matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/sn3/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/sn3/defs.ma".
  18
  19 include "LambdaDelta-1/pr3/props.ma".
  20
  21 theorem sn3_gen_bind:
  22  \forall (b: B).(\forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((sn3 c
  23 (THead (Bind b) u t)) \to (land (sn3 c u) (sn3 (CHead c (Bind b) u) t))))))
  24 \def
  25  \lambda (b: B).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H:
  26 (sn3 c (THead (Bind b) u t))).(insert_eq T (THead (Bind b) u t) (\lambda (t0:
  27 T).(sn3 c t0)) (\lambda (_: T).(land (sn3 c u) (sn3 (CHead c (Bind b) u) t)))
  28 (\lambda (y: T).(\lambda (H0: (sn3 c y)).(unintro T t (\lambda (t0: T).((eq T
  29 y (THead (Bind b) u t0)) \to (land (sn3 c u) (sn3 (CHead c (Bind b) u) t0))))
  30 (unintro T u (\lambda (t0: T).(\forall (x: T).((eq T y (THead (Bind b) t0 x))
  31 \to (land (sn3 c t0) (sn3 (CHead c (Bind b) t0) x))))) (sn3_ind c (\lambda
  32 (t0: T).(\forall (x: T).(\forall (x0: T).((eq T t0 (THead (Bind b) x x0)) \to
  33 (land (sn3 c x) (sn3 (CHead c (Bind b) x) x0)))))) (\lambda (t1: T).(\lambda
  34 (H1: ((\forall (t2: T).((((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) \to ((pr3
  35 c t1 t2) \to (sn3 c t2)))))).(\lambda (H2: ((\forall (t2: T).((((eq T t1 t2)
  36 \to (\forall (P: Prop).P))) \to ((pr3 c t1 t2) \to (\forall (x: T).(\forall
  37 (x0: T).((eq T t2 (THead (Bind b) x x0)) \to (land (sn3 c x) (sn3 (CHead c
  38 (Bind b) x) x0)))))))))).(\lambda (x: T).(\lambda (x0: T).(\lambda (H3: (eq T
  39 t1 (THead (Bind b) x x0))).(let H4 \def (eq_ind T t1 (\lambda (t0:
  40 T).(\forall (t2: T).((((eq T t0 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) \to ((pr3 c
  41 t0 t2) \to (\forall (x1: T).(\forall (x2: T).((eq T t2 (THead (Bind b) x1
  42 x2)) \to (land (sn3 c x1) (sn3 (CHead c (Bind b) x1) x2))))))))) H2 (THead
  43 (Bind b) x x0) H3) in (let H5 \def (eq_ind T t1 (\lambda (t0: T).(\forall
  44 (t2: T).((((eq T t0 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) \to ((pr3 c t0 t2) \to
  45 (sn3 c t2))))) H1 (THead (Bind b) x x0) H3) in (conj (sn3 c x) (sn3 (CHead c
  46 (Bind b) x) x0) (sn3_sing c x (\lambda (t2: T).(\lambda (H6: (((eq T x t2)
  47 \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (H7: (pr3 c x t2)).(let H8 \def (H4
  48 (THead (Bind b) t2 x0) (\lambda (H8: (eq T (THead (Bind b) x x0) (THead (Bind
  49 b) t2 x0))).(\lambda (P: Prop).(let H9 \def (f_equal T T (\lambda (e:
  50 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow x |
  51 (TLRef _) \Rightarrow x | (THead _ t0 _) \Rightarrow t0])) (THead (Bind b) x
  52 x0) (THead (Bind b) t2 x0) H8) in (let H10 \def (eq_ind_r T t2 (\lambda (t0:
  53 T).(pr3 c x t0)) H7 x H9) in (let H11 \def (eq_ind_r T t2 (\lambda (t0:
  54 T).((eq T x t0) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H6 x H9) in (H11 (refl_equal T
  55 x) P)))))) (pr3_head_12 c x t2 H7 (Bind b) x0 x0 (pr3_refl (CHead c (Bind b)
