matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/spare.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/theory.ma".
  18
  19 theorem lifts_inj:
  20  \forall (xs: TList).(\forall (ts: TList).(\forall (h: nat).(\forall (d:
  21 nat).((eq TList (lifts h d xs) (lifts h d ts)) \to (eq TList xs ts)))))
  22 \def
  23  \lambda (xs: TList).(TList_ind (\lambda (t: TList).(\forall (ts:
  24 TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d t) (lifts h
  25 d ts)) \to (eq TList t ts)))))) (\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t:
  26 TList).(\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d TNil) (lifts
  27 h d t)) \to (eq TList TNil t))))) (\lambda (_: nat).(\lambda (_:
  28 nat).(\lambda (H: (eq TList TNil TNil)).H))) (\lambda (t: T).(\lambda (t0:
  29 TList).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList TNil
  30 (lifts h d t0)) \to (eq TList TNil t0)))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d:
  31 nat).(\lambda (H0: (eq TList TNil (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)))).(let
  32 H1 \def (eq_ind TList TNil (\lambda (ee: TList).(match ee in TList return
  33 (\lambda (_: TList).Prop) with [TNil \Rightarrow True | (TCons _ _)
  34 \Rightarrow False])) I (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) H0) in (False_ind
  35 (eq TList TNil (TCons t t0)) H1)))))))) ts)) (\lambda (t: T).(\lambda (t0:
  36 TList).(\lambda (H: ((\forall (ts: TList).(\forall (h: nat).(\forall (d:
  37 nat).((eq TList (lifts h d t0) (lifts h d ts)) \to (eq TList t0
  38 ts))))))).(\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t1: TList).(\forall (h:
  39 nat).(\forall (d: nat).((eq TList (lifts h d (TCons t t0)) (lifts h d t1))
  40 \to (eq TList (TCons t t0) t1))))) (\lambda (h: nat).(\lambda (d:
  41 nat).(\lambda (H0: (eq TList (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) TNil)).(let
  42 H1 \def (eq_ind TList (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) (\lambda (ee:
  43 TList).(match ee in TList return (\lambda (_: TList).Prop) with [TNil
  44 \Rightarrow False | (TCons _ _) \Rightarrow True])) I TNil H0) in (False_ind
  45 (eq TList (TCons t t0) TNil) H1))))) (\lambda (t1: T).(\lambda (t2:
  46 TList).(\lambda (_: ((\forall (h: nat).(\forall (d: nat).((eq TList (TCons
  47 (lift h d t) (lifts h d t0)) (lifts h d t2)) \to (eq TList (TCons t t0)
  48 t2)))))).(\lambda (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (eq TList (TCons
  49 (lift h d t) (lifts h d t0)) (TCons (lift h d t1) (lifts h d t2)))).(let H2
  50 \def (f_equal TList T (\lambda (e: TList).(match e in TList return (\lambda
  51 (_: TList).T) with [TNil \Rightarrow ((let rec lref_map (f: ((nat \to nat)))
  52 (d0: nat) (t3: T) on t3: T \def (match t3 with [(TSort n) \Rightarrow (TSort
  53 n) | (TLRef i) \Rightarrow (TLRef (match (blt i d0) with [true \Rightarrow i
  54 | false \Rightarrow (f i)])) | (THead k u t4) \Rightarrow (THead k (lref_map
  55 f d0 u) (lref_map f (s k d0) t4))]) in lref_map) (\lambda (x: nat).(plus x
  56 h)) d t) | (TCons t3 _) \Rightarrow t3])) (TCons (lift h d t) (lifts h d t0))
  57 (TCons (lift h d t1) (lifts h d t2)) H1) in ((let H3 \def (f_equal TList
  58 TList (\lambda (e: TList).(match e in TList return (\lambda (_: TList).TList)
  59 with [TNil \Rightarrow ((let rec lifts (h0: nat) (d0: nat) (ts0: TList) on
  60 ts0: TList \def (match ts0 with [TNil \Rightarrow TNil | (TCons t3 ts1)
  61 \Rightarrow (TCons (lift h0 d0 t3) (lifts h0 d0 ts1))]) in lifts) h d t0) |
  62 (TCons _ t3) \Rightarrow t3])) (TCons (lift h d t) (lifts h d t0)) (TCons
  63 (lift h d t1) (lifts h d t2)) H1) in (\lambda (H4: (eq T (lift h d t) (lift h
  64 d t1))).(eq_ind T t (\lambda (t3: T).(eq TList (TCons t t0) (TCons t3 t2)))
  65 (f_equal2 T TList TList TCons t t t0 t2 (refl_equal T t) (H t2 h d H3)) t1
  66 (lift_inj t t1 h d H4)))) H2)))))))) ts))))) xs).
