matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/subst0/props.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 include "LambdaDelta-1/subst0/fwd.ma".
  18
  19 theorem subst0_refl:
  20  \forall (u: T).(\forall (t: T).(\forall (d: nat).((subst0 d u t t) \to
  21 (\forall (P: Prop).P))))
  22 \def
  23  \lambda (u: T).(\lambda (t: T).(T_ind (\lambda (t0: T).(\forall (d:
  24 nat).((subst0 d u t0 t0) \to (\forall (P: Prop).P)))) (\lambda (n:
  25 nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (subst0 d u (TSort n) (TSort
  26 n))).(\lambda (P: Prop).(subst0_gen_sort u (TSort n) d n H P))))) (\lambda
  27 (n: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (subst0 d u (TLRef n) (TLRef
  28 n))).(\lambda (P: Prop).(land_ind (eq nat n d) (eq T (TLRef n) (lift (S n) O
  29 u)) P (\lambda (_: (eq nat n d)).(\lambda (H1: (eq T (TLRef n) (lift (S n) O
  30 u))).(lift_gen_lref_false (S n) O n (le_O_n n) (le_n (plus O (S n))) u H1
  31 P))) (subst0_gen_lref u (TLRef n) d n H)))))) (\lambda (k: K).(\lambda (t0:
  32 T).(\lambda (H: ((\forall (d: nat).((subst0 d u t0 t0) \to (\forall (P:
  33 Prop).P))))).(\lambda (t1: T).(\lambda (H0: ((\forall (d: nat).((subst0 d u
  34 t1 t1) \to (\forall (P: Prop).P))))).(\lambda (d: nat).(\lambda (H1: (subst0
  35 d u (THead k t0 t1) (THead k t0 t1))).(\lambda (P: Prop).(or3_ind (ex2 T
  36 (\lambda (u2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k u2 t1))) (\lambda (u2:
  37 T).(subst0 d u t0 u2))) (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead
  38 k t0 t2))) (\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2))) (ex3_2 T T (\lambda
  39 (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k u2 t2)))) (\lambda
  40 (u2: T).(\lambda (_: T).(subst0 d u t0 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2:
  41 T).(subst0 (s k d) u t1 t2)))) P (\lambda (H2: (ex2 T (\lambda (u2: T).(eq T
  42 (THead k t0 t1) (THead k u2 t1))) (\lambda (u2: T).(subst0 d u t0
  43 u2)))).(ex2_ind T (\lambda (u2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k u2 t1)))
  44 (\lambda (u2: T).(subst0 d u t0 u2)) P (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T
  45 (THead k t0 t1) (THead k x t1))).(\lambda (H4: (subst0 d u t0 x)).(let H5
  46 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T)
  47 with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _) \Rightarrow t0 | (THead _ t2 _)
  48 \Rightarrow t2])) (THead k t0 t1) (THead k x t1) H3) in (let H6 \def
  49 (eq_ind_r T x (\lambda (t2: T).(subst0 d u t0 t2)) H4 t0 H5) in (H d H6
  50 P)))))) H2)) (\lambda (H2: (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 t1)
  51 (THead k t0 t2))) (\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2)))).(ex2_ind T
  52 (\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k t0 t2))) (\lambda (t2:
  53 T).(subst0 (s k d) u t1 t2)) P (\lambda (x: T).(\lambda (H3: (eq T (THead k
  54 t0 t1) (THead k t0 x))).(\lambda (H4: (subst0 (s k d) u t1 x)).(let H5 \def
  55 (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T) with
  56 [(TSort _) \Rightarrow t1 | (TLRef _) \Rightarrow t1 | (THead _ _ t2)
  57 \Rightarrow t2])) (THead k t0 t1) (THead k t0 x) H3) in (let H6 \def
  58 (eq_ind_r T x (\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2)) H4 t1 H5) in (H0 (s
  59 k d) H6 P)))))) H2)) (\lambda (H2: (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2:
  60 T).(eq T (THead k t0 t1) (THead k u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_:
