matita/contribs/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/subst1/fwd.ma

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||         The HELM team.                                      *)
   8 (*      ||A||         http://helm.cs.unibo.it                             *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        This file is distributed under the terms of the       *)
  11 (*        v         GNU General Public License Version 2                  *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 (* This file was automatically generated: do not edit *********************)
  16
  17 set "baseuri" "cic:/matita/LAMBDA-TYPES/LambdaDelta-1/subst1/fwd".
  18
  19 include "subst1/defs.ma".
  20
  21 include "subst0/props.ma".
  22
  23 theorem subst1_gen_sort:
  24  \forall (v: T).(\forall (x: T).(\forall (i: nat).(\forall (n: nat).((subst1
  25 i v (TSort n) x) \to (eq T x (TSort n))))))
  26 \def
  27  \lambda (v: T).(\lambda (x: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda
  28 (H: (subst1 i v (TSort n) x)).(subst1_ind i v (TSort n) (\lambda (t: T).(eq T
  29 t (TSort n))) (refl_equal T (TSort n)) (\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (subst0
  30 i v (TSort n) t2)).(subst0_gen_sort v t2 i n H0 (eq T t2 (TSort n))))) x
  31 H))))).
  32
  33 theorem subst1_gen_lref:
  34  \forall (v: T).(\forall (x: T).(\forall (i: nat).(\forall (n: nat).((subst1
  35 i v (TLRef n) x) \to (or (eq T x (TLRef n)) (land (eq nat n i) (eq T x (lift
  36 (S n) O v))))))))
  37 \def
  38  \lambda (v: T).(\lambda (x: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (n: nat).(\lambda
  39 (H: (subst1 i v (TLRef n) x)).(subst1_ind i v (TLRef n) (\lambda (t: T).(or
  40 (eq T t (TLRef n)) (land (eq nat n i) (eq T t (lift (S n) O v))))) (or_introl
  41 (eq T (TLRef n) (TLRef n)) (land (eq nat n i) (eq T (TLRef n) (lift (S n) O
  42 v))) (refl_equal T (TLRef n))) (\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (subst0 i v
  43 (TLRef n) t2)).(and_ind (eq nat n i) (eq T t2 (lift (S n) O v)) (or (eq T t2
  44 (TLRef n)) (land (eq nat n i) (eq T t2 (lift (S n) O v)))) (\lambda (H1: (eq
  45 nat n i)).(\lambda (H2: (eq T t2 (lift (S n) O v))).(or_intror (eq T t2
  46 (TLRef n)) (land (eq nat n i) (eq T t2 (lift (S n) O v))) (conj (eq nat n i)
  47 (eq T t2 (lift (S n) O v)) H1 H2)))) (subst0_gen_lref v t2 i n H0)))) x
  48 H))))).
  49
  50 theorem subst1_gen_head:
  51  \forall (k: K).(\forall (v: T).(\forall (u1: T).(\forall (t1: T).(\forall
  52 (x: T).(\forall (i: nat).((subst1 i v (THead k u1 t1) x) \to (ex3_2 T T
  53 (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T x (THead k u2 t2)))) (\lambda (u2:
  54 T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2:
  55 T).(subst1 (s k i) v t1 t2))))))))))
  56 \def
  57  \lambda (k: K).(\lambda (v: T).(\lambda (u1: T).(\lambda (t1: T).(\lambda
  58 (x: T).(\lambda (i: nat).(\lambda (H: (subst1 i v (THead k u1 t1)
  59 x)).(subst1_ind i v (THead k u1 t1) (\lambda (t: T).(ex3_2 T T (\lambda (u2:
  60 T).(\lambda (t2: T).(eq T t (THead k u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_:
  61 T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(subst1 (s k i) v t1
  62 t2))))) (ex3_2_intro T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t2: T).(eq T (THead k u1
  63 t1) (THead k u2 t2)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2)))
  64 (\lambda (_: T).(\lambda (t2: T).(subst1 (s k i) v t1 t2))) u1 t1 (refl_equal
