Flat f) v) t3 t4 H0))))))) (\lambda
 216 (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl
 217 i c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda
 218 (H1: (pr0 t3 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda (H2: (subst0 i u t4 t)).(\lambda
 219 (f: F).(\lambda (v: T).(pr2_delta (CHead c0 (Flat f) v) d u i (getl_flat c0
 220 (CHead d (Bind Abbr) u) i H0 f v) t3 t4 H1 t H2))))))))))))) c t1 t2 H)))).
 221
 222 theorem pr2_ctail:
 223  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t1 t2) \to (\forall
 224 (k: K).(\forall (u: T).(pr2 (CTail k u c) t1 t2))))))
 225 \def
 226  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
 227 t2)).(\lambda (k: K).(\lambda (u: T).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 228 T).(\lambda (t0: T).(pr2 (CTail k u c0) t t0)))) (\lambda (c0: C).(\lambda
 229 (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H0: (pr0 t3 t4)).(pr2_free (CTail k u c0)
 230 t3 t4 H0))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (i:
 231 nat).(\lambda (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u0))).(\lambda (t3:
 232 T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H1: (pr0 t3 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda (H2:
 233 (subst0 i u0 t4 t)).(pr2_delta (CTail k u c0) (CTail k u d) u0 i (getl_ctail
 234 Abbr c0 d u0 i H0 k u) t3 t4 H1 t H2))))))))))) c t1 t2 H)))))).
 235
 236 theorem pr2_change:
 237  \forall (b: B).((not (eq B b Abbr)) \to (\forall (c: C).(\forall (v1:
 238 T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 (CHead c (Bind b) v1) t1 t2) \to
 239 (\forall (v2: T).(pr2 (CHead c (Bind b) v2) t1 t2))))))))
 240 \def
 241  \lambda (b: B).(\lambda (H: (not (eq B b Abbr))).(\lambda (c: C).(\lambda
 242 (v1: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr2 (CHead c (Bind
 243 b) v1) t1 t2)).(\lambda (v2: T).(insert_eq C (CHead c (Bind b) v1) (\lambda
 244 (c0: C).(pr2 c0 t1 t2)) (pr2 (CHead c (Bind b) v2) t1 t2) (\lambda (y:
 245 C).(\lambda (H1: (pr2 y t1 t2)).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 246 T).(\lambda (t0: T).((eq C c0 (CHead c (Bind b) v1)) \to (pr2 (CHead c (Bind
 247 b) v2) t t0))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda
 248 (H2: (pr0 t3 t4)).(\lambda (_: (eq C c0 (CHead c (Bind b) v1))).(pr2_free
 249 (CHead c (Bind b) v2) t3 t4 H2)))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d:
 250 C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H2: (getl i c0 (CHead d (Bind
 251 Abbr) u))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H3: (pr0 t3
 252 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda (H4: (subst0 i u t4 t)).(\lambda (H5: (eq C c0
 253 (CHead c (Bind b) v1))).(let H6 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1: C).(getl i c1
 254 (CHead d (Bind Abbr) u))) H2 (CHead c (Bind b) v1) H5) in (nat_ind (\lambda
 255 (n: nat).((getl n (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u)) \to ((subst0
 256 n u t4 t) \to (pr2 (CHead c (Bind b) v2) t3 t)))) (\lambda (H7: (getl O
 257 (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (H8: (subst0 O u t4
 258 t)).(let H9 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda
 259 (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d | (CHead c1 _ _) \Rightarrow c1]))
 260 (CHead d (Bind Abbr) u) (CHead c (Bind b) v1) (clear_gen_bind b c (CHead d
 261 (Bind Abbr) u) v1 (getl_gen_O (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u)
 262 H7))) in ((let H10 \def (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e in C return
 263 (\lambda (_: C).B) with [(CSort _) \Rightarrow Abbr | (CHead _ k _)
 264 \Rightarrow (match k in K return (\lambda (_: K).B) with [(Bind b0)
 265 \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow Abbr])])) (CHead d (Bind Abbr) u)
 266 (CHead c (Bind b) v1) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u) v1
 267 (getl_gen_O (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u) H7))) in ((let H11
 268 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T)
 269 with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead d
 270 (Bind Abbr) u) (CHead c (Bind b) v1) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr)
 271 u) v1 (getl_gen_O (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u) H7))) in
 272 (\lambda (H12: (eq B Abbr b)).(\lambda (_: (eq C d c)).(let H14 \def (eq_ind
 273 T u (\lambda (t0: T).(subst0 O t0 t4 t)) H8 v1 H11) in (let H15 \def
 274 (eq_ind_r B b (\lambda (b0: B).(not (eq B b0 Abbr))) H Abbr H12) in (eq_ind B
 275 Abbr (\lambda (b0: B).(pr2 (CHead c (Bind b0) v2) t3 t)) (let H16 \def (match
 276 (H15 (refl_equal B Abbr)) in False return (\lambda (_: False).(pr2 (CHead c
 277 (Bind Abbr) v2) t3 t)) with []) in H16) b H12)))))) H10)) H9)))) (\lambda
 278 (i0: nat).(\lambda (_: (((getl i0 (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr)
 279 u)) \to ((subst0 i0 u t4 t) \to (pr2 (CHead c (Bind b) v2) t3 t))))).(\lambda
 280 (H7: (getl (S i0) (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda
 281 (H8: (subst0 (S i0) u t4 t)).(pr2_delta (CHead c (Bind b) v2) d u (S i0)
 282 (getl_head (Bind b) i0 c (CHead d (Bind Abbr) u) (getl_gen_S (Bind b) c
 283 (CHead d (Bind Abbr) u) v1 i0 H7) v2) t3 t4 H3 t H8))))) i H6 H4)))))))))))))
 284 y t1 t2 H1))) H0)))))))).
 285
 286 theorem pr2_lift:
 287  \forall (c: C).(\forall (e: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h
 288 d c e) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 e t1 t2) \to (pr2 c (lift
 289 h d t1) (lift h d t2)))))))))
 290 \def
 291  \lambda (c: C).(\lambda (e: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda
 292 (H: (drop h d c e)).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr2 e t1
 293 t2)).(let H1 \def (match H0 in pr2 return (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 294 T).(\lambda (t0: T).(\lambda (_: (pr2 c0 t t0)).((eq C c0 e) \to ((eq T t t1)
 295 \to ((eq T t0 t2) \to (pr2 c (lift h d t1) (lift h d t2))))))))) with
 296 [(pr2_free c0 t0 t3 H1) \Rightarrow (\lambda (H2: (eq C c0 e)).(\lambda (H3:
 297 (eq T t0 t1)).(\lambda (H4: (eq T t3 t2)).(eq_ind C e (\lambda (_: C).((eq T
 298 t0 t1) \to ((eq T t3 t2) \to ((pr0 t0 t3) \to (pr2 c (lift h d t1) (lift h d
 299 t2)))))) (\lambda (H5: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t: T).((eq T t3