  61 T).(subst0 d u t0 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1
  62 t2))))).(ex3_2_ind T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T (THead k t0
  63 t1) (THead k u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst0 d u t0 u2)))
  64 (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1 t2))) P (\lambda (x0:
  65 T).(\lambda (x1: T).(\lambda (H3: (eq T (THead k t0 t1) (THead k x0
  66 x1))).(\lambda (H4: (subst0 d u t0 x0)).(\lambda (H5: (subst0 (s k d) u t1
  67 x1)).(let H6 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda
  68 (_: T).T) with [(TSort _) \Rightarrow t0 | (TLRef _) \Rightarrow t0 | (THead
  69 _ t2 _) \Rightarrow t2])) (THead k t0 t1) (THead k x0 x1) H3) in ((let H7
  70 \def (f_equal T T (\lambda (e: T).(match e in T return (\lambda (_: T).T)
  71 with [(TSort _) \Rightarrow t1 | (TLRef _) \Rightarrow t1 | (THead _ _ t2)
  72 \Rightarrow t2])) (THead k t0 t1) (THead k x0 x1) H3) in (\lambda (H8: (eq T
  73 t0 x0)).(let H9 \def (eq_ind_r T x1 (\lambda (t2: T).(subst0 (s k d) u t1
  74 t2)) H5 t1 H7) in (let H10 \def (eq_ind_r T x0 (\lambda (t2: T).(subst0 d u
  75 t0 t2)) H4 t0 H8) in (H d H10 P))))) H6))))))) H2)) (subst0_gen_head k u t0
  76 t1 (THead k t0 t1) d H1)))))))))) t)).
  77
  78 theorem subst0_lift_lt:
  79  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst0
  80 i u t1 t2) \to (\forall (d: nat).((lt i d) \to (\forall (h: nat).(subst0 i
  81 (lift h (minus d (S i)) u) (lift h d t1) (lift h d t2)))))))))
  82 \def
  83  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
  84 (H: (subst0 i u t1 t2)).(subst0_ind (\lambda (n: nat).(\lambda (t:
  85 T).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\forall (d: nat).((lt n d) \to (\forall
  86 (h: nat).(subst0 n (lift h (minus d (S n)) t) (lift h d t0) (lift h d
  87 t3))))))))) (\lambda (v: T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda
  88 (H0: (lt i0 d)).(\lambda (h: nat).(eq_ind_r T (TLRef i0) (\lambda (t:
  89 T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) t (lift h d (lift (S i0) O v))))
  90 (let w \def (minus d (S i0)) in (eq_ind nat (plus (S i0) (minus d (S i0)))
  91 (\lambda (n: nat).(subst0 i0 (lift h w v) (TLRef i0) (lift h n (lift (S i0) O
  92 v)))) (eq_ind_r T (lift (S i0) O (lift h (minus d (S i0)) v)) (\lambda (t:
  93 T).(subst0 i0 (lift h w v) (TLRef i0) t)) (subst0_lref (lift h (minus d (S
  94 i0)) v) i0) (lift h (plus (S i0) (minus d (S i0))) (lift (S i0) O v)) (lift_d
  95 v h (S i0) (minus d (S i0)) O (le_O_n (minus d (S i0))))) d (le_plus_minus_r
  96 (S i0) d H0))) (lift h d (TLRef i0)) (lift_lref_lt i0 h d H0))))))) (\lambda
  97 (v: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (_:
  98 (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (d: nat).((lt i0 d) \to (\forall
  99 (h: nat).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) (lift h d u1) (lift h d
 100 u2))))))).(\lambda (t: T).(\lambda (k: K).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (lt
 101 i0 d)).(\lambda (h: nat).(eq_ind_r T (THead k (lift h d u1) (lift h (s k d)
 102 t)) (\lambda (t0: T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) t0 (lift h d
 103 (THead k u2 t)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2) (lift h (s k d) t))
 104 (\lambda (t0: T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) (THead k (lift h d
 105 u1) (lift h (s k d) t)) t0)) (subst0_fst (lift h (minus d (S i0)) v) (lift h
