matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/pr2/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/pr2/defs.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/pr0/props.ma".
  20
  21 include "LambdaDelta-1/getl/drop.ma".
  22
  23 include "LambdaDelta-1/getl/clear.ma".
  24
  25 theorem pr2_thin_dx:
  26  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t1 t2) \to (\forall
  27 (u: T).(\forall (f: F).(pr2 c (THead (Flat f) u t1) (THead (Flat f) u
  28 t2)))))))
  29 \def
  30  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
  31 t2)).(\lambda (u: T).(\lambda (f: F).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
  32 T).(\lambda (t0: T).(pr2 c0 (THead (Flat f) u t) (THead (Flat f) u t0)))))
  33 (\lambda (c0: C).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (H0: (pr0 t0
  34 t3)).(pr2_free c0 (THead (Flat f) u t0) (THead (Flat f) u t3) (pr0_comp u u
  35 (pr0_refl u) t0 t3 H0 (Flat f))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d:
  36 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind
  37 Abbr) u0))).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (H1: (pr0 t0
  38 t3)).(\lambda (t: T).(\lambda (H2: (subst0 i u0 t3 t)).(pr2_delta c0 d u0 i
  39 H0 (THead (Flat f) u t0) (THead (Flat f) u t3) (pr0_comp u u (pr0_refl u) t0
  40 t3 H1 (Flat f)) (THead (Flat f) u t) (subst0_snd (Flat f) u0 t t3 i H2
  41 u)))))))))))) c t1 t2 H)))))).
  42
  43 theorem pr2_head_1:
  44  \forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (u2: T).((pr2 c u1 u2) \to (\forall
  45 (k: K).(\forall (t: T).(pr2 c (THead k u1 t) (THead k u2 t)))))))
  46 \def
  47  \lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (H: (pr2 c u1
  48 u2)).(\lambda (k: K).(\lambda (t: T).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t0:
  49 T).(\lambda (t1: T).(pr2 c0 (THead k t0 t) (THead k t1 t))))) (\lambda (c0:
  50 C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr0 t1 t2)).(pr2_free c0
  51 (THead k t1 t) (THead k t2 t) (pr0_comp t1 t2 H0 t t (pr0_refl t) k))))))
  52 (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
  53 (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2:
  54 T).(\lambda (H1: (pr0 t1 t2)).(\lambda (t0: T).(\lambda (H2: (subst0 i u t2
  55 t0)).(pr2_delta c0 d u i H0 (THead k t1 t) (THead k t2 t) (pr0_comp t1 t2 H1
  56 t t (pr0_refl t) k) (THead k t0 t) (subst0_fst u t0 t2 i H2 t k)))))))))))) c
  57 u1 u2 H)))))).
  58
  59 theorem pr2_head_2:
  60  \forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall
  61 (k: K).((pr2 (CHead c k u) t1 t2) \to (pr2 c (THead k u t1) (THead k u
  62 t2)))))))
  63 \def
  64  \lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda
  65 (k: K).(\lambda (H: (pr2 (CHead c k u) t1 t2)).(insert_eq C (CHead c k u)
  66 (\lambda (c0: C).(pr2 c0 t1 t2)) (\lambda (_: C).(pr2 c (THead k u t1) (THead
  67 k u t2))) (\lambda (y: C).(\lambda (H0: (pr2 y t1 t2)).(pr2_ind (\lambda (c0:
  68 C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).((eq C c0 (CHead c k u)) \to (pr2 c
  69 (THead k u t) (THead k u t0)))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (t3: T).(\lambda
  70 (t4: T).(\lambda (H1: (pr0 t3 t4)).(\lambda (_: (eq C c0 (CHead c k
  71 u))).(pr2_free c (THead k u t3) (THead k u t4) (pr0_comp u u (pr0_refl u) t3