  65 T (THead k u1 t1)) (subst1_refl i v u1) (subst1_refl (s k i) v t1)) (\lambda
  66 (t2: T).(\lambda (H0: (subst0 i v (THead k u1 t1) t2)).(or3_ind (ex2 T
  67 (\lambda (u2: T).(eq T t2 (THead k u2 t1))) (\lambda (u2: T).(subst0 i v u1
  68 u2))) (ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u1 t3))) (\lambda (t3:
  69 T).(subst0 (s k i) v t1 t3))) (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3:
  70 T).(eq T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst0 i v
  71 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(subst0 (s k i) v t1 t3)))) (ex3_2
  72 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda
  73 (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3:
  74 T).(subst1 (s k i) v t1 t3)))) (\lambda (H1: (ex2 T (\lambda (u2: T).(eq T t2
  75 (THead k u2 t1))) (\lambda (u2: T).(subst0 i v u1 u2)))).(ex2_ind T (\lambda
  76 (u2: T).(eq T t2 (THead k u2 t1))) (\lambda (u2: T).(subst0 i v u1 u2))
  77 (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u2 t3))))
  78 (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_:
  79 T).(\lambda (t3: T).(subst1 (s k i) v t1 t3)))) (\lambda (x0: T).(\lambda
  80 (H2: (eq T t2 (THead k x0 t1))).(\lambda (H3: (subst0 i v u1
  81 x0)).(ex3_2_intro T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u2
  82 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_:
  83 T).(\lambda (t3: T).(subst1 (s k i) v t1 t3))) x0 t1 H2 (subst1_single i v u1
  84 x0 H3) (subst1_refl (s k i) v t1))))) H1)) (\lambda (H1: (ex2 T (\lambda (t3:
  85 T).(eq T t2 (THead k u1 t3))) (\lambda (t3: T).(subst0 (s k i) v t1
  86 t3)))).(ex2_ind T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u1 t3))) (\lambda (t3:
  87 T).(subst0 (s k i) v t1 t3)) (ex3_2 T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq
  88 T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2)))
  89 (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(subst1 (s k i) v t1 t3)))) (\lambda (x0:
  90 T).(\lambda (H2: (eq T t2 (THead k u1 x0))).(\lambda (H3: (subst0 (s k i) v
  91 t1 x0)).(ex3_2_intro T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k
  92 u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_:
  93 T).(\lambda (t3: T).(subst1 (s k i) v t1 t3))) u1 x0 H2 (subst1_refl i v u1)
  94 (subst1_single (s k i) v t1 x0 H3))))) H1)) (\lambda (H1: (ex3_2 T T (\lambda
  95 (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda (u2:
  96 T).(\lambda (_: T).(subst0 i v u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3:
  97 T).(subst0 (s k i) v t1 t3))))).(ex3_2_ind T T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3:
  98 T).(eq T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst0 i v
  99 u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(subst0 (s k i) v t1 t3))) (ex3_2 T
 100 T (\lambda (u2: T).(\lambda (t3: T).(eq T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda (u2:
 101 T).(\lambda (_: T).(subst1 i v u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3:
 102 T).(subst1 (s k i) v t1 t3)))) (\lambda (x0: T).(\lambda (x1: T).(\lambda
 103 (H2: (eq T t2 (THead k x0 x1))).(\lambda (H3: (subst0 i v u1 x0)).(\lambda
 104 (H4: (subst0 (s k i) v t1 x1)).(ex3_2_intro T T (\lambda (u2: T).(\lambda
 105 (t3: T).(eq T t2 (THead k u2 t3)))) (\lambda (u2: T).(\lambda (_: T).(subst1
 106 i v u1 u2))) (\lambda (_: T).(\lambda (t3: T).(subst1 (s k i) v t1 t3))) x0
 107 x1 H2 (subst1_single i v u1 x0 H3) (subst1_single (s k i) v t1 x1 H4)))))))