  67
  68 theorem nfs2_tapp:
  69  \forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (ts: TList).((nfs2 c (TApp ts t))
  70 \to (land (nfs2 c ts) (nf2 c t)))))
  71 \def
  72  \lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (ts: TList).(TList_ind (\lambda (t0:
  73 TList).((nfs2 c (TApp t0 t)) \to (land (nfs2 c t0) (nf2 c t)))) (\lambda (H:
  74 (land (nf2 c t) True)).(let H0 \def H in (land_ind (nf2 c t) True (land True
  75 (nf2 c t)) (\lambda (H1: (nf2 c t)).(\lambda (_: True).(conj True (nf2 c t) I
  76 H1))) H0))) (\lambda (t0: T).(\lambda (t1: TList).(\lambda (H: (((nfs2 c
  77 (TApp t1 t)) \to (land (nfs2 c t1) (nf2 c t))))).(\lambda (H0: (land (nf2 c
  78 t0) (nfs2 c (TApp t1 t)))).(let H1 \def H0 in (land_ind (nf2 c t0) (nfs2 c
  79 (TApp t1 t)) (land (land (nf2 c t0) (nfs2 c t1)) (nf2 c t)) (\lambda (H2:
  80 (nf2 c t0)).(\lambda (H3: (nfs2 c (TApp t1 t))).(let H_x \def (H H3) in (let
  81 H4 \def H_x in (land_ind (nfs2 c t1) (nf2 c t) (land (land (nf2 c t0) (nfs2 c
  82 t1)) (nf2 c t)) (\lambda (H5: (nfs2 c t1)).(\lambda (H6: (nf2 c t)).(conj
  83 (land (nf2 c t0) (nfs2 c t1)) (nf2 c t) (conj (nf2 c t0) (nfs2 c t1) H2 H5)
  84 H6))) H4))))) H1)))))) ts))).
  85
  86 theorem pc3_nf2_unfold:
  87  \forall (c: C).(\forall (t1: T).(\forall (t2: T).((pc3 c t1 t2) \to ((nf2 c
  88 t2) \to (pr3 c t1 t2)))))
  89 \def
  90  \lambda (c: C).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (H: (pc3 c t1
  91 t2)).(\lambda (H0: (nf2 c t2)).(let H1 \def H in (ex2_ind T (\lambda (t:
  92 T).(pr3 c t1 t)) (\lambda (t: T).(pr3 c t2 t)) (pr3 c t1 t2) (\lambda (x:
  93 T).(\lambda (H2: (pr3 c t1 x)).(\lambda (H3: (pr3 c t2 x)).(let H_y \def
  94 (nf2_pr3_unfold c t2 x H3 H0) in (let H4 \def (eq_ind_r T x (\lambda (t:
  95 T).(pr3 c t1 t)) H2 t2 H_y) in H4))))) H1)))))).
  96
  97 theorem pc3_pr3_conf:
  98  \forall (c: C).(\forall (t: T).(\forall (t1: T).((pc3 c t t1) \to (\forall
  99 (t2: T).((pr3 c t t2) \to (pc3 c t2 t1))))))
 100 \def
 101  \lambda (c: C).(\lambda (t: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (H: (pc3 c t
 102 t1)).(\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (pr3 c t t2)).(pc3_t t c t2 (pc3_pr3_x c
 103 t2 t H0) t1 H)))))).
 104
 105 axiom pc3_gen_appls_sort_abst:
 106  \forall (c: C).(\forall (vs: TList).(\forall (w: T).(\forall (u: T).(\forall
 107 (n: nat).((pc3 c (THeads (Flat Appl) vs (TSort n)) (THead (Bind Abst) w u))
 108 \to False)))))
 109 .
 110
 111 axiom pc3_gen_appls_lref_abst:
 112  \forall (c: C).(\forall (d: C).(\forall (v: T).(\forall (i: nat).((getl i c
 113 (CHead d (Bind Abst) v)) \to (\forall (vs: TList).(\forall (w: T).(\forall
 114 (u: T).((pc3 c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) (THead (Bind Abst) w u)) \to
 115 False))))))))
 116 .
 117
 118 axiom pc3_gen_appls_lref_sort:
 119  \forall (c: C).(\forall (d: C).(\forall (v: T).(\forall (i: nat).((getl i c
 120 (CHead d (Bind Abst) v)) \to (\forall (vs: TList).(\forall (ws:
 121 TList).(\forall (n: nat).((pc3 c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) (THeads
 122 (Flat Appl) ws (TSort n))) \to False))))))))
 123 .