  72 t4 H1 k))))))) (K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (c0: C).(\forall (d:
  73 C).(\forall (u0: T).(\forall (i: nat).((getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u0))
  74 \to (\forall (t3: T).(\forall (t4: T).((pr0 t3 t4) \to (\forall (t:
  75 T).((subst0 i u0 t4 t) \to ((eq C c0 (CHead c k0 u)) \to (pr2 c (THead k0 u
  76 t3) (THead k0 u t)))))))))))))) (\lambda (b: B).(\lambda (c0: C).(\lambda (d:
  77 C).(\lambda (u0: T).(\lambda (i: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).((getl n c0
  78 (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4: T).((pr0 t3 t4)
  79 \to (\forall (t: T).((subst0 n u0 t4 t) \to ((eq C c0 (CHead c (Bind b) u))
  80 \to (pr2 c (THead (Bind b) u t3) (THead (Bind b) u t)))))))))) (\lambda (H1:
  81 (getl O c0 (CHead d (Bind Abbr) u0))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4:
  82 T).(\lambda (H2: (pr0 t3 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda (H3: (subst0 O u0 t4
  83 t)).(\lambda (H4: (eq C c0 (CHead c (Bind b) u))).(let H5 \def (eq_ind C c0
  84 (\lambda (c1: C).(getl O c1 (CHead d (Bind Abbr) u0))) H1 (CHead c (Bind b)
  85 u) H4) in (let H6 \def (f_equal C C (\lambda (e: C).(match e in C return
  86 (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d | (CHead c1 _ _) \Rightarrow
  87 c1])) (CHead d (Bind Abbr) u0) (CHead c (Bind b) u) (clear_gen_bind b c
  88 (CHead d (Bind Abbr) u0) u (getl_gen_O (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind
  89 Abbr) u0) H5))) in ((let H7 \def (f_equal C B (\lambda (e: C).(match e in C
  90 return (\lambda (_: C).B) with [(CSort _) \Rightarrow Abbr | (CHead _ k0 _)
  91 \Rightarrow (match k0 in K return (\lambda (_: K).B) with [(Bind b0)
  92 \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow Abbr])])) (CHead d (Bind Abbr) u0)
  93 (CHead c (Bind b) u) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u0) u
  94 (getl_gen_O (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0) H5))) in ((let H8
  95 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T)
  96 with [(CSort _) \Rightarrow u0 | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead d
  97 (Bind Abbr) u0) (CHead c (Bind b) u) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr)
  98 u0) u (getl_gen_O (CHead c (Bind b) u) (CHead d (Bind Abbr) u0) H5))) in
  99 (\lambda (H9: (eq B Abbr b)).(\lambda (_: (eq C d c)).(let H11 \def (eq_ind T
 100 u0 (\lambda (t0: T).(subst0 O t0 t4 t)) H3 u H8) in (eq_ind B Abbr (\lambda
 101 (b0: B).(pr2 c (THead (Bind b0) u t3) (THead (Bind b0) u t))) (pr2_free c
 102 (THead (Bind Abbr) u t3) (THead (Bind Abbr) u t) (pr0_delta u u (pr0_refl u)
 103 t3 t4 H2 t H11)) b H9))))) H7)) H6)))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (H1:
 104 (((getl n c0 (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4:
 105 T).((pr0 t3 t4) \to (\forall (t: T).((subst0 n u0 t4 t) \to ((eq C c0 (CHead
 106 c (Bind b) u)) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t3) (THead (Bind b) u
 107 t))))))))))).(\lambda (H2: (getl (S n) c0 (CHead d (Bind Abbr) u0))).(\lambda
 108 (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H3: (pr0 t3 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda
 109 (H4: (subst0 (S n) u0 t4 t)).(\lambda (H5: (eq C c0 (CHead c (Bind b)