 106 d u2) (lift h d u1) i0 (H1 d H2 h) (lift h (s k d) t) k) (lift h d (THead k
 107 u2 t)) (lift_head k u2 t h d)) (lift h d (THead k u1 t)) (lift_head k u1 t h
 108 d))))))))))))) (\lambda (k: K).(\lambda (v: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3:
 109 T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (_: (subst0 (s k i0) v t3 t0)).(\lambda (H1:
 110 ((\forall (d: nat).((lt (s k i0) d) \to (\forall (h: nat).(subst0 (s k i0)
 111 (lift h (minus d (S (s k i0))) v) (lift h d t3) (lift h d t0))))))).(\lambda
 112 (u0: T).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (lt i0 d)).(\lambda (h: nat).(let H3
 113 \def (eq_ind_r nat (S (s k i0)) (\lambda (n: nat).(\forall (d0: nat).((lt (s
 114 k i0) d0) \to (\forall (h0: nat).(subst0 (s k i0) (lift h0 (minus d0 n) v)
 115 (lift h0 d0 t3) (lift h0 d0 t0)))))) H1 (s k (S i0)) (s_S k i0)) in (eq_ind_r
 116 T (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t3)) (\lambda (t: T).(subst0 i0
 117 (lift h (minus d (S i0)) v) t (lift h d (THead k u0 t0)))) (eq_ind_r T (THead
 118 k (lift h d u0) (lift h (s k d) t0)) (\lambda (t: T).(subst0 i0 (lift h
 119 (minus d (S i0)) v) (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t3)) t)) (eq_ind
 120 nat (minus (s k d) (s k (S i0))) (\lambda (n: nat).(subst0 i0 (lift h n v)
 121 (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t3)) (THead k (lift h d u0) (lift h (s
 122 k d) t0)))) (subst0_snd k (lift h (minus (s k d) (s k (S i0))) v) (lift h (s
 123 k d) t0) (lift h (s k d) t3) i0 (H3 (s k d) (s_lt k i0 d H2) h) (lift h d
 124 u0)) (minus d (S i0)) (minus_s_s k d (S i0))) (lift h d (THead k u0 t0))
 125 (lift_head k u0 t0 h d)) (lift h d (THead k u0 t3)) (lift_head k u0 t3 h
 126 d)))))))))))))) (\lambda (v: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda
 127 (i0: nat).(\lambda (_: (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (d:
 128 nat).((lt i0 d) \to (\forall (h: nat).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v)
 129 (lift h d u1) (lift h d u2))))))).(\lambda (k: K).(\lambda (t0: T).(\lambda
 130 (t3: T).(\lambda (_: (subst0 (s k i0) v t0 t3)).(\lambda (H3: ((\forall (d:
 131 nat).((lt (s k i0) d) \to (\forall (h: nat).(subst0 (s k i0) (lift h (minus d
 132 (S (s k i0))) v) (lift h d t0) (lift h d t3))))))).(\lambda (d: nat).(\lambda
 133 (H4: (lt i0 d)).(\lambda (h: nat).(let H5 \def (eq_ind_r nat (S (s k i0))
 134 (\lambda (n: nat).(\forall (d0: nat).((lt (s k i0) d0) \to (\forall (h0:
 135 nat).(subst0 (s k i0) (lift h0 (minus d0 n) v) (lift h0 d0 t0) (lift h0 d0
 136 t3)))))) H3 (s k (S i0)) (s_S k i0)) in (eq_ind_r T (THead k (lift h d u1)
 137 (lift h (s k d) t0)) (\lambda (t: T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) t
 138 (lift h d (THead k u2 t3)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2) (lift h (s k
 139 d) t3)) (\lambda (t: T).(subst0 i0 (lift h (minus d (S i0)) v) (THead k (lift
 140 h d u1) (lift h (s k d) t0)) t)) (subst0_both (lift h (minus d (S i0)) v)
 141 (lift h d u1) (lift h d u2) i0 (H1 d H4 h) k (lift h (s k d) t0) (lift h (s k
 142 d) t3) (eq_ind nat (minus (s k d) (s k (S i0))) (\lambda (n: nat).(subst0 (s
 143 k i0) (lift h n v) (lift h (s k d) t0) (lift h (s k d) t3))) (H5 (s k d)
 144 (s_lt k i0 d H4) h) (minus d (S i0)) (minus_s_s k d (S i0)))) (lift h d
 145 (THead k u2 t3)) (lift_head k u2 t3 h d)) (lift h d (THead k u1 t0))
 146 (lift_head k u1 t0 h d))))))))))))))))) i u t1 t2 H))))).