 124
 125 inductive tys3 (g: G) (c: C): TList \to (T \to Prop) \def
 126 | tys3_nil: \forall (u: T).(\forall (u0: T).((ty3 g c u u0) \to (tys3 g c
 127 TNil u)))
 128 | tys3_cons: \forall (t: T).(\forall (u: T).((ty3 g c t u) \to (\forall (ts:
 129 TList).((tys3 g c ts u) \to (tys3 g c (TCons t ts) u))))).
 130
 131 theorem tys3_gen_nil:
 132  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (u: T).((tys3 g c TNil u) \to (ex T
 133 (\lambda (u0: T).(ty3 g c u u0))))))
 134 \def
 135  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (H: (tys3 g c TNil
 136 u)).(insert_eq TList TNil (\lambda (t: TList).(tys3 g c t u)) (\lambda (_:
 137 TList).(ex T (\lambda (u0: T).(ty3 g c u u0)))) (\lambda (y: TList).(\lambda
 138 (H0: (tys3 g c y u)).(tys3_ind g c (\lambda (t: TList).(\lambda (t0: T).((eq
 139 TList t TNil) \to (ex T (\lambda (u0: T).(ty3 g c t0 u0)))))) (\lambda (u0:
 140 T).(\lambda (u1: T).(\lambda (H1: (ty3 g c u0 u1)).(\lambda (_: (eq TList
 141 TNil TNil)).(ex_intro T (\lambda (u2: T).(ty3 g c u0 u2)) u1 H1))))) (\lambda
 142 (t: T).(\lambda (u0: T).(\lambda (_: (ty3 g c t u0)).(\lambda (ts:
 143 TList).(\lambda (_: (tys3 g c ts u0)).(\lambda (_: (((eq TList ts TNil) \to
 144 (ex T (\lambda (u1: T).(ty3 g c u0 u1)))))).(\lambda (H4: (eq TList (TCons t
 145 ts) TNil)).(let H5 \def (eq_ind TList (TCons t ts) (\lambda (ee:
 146 TList).(match ee in TList return (\lambda (_: TList).Prop) with [TNil
 147 \Rightarrow False | (TCons _ _) \Rightarrow True])) I TNil H4) in (False_ind
 148 (ex T (\lambda (u1: T).(ty3 g c u0 u1))) H5))))))))) y u H0))) H)))).
 149
 150 theorem tys3_gen_cons:
 151  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (ts: TList).(\forall (t: T).(\forall
 152 (u: T).((tys3 g c (TCons t ts) u) \to (land (ty3 g c t u) (tys3 g c ts
 153 u)))))))
 154 \def
 155  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (ts: TList).(\lambda (t: T).(\lambda
 156 (u: T).(\lambda (H: (tys3 g c (TCons t ts) u)).(insert_eq TList (TCons t ts)
 157 (\lambda (t0: TList).(tys3 g c t0 u)) (\lambda (_: TList).(land (ty3 g c t u)
 158 (tys3 g c ts u))) (\lambda (y: TList).(\lambda (H0: (tys3 g c y u)).(tys3_ind
 159 g c (\lambda (t0: TList).(\lambda (t1: T).((eq TList t0 (TCons t ts)) \to
 160 (land (ty3 g c t t1) (tys3 g c ts t1))))) (\lambda (u0: T).(\lambda (u1:
 161 T).(\lambda (_: (ty3 g c u0 u1)).(\lambda (H2: (eq TList TNil (TCons t
 162 ts))).(let H3 \def (eq_ind TList TNil (\lambda (ee: TList).(match ee in TList
 163 return (\lambda (_: TList).Prop) with [TNil \Rightarrow True | (TCons _ _)
 164 \Rightarrow False])) I (TCons t ts) H2) in (False_ind (land (ty3 g c t u0)
 165 (tys3 g c ts u0)) H3)))))) (\lambda (t0: T).(\lambda (u0: T).(\lambda (H1:
 166 (ty3 g c t0 u0)).(\lambda (ts0: TList).(\lambda (H2: (tys3 g c ts0
 167 u0)).(\lambda (H3: (((eq TList ts0 (TCons t ts)) \to (land (ty3 g c t u0)
 168 (tys3 g c ts u0))))).(\lambda (H4: (eq TList (TCons t0 ts0) (TCons t
 169 ts))).(let H5 \def (f_equal TList T (\lambda (e: TList).(match e in TList
 170 return (\lambda (_: TList).T) with [TNil \Rightarrow t0 | (TCons t1 _)
 171 \Rightarrow t1])) (TCons t0 ts0) (TCons t ts) H4) in ((let H6 \def (f_equal
 172 TList TList (\lambda (e: TList).(match e in TList return (\lambda (_:
 173 TList).TList) with [TNil \Rightarrow ts0 | (TCons _ t1) \Rightarrow t1]))
 174 (TCons t0 ts0) (TCons t ts) H4) in (\lambda (H7: (eq T t0 t)).(let H8 \def
 175 (eq_ind TList ts0 (\lambda (t1: TList).((eq TList t1 (TCons t ts)) \to (land
 176 (ty3 g c t u0) (tys3 g c ts u0)))) H3 ts H6) in (let H9 \def (eq_ind TList
 177 ts0 (\lambda (t1: TList).(tys3 g c t1 u0)) H2 ts H6) in (let H10 \def (eq_ind
 178 T t0 (\lambda (t1: T).(ty3 g c t1 u0)) H1 t H7) in (conj (ty3 g c t u0) (tys3
 179 g c ts u0) H10 H9)))))) H5))))))))) y u H0))) H)))))).