 110 u))).(let H6 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1: C).(getl (S n) c1 (CHead d (Bind
 111 Abbr) u0))) H2 (CHead c (Bind b) u) H5) in (let H7 \def (eq_ind C c0 (\lambda
 112 (c1: C).((getl n c1 (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to (\forall (t5: T).(\forall
 113 (t6: T).((pr0 t5 t6) \to (\forall (t0: T).((subst0 n u0 t6 t0) \to ((eq C c1
 114 (CHead c (Bind b) u)) \to (pr2 c (THead (Bind b) u t5) (THead (Bind b) u
 115 t0)))))))))) H1 (CHead c (Bind b) u) H5) in (pr2_delta c d u0 (r (Bind b) n)
 116 (getl_gen_S (Bind b) c (CHead d (Bind Abbr) u0) u n H6) (THead (Bind b) u t3)
 117 (THead (Bind b) u t4) (pr0_comp u u (pr0_refl u) t3 t4 H3 (Bind b)) (THead
 118 (Bind b) u t) (subst0_snd (Bind b) u0 t t4 (r (Bind b) n) H4 u)))))))))))))
 119 i)))))) (\lambda (f: F).(\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u0:
 120 T).(\lambda (i: nat).(nat_ind (\lambda (n: nat).((getl n c0 (CHead d (Bind
 121 Abbr) u0)) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4: T).((pr0 t3 t4) \to (\forall
 122 (t: T).((subst0 n u0 t4 t) \to ((eq C c0 (CHead c (Flat f) u)) \to (pr2 c
 123 (THead (Flat f) u t3) (THead (Flat f) u t)))))))))) (\lambda (H1: (getl O c0
 124 (CHead d (Bind Abbr) u0))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H2:
 125 (pr0 t3 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda (H3: (subst0 O u0 t4 t)).(\lambda (H4:
 126 (eq C c0 (CHead c (Flat f) u))).(let H5 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1:
 127 C).(getl O c1 (CHead d (Bind Abbr) u0))) H1 (CHead c (Flat f) u) H4) in
 128 (pr2_delta c d u0 O (getl_intro O c (CHead d (Bind Abbr) u0) c (drop_refl c)
 129 (clear_gen_flat f c (CHead d (Bind Abbr) u0) u (getl_gen_O (CHead c (Flat f)
 130 u) (CHead d (Bind Abbr) u0) H5))) (THead (Flat f) u t3) (THead (Flat f) u t4)
 131 (pr0_comp u u (pr0_refl u) t3 t4 H2 (Flat f)) (THead (Flat f) u t)
 132 (subst0_snd (Flat f) u0 t t4 O H3 u)))))))))) (\lambda (n: nat).(\lambda (H1:
 133 (((getl n c0 (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to (\forall (t3: T).(\forall (t4:
 134 T).((pr0 t3 t4) \to (\forall (t: T).((subst0 n u0 t4 t) \to ((eq C c0 (CHead
 135 c (Flat f) u)) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t3) (THead (Flat f) u
 136 t))))))))))).(\lambda (H2: (getl (S n) c0 (CHead d (Bind Abbr) u0))).(\lambda
 137 (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H3: (pr0 t3 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda
 138 (H4: (subst0 (S n) u0 t4 t)).(\lambda (H5: (eq C c0 (CHead c (Flat f)
 139 u))).(let H6 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1: C).(getl (S n) c1 (CHead d (Bind
 140 Abbr) u0))) H2 (CHead c (Flat f) u) H5) in (let H7 \def (eq_ind C c0 (\lambda
 141 (c1: C).((getl n c1 (CHead d (Bind Abbr) u0)) \to (\forall (t5: T).(\forall
 142 (t6: T).((pr0 t5 t6) \to (\forall (t0: T).((subst0 n u0 t6 t0) \to ((eq C c1
 143 (CHead c (Flat f) u)) \to (pr2 c (THead (Flat f) u t5) (THead (Flat f) u
 144 t0)))))))))) H1 (CHead c (Flat f) u) H5) in (pr2_delta c d u0 (r (Flat f) n)
 145 (getl_gen_S (Flat f) c (CHead d (Bind Abbr) u0) u n H6) (THead (Flat f) u t3)
 146 (THead (Flat f) u t4) (pr0_comp u u (pr0_refl u) t3 t4 H3 (Flat f)) (THead
 147 (Flat f) u t) (subst0_snd (Flat f) u0 t t4 (r (Flat f) n) H4 u)))))))))))))
 148 i)))))) k) y t1 t2 H0))) H)))))).