  56 t2) x0)) t2 x0 (refl_equal T (THead (Bind b) t2 x0))) in (land_ind (sn3 c t2)
  57 (sn3 (CHead c (Bind b) t2) x0) (sn3 c t2) (\lambda (H9: (sn3 c t2)).(\lambda
  58 (_: (sn3 (CHead c (Bind b) t2) x0)).H9)) H8)))))) (sn3_sing (CHead c (Bind b)
  59 x) x0 (\lambda (t2: T).(\lambda (H6: (((eq T x0 t2) \to (\forall (P:
  60 Prop).P)))).(\lambda (H7: (pr3 (CHead c (Bind b) x) x0 t2)).(let H8 \def (H4
  61 (THead (Bind b) x t2) (\lambda (H8: (eq T (THead (Bind b) x x0) (THead (Bind
  62 b) x t2))).(\lambda (P: Prop).(let H9 \def (f_equal T T (\lambda (e:
  63 T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow x0 |
  64 (TLRef _) \Rightarrow x0 | (THead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (THead (Bind b) x
  65 x0) (THead (Bind b) x t2) H8) in (let H10 \def (eq_ind_r T t2 (\lambda (t0:
  66 T).(pr3 (CHead c (Bind b) x) x0 t0)) H7 x0 H9) in (let H11 \def (eq_ind_r T
  67 t2 (\lambda (t0: T).((eq T x0 t0) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H6 x0 H9) in
  68 (H11 (refl_equal T x0) P)))))) (pr3_head_12 c x x (pr3_refl c x) (Bind b) x0
  69 t2 H7) x t2 (refl_equal T (THead (Bind b) x t2))) in (land_ind (sn3 c x) (sn3
  70 (CHead c (Bind b) x) t2) (sn3 (CHead c (Bind b) x) t2) (\lambda (_: (sn3 c
  71 x)).(\lambda (H10: (sn3 (CHead c (Bind b) x) t2)).H10)) H8))))))))))))))) y
  72 H0))))) H))))).
  73
  74 theorem sn3_gen_flat:
  75  \forall (f: F).(\forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((sn3 c
  76 (THead (Flat f) u t)) \to (land (sn3 c u) (sn3 c t))))))
  77 \def
  78  \lambda (f: F).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H:
  79 (sn3 c (THead (Flat f) u t))).(insert_eq T (THead (Flat f) u t) (\lambda (t0:
  80 T).(sn3 c t0)) (\lambda (_: T).(land (sn3 c u) (sn3 c t))) (\lambda (y:
  81 T).(\lambda (H0: (sn3 c y)).(unintro T t (\lambda (t0: T).((eq T y (THead
  82 (Flat f) u t0)) \to (land (sn3 c u) (sn3 c t0)))) (unintro T u (\lambda (t0:
  83 T).(\forall (x: T).((eq T y (THead (Flat f) t0 x)) \to (land (sn3 c t0) (sn3
  84 c x))))) (sn3_ind c (\lambda (t0: T).(\forall (x: T).(\forall (x0: T).((eq T
  85 t0 (THead (Flat f) x x0)) \to (land (sn3 c x) (sn3 c x0)))))) (\lambda (t1:
  86 T).(\lambda (H1: ((\forall (t2: T).((((eq T t1 t2) \to (\forall (P:
  87 Prop).P))) \to ((pr3 c t1 t2) \to (sn3 c t2)))))).(\lambda (H2: ((\forall
  88 (t2: T).((((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) \to ((pr3 c t1 t2) \to
  89 (\forall (x: T).(\forall (x0: T).((eq T t2 (THead (Flat f) x x0)) \to (land
  90 (sn3 c x) (sn3 c x0)))))))))).(\lambda (x: T).(\lambda (x0: T).(\lambda (H3:
  91 (eq T t1 (THead (Flat f) x x0))).(let H4 \def (eq_ind T t1 (\lambda (t0:
  92 T).(\forall (t2: T).((((eq T t0 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) \to ((pr3 c
  93 t0 t2) \to (\forall (x1: T).(\forall (x2: T).((eq T t2 (THead (Flat f) x1
  94 x2)) \to (land (sn3 c x1) (sn3 c x2))))))))) H2 (THead (Flat f) x x0) H3) in
  95 (let H5 \def (eq_ind T t1 (\lambda (t0: T).(\forall (t2: T).((((eq T t0 t2)