 180
 181 theorem ty3_gen_appl_nf2:
 182  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (w: T).(\forall (v: T).(\forall (x:
 183 T).((ty3 g c (THead (Flat Appl) w v) x) \to (ex4_2 T T (\lambda (u:
 184 T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x)))
 185 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
 186 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
 187 T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))))))))
 188 \def
 189  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (w: T).(\lambda (v: T).(\lambda (x:
 190 T).(\lambda (H: (ty3 g c (THead (Flat Appl) w v) x)).(ex3_2_ind T T (\lambda
 191 (u: T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t))
 192 x))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
 193 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (ex4_2 T T (\lambda (u:
 194 T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x)))
 195 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
 196 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
 197 T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1:
 198 T).(\lambda (H0: (pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) x0 x1))
 199 x)).(\lambda (H1: (ty3 g c v (THead (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (H2: (ty3 g
 200 c w x0)).(let H_x \def (ty3_correct g c v (THead (Bind Abst) x0 x1) H1) in
 201 (let H3 \def H_x in (ex_ind T (\lambda (t: T).(ty3 g c (THead (Bind Abst) x0
 202 x1) t)) (ex4_2 T T (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl)
 203 w (THead (Bind Abst) u t)) x))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v
 204 (THead (Bind Abst) u t)))) (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u)))
 205 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))) (\lambda
 206 (x2: T).(\lambda (H4: (ty3 g c (THead (Bind Abst) x0 x1) x2)).(let H_x0 \def
 207 (ty3_correct g c w x0 H2) in (let H5 \def H_x0 in (ex_ind T (\lambda (t:
 208 T).(ty3 g c x0 t)) (ex4_2 T T (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead
 209 (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
 210 T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t)))) (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3
 211 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t)))))
 212 (\lambda (x3: T).(\lambda (H6: (ty3 g c x0 x3)).(let H7 \def (ty3_sn3 g c
 213 (THead (Bind Abst) x0 x1) x2 H4) in (let H_x1 \def (nf2_sn3 c (THead (Bind
 214 Abst) x0 x1) H7) in (let H8 \def H_x1 in (ex2_ind T (\lambda (u: T).(pr3 c
 215 (THead (Bind Abst) x0 x1) u)) (\lambda (u: T).(nf2 c u)) (ex4_2 T T (\lambda
 216 (u: T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t))
 217 x))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
 218 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
 219 T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))) (\lambda (x4: T).(\lambda (H9: (pr3 c
 220 (THead (Bind Abst) x0 x1) x4)).(\lambda (H10: (nf2 c x4)).(let H11 \def
 221 (pr3_gen_abst c x0 x1 x4 H9) in (ex3_2_ind T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2:
 222 T).(eq T x4 (THead (Bind Abst) u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_:
 223 T).(pr3 c x0 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(\forall (b: B).(\forall
 224 (u: T).(pr3 (CHead c (Bind b) u) x1 t2))))) (ex4_2 T T (\lambda (u:
 225 T).(\lambda (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x)))
 226 (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t))))
 227 (\lambda (u: T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t:
 228 T).(nf2 c (THead (Bind Abst) u t))))) (\lambda (x5: T).(\lambda (x6:
 229 T).(\lambda (H12: (eq T x4 (THead (Bind Abst) x5 x6))).(\lambda (H13: (pr3 c
 230 x0 x5)).(\lambda (H14: ((\forall (b: B).(\forall (u: T).(pr3 (CHead c (Bind
 231 b) u) x1 x6))))).(let H15 \def (eq_ind T x4 (\lambda (t: T).(nf2 c t)) H10
 232 (THead (Bind Abst) x5 x6) H12) in (let H16 \def (pr3_head_12 c x0 x5 H13
 233 (Bind Abst) x1 x6 (H14 Abst x5)) in (ex4_2_intro T T (\lambda (u: T).(\lambda
 234 (t: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) x))) (\lambda (u:
 235 T).(\lambda (t: T).(ty3 g c v (THead (Bind Abst) u t)))) (\lambda (u:
 236 T).(\lambda (_: T).(ty3 g c w u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t: T).(nf2 c
 237 (THead (Bind Abst) u t)))) x5 x6 (pc3_pr3_conf c (THead (Flat Appl) w (THead
 238 (Bind Abst) x0 x1)) x H0 (THead (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) x5 x6))
 239 (pr3_thin_dx c (THead (Bind Abst) x0 x1) (THead (Bind Abst) x5 x6) H16 w
 240 Appl)) (ty3_conv g c (THead (Bind Abst) x5 x6) x2 (ty3_sred_pr3 c (THead
 241 (Bind Abst) x0 x1) (THead (Bind Abst) x5 x6) H16 g x2 H4) v (THead (Bind
 242 Abst) x0 x1) H1 (pc3_pr3_r c (THead (Bind Abst) x0 x1) (THead (Bind Abst) x5
 243 x6) H16)) (ty3_conv g c x5 x3 (ty3_sred_pr3 c x0 x5 H13 g x3 H6) w x0 H2
 244 (pc3_pr3_r c x0 x5 H13)) H15)))))))) H11))))) H8)))))) H5))))) H3))))))))
 245 (ty3_gen_appl g c w v x H))))))).