 149
 150 theorem clear_pr2_trans:
 151  \forall (c2: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c2 t1 t2) \to
 152 (\forall (c1: C).((clear c1 c2) \to (pr2 c1 t1 t2))))))
 153 \def
 154  \lambda (c2: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c2 t1
 155 t2)).(pr2_ind (\lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\forall (c1:
 156 C).((clear c1 c) \to (pr2 c1 t t0)))))) (\lambda (c: C).(\lambda (t3:
 157 T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H0: (pr0 t3 t4)).(\lambda (c1: C).(\lambda (_:
 158 (clear c1 c)).(pr2_free c1 t3 t4 H0))))))) (\lambda (c: C).(\lambda (d:
 159 C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c (CHead d (Bind
 160 Abbr) u))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H1: (pr0 t3
 161 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda (H2: (subst0 i u t4 t)).(\lambda (c1:
 162 C).(\lambda (H3: (clear c1 c)).(pr2_delta c1 d u i (clear_getl_trans i c
 163 (CHead d (Bind Abbr) u) H0 c1 H3) t3 t4 H1 t H2))))))))))))) c2 t1 t2 H)))).
 164
 165 theorem pr2_cflat:
 166  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t1 t2) \to (\forall
 167 (f: F).(\forall (v: T).(pr2 (CHead c (Flat f) v) t1 t2))))))
 168 \def
 169  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
 170 t2)).(\lambda (f: F).(\lambda (v: T).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 171 T).(\lambda (t0: T).(pr2 (CHead c0 (Flat f) v) t t0)))) (\lambda (c0:
 172 C).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H0: (pr0 t3 t4)).(pr2_free
 173 (CHead c0 (Flat f) v) t3 t4 H0))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda
 174 (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abbr)
 175 u))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H1: (pr0 t3 t4)).(\lambda
 176 (t: T).(\lambda (H2: (subst0 i u t4 t)).(pr2_delta (CHead c0 (Flat f) v) d u
 177 i (getl_flat c0 (CHead d (Bind Abbr) u) i H0 f v) t3 t4 H1 t H2))))))))))) c
 178 t1 t2 H)))))).
 179
 180 theorem pr2_ctail:
 181  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 c t1 t2) \to (\forall
 182 (k: K).(\forall (u: T).(pr2 (CTail k u c) t1 t2))))))
 183 \def
 184  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pr2 c t1
 185 t2)).(\lambda (k: K).(\lambda (u: T).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 186 T).(\lambda (t0: T).(pr2 (CTail k u c0) t t0)))) (\lambda (c0: C).(\lambda
 187 (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H0: (pr0 t3 t4)).(pr2_free (CTail k u c0)
 188 t3 t4 H0))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u0: T).(\lambda (i:
 189 nat).(\lambda (H0: (getl i c0 (CHead d (Bind Abbr) u0))).(\lambda (t3:
 190 T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H1: (pr0 t3 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda (H2:
 191 (subst0 i u0 t4 t)).(pr2_delta (CTail k u c0) (CTail k u d) u0 i (getl_ctail
 192 Abbr c0 d u0 i H0 k u) t3 t4 H1 t H2))))))))))) c t1 t2 H)))))).
 193
 194 theorem pr2_change:
 195  \forall (b: B).((not (eq B b Abbr)) \to (\forall (c: C).(\forall (v1:
 196 T).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 (CHead c (Bind b) v1) t1 t2) \to
 197 (\forall (v2: T).(pr2 (CHead c (Bind b) v2) t1 t2))))))))
 198 \def
 199  \lambda (b: B).(\lambda (H: (not (eq B b Abbr))).(\lambda (c: C).(\lambda
 200 (v1: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr2 (CHead c (Bind
 201 b) v1) t1 t2)).(\lambda (v2: T).(insert_eq C (CHead c (Bind b) v1) (\lambda
 202 (c0: C).(pr2 c0 t1 t2)) (\lambda (_: C).(pr2 (CHead c (Bind b) v2) t1 t2))
 203 (\lambda (y: C).(\lambda (H1: (pr2 y t1 t2)).(pr2_ind (\lambda (c0:
 204 C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).((eq C c0 (CHead c (Bind b) v1)) \to (pr2
 205 (CHead c (Bind b) v2) t t0))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (t3: T).(\lambda
 206 (t4: T).(\lambda (H2: (pr0 t3 t4)).(\lambda (_: (eq C c0 (CHead c (Bind b)
 207 v1))).(pr2_free (CHead c (Bind b) v2) t3 t4 H2)))))) (\lambda (c0:
 208 C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H2: (getl i c0
 209 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H3:
 210 (pr0 t3 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda (H4: (subst0 i u t4 t)).(\lambda (H5:
 211 (eq C c0 (CHead c (Bind b) v1))).(let H6 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1:
 212 C).(getl i c1 (CHead d (Bind Abbr) u))) H2 (CHead c (Bind b) v1) H5) in
 213 (nat_ind (\lambda (n: nat).((getl n (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind
 214 Abbr) u)) \to ((subst0 n u t4 t) \to (pr2 (CHead c (Bind b) v2) t3 t))))
 215 (\lambda (H7: (getl O (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr)
 216 u))).(\lambda (H8: (subst0 O u t4 t)).(let H9 \def (f_equal C C (\lambda (e:
 217 C).(match e in C return (\lambda (_: C).C) with [(CSort _) \Rightarrow d |
 218 (CHead c1 _ _) \Rightarrow c1])) (CHead d (Bind Abbr) u) (CHead c (Bind b)
 219 v1) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u) v1 (getl_gen_O (CHead c (Bind
 220 b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u) H7))) in ((let H10 \def (f_equal C B (\lambda
 221 (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).B) with [(CSort _) \Rightarrow
 222 Abbr | (CHead _ k _) \Rightarrow (match k in K return (\lambda (_: K).B) with
 223 [(Bind b0) \Rightarrow b0 | (Flat _) \Rightarrow Abbr])])) (CHead d (Bind
 224 Abbr) u) (CHead c (Bind b) v1) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr) u) v1
 225 (getl_gen_O (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u) H7))) in ((let H11
 226 \def (f_equal C T (\lambda (e: C).(match e in C return (\lambda (_: C).T)
 227 with [(CSort _) \Rightarrow u | (CHead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (CHead d
 228 (Bind Abbr) u) (CHead c (Bind b) v1) (clear_gen_bind b c (CHead d (Bind Abbr)
 229 u) v1 (getl_gen_O (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u) H7))) in
 230 (\lambda (H12: (eq B Abbr b)).(\lambda (_: (eq C d c)).(let H14 \def (eq_ind
 231 T u (\lambda (t0: T).(subst0 O t0 t4 t)) H8 v1 H11) in (let H15 \def
 232 (eq_ind_r B b (\lambda (b0: B).(not (eq B b0 Abbr))) H Abbr H12) in (eq_ind B
 233 Abbr (\lambda (b0: B).(pr2 (CHead c (Bind b0) v2) t3 t)) (let H16 \def (match
 234 (H15 (refl_equal B Abbr)) in False return (\lambda (_: False).(pr2 (CHead c
 235 (Bind Abbr) v2) t3 t)) with []) in H16) b H12)))))) H10)) H9)))) (\lambda
 236 (i0: nat).(\lambda (_: (((getl i0 (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr)
 237 u)) \to ((subst0 i0 u t4 t) \to (pr2 (CHead c (Bind b) v2) t3 t))))).(\lambda
 238 (H7: (getl (S i0) (CHead c (Bind b) v1) (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda
 239 (H8: (subst0 (S i0) u t4 t)).(pr2_delta (CHead c (Bind b) v2) d u (S i0)
 240 (getl_head (Bind b) i0 c (CHead d (Bind Abbr) u) (getl_gen_S (Bind b) c
 241 (CHead d (Bind Abbr) u) v1 i0 H7) v2) t3 t4 H3 t H8))))) i H6 H4)))))))))))))
 242 y t1 t2 H1))) H0)))))))).