 300 t2) \to ((pr0 t t3) \to (pr2 c (lift h d t1) (lift h d t2))))) (\lambda (H6:
 301 (eq T t3 t2)).(eq_ind T t2 (\lambda (t: T).((pr0 t1 t) \to (pr2 c (lift h d
 302 t1) (lift h d t2)))) (\lambda (H7: (pr0 t1 t2)).(pr2_free c (lift h d t1)
 303 (lift h d t2) (pr0_lift t1 t2 H7 h d))) t3 (sym_eq T t3 t2 H6))) t0 (sym_eq T
 304 t0 t1 H5))) c0 (sym_eq C c0 e H2) H3 H4 H1)))) | (pr2_delta c0 d0 u i H1 t0
 305 t3 H2 t H3) \Rightarrow (\lambda (H4: (eq C c0 e)).(\lambda (H5: (eq T t0
 306 t1)).(\lambda (H6: (eq T t t2)).(eq_ind C e (\lambda (c1: C).((eq T t0 t1)
 307 \to ((eq T t t2) \to ((getl i c1 (CHead d0 (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t0 t3)
 308 \to ((subst0 i u t3 t) \to (pr2 c (lift h d t1) (lift h d t2)))))))) (\lambda
 309 (H7: (eq T t0 t1)).(eq_ind T t1 (\lambda (t4: T).((eq T t t2) \to ((getl i e
 310 (CHead d0 (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t4 t3) \to ((subst0 i u t3 t) \to (pr2 c
 311 (lift h d t1) (lift h d t2))))))) (\lambda (H8: (eq T t t2)).(eq_ind T t2
 312 (\lambda (t4: T).((getl i e (CHead d0 (Bind Abbr) u)) \to ((pr0 t1 t3) \to
 313 ((subst0 i u t3 t4) \to (pr2 c (lift h d t1) (lift h d t2)))))) (\lambda (H9:
 314 (getl i e (CHead d0 (Bind Abbr) u))).(\lambda (H10: (pr0 t1 t3)).(\lambda
 315 (H11: (subst0 i u t3 t2)).(lt_le_e i d (pr2 c (lift h d t1) (lift h d t2))
 316 (\lambda (H12: (lt i d)).(let H13 \def (drop_getl_trans_le i d (le_S_n i d
 317 (le_S (S i) d H12)) c e h H (CHead d0 (Bind Abbr) u) H9) in (ex3_2_ind C C
 318 (\lambda (e0: C).(\lambda (_: C).(drop i O c e0))) (\lambda (e0: C).(\lambda
 319 (e1: C).(drop h (minus d i) e0 e1))) (\lambda (_: C).(\lambda (e1: C).(clear
 320 e1 (CHead d0 (Bind Abbr) u)))) (pr2 c (lift h d t1) (lift h d t2)) (\lambda
 321 (x0: C).(\lambda (x1: C).(\lambda (H14: (drop i O c x0)).(\lambda (H15: (drop
 322 h (minus d i) x0 x1)).(\lambda (H16: (clear x1 (CHead d0 (Bind Abbr)
 323 u))).(let H17 \def (eq_ind nat (minus d i) (\lambda (n: nat).(drop h n x0
 324 x1)) H15 (S (minus d (S i))) (minus_x_Sy d i H12)) in (let H18 \def
 325 (drop_clear_S x1 x0 h (minus d (S i)) H17 Abbr d0 u H16) in (ex2_ind C
 326 (\lambda (c1: C).(clear x0 (CHead c1 (Bind Abbr) (lift h (minus d (S i))
 327 u)))) (\lambda (c1: C).(drop h (minus d (S i)) c1 d0)) (pr2 c (lift h d t1)
 328 (lift h d t2)) (\lambda (x: C).(\lambda (H19: (clear x0 (CHead x (Bind Abbr)
 329 (lift h (minus d (S i)) u)))).(\lambda (_: (drop h (minus d (S i)) x
 330 d0)).(pr2_delta c x (lift h (minus d (S i)) u) i (getl_intro i c (CHead x
 331 (Bind Abbr) (lift h (minus d (S i)) u)) x0 H14 H19) (lift h d t1) (lift h d
 332 t3) (pr0_lift t1 t3 H10 h d) (lift h d t2) (subst0_lift_lt t3 t2 u i H11 d
 333 H12 h))))) H18)))))))) H13))) (\lambda (H12: (le d i)).(pr2_delta c d0 u
 334 (plus i h) (drop_getl_trans_ge i c e d h H (CHead d0 (Bind Abbr) u) H9 H12)
 335 (lift h d t1) (lift h d t3) (pr0_lift t1 t3 H10 h d) (lift h d t2)
 336 (subst0_lift_ge t3 t2 u i h H11 d H12))))))) t (sym_eq T t t2 H8))) t0
 337 (sym_eq T t0 t1 H7))) c0 (sym_eq C c0 e H4) H5 H6 H1 H2 H3))))]) in (H1
 338 (refl_equal C e) (refl_equal T t1) (refl_equal T t2)))))))))).
 339