  96 \to (\forall (P: Prop).P))) \to ((pr3 c t0 t2) \to (sn3 c t2))))) H1 (THead
  97 (Flat f) x x0) H3) in (conj (sn3 c x) (sn3 c x0) (sn3_sing c x (\lambda (t2:
  98 T).(\lambda (H6: (((eq T x t2) \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (H7:
  99 (pr3 c x t2)).(let H8 \def (H4 (THead (Flat f) t2 x0) (\lambda (H8: (eq T
 100 (THead (Flat f) x x0) (THead (Flat f) t2 x0))).(\lambda (P: Prop).(let H9
 101 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T)
 102 with [(TSort _) \Rightarrow x | (TLRef _) \Rightarrow x | (THead _ t0 _)
 103 \Rightarrow t0])) (THead (Flat f) x x0) (THead (Flat f) t2 x0) H8) in (let
 104 H10 \def (eq_ind_r T t2 (\lambda (t0: T).(pr3 c x t0)) H7 x H9) in (let H11
 105 \def (eq_ind_r T t2 (\lambda (t0: T).((eq T x t0) \to (\forall (P0:
 106 Prop).P0))) H6 x H9) in (H11 (refl_equal T x) P)))))) (pr3_head_12 c x t2 H7
 107 (Flat f) x0 x0 (pr3_refl (CHead c (Flat f) t2) x0)) t2 x0 (refl_equal T
 108 (THead (Flat f) t2 x0))) in (land_ind (sn3 c t2) (sn3 c x0) (sn3 c t2)
 109 (\lambda (H9: (sn3 c t2)).(\lambda (_: (sn3 c x0)).H9)) H8)))))) (sn3_sing c
 110 x0 (\lambda (t2: T).(\lambda (H6: (((eq T x0 t2) \to (\forall (P:
 111 Prop).P)))).(\lambda (H7: (pr3 c x0 t2)).(let H8 \def (H4 (THead (Flat f) x
 112 t2) (\lambda (H8: (eq T (THead (Flat f) x x0) (THead (Flat f) x
 113 t2))).(\lambda (P: Prop).(let H9 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e
 114 in T return (\lambda (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow x0 | (TLRef _)
 115 \Rightarrow x0 | (THead _ _ t0) \Rightarrow t0])) (THead (Flat f) x x0)
 116 (THead (Flat f) x t2) H8) in (let H10 \def (eq_ind_r T t2 (\lambda (t0:
 117 T).(pr3 c x0 t0)) H7 x0 H9) in (let H11 \def (eq_ind_r T t2 (\lambda (t0:
 118 T).((eq T x0 t0) \to (\forall (P0: Prop).P0))) H6 x0 H9) in (H11 (refl_equal
 119 T x0) P)))))) (pr3_thin_dx c x0 t2 H7 x f) x t2 (refl_equal T (THead (Flat f)
 120 x t2))) in (land_ind (sn3 c x) (sn3 c t2) (sn3 c t2) (\lambda (_: (sn3 c
 121 x)).(\lambda (H10: (sn3 c t2)).H10)) H8))))))))))))))) y H0))))) H))))).
 122
 123 theorem sn3_gen_head:
 124  \forall (k: K).(\forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((sn3 c
 125 (THead k u t)) \to (sn3 c u)))))
 126 \def
 127  \lambda (k: K).(K_ind (\lambda (k0: K).(\forall (c: C).(\forall (u:
 128 T).(\forall (t: T).((sn3 c (THead k0 u t)) \to (sn3 c u)))))) (\lambda (b:
 129 B).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H: (sn3 c (THead
 130 (Bind b) u t))).(let H_x \def (sn3_gen_bind b c u t H) in (let H0 \def H_x in
 131 (land_ind (sn3 c u) (sn3 (CHead c (Bind b) u) t) (sn3 c u) (\lambda (H1: (sn3
 132 c u)).(\lambda (_: (sn3 (CHead c (Bind b) u) t)).H1)) H0)))))))) (\lambda (f:
 133 F).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H: (sn3 c (THead
 134 (Flat f) u t))).(let H_x \def (sn3_gen_flat f c u t H) in (let H0 \def H_x in
 135 (land_ind (sn3 c u) (sn3 c t) (sn3 c u) (\lambda (H1: (sn3 c u)).(\lambda (_:
 136 (sn3 c t)).H1)) H0)))))))) k).