 246
 247 theorem ty3_inv_lref_nf2_pc3:
 248  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (u1: T).(\forall (i: nat).((ty3 g c
 249 (TLRef i) u1) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to (\forall (u2: T).((nf2 c u2) \to
 250 ((pc3 c u1 u2) \to (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))))))
 251 \def
 252  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (u1: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 253 (H: (ty3 g c (TLRef i) u1)).(insert_eq T (TLRef i) (\lambda (t: T).(ty3 g c t
 254 u1)) (\lambda (t: T).((nf2 c t) \to (\forall (u2: T).((nf2 c u2) \to ((pc3 c
 255 u1 u2) \to (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))) (\lambda
 256 (y: T).(\lambda (H0: (ty3 g c y u1)).(ty3_ind g (\lambda (c0: C).(\lambda (t:
 257 T).(\lambda (t0: T).((eq T t (TLRef i)) \to ((nf2 c0 t) \to (\forall (u2:
 258 T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t0 u2) \to (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift
 259 (S i) O u)))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (t2: T).(\lambda (t:
 260 T).(\lambda (_: (ty3 g c0 t2 t)).(\lambda (_: (((eq T t2 (TLRef i)) \to ((nf2
 261 c0 t2) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t u2) \to (ex T
 262 (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))))).(\lambda (u: T).(\lambda
 263 (t1: T).(\lambda (H3: (ty3 g c0 u t1)).(\lambda (H4: (((eq T u (TLRef i)) \to
 264 ((nf2 c0 u) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t1 u2) \to (ex T
 265 (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0))))))))))).(\lambda (H5: (pc3 c0
 266 t1 t2)).(\lambda (H6: (eq T u (TLRef i))).(\lambda (H7: (nf2 c0 u)).(\lambda
 267 (u2: T).(\lambda (H8: (nf2 c0 u2)).(\lambda (H9: (pc3 c0 t2 u2)).(let H10
 268 \def (eq_ind T u (\lambda (t0: T).(nf2 c0 t0)) H7 (TLRef i) H6) in (let H11
 269 \def (eq_ind T u (\lambda (t0: T).((eq T t0 (TLRef i)) \to ((nf2 c0 t0) \to
 270 (\forall (u3: T).((nf2 c0 u3) \to ((pc3 c0 t1 u3) \to (ex T (\lambda (u0:
 271 T).(eq T u3 (lift (S i) O u0)))))))))) H4 (TLRef i) H6) in (let H12 \def
 272 (eq_ind T u (\lambda (t0: T).(ty3 g c0 t0 t1)) H3 (TLRef i) H6) in (let H_y
 273 \def (H11 (refl_equal T (TLRef i)) H10 u2 H8) in (H_y (pc3_t t2 c0 t1 H5 u2
 274 H9))))))))))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (m: nat).(\lambda (H1: (eq
 275 T (TSort m) (TLRef i))).(\lambda (_: (nf2 c0 (TSort m))).(\lambda (u2:
 276 T).(\lambda (_: (nf2 c0 u2)).(\lambda (_: (pc3 c0 (TSort (next g m))
 277 u2)).(let H5 \def (eq_ind T (TSort m) (\lambda (ee: T).(match ee in T return
 278 (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow True | (TLRef _)
 279 \Rightarrow False | (THead _ _ _) \Rightarrow False])) I (TLRef i) H1) in
 280 (False_ind (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u)))) H5)))))))))
 281 (\lambda (n: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda
 282 (H1: (getl n c0 (CHead d (Bind Abbr) u))).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g
 283 d u t)).(\lambda (_: (((eq T u (TLRef i)) \to ((nf2 d u) \to (\forall (u2:
 284 T).((nf2 d u2) \to ((pc3 d t u2) \to (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S
 285 i) O u0))))))))))).(\lambda (H4: (eq T (TLRef n) (TLRef i))).(\lambda (H5:
 286 (nf2 c0 (TLRef n))).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (nf2 c0 u2)).(\lambda (H7:
 287 (pc3 c0 (lift (S n) O t) u2)).(let H8 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
 288 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow n |
 289 (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _) \Rightarrow n])) (TLRef n) (TLRef
 290 i) H4) in (let H9 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(pc3 c0 (lift (S n0)
 291 O t) u2)) H7 i H8) in (let H10 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(nf2 c0
 292 (TLRef n0))) H5 i H8) in (let H11 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(getl
 293 n0 c0 (CHead d (Bind Abbr) u))) H1 i H8) in (nf2_gen_lref c0 d u i H11 H10