 243
 244 theorem pr2_lift:
 245  \forall (c: C).(\forall (e: C).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((drop h
 246 d c e) \to (\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pr2 e t1 t2) \to (pr2 c (lift
 247 h d t1) (lift h d t2)))))))))
 248 \def
 249  \lambda (c: C).(\lambda (e: C).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda
 250 (H: (drop h d c e)).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr2 e t1
 251 t2)).(insert_eq C e (\lambda (c0: C).(pr2 c0 t1 t2)) (\lambda (_: C).(pr2 c
 252 (lift h d t1) (lift h d t2))) (\lambda (y: C).(\lambda (H1: (pr2 y t1
 253 t2)).(pr2_ind (\lambda (c0: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).((eq C c0 e)
 254 \to (pr2 c (lift h d t) (lift h d t0)))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (t3:
 255 T).(\lambda (t4: T).(\lambda (H2: (pr0 t3 t4)).(\lambda (_: (eq C c0
 256 e)).(pr2_free c (lift h d t3) (lift h d t4) (pr0_lift t3 t4 H2 h d)))))))
 257 (\lambda (c0: C).(\lambda (d0: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 258 (H2: (getl i c0 (CHead d0 (Bind Abbr) u))).(\lambda (t3: T).(\lambda (t4:
 259 T).(\lambda (H3: (pr0 t3 t4)).(\lambda (t: T).(\lambda (H4: (subst0 i u t4
 260 t)).(\lambda (H5: (eq C c0 e)).(let H6 \def (eq_ind C c0 (\lambda (c1:
 261 C).(getl i c1 (CHead d0 (Bind Abbr) u))) H2 e H5) in (lt_le_e i d (pr2 c
 262 (lift h d t3) (lift h d t)) (\lambda (H7: (lt i d)).(let H8 \def
 263 (drop_getl_trans_le i d (le_S_n i d (le_S (S i) d H7)) c e h H (CHead d0
 264 (Bind Abbr) u) H6) in (ex3_2_ind C C (\lambda (e0: C).(\lambda (_: C).(drop i
 265 O c e0))) (\lambda (e0: C).(\lambda (e1: C).(drop h (minus d i) e0 e1)))
 266 (\lambda (_: C).(\lambda (e1: C).(clear e1 (CHead d0 (Bind Abbr) u)))) (pr2 c
 267 (lift h d t3) (lift h d t)) (\lambda (x0: C).(\lambda (x1: C).(\lambda (H9:
 268 (drop i O c x0)).(\lambda (H10: (drop h (minus d i) x0 x1)).(\lambda (H11:
 269 (clear x1 (CHead d0 (Bind Abbr) u))).(let H12 \def (eq_ind nat (minus d i)
 270 (\lambda (n: nat).(drop h n x0 x1)) H10 (S (minus d (S i))) (minus_x_Sy d i
 271 H7)) in (let H13 \def (drop_clear_S x1 x0 h (minus d (S i)) H12 Abbr d0 u
 272 H11) in (ex2_ind C (\lambda (c1: C).(clear x0 (CHead c1 (Bind Abbr) (lift h
 273 (minus d (S i)) u)))) (\lambda (c1: C).(drop h (minus d (S i)) c1 d0)) (pr2 c
 274 (lift h d t3) (lift h d t)) (\lambda (x: C).(\lambda (H14: (clear x0 (CHead x
 275 (Bind Abbr) (lift h (minus d (S i)) u)))).(\lambda (_: (drop h (minus d (S
 276 i)) x d0)).(pr2_delta c x (lift h (minus d (S i)) u) i (getl_intro i c (CHead
 277 x (Bind Abbr) (lift h (minus d (S i)) u)) x0 H9 H14) (lift h d t3) (lift h d
 278 t4) (pr0_lift t3 t4 H3 h d) (lift h d t) (subst0_lift_lt t4 t u i H4 d H7
 279 h))))) H13)))))))) H8))) (\lambda (H7: (le d i)).(pr2_delta c d0 u (plus i h)
 280 (drop_getl_trans_ge i c e d h H (CHead d0 (Bind Abbr) u) H6 H7) (lift h d t3)
 281 (lift h d t4) (pr0_lift t3 t4 H3 h d) (lift h d t) (subst0_lift_ge t4 t u i h
 282 H4 d H7)))))))))))))))) y t1 t2 H1))) H0)))))))).
 283