 147
 148 theorem subst0_lift_ge:
 149  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).(\forall
 150 (h: nat).((subst0 i u t1 t2) \to (\forall (d: nat).((le d i) \to (subst0
 151 (plus i h) u (lift h d t1) (lift h d t2)))))))))
 152 \def
 153  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 154 (h: nat).(\lambda (H: (subst0 i u t1 t2)).(subst0_ind (\lambda (n:
 155 nat).(\lambda (t: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\forall (d: nat).((le
 156 d n) \to (subst0 (plus n h) t (lift h d t0) (lift h d t3)))))))) (\lambda (v:
 157 T).(\lambda (i0: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (le d i0)).(eq_ind_r T
 158 (TLRef (plus i0 h)) (\lambda (t: T).(subst0 (plus i0 h) v t (lift h d (lift
 159 (S i0) O v)))) (eq_ind_r T (lift (plus h (S i0)) O v) (\lambda (t: T).(subst0
 160 (plus i0 h) v (TLRef (plus i0 h)) t)) (eq_ind nat (S (plus h i0)) (\lambda
 161 (n: nat).(subst0 (plus i0 h) v (TLRef (plus i0 h)) (lift n O v))) (eq_ind_r
 162 nat (plus h i0) (\lambda (n: nat).(subst0 n v (TLRef n) (lift (S (plus h i0))
 163 O v))) (subst0_lref v (plus h i0)) (plus i0 h) (plus_sym i0 h)) (plus h (S
 164 i0)) (plus_n_Sm h i0)) (lift h d (lift (S i0) O v)) (lift_free v (S i0) h O d
 165 (le_S d i0 H0) (le_O_n d))) (lift h d (TLRef i0)) (lift_lref_ge i0 h d
 166 H0)))))) (\lambda (v: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (i0:
 167 nat).(\lambda (_: (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (d: nat).((le
 168 d i0) \to (subst0 (plus i0 h) v (lift h d u1) (lift h d u2)))))).(\lambda (t:
 169 T).(\lambda (k: K).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (le d i0)).(eq_ind_r T
 170 (THead k (lift h d u1) (lift h (s k d) t)) (\lambda (t0: T).(subst0 (plus i0
 171 h) v t0 (lift h d (THead k u2 t)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2) (lift
 172 h (s k d) t)) (\lambda (t0: T).(subst0 (plus i0 h) v (THead k (lift h d u1)
 173 (lift h (s k d) t)) t0)) (subst0_fst v (lift h d u2) (lift h d u1) (plus i0
 174 h) (H1 d H2) (lift h (s k d) t) k) (lift h d (THead k u2 t)) (lift_head k u2
 175 t h d)) (lift h d (THead k u1 t)) (lift_head k u1 t h d)))))))))))) (\lambda
 176 (k: K).(\lambda (v: T).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (i0:
 177 nat).(\lambda (_: (subst0 (s k i0) v t3 t0)).(\lambda (H1: ((\forall (d:
 178 nat).((le d (s k i0)) \to (subst0 (plus (s k i0) h) v (lift h d t3) (lift h d
 179 t0)))))).(\lambda (u0: T).(\lambda (d: nat).(\lambda (H2: (le d i0)).(let H3
 180 \def (eq_ind_r nat (plus (s k i0) h) (\lambda (n: nat).(\forall (d0:
 181 nat).((le d0 (s k i0)) \to (subst0 n v (lift h d0 t3) (lift h d0 t0))))) H1
 182 (s k (plus i0 h)) (s_plus k i0 h)) in (eq_ind_r T (THead k (lift h d u0)
 183 (lift h (s k d) t3)) (\lambda (t: T).(subst0 (plus i0 h) v t (lift h d (THead