 294 (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0))))))))))))))))))))))
 295 (\lambda (n: nat).(\lambda (c0: C).(\lambda (d: C).(\lambda (u: T).(\lambda
 296 (H1: (getl n c0 (CHead d (Bind Abst) u))).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g
 297 d u t)).(\lambda (_: (((eq T u (TLRef i)) \to ((nf2 d u) \to (\forall (u2:
 298 T).((nf2 d u2) \to ((pc3 d t u2) \to (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S
 299 i) O u0))))))))))).(\lambda (H4: (eq T (TLRef n) (TLRef i))).(\lambda (H5:
 300 (nf2 c0 (TLRef n))).(\lambda (u2: T).(\lambda (H6: (nf2 c0 u2)).(\lambda (H7:
 301 (pc3 c0 (lift (S n) O u) u2)).(let H8 \def (f_equal T nat (\lambda (e:
 302 T).(match e in T return (\lambda (_: T).nat) with [(TSort _) \Rightarrow n |
 303 (TLRef n0) \Rightarrow n0 | (THead _ _ _) \Rightarrow n])) (TLRef n) (TLRef
 304 i) H4) in (let H9 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(pc3 c0 (lift (S n0)
 305 O u) u2)) H7 i H8) in (let H10 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(nf2 c0
 306 (TLRef n0))) H5 i H8) in (let H11 \def (eq_ind nat n (\lambda (n0: nat).(getl
 307 n0 c0 (CHead d (Bind Abst) u))) H1 i H8) in (let H_y \def (pc3_nf2_unfold c0
 308 (lift (S i) O u) u2 H9 H6) in (let H12 \def (pr3_gen_lift c0 u u2 (S i) O H_y
 309 d (getl_drop Abst c0 d u i H11)) in (ex2_ind T (\lambda (t2: T).(eq T u2
 310 (lift (S i) O t2))) (\lambda (t2: T).(pr3 d u t2)) (ex T (\lambda (u0: T).(eq
 311 T u2 (lift (S i) O u0)))) (\lambda (x: T).(\lambda (H13: (eq T u2 (lift (S i)
 312 O x))).(\lambda (_: (pr3 d u x)).(eq_ind_r T (lift (S i) O x) (\lambda (t0:
 313 T).(ex T (\lambda (u0: T).(eq T t0 (lift (S i) O u0))))) (ex_intro T (\lambda
 314 (u0: T).(eq T (lift (S i) O x) (lift (S i) O u0))) x (refl_equal T (lift (S
 315 i) O x))) u2 H13)))) H12)))))))))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda (u:
 316 T).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 u t)).(\lambda (_: (((eq T u (TLRef
 317 i)) \to ((nf2 c0 u) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t u2) \to
 318 (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0))))))))))).(\lambda (b:
 319 B).(\lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (ty3 g (CHead c0 (Bind b)
 320 u) t1 t2)).(\lambda (_: (((eq T t1 (TLRef i)) \to ((nf2 (CHead c0 (Bind b) u)
 321 t1) \to (\forall (u2: T).((nf2 (CHead c0 (Bind b) u) u2) \to ((pc3 (CHead c0
 322 (Bind b) u) t2 u2) \to (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O
 323 u0))))))))))).(\lambda (H5: (eq T (THead (Bind b) u t1) (TLRef i))).(\lambda
 324 (_: (nf2 c0 (THead (Bind b) u t1))).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (nf2 c0
 325 u2)).(\lambda (_: (pc3 c0 (THead (Bind b) u t2) u2)).(let H9 \def (eq_ind T
 326 (THead (Bind b) u t1) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_:
 327 T).Prop) with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False |
 328 (THead _ _ _) \Rightarrow True])) I (TLRef i) H5) in (False_ind (ex T
 329 (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0)))) H9))))))))))))))))) (\lambda
 330 (c0: C).(\lambda (w: T).(\lambda (u: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 w u)).(\lambda
 331 (_: (((eq T w (TLRef i)) \to ((nf2 c0 w) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2)
 332 \to ((pc3 c0 u u2) \to (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O
 333 u0))))))))))).(\lambda (v: T).(\lambda (t: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 v (THead
 334 (Bind Abst) u t))).(\lambda (_: (((eq T v (TLRef i)) \to ((nf2 c0 v) \to
 335 (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 (THead (Bind Abst) u t) u2) \to
 336 (ex T (\lambda (u0: T).(eq T u2 (lift (S i) O u0))))))))))).(\lambda (H5: (eq
 337 T (THead (Flat Appl) w v) (TLRef i))).(\lambda (_: (nf2 c0 (THead (Flat Appl)
 338 w v))).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (nf2 c0 u2)).(\lambda (_: (pc3 c0 (THead