 137
 138 theorem sn3_gen_cflat:
 139  \forall (f: F).(\forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (t: T).((sn3 (CHead
 140 c (Flat f) u) t) \to (sn3 c t)))))
 141 \def
 142  \lambda (f: F).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(\lambda (H:
 143 (sn3 (CHead c (Flat f) u) t)).(sn3_ind (CHead c (Flat f) u) (\lambda (t0:
 144 T).(sn3 c t0)) (\lambda (t1: T).(\lambda (_: ((\forall (t2: T).((((eq T t1
 145 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) \to ((pr3 (CHead c (Flat f) u) t1 t2) \to
 146 (sn3 (CHead c (Flat f) u) t2)))))).(\lambda (H1: ((\forall (t2: T).((((eq T
 147 t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) \to ((pr3 (CHead c (Flat f) u) t1 t2) \to
 148 (sn3 c t2)))))).(sn3_sing c t1 (\lambda (t2: T).(\lambda (H2: (((eq T t1 t2)
 149 \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (H3: (pr3 c t1 t2)).(H1 t2 H2
 150 (pr3_cflat c t1 t2 H3 f u))))))))) t H))))).
 151
 152 theorem sn3_gen_lift:
 153  \forall (c1: C).(\forall (t: T).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((sn3 c1
 154 (lift h d t)) \to (\forall (c2: C).((drop h d c1 c2) \to (sn3 c2 t)))))))
 155 \def
 156  \lambda (c1: C).(\lambda (t: T).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda
 157 (H: (sn3 c1 (lift h d t))).(insert_eq T (lift h d t) (\lambda (t0: T).(sn3 c1
 158 t0)) (\lambda (_: T).(\forall (c2: C).((drop h d c1 c2) \to (sn3 c2 t))))
 159 (\lambda (y: T).(\lambda (H0: (sn3 c1 y)).(unintro T t (\lambda (t0: T).((eq
 160 T y (lift h d t0)) \to (\forall (c2: C).((drop h d c1 c2) \to (sn3 c2 t0)))))
 161 (sn3_ind c1 (\lambda (t0: T).(\forall (x: T).((eq T t0 (lift h d x)) \to
 162 (\forall (c2: C).((drop h d c1 c2) \to (sn3 c2 x)))))) (\lambda (t1:
 163 T).(\lambda (H1: ((\forall (t2: T).((((eq T t1 t2) \to (\forall (P:
 164 Prop).P))) \to ((pr3 c1 t1 t2) \to (sn3 c1 t2)))))).(\lambda (H2: ((\forall
 165 (t2: T).((((eq T t1 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) \to ((pr3 c1 t1 t2) \to
 166 (\forall (x: T).((eq T t2 (lift h d x)) \to (\forall (c2: C).((drop h d c1
 167 c2) \to (sn3 c2 x)))))))))).(\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T t1 (lift h d
 168 x))).(\lambda (c2: C).(\lambda (H4: (drop h d c1 c2)).(let H5 \def (eq_ind T
 169 t1 (\lambda (t0: T).(\forall (t2: T).((((eq T t0 t2) \to (\forall (P:
 170 Prop).P))) \to ((pr3 c1 t0 t2) \to (\forall (x0: T).((eq T t2 (lift h d x0))
 171 \to (\forall (c3: C).((drop h d c1 c3) \to (sn3 c3 x0))))))))) H2 (lift h d
 172 x) H3) in (let H6 \def (eq_ind T t1 (\lambda (t0: T).(\forall (t2: T).((((eq
 173 T t0 t2) \to (\forall (P: Prop).P))) \to ((pr3 c1 t0 t2) \to (sn3 c1 t2)))))
 174 H1 (lift h d x) H3) in (sn3_sing c2 x (\lambda (t2: T).(\lambda (H7: (((eq T
 175 x t2) \to (\forall (P: Prop).P)))).(\lambda (H8: (pr3 c2 x t2)).(H5 (lift h d
 176 t2) (\lambda (H9: (eq T (lift h d x) (lift h d t2))).(\lambda (P: Prop).(let
 177 H10 \def (eq_ind_r T t2 (\lambda (t0: T).(pr3 c2 x t0)) H8 x (lift_inj x t2 h
 178 d H9)) in (let H11 \def (eq_ind_r T t2 (\lambda (t0: T).((eq T x t0) \to
 179 (\forall (P0: Prop).P0))) H7 x (lift_inj x t2 h d H9)) in (H11 (refl_equal T
 180 x) P))))) (pr3_lift c1 c2 h d H4 x t2 H8) t2 (refl_equal T (lift h d t2)) c2
 181 H4)))))))))))))) y H0)))) H))))).
 182