 184 k u0 t0)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t0)) (\lambda
 185 (t: T).(subst0 (plus i0 h) v (THead k (lift h d u0) (lift h (s k d) t3)) t))
 186 (subst0_snd k v (lift h (s k d) t0) (lift h (s k d) t3) (plus i0 h) (H3 (s k
 187 d) (s_le k d i0 H2)) (lift h d u0)) (lift h d (THead k u0 t0)) (lift_head k
 188 u0 t0 h d)) (lift h d (THead k u0 t3)) (lift_head k u0 t3 h d)))))))))))))
 189 (\lambda (v: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (u2: T).(\lambda (i0: nat).(\lambda
 190 (_: (subst0 i0 v u1 u2)).(\lambda (H1: ((\forall (d: nat).((le d i0) \to
 191 (subst0 (plus i0 h) v (lift h d u1) (lift h d u2)))))).(\lambda (k:
 192 K).(\lambda (t0: T).(\lambda (t3: T).(\lambda (_: (subst0 (s k i0) v t0
 193 t3)).(\lambda (H3: ((\forall (d: nat).((le d (s k i0)) \to (subst0 (plus (s k
 194 i0) h) v (lift h d t0) (lift h d t3)))))).(\lambda (d: nat).(\lambda (H4: (le
 195 d i0)).(let H5 \def (eq_ind_r nat (plus (s k i0) h) (\lambda (n:
 196 nat).(\forall (d0: nat).((le d0 (s k i0)) \to (subst0 n v (lift h d0 t0)
 197 (lift h d0 t3))))) H3 (s k (plus i0 h)) (s_plus k i0 h)) in (eq_ind_r T
 198 (THead k (lift h d u1) (lift h (s k d) t0)) (\lambda (t: T).(subst0 (plus i0
 199 h) v t (lift h d (THead k u2 t3)))) (eq_ind_r T (THead k (lift h d u2) (lift
 200 h (s k d) t3)) (\lambda (t: T).(subst0 (plus i0 h) v (THead k (lift h d u1)
 201 (lift h (s k d) t0)) t)) (subst0_both v (lift h d u1) (lift h d u2) (plus i0
 202 h) (H1 d H4) k (lift h (s k d) t0) (lift h (s k d) t3) (H5 (s k d) (s_le k d
 203 i0 H4))) (lift h d (THead k u2 t3)) (lift_head k u2 t3 h d)) (lift h d (THead
 204 k u1 t0)) (lift_head k u1 t0 h d)))))))))))))))) i u t1 t2 H)))))).
 205
 206 theorem subst0_lift_ge_S:
 207  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst0
 208 i u t1 t2) \to (\forall (d: nat).((le d i) \to (subst0 (S i) u (lift (S O) d
 209 t1) (lift (S O) d t2))))))))
 210 \def
 211  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 212 (H: (subst0 i u t1 t2)).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (le d i)).(eq_ind nat
 213 (plus i (S O)) (\lambda (n: nat).(subst0 n u (lift (S O) d t1) (lift (S O) d
 214 t2))) (subst0_lift_ge t1 t2 u i (S O) H d H0) (S i) (eq_ind_r nat (plus (S O)
 215 i) (\lambda (n: nat).(eq nat n (S i))) (refl_equal nat (S i)) (plus i (S O))
 216 (plus_sym i (S O)))))))))).
 217
 218 theorem subst0_lift_ge_s:
 219  \forall (t1: T).(\forall (t2: T).(\forall (u: T).(\forall (i: nat).((subst0
 220 i u t1 t2) \to (\forall (d: nat).((le d i) \to (\forall (b: B).(subst0 (s
 221 (Bind b) i) u (lift (S O) d t1) (lift (S O) d t2)))))))))
 222 \def
 223  \lambda (t1: T).(\lambda (t2: T).(\lambda (u: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 224 (H: (subst0 i u t1 t2)).(\lambda (d: nat).(\lambda (H0: (le d i)).(\lambda
 225 (_: B).(subst0_lift_ge_S t1 t2 u i H d H0)))))))).
 226