 339 (Flat Appl) w (THead (Bind Abst) u t)) u2)).(let H9 \def (eq_ind T (THead
 340 (Flat Appl) w v) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop)
 341 with [(TSort _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _
 342 _) \Rightarrow True])) I (TLRef i) H5) in (False_ind (ex T (\lambda (u0:
 343 T).(eq T u2 (lift (S i) O u0)))) H9)))))))))))))))) (\lambda (c0: C).(\lambda
 344 (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 t1 t2)).(\lambda (_: (((eq T
 345 t1 (TLRef i)) \to ((nf2 c0 t1) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0
 346 t2 u2) \to (ex T (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))))).(\lambda
 347 (t0: T).(\lambda (_: (ty3 g c0 t2 t0)).(\lambda (_: (((eq T t2 (TLRef i)) \to
 348 ((nf2 c0 t2) \to (\forall (u2: T).((nf2 c0 u2) \to ((pc3 c0 t0 u2) \to (ex T
 349 (\lambda (u: T).(eq T u2 (lift (S i) O u))))))))))).(\lambda (H5: (eq T
 350 (THead (Flat Cast) t2 t1) (TLRef i))).(\lambda (_: (nf2 c0 (THead (Flat Cast)
 351 t2 t1))).(\lambda (u2: T).(\lambda (_: (nf2 c0 u2)).(\lambda (_: (pc3 c0
 352 (THead (Flat Cast) t0 t2) u2)).(let H9 \def (eq_ind T (THead (Flat Cast) t2
 353 t1) (\lambda (ee: T).(match ee in T return (\lambda (_: T).Prop) with [(TSort
 354 _) \Rightarrow False | (TLRef _) \Rightarrow False | (THead _ _ _)
 355 \Rightarrow True])) I (TLRef i) H5) in (False_ind (ex T (\lambda (u: T).(eq T
 356 u2 (lift (S i) O u)))) H9))))))))))))))) c y u1 H0))) H))))).
 357
 358 theorem ty3_inv_lref_nf2:
 359  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((ty3 g c
 360 (TLRef i) u) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((nf2 c u) \to (ex T (\lambda (u0:
 361 T).(eq T u (lift (S i) O u0))))))))))
 362 \def
 363  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 364 (H: (ty3 g c (TLRef i) u)).(\lambda (H0: (nf2 c (TLRef i))).(\lambda (H1:
 365 (nf2 c u)).(ty3_inv_lref_nf2_pc3 g c u i H H0 u H1 (pc3_refl c u)))))))).
 366
 367 theorem ty3_inv_appls_lref_nf2:
 368  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (vs: TList).(\forall (u1:
 369 T).(\forall (i: nat).((ty3 g c (THeads (Flat Appl) vs (TLRef i)) u1) \to
 370 ((nf2 c (TLRef i)) \to ((nf2 c u1) \to (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S
 371 i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (THeads (Flat Appl) vs (lift (S i) O u))
 372 u1))))))))))
 373 \def
 374  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (vs: TList).(TList_ind (\lambda (t:
 375 TList).(\forall (u1: T).(\forall (i: nat).((ty3 g c (THeads (Flat Appl) t
 376 (TLRef i)) u1) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((nf2 c u1) \to (ex2 T (\lambda (u:
 377 T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (THeads (Flat Appl) t
 378 (lift (S i) O u)) u1))))))))) (\lambda (u1: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H:
 379 (ty3 g c (TLRef i) u1)).(\lambda (H0: (nf2 c (TLRef i))).(\lambda (H1: (nf2 c
 380 u1)).(let H_x \def (ty3_inv_lref_nf2 g c u1 i H H0 H1) in (let H2 \def H_x in
 381 (ex_ind T (\lambda (u0: T).(eq T u1 (lift (S i) O u0))) (ex2 T (\lambda (u:
 382 T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (lift (S i) O u) u1)))
 383 (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T u1 (lift (S i) O x))).(let H4 \def
 384 (eq_ind T u1 (\lambda (t: T).(nf2 c t)) H1 (lift (S i) O x) H3) in (eq_ind_r
 385 T (lift (S i) O x) (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i)
 386 O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (lift (S i) O u) t)))) (ex_intro2 T (\lambda
 387 (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (lift (S i) O u)
 388 (lift (S i) O x))) x H4 (pc3_refl c (lift (S i) O x))) u1 H3)))) H2))))))))
 389 (\lambda (t: T).(\lambda (t0: TList).(\lambda (H: ((\forall (u1: T).(\forall
 390 (i: nat).((ty3 g c (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) u1) \to ((nf2 c (TLRef
 391 i)) \to ((nf2 c u1) \to (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u)))