 108 H1)) (subst0_gen_head k v u1 t1 t2 i H0)))) x H))))))).
 109
 110 theorem subst1_gen_lift_lt:
 111  \forall (u: T).(\forall (t1: T).(\forall (x: T).(\forall (i: nat).(\forall
 112 (h: nat).(\forall (d: nat).((subst1 i (lift h d u) (lift h (S (plus i d)) t1)
 113 x) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h (S (plus i d)) t2))) (\lambda
 114 (t2: T).(subst1 i u t1 t2)))))))))
 115 \def
 116  \lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (x: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 117 (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (subst1 i (lift h d u) (lift h (S
 118 (plus i d)) t1) x)).(subst1_ind i (lift h d u) (lift h (S (plus i d)) t1)
 119 (\lambda (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h (S (plus i d)) t2)))
 120 (\lambda (t2: T).(subst1 i u t1 t2)))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T
 121 (lift h (S (plus i d)) t1) (lift h (S (plus i d)) t2))) (\lambda (t2:
 122 T).(subst1 i u t1 t2)) t1 (refl_equal T (lift h (S (plus i d)) t1))
 123 (subst1_refl i u t1)) (\lambda (t2: T).(\lambda (H0: (subst0 i (lift h d u)
 124 (lift h (S (plus i d)) t1) t2)).(ex2_ind T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h
 125 (S (plus i d)) t3))) (\lambda (t3: T).(subst0 i u t1 t3)) (ex2 T (\lambda
 126 (t3: T).(eq T t2 (lift h (S (plus i d)) t3))) (\lambda (t3: T).(subst1 i u t1
 127 t3))) (\lambda (x0: T).(\lambda (H1: (eq T t2 (lift h (S (plus i d))
 128 x0))).(\lambda (H2: (subst0 i u t1 x0)).(ex_intro2 T (\lambda (t3: T).(eq T
 129 t2 (lift h (S (plus i d)) t3))) (\lambda (t3: T).(subst1 i u t1 t3)) x0 H1
 130 (subst1_single i u t1 x0 H2))))) (subst0_gen_lift_lt u t1 t2 i h d H0)))) x
 131 H))))))).
 132
 133 theorem subst1_gen_lift_eq:
 134  \forall (t: T).(\forall (u: T).(\forall (x: T).(\forall (h: nat).(\forall
 135 (d: nat).(\forall (i: nat).((le d i) \to ((lt i (plus d h)) \to ((subst1 i u
 136 (lift h d t) x) \to (eq T x (lift h d t))))))))))
 137 \def
 138  \lambda (t: T).(\lambda (u: T).(\lambda (x: T).(\lambda (h: nat).(\lambda
 139 (d: nat).(\lambda (i: nat).(\lambda (H: (le d i)).(\lambda (H0: (lt i (plus d
 140 h))).(\lambda (H1: (subst1 i u (lift h d t) x)).(subst1_ind i u (lift h d t)
 141 (\lambda (t0: T).(eq T t0 (lift h d t))) (refl_equal T (lift h d t)) (\lambda
 142 (t2: T).(\lambda (H2: (subst0 i u (lift h d t) t2)).(subst0_gen_lift_false t
 143 u t2 h d i H H0 H2 (eq T t2 (lift h d t))))) x H1))))))))).
 144
 145 theorem subst1_gen_lift_ge:
 146  \forall (u: T).(\forall (t1: T).(\forall (x: T).(\forall (i: nat).(\forall
 147 (h: nat).(\forall (d: nat).((subst1 i u (lift h d t1) x) \to ((le (plus d h)
 148 i) \to (ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T x (lift h d t2))) (\lambda (t2:
 149 T).(subst1 (minus i h) u t1 t2))))))))))
 150 \def
 151  \lambda (u: T).(\lambda (t1: T).(\lambda (x: T).(\lambda (i: nat).(\lambda
 152 (h: nat).(\lambda (d: nat).(\lambda (H: (subst1 i u (lift h d t1)
 153 x)).(\lambda (H0: (le (plus d h) i)).(subst1_ind i u (lift h d t1) (\lambda
 154 (t: T).(ex2 T (\lambda (t2: T).(eq T t (lift h d t2))) (\lambda (t2:
 155 T).(subst1 (minus i h) u t1 t2)))) (ex_intro2 T (\lambda (t2: T).(eq T (lift
 156 h d t1) (lift h d t2))) (\lambda (t2: T).(subst1 (minus i h) u t1 t2)) t1
 157 (refl_equal T (lift h d t1)) (subst1_refl (minus i h) u t1)) (\lambda (t2:
 158 T).(\lambda (H1: (subst0 i u (lift h d t1) t2)).(ex2_ind T (\lambda (t3:
 159 T).(eq T t2 (lift h d t3))) (\lambda (t3: T).(subst0 (minus i h) u t1 t3))
 160 (ex2 T (\lambda (t3: T).(eq T t2 (lift h d t3))) (\lambda (t3: T).(subst1
 161 (minus i h) u t1 t3))) (\lambda (x0: T).(\lambda (H2: (eq T t2 (lift h d
 162 x0))).(\lambda (H3: (subst0 (minus i h) u t1 x0)).(ex_intro2 T (\lambda (t3:
 163 T).(eq T t2 (lift h d t3))) (\lambda (t3: T).(subst1 (minus i h) u t1 t3)) x0
 164 H2 (subst1_single (minus i h) u t1 x0 H3))))) (subst0_gen_lift_ge u t1 t2 i h
 165 d H1 H0)))) x H)))))))).
 166