 392 (\lambda (u: T).(pc3 c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O u))
 393 u1)))))))))).(\lambda (u1: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H0: (ty3 g c (THead
 394 (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i))) u1)).(\lambda (H1: (nf2 c
 395 (TLRef i))).(\lambda (_: (nf2 c u1)).(let H_x \def (ty3_gen_appl_nf2 g c t
 396 (THeads (Flat Appl) t0 (TLRef i)) u1 H0) in (let H3 \def H_x in (ex4_2_ind T
 397 T (\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) t (THead (Bind
 398 Abst) u t1)) u1))) (\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(ty3 g c (THeads (Flat
 399 Appl) t0 (TLRef i)) (THead (Bind Abst) u t1)))) (\lambda (u: T).(\lambda (_:
 400 T).(ty3 g c t u))) (\lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(nf2 c (THead (Bind Abst)
 401 u t1)))) (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u:
 402 T).(pc3 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O u)))
 403 u1))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H4: (pc3 c (THead (Flat
 404 Appl) t (THead (Bind Abst) x0 x1)) u1)).(\lambda (H5: (ty3 g c (THeads (Flat
 405 Appl) t0 (TLRef i)) (THead (Bind Abst) x0 x1))).(\lambda (_: (ty3 g c t
 406 x0)).(\lambda (H7: (nf2 c (THead (Bind Abst) x0 x1))).(let H8 \def
 407 (nf2_gen_abst c x0 x1 H7) in (land_ind (nf2 c x0) (nf2 (CHead c (Bind Abst)
 408 x0) x1) (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3
 409 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O u))) u1)))
 410 (\lambda (H9: (nf2 c x0)).(\lambda (H10: (nf2 (CHead c (Bind Abst) x0)
 411 x1)).(let H_y \def (H (THead (Bind Abst) x0 x1) i H5 H1) in (let H11 \def
 412 (H_y (nf2_abst_shift c x0 H9 x1 H10)) in (ex2_ind T (\lambda (u: T).(nf2 c
 413 (lift (S i) O u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i)
 414 O u)) (THead (Bind Abst) x0 x1))) (ex2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O
 415 u))) (\lambda (u: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift
 416 (S i) O u))) u1))) (\lambda (x: T).(\lambda (H12: (nf2 c (lift (S i) O
 417 x))).(\lambda (H13: (pc3 c (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O x)) (THead
 418 (Bind Abst) x0 x1))).(ex_intro2 T (\lambda (u: T).(nf2 c (lift (S i) O u)))
 419 (\lambda (u: T).(pc3 c (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S
 420 i) O u))) u1)) x H12 (pc3_t (THead (Flat Appl) t (THead (Bind Abst) x0 x1)) c
 421 (THead (Flat Appl) t (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O x))) (pc3_thin_dx c
 422 (THeads (Flat Appl) t0 (lift (S i) O x)) (THead (Bind Abst) x0 x1) H13 t
 423 Appl) u1 H4))))) H11))))) H8)))))))) H3))))))))))) vs))).
 424
 425 theorem ty3_inv_lref_lref_nf2:
 426  \forall (g: G).(\forall (c: C).(\forall (i: nat).(\forall (j: nat).((ty3 g c
 427 (TLRef i) (TLRef j)) \to ((nf2 c (TLRef i)) \to ((nf2 c (TLRef j)) \to (lt i
 428 j)))))))
 429 \def
 430  \lambda (g: G).(\lambda (c: C).(\lambda (i: nat).(\lambda (j: nat).(\lambda
 431 (H: (ty3 g c (TLRef i) (TLRef j))).(\lambda (H0: (nf2 c (TLRef i))).(\lambda
 432 (H1: (nf2 c (TLRef j))).(let H_x \def (ty3_inv_lref_nf2 g c (TLRef j) i H H0
 433 H1) in (let H2 \def H_x in (ex_ind T (\lambda (u0: T).(eq T (TLRef j) (lift
 434 (S i) O u0))) (lt i j) (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T (TLRef j) (lift (S
 435 i) O x))).(let H_x0 \def (lift_gen_lref x O (S i) j H3) in (let H4 \def H_x0
 436 in (or_ind (land (lt j O) (eq T x (TLRef j))) (land (le (S i) j) (eq T x
 437 (TLRef (minus j (S i))))) (lt i j) (\lambda (H5: (land (lt j O) (eq T x
 438 (TLRef j)))).(land_ind (lt j O) (eq T x (TLRef j)) (lt i j) (\lambda (H6: (lt
 439 j O)).(\lambda (_: (eq T x (TLRef j))).(lt_x_O j H6 (lt i j)))) H5)) (\lambda
 440 (H5: (land (le (S i) j) (eq T x (TLRef (minus j (S i)))))).(land_ind (le (S
 441 i) j) (eq T x (TLRef (minus j (S i)))) (lt i j) (\lambda (H6: (le (S i)
 442 j)).(\lambda (_: (eq T x (TLRef (minus j (S i))))).H6)) H5)) H4)))))
 443 H2))))))))).
 444